滚动习题(一)
1.D [解析] 因为A=,B=,所以C=π-A-B=,由正弦定理得=,即=,解得b=+.故选D.
2.D [解析] 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=81+12-2×9×2×=147,可得c=7.故选D.
3.A [解析] 由余弦定理得cos A===-,可得c=2,所以b=3,所以S△ABC=bcsin A=×2×3×=.故选A.
4.D [解析] 由cos A-cos B+=0,得a-ccos B=b-ccos A,由余弦定理得a-c×=b-c×,化简得=.当a2+b2-c2=0时,a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形;当a2+b2-c2≠0时,a=b,则△ABC为等腰三角形.综上,△ABC为等腰或直角三角形,故选D.
5.C [解析] 因为ccos B=b(a-cos C),所以由正弦定理可得sin Ccos B=asin B-sin Bcos C,可得sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A=asin B,由正弦定理可得a=ab,可得b=.因为△ABC的面积S=ccos A,所以ccos A=bcsin A=××c×sin A,可得tan A=,又A∈(0,π),所以A=.故选C.
6.A [解析] 方法一:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即()2=(2)2+c2-2×2ccos A,即c2-4ccos A+2=0,所以解得cos A>,又A∈(0,π),所以0
方法二:由正弦定理得=,则sin B===,因为0<<1,所以07.BCD [解析] 设纪念碑的底端为C,顶端为D.对于A,若A,B两点与纪念碑底端C不在一条直线上,则不能计算出纪念碑的高度,故A不正确.对于B,如图①,在直角三角形ADC和直角三角形BDC中,用CD来表示AC,BC,在△ABC中用余弦定理就可以计算出纪念碑的高度,故B正确.对于C,如图②,在△ABD中,由正弦定理求得AD,则纪念碑的高度CD=h+ADsin α,故C正确.对于D,如图③,在△ABD中,由正弦定理求得AD,则纪念碑的高度CD=ADsin α,故D正确.故选BCD.
8.AC [解析] ∵b=3,c=3,B=30°,∴由正弦定理=得sin C=,∴C=60°或C=120°.当C=60°时,A=90°,此时△ABC为直角三角形,如图①所示.又b=3,AD=c=,∴CD==.当C=120°时,A=30°,此时△ABC为等腰三角形,如图②所示.又b=3,AD=c=,∴CD==.故选AC.
9.4 [解析] 因为b=,c=,B=,所以由余弦定理可得()2=a2+()2-2×a××,整理得a2-3a-4=0,可得a=4.
10.30°或150° [解析] 由题意可得S△ABC=bcsin A=×1××sin A=,解得sin A=,因为0°11. [解析] 由=及正弦定理,得=,即2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,即2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin A,又sin A≠0,所以cos B=,所以B=,所以A∈,所以A+∈,所以f(A)∈.
12.解:(1)证明:∵b=2acos C,∴由正弦定理得sin B=2sin Acos C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,化简得sin(A-C)=0,故A=C,∴△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)得a=c=2,∵7cos C=2cos B,
∴由余弦定理得7×=2×,
即b2+7b-8=0,可得b=1,
∴S△ABC=×1×=.
13.解:(1)由bsin B-asin A=(b-c)sin C及正弦定理得b2-a2=(b-c)c,整理可得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理得cos A==,又A∈(0,π),所以A=.
(2)由正弦定理得====,所以b=sin B,c=sin C.
记△ABC的周长为l,则l=a+b+c=4+sin B+sin C,
由A+B+C=π,A=,得B=-C,
所以l=4+=4+8=4+8sin,
因为C∈,所以C+∈,
所以sin∈,所以l∈(8,12].
14.解:(1)由题易知AB=12,OA=6,当S△AOM=S△MON=S△BON时,AM=MN=NB==4.
在△AOM中,OA=6,∠OAM=30°,AM=4,
∴OM2=AO2+AM2-2×AO×AM×cos∠OAM=+42-2×6×4×=52,∴OM=2.
在△BON中,OB=6,∠OBN=60°,BN=4,
∴ON2=BO2+BN2-2×BO×BN×cos∠OBN=62+42-2×6×4×=28,∴ON=2.
∴绿地区域△MON的周长为OM+ON+MN=(2+2+4) m.
(2)在△AOM中,由=,得OM==,在△BON中,由=,得ON==,
∴S△MON=OM·ON·sin∠MON=···=·=
·=·=
· =·=
·=·=
27·=,
∵0°≤θ≤60°,∴0°≤2θ≤120°,∴当2θ=90°,即θ=45°时,sin 2θ取得最大值1,
此时△MON的面积取得最小值=(54-27)m2.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.[2024·浙江精诚联盟高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,c=3+,则b= ( )
A. B.-
C. D.+
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=9,b=2,C=150°,则c= ( )
A. B.8
C.10 D.7
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=120°,a=,b-c=1,则△ABC的面积为 ( )
A. B. C. D.
4.[2024·合肥中国科学技术大学附中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos A-cos B+=0,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
5.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ccos B=b(a-cos C),且△ABC的面积S=ccos A,则A= ( )
A. B. C. D.
6.[2024·湖南衡阳高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=,b=2,若满足条件的三角形有且只有两个,则A的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.∪
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2023·安徽芜湖一中高一期中] 人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心,是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑,正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字.某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑,并用学到的数学知识测量其高度.现准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度)(工具不一定都要使用).不同小组设计了如下不同的测量方案,其中一定能计算出纪念碑高度的方案有 ( )
A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量纪念碑顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间的距离
B.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量纪念碑顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间的距离和两点相对于纪念碑底部的张角θ
C.在纪念碑正东方向找到一座建筑物AB(低于纪念碑),测得建筑物AB的高度为h,在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角α和β
D.在纪念碑的正前方A处测得纪念碑顶端的仰角α,正对纪念碑前行5米到达B处,再次测得纪念碑顶端的仰角β
8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,c=3,B=30°,则AB边上的中线长可能为 ( )
A. B. C. D.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=,c=,B=,则a= .
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,c=,S△ABC=,则A= .
11.已知函数f(x)=sin.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足=,则f(A)的取值范围是 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2acos C.
(1)证明:△ABC为等腰三角形;
(2)若c=2,7cos C=2cos B,求△ABC的面积.
13.(15分)[2024·西安高一期末] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin B-asin A=(b-c)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,求△ABC的周长的取值范围.
14.(15分)[2023·河南豫北名校高一期中] 为了美化城市空间,拓展市民公共活动场所,某市拟把一块直角三角形AOB空地修建成一个“口袋公园”(指规模很小的城市户外空间).如图,已知△MON区域是一块绿地,其余区域为休闲区,M,N在AB上,∠AOB=90°,∠OAB=30°,OB=6 m.
(1)当△AOM,△MON,△BON三个区域的面积相等时,求绿地区域△MON的周长.
(2)若∠MON=30°,为使休闲区尽量大,设∠AOM=θ,问θ为何值时,绿地区域△MON的面积最小 最小面积是多少