单元素养测评卷(一)
1.D [解析] 因为a-2b+c=0,3a+b-2c=0,所以c=a,b=a,所以a∶b∶c=3∶5∶7,所以sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7.故选D.
2.A [解析] 由正弦定理得=,则sin C===,因为c
3.A [解析] 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,即4=AB2+2-2AB,解得AB=+1或AB=-+1(舍去),所以S△ABC=AB·AC·sin A=×(+1)××=. 故选A.
4.C [解析] 由余弦定理得cos B=,所以1-=,即a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,所以a=c,所以△ABC为等腰三角形. 故选C.
5.A [解析] 由(sin B+sin C)2=sin2A+(2-)sin Bsin C及正弦定理得(b+c)2=a2+(2-)bc,整理得b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cos A===-,又A∈(0,π),所以A=,所以sin-2sin B=0,解得sin B=,又B∈,所以B=.故选A.
6.D [解析] 对于A,若A=,B=,则tan A<0A>B>0,所以cos A7.B [解析] 由=sin C+cos C及正弦定理可得sin A+2sin C=sin Bsin C+sin Bcos C,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以cos Bsin C+2sin C=sin Bsin C,因为sin C≠0,所以sin B-cos B=2,即2sin=2,又B∈(0,π),所以B-=,所以B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+ac=(a+c)2-ac≥(a+c)2-=(a+c)2,即a+c≤,当且仅当a=c时,等号成立,所以≤=.故选B.
8.A [解析] 因为=,所以由正弦定理得=,所以tan C=,又C∈(0,π),所以C=.因为===,所以a=sin A,b=sin B,所以a+b=(sin A+sin B)===4=4sin.因为09.BD [解析] 对于A,a=,b=2,B=120°,△ABC是钝角三角形,只有一个解;对于B,a=2,b=,B=45°,由正弦定理知=,解得sin A=,又a>b,且A∈(0°,180°),所以A有两个值,三角形有两个解;对于C,b=3,c=,B=60°,由正弦定理知=,解得sin C=,因为b>c,所以B>C,所以C=30°,三角形只有一个解;对于D,a=2,b=,B=60°,由正弦定理知=,解得sin A=,又b60°,所以A有两个值,三角形有两个解.故选BD.
10.AD [解析] 如图,设B舰艇经过x小时后在M处与A舰艇汇合,则MQ=50x,MP=70x,∠PQM=120°.由余弦定理得(70x)2=302+(50x)2-3000xcos 120°,解得x=1或x=-(舍去),所以MQ=50(海里),MP=70(海里),由正弦定理得=,则sin θ==.故选AD.
11.ABD [解析] 对于A,连接BD,在△ABD与△CBD中,由余弦定理得AD2+AB2-2AD·AB·cos A=BD2=CD2+CB2-2CD·CB·cos C,因为cos C=-cos A,所以42+22-2×4×2cos A=42+62+2×4×6cos A,解得cos A=-,又012. [解析] 因为013. [解析] 由正弦定理及sin A+sin B=2sin C,得a+b=2c.又△ABC的周长为15,所以a+b+c=3c=15,所以c=5.由△ABC的面积为sin C,得sin C=absin C,所以ab=21,由余弦定理可得cos C====.
14. (,2) [解析] 因为(sin A+sin C)2=sin2B+sin Asin C,所以sin2A+sin2C-sin2B=-sin Asin C,由正弦定理得a2+c2-b2=-ac,由余弦定理得cos B===-,又B∈(0,π),所以B=.由正弦定理得2R===4(R为△ABC的外接圆的半径),由正弦定理得a=2Rsin A=4sin A,c=2Rsin C=4sin C,所以a+c=4sin A+2sin C=4sin A+2sin=3sin A+cos A=2sin,因为A∈,所以A+∈,所以sin∈,所以a+c∈(,2).
15.解:(1)在△ABC中,由余弦定理得cos B=,
代入c(acos B-bsin A)=a2-b2,
得c=a2-b2,
即a2+c2-b2-2bcsin A=2a2-2b2,
整理得sin A=,
由余弦定理得cos A=,所以sin A=cos A,
又A∈(0,π),所以A=.
(2)因为△ABC的面积为2,
所以bcsin A=2,即bc=4,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以b2+c2=12,
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=12+8,
所以b+c=2+2.
16.解:(1)由asin B=bsin,
得asin B=b,
由正弦定理可得sin Asin B=sin B,
即sin Asin B=cos Asin B,
因为sin B≠0,所以sin A=cos A,所以tan A=,
又0(2)因为S△ABC=bcsin A=,所以bc=6.
因为AD为角平分线,S△BAC=S△BAD+S△DAC,
所以bcsin=×csin+×bsin,即bc=b+c=6,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc=18,所以a=3.
17.解:(1)由2a-c=2bcos C及正弦定理得2sin A-sin C=2sin Bcos C,
则2sin(B+C)-sin C=2sin Bcos C,
即2cos Bsin C-sin C=0,
∵C∈,∴sin C≠0,∴cos B=,
又B∈,∴B=.
(2)由正弦定理得====4,
则3a+2c=12sin A+8sin C=4(3sin A+2sin C)=4=4(4sin A+cos A)=4sin(A+φ),其中sin φ=,cos φ=,φ∈.
∵△ABC是锐角三角形,∴∴+φ显然<,当A+φ=时,3a+2c=4,
∴3a+2c∈(14,4].
18.解:(1)若选①③:在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A,即7=AC2+27-9AC,
整理得AC2-9AC+20=0,解得AC=4或AC=5,
又AC>CE=4,所以AC=5,所以△ABC存在且唯一,
由正弦定理得sin C===.
若选②③:在△ABC中,sin B==,
由正弦定理得AC===5,sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+cos Bsin A=×+×=,
由正弦定理得AB===3,
所以△ABC存在且唯一,所以sin C=.
若选①②:在△ABC中,由余弦定理可得AC=
==5,
则cos A==,
故A=,符合题意,所以△ABC存在且唯一.
由D,E分别是边AB,AC上的点(不与端点重合),知点D位置不确定,保证DE=的点E不能确定,
所以△ADE不能确定,即不符合题意.
(2)由(1)知,sin C=,AC=5,AB=3,在△ABE中,AE=1,
由余弦定理可得BE==
=.
(3)S△ABC=AB·AC·sin A=×3×5×=.
在△ADE中,由余弦定理得DE2=AE2+AD2-2AE·AD·cos A,
即7=1+AD2-AD,整理得AD2-AD-6=0,可得AD=2,
所以S△ADE=AE·AD·sin A=,
所以四边形BCED的面积S=S△ABC-S△ADE=.
19.解:(1)设PH=x,AB=a,
由α=45°,β=45°,γ=37°,得HA=HB=x,HC=x,
因为B1到C1耗时为原来的2倍,所以BC=2a.
在△HBA中,cos∠HBA=,
在△HBC中,由余弦定理得cos∠HBC=,
由cos∠HBA+cos∠HBC=0,得+=0,可得x=a.
因为a=28×5=140(m),所以x=×140=×140=387(m),
所以PH1=387+1=388(m).
(2)①在△PAB中,∠PAB=α-β,∠APB=γ-α,∠ABP=π-γ+β,
由正弦定理得=,则AP=,
在直角三角形PAH中,PH=APsin α=.
②PH====280(m).单元素养测评卷(一)
第九章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·石家庄十一中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-2b+c=0,3a+b-2c=0,则sin A∶sin B∶sin C= ( )
A.2∶3∶4 B.3∶4∶5
C.4∶5∶8 D.3∶5∶7
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=,c=2,sin B=,则C= ( )
A. B. C. D.
3.[2024·江苏常州高一期末] 在△ABC中,若BC=2,AC=,A=45°,则△ABC的面积为 ( )
A. B.
C.+1 D.或
4.[2024·广西柳州三中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos B=1-,则△ABC的形状是 ( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
5.[2024·广州一一三中学高一期末] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(sin B+sin C)2=sin2A+(2-)sin Bsin C,sin A-2sin B=0,则B= ( )
A. B. C. D.
6.[2024·长春十一中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是( )
A.若A>B,则tan A>tan B
B.若A>B,则cos A>cos B
C.若acos A=bcos B,则A=B
D.若==,则a=b=c
7.[2024·浙江宁波高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=sin C+cos C,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,=,则a+b的取值范围为( )
A.(2,4] B.(2,2] C.[,4] D.[2,4]
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )
A.a=,b=2,B=120°
B.a=2,b=,B=45°
C.b=3,c=,B=60°
D.a=2,b=,B=60°
10.[2024·郑州高一期中] 如图,在一次海上训练中,雷达兵在P处发现在北偏东50°的方向,相距30海里的水面Q处,有一艘A舰艇发出液货补给需求,它正以每小时50海里的速度沿南偏东70°的方向前进,这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70海里的速度,沿北偏东50°+θ的方向与A舰艇对接并进行液货补给.若B舰艇要在最短的时间内实现液货补给,则 ( )
A.B舰艇所需的时间为1小时
B.B舰艇所需的时间为2小时
C.sin θ=
D.sin θ=
11.[2024·长春十一中高一月考] 在☉O的内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,下列说法正确的是 ( )
A.A=
B.四边形ABCD的面积为8
C.该外接圆的直径为
D.该外接圆的直径为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[2024·江苏南通高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=2,cos C=,则sin A= .
13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin A+sin B=2sin C,△ABC的周长为15,△ABC的面积为sin C,则cos C= .
14.[2024·济南高一期末] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sin A+sin C)2=sin2B+sin Asin C,则B= ;若b=2,则a+c的取值范围是 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,且c(acos B-bsin A)=a2-b2.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,△ABC的面积为2,求b+c的值.
16.(15分)[2024·重庆巴蜀中学高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin B=bsin.
(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积为,角A的平分线与BC交于点D,且AD=,求a的值.
17.(15分)[2024·浙江余姚中学高一月考] 在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,2a-c=2bcos C.
(1)求角B的大小;
(2)求3a+2c的取值范围.
18.(17分)[2024·北京一六六中学高一月考] 如图所示,在△ABC中,A=,BC=,D,E分别是边AB,AC上的点(不与端点重合),且DE=.在条件①AB=3;②cos B=;③CE=4中选择两个使得三角形存在且解唯一.
(1)求sin C的值;
(2)求BE的长度;
(3)求四边形BCED的面积.
19.(17分)[2024·郑州外国语学校高一月考] 郑州市中原福塔的塔座为鼎,寓意为鼎立中原,从上空俯瞰如一朵盛开的梅花,寓意为花开五福,福泽中原,它是美学与建筑的完美融合.绿地中心千玺广场“大玉米”号称中原第一高楼,璀璨繁华的外表下包含浓郁的易学设计理念,流露出馥郁的古香.这两座塔都彰显了中华文化丰富的内涵与深厚的底蕴.小米同学积极开展数学研究性学习,用以下方法测量两座塔的高度.
(1)如图①,为测量中原福塔的高度,小米选择视野开阔的航海东路上一条水平基线A1C1,使A1,B1,C1共线,在A1,B1,C1三点用测角仪测得P的仰角分别为α=45°,β=45°,γ=37°,其中测角仪的高度为1米,为了测量距离,小米骑共享单车,速度为5 m/s,从A1到B1耗时28 s,从B1到C1耗时为原来的2倍,求塔高PH1.(取=6.45,tan 37°=0.75)
①
(2)如图②为测量千玺广场“大玉米”的高度,小米选择一条水平基线AH,使A,C,H三点共线,在A,B两点用测角仪测得P的仰角分别为α,γ,在A处测得B的仰角为β,测角仪高度忽略不计.小米使用智能手机运动测距功能,测得距离AB=λ.
②
①试用α,β,γ,λ表示塔高PH;
②若α=36.7°,β=12.7°,γ=53.3°,λ=205 m,求千玺广场“大玉米”的实际高度.
