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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。3.证明三角形的任意两边之和大于第三边。4.理解三角形的基本元素（边、角）及其关系，掌握三角形内角和定理及其推论；5.了解命题、定理、证明的概念，能进行简单的几何推理与证明；
内容分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
学情分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
单元目标 （一）教学目标1.掌握三角形的基本元素及其分类，理解三角形的边角关系；2.掌握三角形内角和定理、外角定理及其推论，并能初步应用；3.了解命题、定理、证明的概念，能写出简单的几何命题并尝试证明；4.初步掌握几何证明的基本步骤和书写规范，发展逻辑推理能力。（二）教学重点、难点重点：1.三角形内角和定理及其应用；2.几何证明的基本结构与书写规范难点：1.几何证明的逻辑推理与语言表达；2.外角定理的理解与应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 三角形中的边角关系313.2 命题与证明4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1.1三角形中边的关系1.通过动手操作和实验探究，理解三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边。2.掌握判断三条线段能否组成三角形的方法，并能运用定理解决实际问题。3.培养观察、比较、分析和归纳的数学思维能力，发展空间观念。1.学生能准确表述三角形三边关系定理，并能举例说明。2.能正确判断给定三条线段能否组成三角形，正确率达到85%以上。3.能运用三角形三边关系解决简单的实际问题（如选择木料、计算取值范围等）任务一：给定多组不同长度的小棒，让学生实际操作选择能组成三角形的小棒组合，并记录说明理由。任务二：提供若干组线段长度数据，让学生判断哪些能组成三角形，并说明依据。任务三：设计实际问题情境，让学生运用三边关系解决问题。13.1.2 三角形中角的关系1.通过测量、撕拼等操作活动，发现并验证三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。2.掌握利用三角形内角和定理求未知角度的方法，并能解决相关问题。3.培养动手操作能力、空间想象能力和逻辑推理能力。1.学生能通过实验操作准确得出三角形内角和为180°的结论。2.能正确运用三角形内角和定理计算三角形中未知角的度数，正确率达到90%以上。3.能解决与三角形内角相关的实际问题（如判断三角形类型、解决角度计算问题等）任务一：提供各种类型的三角形纸片，让学生通过测量或撕拼的方法验证三角形内角和定理。任务二：给出三角形中两个角的度数，让学生计算第三个角的度数，并说明计算依据。任务三：设计实际问题让学生运用三角形内角和定理解决问题。13.1.3 三角形中几条重要线段1.理解三角形的中线、角平分线和高线的定义，掌握它们的性质和作图方法。2.能够识别和画出三角形的中线、角平分线和高线，了解它们的应用。3.培养几何直观和空间想象能力，提高动手操作和解决问题的能力。1.学生能准确说出三角形的中线、角平分线和高线的定义和性质。2.能正确使用尺规作出三角形的中线、角平分线和高线，正确率达到85%以上。3.能运用重要线段的性质解决简单的几何问题（如计算长度、证明等）。任务一：给定一个三角形，让学生用尺规分别作出它的三条中线、三条角平分线和三条高线。任务二：提供几个三角形中的重要线段问题，让学生计算并说明理由。任务三：设计实际问题，让学生运用重要线段的知识解决。13.2命题与证明(第一课时)1.理解命题的概念，能够区分命题与非命题，并能判断命题的真假。2.掌握命题的组成结构，能够将命题改写成“如果...那么...”的形式。3.初步了解证明的必要性，培养逻辑思维能力和严谨的数学态度。1.学生能准确判断一个语句是否为命题，并能区分真命题与假命题。2.能正确分析命题的条件和结论，并能将命题改写成标准形式。3.能通过举反例的方法判断命题的真假，并初步尝试简单的逻辑证明。任务一：给出多个语句，让学生判断哪些是命题，并说明理由。任务二：提供几个简单命题，让学生改写成“如果...那么...”的形式，并指出条件和结论。任务三：设计几个真假命题，让学生判断真假，并通过举反例或简单推理说明理由。13.2命题与证明(第二课时)1.掌握数学证明的基本方法和步骤，能够进行简单的几何证明。2.理解直接证明法的推理过程，能够规范书写证明过程。3.培养逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯1.学生能准确理解证明的步骤，能够按照规范格式书写证明过程。2.能运用直接证明法完成简单的几何命题证明，正确率达到80%以上。3.能在证明过程中正确使用数学符号和术语，表述清晰、推理严谨。任务一：给出简单几何命题，让学生写出完整的证明过程，包括已知、求证和证明。任务二：提供有缺陷的证明过程，让学生找出错误并改正，说明理由。任务三：设计几个需要证明的几何问题，让学生独立完成证明并相互评价。13.2命题与证明(第三课时)1.掌握三角形内角和定理的证明方法，理解其证明过程。2.理解直角三角形的性质与推论，能够进行相关证明。3.培养逻辑推理能力，掌握几何证明的基本方法和技巧。1.学生能独立完成三角形内角和定理的证明，正确率达到85%以上。2.能运用三角形内角和定理解决角度计算问题，正确率达到90%以上。3.能证明直角三角形的性质与推论，并运用于相关问题解决。任务一：让学生用至少两种方法（如辅助线法、拼图法等）证明三角形内角和等于180°。任务二：给出几个三角形角度计算问题，要求学生运用内角和定理求解并说明理由。任务三：设计直角三角形性质证明题，要求学生完成证明过程。任务四：提供综合应用题，要求学生运用直角三角形性质解决实际问题。13.2命题与证明(第四课时)1.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角定理及其证明方法。2.能够运用外角性质解决角度计算和证明问题。3.掌握外角推论的证明和应用，培养逻辑推理能力。1.学生能准确表述三角形外角定理，正确完成其证明过程。2.能运用外角性质解决角度计算问题，正确率达到85%以上。3.能独立证明外角推论，并运用于几何证明中。任务一：给出三角形图形，让学生指出外角并说明外角定理的内容。任务二：设计角度计算题，要求运用外角定理求解。任务三：提供证明题，要求学生用外角定理证明几何命题。任务四：设计综合应用题，让学生运用外角性质解决实际问题。
《三角形中的边角关系、命题与证明》单元教学设计
活动1：引入课题
活动2：探究三角形的分类
13.1.1三角形中边的关系
活动3：探究三角形边的基本关系
活动4：例题讲解
活动1：温故知新，引入课题
13.1.2三角形中角的关系
活动2：实验探究，发现内角和定理
活动3：例题讲解与应用
三角形中的边角关系、命题与证明
活动1：创设情境，引入课题
13.1.3三角形中几条重要线段
活动2：分组探究三条重要线段。
活动3：例题讲解
活动1：生活中的判断与推理
13.2命题与证明(第一课时)
活动2：探究命题的结构与类型
活动3：命题的真假判断与证明初探
活动4：例题讲解
活动1：复习巩固，温故知新
活动2：探究证明的方法与步骤
13.2命题与证明(第二课时)
活动3：分组实践，证明训练
三角形中的边角关系、命题与证明
活动4：例题讲解
活动3：探究直角三角形的性质与推论
活动2：证明三角形内角和等于180°
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第三课时)
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第四课时)
活动2：探究三角形外角的推论
活动3：例题讲解
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13.1.2三角形中角的关系教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 13
课题 13.1.2三角形中角的关系 课时 2
教材分析 本节内容系统阐述三角形内角和定理与外角性质，是平面几何的重要基础。教材编排由实验操作到逻辑证明，循序渐进，旨在引导学生从直观感知转向理性思维，并为后续多边形及全等三角形学习做好铺垫，知识结构清晰，重点突出。
学情 分析 学生已了解三角形的基本分类和边角概念，具备一定的观察与操作能力，但严谨的演绎推理和辅助线添加技巧仍较薄弱。教学中需注重搭建思维阶梯，通过动手测量、拼合等活动化解抽象性，激发探究兴趣。
核心素养目标 1. 经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理 2. 初步掌握添加辅助线的方法 3. 能应用三角形内角和定理.
教学重点 掌握三角形的内角和定理
教学难点 应用三角形内角和定理
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 三角形按边长关系，可分为： 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 一个‘三角形受害者’被分成了三部分——三个角。但不幸的是，我们只找到了其中两个角，分别是60° 和70°。第三个角‘潜逃’了，消失得无影无踪。” “现在，我们手头的线索非常有限。我们的任务是：不进行测量，能否利用已知的线索，精确地‘推理’出第三个逃犯——∠C 的度数？” 那么，三角形的三个角之间，到底存在着怎样不为人知的‘秘密协议’或‘关系’呢？今天，就让我们揭开这个谜底，掌握这个一旦知道两个角，就一定能求出第三个角的终极定理！” 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？ 在小学，我们曾用折叠、剪拼或用 量角器度量的方法研究过这个问题,你还记得有什么结论吗？ 三角形的内角和等于180° 折叠法 ∠1+∠2+∠3=180° 剪拼法 三个内角的和仍然是180° 归纳： 三角形的内角和等于180°. 注意：“三角形的内角和等于180°”揭示了三角形的三个内角之间的数量关系. 若已知三角形中任意两个角的度数，则可以求得第三个角的度数；若已知三个角的关系或三个角的度数之比，可以求各个角的度数. 三角形按照角的大小分类，怎样分？ 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形. 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 直角三角形的表示 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图所示. 归纳： 三角形按角的大小分类 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式 师生互动，变式深化 例 已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数. 解：因为BD⊥AC，(已知) 所以∠ADB=∠CDB=90°. 在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，(三角形的内角和等于180°) ∠ABD=54°，∠ADB=90°，(已知) ∠A=180°–∠ABD–∠ADB =180°–54°–90°=36°. 在△ABC中， ∠C=180°–∠A–(∠ABD+∠DBC) =180°–36°–(54°+18°)=72°. 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中 ，, ，则 等于( ) B. C. D. 2.如图，在 中， ， ，将其折叠使点 落在边上的点处，折痕为 ，则 ( ) A.40° B.30° C.20° D.10° 3.如图，点 D ， E 分别在△ ABC 的边 AB ， AC 上，且 DE ∥ BC ，点 F 在线段 BC 的延长线上，若∠ ADE ＝28°，∠ ACF ＝118°，则∠ A ＝ . 4.一副三角板按如图所示放置，点 A 在 DE 上，点 F 在 BC 上，若∠ EAB ＝35°，则∠ DFC ＝ . 5.如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC上，∠A +∠ADE = 180°，∠B = 78°，∠C = 60°，求∠EDC 的度数． 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.三角形的内角和等于180° 2.三角形按角分类 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.在△ ABC 中，∠ A ＝20°，∠ B ＝4∠ C ，则∠ C ＝( ) 32° B. 36° C. 40° D. 128° 2.如图，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的度数为( ) A. 65°B. 75°C. 85° D. 95° 3.如图，点 E， D 分 别 在 AB，AC 上， 若 ∠ B=35 °，∠ C=45°，则∠ 1+ ∠ 2的度数为 ________. 4.在△ ABC 中， AD 为边 BC 上的高，∠ ABC ＝30°，∠ CAD ＝20°，则∠ BAC 的度数是 . 5.在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝∠B＋40°，求△ABC的各内角度数.
教学反思 本节课应强化学生自主探究，鼓励多样化的证明方法，在操作中渗透转化与归纳思想。需关注学生思维盲点，及时点拨引导，同时联系生活实例增强应用意识，提升逻辑推理与解决实际问题的能力。
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第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.1.2三角形中角的关系
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理
01
初步掌握添加辅助线的方法
02
能应用三角形内角和定理
03
02
复习旧知
三角形按边长关系，可分为：
等腰三角形（等边三角形是它的特例)
不等边三角形
三角形
02
创设情境
一个‘三角形受害者’被分成了三部分——三个角。但不幸的是，我们只找到了其中两个角，分别是60° 和70°。第三个角‘潜逃’了，消失得无影无踪。”
“现在，我们手头的线索非常有限。我们的任务是：不进行测量，能否利用已知的线索，精确地‘推理’出第三个逃犯——∠C 的度数？”
那么，三角形的三个角之间，到底存在着怎样不为人知的‘秘密协议’或‘关系’呢？今天，就让我们揭开这个谜底，掌握这个一旦知道两个角，就一定能求出第三个角的终极定理！”
神秘的案子
A
B
C
60°
70°
03
新知探究
在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？
在小学，我们曾用折叠、剪拼或用 量角器度量的方法研究过这个问题,你还记得有什么结论吗？
三角形的内角和等于180°
03
新知探究
折叠法
3
1
3
1
2
∠1+∠2+∠3=180°
剪拼法
三个内角的和仍然是180°
03
新知探究
同一个三角形中三个内角的关系
三角形的内角和等于180°.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
∠A+∠B+∠C=180°
任意三角形
归纳
03
新知探究
“三角形的内角和等于180°”揭示了三角形的三个内角之间的数量关系. 若已知三角形中任意两个角的度数，则可以求得第三个角的度数；若已知三个角的关系或三个角的度数之比，可以求各个角的度数.
03
新知探究
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
三角形按照角的大小分类，怎样分？
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.
斜
三
角
形
03
新知探究
直角三角形的表示
直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图所示.
03
新知探究
归纳
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形按角的大小分类
03
新知探究
例 已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数.
B
A
C
D
解：因为BD⊥AC，(已知)
所以∠ADB=∠CDB=90°.
在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，(三角形的内角和等于180°)
∠ABD=54°，∠ADB=90°，(已知)
∠A=180°–∠ABD–∠ADB
=180°–54°–90°=36°.
03
新知探究
B
A
C
D
在△ABC中，
∠C=180°–∠A–(∠ABD+∠DBC)
=180°–36°–(54°+18°)=72°.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中 ，
, ，则 等于( )
B. C. D.
2.如图，在 中， ， ，将其折叠使点
落在边上的点处，折痕为 ，则 ( )
A.40° B.30° C.20° D.10°
B
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，点 D ， E 分别在△ ABC 的边 AB ， AC 上，且 DE ∥ BC ，点 F 在线段 BC 的延长线上，若∠ ADE ＝28°，∠ ACF ＝118°，则∠ A ＝ .
4.一副三角板按如图所示放置，点 A 在 DE 上，点 F 在 BC 上，若∠ EAB ＝35°，则∠ DFC ＝ .
90°
100°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC上，∠A +∠ADE = 180°，∠B = 78°，∠C = 60°，求∠EDC 的度数．
解：因为∠A +∠ADE = 180°，
所以 AB∥DE. 所以∠CED =∠B = 78°．
又因为∠C = 60°，
所以∠EDC = 180° - (∠CED + ∠C)
= 180° - (78° + 60°)
= 42°．
05
课堂小结
三角形中角的关系
三角形按角分类
直角三角形
斜三角形
三角形的内角和等于180°
锐角三角形
钝角三角形
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.在△ ABC 中，∠ A ＝20°，∠ B ＝4∠ C ，则∠ C ＝( A )
32° B. 36° C. 40° D. 128°
2.如图，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的度数为( B )
A. 65°B. 75°C. 85° D. 95°
A
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，点 E， D 分 别 在 AB，AC 上， 若 ∠ B=35 °，∠ C=45°，则∠ 1+ ∠ 2的度数为 ________.
4.在△ ABC 中， AD 为边 BC 上的高，∠ ABC ＝30°，∠ CAD ＝20°，则∠ BAC 的度数是 .
80°
80°或40°
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.在△ABC中，∠B＝3∠A，∠C＝∠B＋40°，求△ABC的各内角度数.
解：因为∠B＝3∠A，∠C＝∠B＋40°，
所以∠C＝3∠A＋40°.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠A＋3∠A＋3∠A＋40°＝180°，
解得∠A＝20°，所以∠B＝60°，∠C＝100°.
Thanks!
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