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10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
探究点一 复数的概念
探究点二 复数的分类应用
探究点三 复数相等及其应用
【学习目标】
1.理解复数的代数形式、实部、虚部等基本概念;
2.了解复数的分类及实数、虚数、纯虚数对实部、虚部的要求;
3.掌握复数相等的概念，应用复数相等的充要条件解决问题．
知识点一 复数的有关概念
1.虚数单位
一般地，为了使得方程有解，人们规定的平方等于 ,即
____,并称为__________.实数与的和记作______,且实数0与 的和
为__;实数与的积记作___,且实数0与的积为___,实数1与 的积为__.
虚数单位
0
2.复数
（1）定义：一般地，当与 都是实数时,称_______为复数.
（2）表示方法：复数一般用小写字母 表示,即___________________，
其中称为的______,称为 的______，分别记作____________
___________.
实部
虚部
,
3.复数集
（1）定义：__________组成的集合称为复数集.
（2）表示方法：复数集通常用大写字母___表示，因此 ________
_____________.
所有复数
C
,,
4.复数的分类
（1）复数 可以分类如下：
（2）如图所示,用图示法表示了复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之
间的关系.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若,为实数,则 为虚数.( )
×
[解析] 当时, 为实数.
（2）若,则 为纯虚数.( )
×
[解析] 当且时,为纯虚数;当时,
为实数.
（3）对于复数，若，则是实数；若 ，
则 是纯虚数.( )
×
[解析] 纯虚数的实部为零，虚部不为零.
（4）实数集与复数集的交集是实数集．( )
√
[解析] 因为实数集是复数集的一个真子集，所以实数集与复数集的
交集是实数集.
2.用 或 填空：_______________ .
[解析] 根据各数集的含义可知, .
3.复数的实部、虚部一定分别是, 吗
解：不一定.只有当,时,,才分别是复数 的实部、虚部.
知识点二 两个复数相等
两个复数与 ,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相
等,记作________.
这就是说，如果,,,都是实数，那么 _______
________.
特别地，当,都是实数时， 的充要条件是_____________.
且
且
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）如果两个复数的实部的差和虚部的差都为零,则这两个复数相等.
( )
√
[解析] 由题知这两个复数的实部和虚部分别相等,故这两个复数相等.
（2）任何两个复数都不能比较大小.( )
×
[解析] 当这两个复数中至少有一个是虚数时,不能比较大小.
（3）的充要条件为 .( )
×
[解析] 由于，且，不一定是实数，
若取 ，，则 .
探究点一 复数的概念
［探索］ 复数的虚部是虚数吗
解：不是,的虚部是实数.特别注意,虚部是实数 ,
不是 .
例1（1） 给出下列三个说法：
①若,则 ;
②的虚部是 ;
③ 的实部是0.
其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 对于①,当时,成立,否则不成立,
例如 ,,所以①中说法错误;
对于②, ,其虚部为2,不是,所以②中说法错误;
对于③, ,其实部是0,所以③中说法正确.故选B.
（2）写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数.
4,,,, .
解：4,,,,的实部分别是4,2,,5,0;
4, , ,,的虚部分别是0,,,,
是实数;, , , 是虚数.
变式（1） 已知复数的实部与复数 的
虚部相等，则 ( )
A. B.3 C. D.1
[解析] 复数的实部为1，复数 的虚部
为，则，解得 故选C.
√
（2）已知复数 的实部和虚部分别是2和3，
则, 的值分别是( )
A.,1 B.,5 C.,5 D. ,1
[解析] 因为复数 的实部和虚部分别是2和3，
所以,,所以, .故选C.
√
［素养小结］
（1）在复数的代数形式中，只有当，时，才是
的实部，才是的虚部，且注意虚部不是，而是 .
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是
复数的两大构成部分.
探究点二 复数的分类应用
［探索］ 对于复数,当时, 是什么数 当
且时, 是什么数
解：当时，是实数;当且时， 是纯虚数.
例2 已知复数，当实数 为何值时，
（1） 是实数？
解：当即时，复数 是实数.
（2） 是虚数？
解：当且，即且时，复数 是虚数.
（3） 是纯虚数？
解：当即时，复数 是纯虚数.
变式 已知复数,且, 为虚数
单位，当 为何值时：
（1）复数 是实数；
解：当为实数时，解得或 ，
所以当或时，复数 是实数.
（2）复数 是虚数；
解：当为虚数时，解得且且 ，
所以当且且时，复数 是虚数.
（3）复数 是纯虚数.
解：当为纯虚数时，解得 ，
所以当时，复数 是纯虚数.
［素养小结］
求解复数的分类问题的关键：
（1）要判定一个复数是什么类型的数,首先要分清复数的实部和虚部
及它们对复数分类的影响,然后结合定义求解.
（2）依据复数的类型求参数时要先确定参数的取值使代数式有意义,
再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数
为纯虚数的充要条件是且 .
探究点三 复数相等及其应用
［探索］ 两个复数相等的充要条件是什么
解：若,,,,则复数与相等的充要条件是 且
.
例3（1） 给出下列说法：
①若，则 ；
②的充要条件是 ；
③若，且，则 .
其中正确说法的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] ①②中未明确，，，是否为实数，从而， 不一定为复
数的实部，， 不一定是复数的虚部，故①②错误；
在③中，，， 均是实数，
根据复数相等的充要条件得解得 ，故③正确.故选B.
（2）已知，， ，求
， 的值.
解：因为，，所以， 是实数，
由复数相等的充要条件得解得
变式（1） [2024·重庆南华中学高一月考]已知 ，其
中，，是虚数单位，则 ( )
A.0 B.2 C.5 D.1
[解析] 由，,，得解得
所以 ．故选D.
√
（2）已知,求实数 的值.
解：因为,,所以由 可得
消去,得 .
［素养小结］
已知两个复数相等,可根据复数相等的充要条件将其转化为方程（组）
来求解,体现了化归与转化的思想.当两个复数相等时,应先分清两个复
数的实部与虚部,然后让实部与实部相等,虚部与虚部相等.
拓展 已知复数 ,
,若,则 的取值范围是
______.
[解析] , .
又,,故 的取值范围为 .
1.如果，， 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，那么( )
A. B. C. D.
[解析] 由维恩图可知 .
√
2.若，，，则复数 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，
则由题意得， ,，
根据复数相等的充要条件得，，故 .
√
3.已知，，则“”是“ 为纯虚数”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若，则 不是纯虚数，故充分性不成立；
若是纯虚数，则 故必要性成立.
所以“”是“ 为纯虚数”的必要不充分条件.
√
4.若，其中， 为实数，
则 ___.
6
[解析] ，, ，
解得 .
5.已知,则实数 的值为___.
2
[解析] 由题意得解得 .
1.数系逐步扩充的过程
数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，例如，
计数的需要 自然数（正整数和零） 负数
分数（分数集 有理数集 循环小数集）
无理数（无理数集 无限不循环小数集）
复数.
2.自然数、整数、有理数、实数和复数集,用图形表示包含关系如下：
3.虚数单位 是数学家想象出来的,由此可以得到复数集.实数恰可以看
成是特殊的复数（虚部为零）,另外,由复数相等的意义可以知道复数
由实部和虚部唯一确定.
4.注意分清复数分类中的条件：设复数 ，则
为实数；为虚数；为纯虚数 ，
；且 .
5.复数相等的定义是求复数值和在复数集中解方程的重要依据，一般
地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，如 与
不能比较大小.若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数.
利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为
应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
1.复数与充要条件
在判断与复数有关的命题时，可以采用举反例的方式，将复数化为
的形式，然后按照“先特殊后一般，先否定后肯定”的方法判断.
例1 “”是“复数 为纯虚数”的( )
B
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 复数为纯虚数且,
“ ”是“复数 为纯虚数”的必要不充分条件,
故选B.
2.复数相等
（1）等号两侧都写成复数的代数形式．
（2）根据两个复数相等的充要条件列出方程（组）．
（3）解方程（组）.
例2 已知集合,， ，
讨论实数 取何值时：
（1） ；
解：因为, ，
所以, ,
因为,,,2,，
所以 , .
所以，所以 恒成立，
即无论实数取何值， 恒成立.
故 .
（2） ．
解：因为，所以 .
因为,，,2, ，
所以 或
.
当时，有
解得 ；
当时，有
解得 .
综上所述或 .10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
【课前预习】
知识点一
1.-1 虚数单位 a+i i bi 0 i
2.(1)a+bi (2)z=a+bi(a,b∈R) 实部 虚部
Re(z)=a,Im(z)=b
3.(1)所有复数 (2)C {z|z=a+bi,a,b∈R}
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)当b=0时,z=a+bi为实数.
(2)当a=0且b≠0时,z=a+bi为纯虚数;当b=0时,z=a+bi为实数.
(3)纯虚数的实部为零,虚部不为零.
(4)因为实数集是复数集的一个真子集,所以实数集与复数集的交集是实数集.
2. [解析] 根据各数集的含义可知,N* N Z Q R C.
3.解:不一定.只有当m,n∈R时,m,n才分别是复数m+ni的实部、虚部.
知识点二
z1=z2 a=c且b=d a=0且b=0
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)由题知这两个复数的实部和虚部分别相等,故这两个复数相等.
(2)当这两个复数中至少有一个是虚数时,不能比较大小.
(3)由于x+yi=1+i,且x,y不一定是实数,若取x=i,y=-i,则x+yi=1+i.
【课中探究】
探究点一
探索 解:不是,z=a+bi(a,b∈R)的虚部是实数.特别注意,虚部是实数b,不是bi.
例1 (1)B [解析] 对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不成立,例如z=i,z2=-1<0,所以①中说法错误;对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以②中说法错误;对于③,2i=0+2i,其实部是0,所以③中说法正确.故选B.
(2)解:4,2-3i,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,-,5,0;4,2-3i,-+i,5+i,6i的虚部分别是0,-3,,,6.4是实数;2-3i,-+i,5+i,6i是虚数.
变式 (1)C (2)C [解析] (1)复数z1=1+3i的实部为1,复数z2=-1-ai(a∈R)的虚部为-a,则-a=1,解得a=-1.故选C.
(2)因为复数z=a2-(2-b)i(a,b∈R)的实部和虚部分别是2和3,所以a2=2,-(2-b)=3,所以a=±,b=5.故选C.
探究点二
探索 解:当b=0时,z是实数;当a=0且b≠0时,z是纯虚数.
例2 解:(1)当即m=2时,复数z是实数.
(2)当m2-2m≠0且m≠0,即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.
(3)当即m=-3时,复数z是纯虚数.
变式 解:(1)当z为实数时,解得m=3或m=-1,
所以当m=3或m=-1时,复数z是实数.
(2)当z为虚数时,解得m≠3且m≠-1且m≠0,
所以当m≠3且m≠-1且m≠0时,复数z是虚数.
(3)当z为纯虚数时,解得m=1,
所以当m=1时,复数z是纯虚数.
探究点三
探索 解:若a,b,c,d∈R,则复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.
例3 (1)B [解析] ①②中未明确a,b,x,y是否为实数,从而a,x不一定为复数的实部,b,y不一定是复数的虚部,故①②错误;在③中,∵y∈R,∴y2-1,-(y-1)均是实数,根据复数相等的充要条件得解得y=1,故③正确.故选B.
(2)解:因为x,y∈R,所以x+2y-1,x-3y+4是实数,由复数相等的充要条件得解得
变式 (1)D [解析] 由(a-2)i=b-i,a,b∈R,得解得所以a2+b2=1.故选D.
(2)解:因为a,m∈R,所以由a2+am+2+(2a+m)i=0可得消去m,得a=±.
拓展 [3,5] [解析] ∵z1=z2,∴∴λ=4-cos θ.又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5,故λ的取值范围为[3,5].
【课堂评价】
1.D [解析] 由维恩图可知R∩I= .
2.B [解析] 由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意得1+xi=y+2i,x,y∈R,根据复数相等的充要条件得x=2,y=1,故x+yi=2+i.
3.C [解析] 若a=b=0,则(a-b)+(a+b)i不是纯虚数,故充分性不成立;若(a-b)+(a+b)i是纯虚数,则故必要性成立.所以“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的必要不充分条件.
4.6 [解析] ∵(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,x,y∈R,∴解得∴2x+y=6.
5.2 [解析] 由题意得解得m=2.10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
【学习目标】
1.理解复数的代数形式、实部、虚部等基本概念;
2.了解复数的分类及实数、虚数、纯虚数对实部、虚部的要求;
3.掌握复数相等的概念,应用复数相等的充要条件解决问题.
◆ 知识点一 复数的有关概念
1.虚数单位
一般地,为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即i2= ,并称i为 .实数a与i的和记作 ,且实数0与i的和为 ;实数b与i的积记作 ,且实数0与i的积为 ,实数1与i的积为 .
2.复数
(1)定义:一般地,当a与b都是实数时,称 为复数.
(2)表示方法:复数一般用小写字母z表示,即 ,其中a称为z的 ,b称为z的 ,分别记作 .
3.复数集
(1)定义: 组成的集合称为复数集.
(2)表示方法:复数集通常用大写字母 表示,因此C= .
4.复数的分类
(1)复数a+bi(a,b∈R)可以分类如下:
复数
(2)如图所示,用图示法表示了复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. ( )
(2)若ab=0,则z=a+bi为纯虚数. ( )
(3)对于复数z=a+bi(a,b∈R),若b=0,则z是实数;若b≠0,则z是纯虚数. ( )
(4)实数集与复数集的交集是实数集. ( )
2.用 或 填空:N* N Z Q R C.
3.复数m+ni的实部、虚部一定分别是m,n吗
◆ 知识点二 两个复数相等
两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作 .
这就是说,如果a, b, c, d都是实数,那么a+bi=c+di .
特别地,当a, b都是实数时,a+bi=0的充要条件是 .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为零,则这两个复数相等. ( )
(2)任何两个复数都不能比较大小. ( )
(3)x+yi=1+i的充要条件为x=y=1. ( )
◆ 探究点一 复数的概念
[探索] 复数的虚部是虚数吗
例1 (1)给出下列三个说法:
①若z∈C,则z2≥0;
②2i-1的虚部是2i;
③2i的实部是0.
其中正确说法的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数.
4,2-3i,-+i,5+i,6i.
变式 (1)已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai(a∈R)的虚部相等,则a= ( )
A.-3 B.3
C.-1 D.1
(2)已知复数z=a2-(2-b)i(a,b∈R)的实部和虚部分别是2和3,则a,b的值分别是 ( )
A.,1 B.,5
C.±,5 D.±,1
[素养小结]
(1)在复数的代数形式z=a+bi中,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
◆ 探究点二 复数的分类应用
[探索] 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当b=0时,z是什么数 当a=0且b≠0时,z是什么数
例2 已知复数z=+(m2-2m)i,当实数m为何值时,(1)z是实数 (2)z是虚数 (3)z是纯虚数
变式 已知复数z=+(m2-2m-3)i,m∈R且m≠0,i为虚数单位,当m为何值时:
(1)复数z是实数;
(2)复数z是虚数;
(3)复数z是纯虚数.
[素养小结]
求解复数的分类问题的关键:
(1)要判定一个复数是什么类型的数,首先要分清复数的实部和虚部及它们对复数分类的影响,然后结合定义求解.
(2)依据复数的类型求参数时要先确定参数的取值使代数式有意义,再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.
◆ 探究点三 复数相等及其应用
[探索] 两个复数相等的充要条件是什么
例3 (1)给出下列说法:
①若a+bi=0,则a=b=0;
②x+yi=2+2i的充要条件是x=y=2;
③若y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,则y=1.
其中正确说法的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)已知x,y∈R,(x+2y-1)+(x-3y+4)i=10-5i,求x,y的值.
变式 (1)[2024·重庆南华中学高一月考] 已知(a-2)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则a2+b2= ( )
A.0 B.2
C.5 D.1
(2)已知a2+am+2+(2a+m)i=0(a,m∈R),求实数a的值.
[素养小结]
已知两个复数相等,可根据复数相等的充要条件将其转化为方程(组)来求解,体现了化归与转化的思想.当两个复数相等时,应先分清两个复数的实部与虚部,然后让实部与实部相等,虚部与虚部相等.
拓展 已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ,θ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是 .
1.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,那么 ( )
A.C=R∪I B.R∪I={0}
C.R=C∩I D.R∩I=
2.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi= ( )
A.-2+i B.2+i
C.1-2i D.1+2i
3.已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.若(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,其中x,y为实数,则2x+y= .
5.已知(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为 . 10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
1.C [解析] 对于A,x=±i,故A不正确;对于B,实部为零的复数可能虚部也为零,此时是实数,故B不正确;对于C,当x=i时,z=(x2+1)i是实数,故C正确;对于D,复数z=2+i的虚部是1,故D不正确.故选C.
2.A [解析] 因为复数z=2a+(1-b)i(a,b∈R)的实部和虚部分别为2a,1-b,所以以复数z=2a+(1-b)i(a,b∈R)的实部为虚部,虚部为实部的复数是(1-b)+2ai(a,b∈R).故选A.
3.D [解析] 因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
4.C [解析] 由题得a+(2a-1)i=b-2+bi,所以解得所以A∩B={3+5i}.故选C.
5.B [解析] 根据复数的概念,当a=0时,复数z=a+bi不一定为纯虚数,反之,当复数z=a+bi为纯虚数时,a=0且b≠0,所以“a=0”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.
6.A [解析] 若复数(a2-3a+2)+|a-1|i(a∈R)是纯虚数,则解得a=2,所以若复数(a2-3a+2)+|a-1|i(a∈R)不是纯虚数,则a≠2.故选A.
7.B [解析] 因为n2+mn+2+(2n+2)i=0(m,n∈R),所以解得所以z=3-i.
8.BC [解析] 对于A,当a=b=0时,a+bi=0为实数,故A错误;对于B,若a+(b-1)i=3-2i,则解得故B正确;对于C,若b=0,则a+bi=a为实数,故C正确;对于D,i的平方为-1,故D错误.故选BC.
9.ACD [解析] 由题意得cos α=-cos 2α,∴2cos2α+cos α-1=0,解得cos α=-1或cos α=,∵0<α<2π,∴α=π或或.故选ACD.
10.(-∞,-1)∪(3,+∞) [解析] 由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,故实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
11.1 [解析] ∵z1解得m=1.当m=1时,z1=2,z2=6,满足z112.-1 2 [解析] 因为z是纯虚数,所以解得m=-1,所以z=ilog2(3-m)=2i,则z的虚部为2.
13.解:(1)∵z是纯虚数,∴解得m=0或m=-2,
∴当m=0或m=-2时,z是纯虚数.
(2)∵z=-4i,∴解得m=-1,
∴当m=-1时,z=-4i.
14.解:因为M∪P=P,所以M P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
当(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1时,
解得m=1;
当(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i时,
解得m=2.
综上可知,m=1或m=2.
15.D [解析] 由z1=z2,得消去m,得λ=4sin2θ-3sin θ=4-,因为-1≤sin θ≤1,所以当sin θ=时,λ取得最小值,最小值为-,当sin θ=-1时,λ取得最大值,最大值为7,所以-≤λ≤7.故选D.
16.解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,
所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数,
所以由①得m=0或m=3.
当m=0时,由②得n<2,
又m+n>0,n∈N,所以n=1;
当m=3时,由②得n<-1,与n是自然数矛盾.
综上可得,m=0,n=1.10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
一、选择题
1.[2023·福建南平二中高一月考] 已知i为虚数单位,则下列说法正确的是 ( )
A.若x2+1=0,则x=i
B.实部为零的复数是纯虚数
C.z=(x2+1)i可能是实数
D.复数z=2+i的虚部是i
2.以复数z=2a+(1-b)i(a,b∈R)的实部为虚部,虚部为实部的复数是 ( )
A.(1-b)+2ai(a,b∈R)
B.2a-(1-b)i(a,b∈R)
C.(1-b)-2ai(a,b∈R)
D.2a+(1-b)i(a,b∈R)
3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为 ( )
A.-1 B.2
C.1 D.-1或2
4.已知i为虚数单位,a,b∈R,集合A={z|z=a+(2a-1)i},B={z|z=b-2+bi},则A∩B= ( )
A.{2i} B.{1+3i}
C.{3+5i} D.{2+4i}
5.若复数z=a+bi(a,b为实数),则“a=0”是“复数z为纯虚数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.[2024·辽宁抚顺高一期末] 若复数(a2-3a+2)+|a-1|i(a∈R)不是纯虚数,则 ( )
A.a≠2 B.a≠1
C.a=1 D.a≠1且a≠2
7.已知n2+mn+2+(2n+2)i=0(m,n∈R),且z=m+ni,则复数z= ( )
A.3+i B.3-i
C.-3-i D.-3+i
8.(多选题)对于复数a+bi (a,b∈R),下列说法正确的是 ( )
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1
C.若b=0,则a+bi为实数
D.i的平方等于1
9.(多选题)已知复数z=cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数,则α的取值可能为 ( )
A. B.
C.π D.
二、填空题
10.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是 .
11.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i(m∈R),若z112.已知复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),若z是纯虚数,则m的值是 ,z的虚部为 .
三、解答题
13.[2024·广东江门一中高一月考] 已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:
(1)z是纯虚数;
(2)z=-4i.
14.已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
15.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围为 ( )
A.-7≤λ≤ B.≤λ≤7
C.-1≤λ≤1 D.-≤λ≤7
16.若lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.
