(共52张PPT)
10.2 复数的运算
10.2.2 复数的乘法与除法
探究点一 复数的乘法运算
探究点二 复数的除法运算
探究点三 实系数一元二次方程在复数范
围内的解集
【学习目标】
1.掌握复数代数表示式的乘法运算法则及交换律、结合律和乘法
对加法的分配律;
2.掌握复数代数表示式的除法运算法则；
3.通过复数的乘、除法运算，培养逻辑推理素养，提升数学运算
素养.
知识点一 复数的乘法法则及运算律
1.复数积的定义
一般地,设,,称或 为
与的积,并规定
_____________________.
2.复数的乘法运算满足的运算律
对任意复数,, ,有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
3.复数乘法运算的性质：
（1）, ;
（2）个相同的复数相乘时,仍称为的次方（或 次幂）,并记作 ；
（3）当,均为正整数时,; ，
;
（4）， .
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）设为复数，则 .( )
√
[解析] 设,则 .
（2）若，则 是实数.( )
√
[解析] 设，则， ，
，为实数.
（3） .( )
×
[解析] 设 ,
则 .
2.复数的乘法与多项式的乘法有何不同
解：复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但复数的乘法中必须在所
得结果中把换成 .
知识点二 复数的除法
1.复数商的定义：如果复数,则满足的复数称为 除
以的商,并记作(或,其中称为被除数, 称为除数.
2.复数除法的运算性质：当为非零复数时，有 ,
.
3.复数的倒数：一般地，给定复数,称为的倒数.除以 的商
也可以看成与 的倒数之积.
4.求两个复数的商的方法：____________.
5.规定：当为非零复数且是正整数时，___， ___.
分母实数化
1
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）两个非零复数的商仍然是复数.( )
√
（2）计算两个复数的商时，最终结果的分母可以为虚数.( )
×
（3）已知复数, 在复平面内对应的点关于实轴对称，则
是纯虚数.( )
×
[解析] 设,则 ,
，当时， 不是纯虚数.
2.复数的除法与实数的除法有何不同
解：实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复
数,一般不能直接约分化简.
由于两个共轭复数的积是一个实数,因此,两个复数相除时,可以先把
它们的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数
（注意是分母的共轭复数）,再把结果化简即可.
知识点三 实系数一元二次方程在复数范围内的解集
1.实系数一元二次方程的定义：当,,都是实数且时,关于 的
方程 称为实系数一元二次方程.
2.实系数一元二次方程 在复数范围内总是有解的，
而且
（1）当 时,方程有两个不相等的实数根；
（2）当 时,方程有两个相等的实数根；
（3）当 时,方程有两个互为共轭的虚数根.
3.如果,是实系数一元二次方程 的解,那么
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）一元二次方程 在复数范围内有两个相等的实数
根.( )
√
[解析] ，所以该方程有两个相等的实数根.
（2）在复数范围内，一元二次方程 没有根.( )
×
[解析] ，所以一元二次方程
在复数范围内有两个互为共轭复数的虚数根.
（3）方程在复数范围内的解为1, 为虚数单位).( )
√
探究点一 复数的乘法运算
例1 计算：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
变式（1） [2024·湖南岳阳一中高一月考]已知,， 为虚数单位，
若，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可得, ，
则 .故选A.
√
（2）计算： .
解： .
［素养小结］
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式
进行简便运算,常用公式：
（1） .
（2） .
（3） .
拓展（1） 已知,为虚数单位)，则 ( )
A. B.1 C. D.3
[解析] ,则 .故选C.
√
（2）已知复数 的实部与虚部的和为12，
则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ，因为复数 的实部
与虚部的和为12，所以，解得 .故选B.
√
探究点二 复数的除法运算
例2 计算：
（1） ；
解： .
（2） .
解：
.
变式 [2024·成都高一期末]已知复数，的共轭复数为 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，
所以 ,
，
所以 .
故选A.
√
［素养小结］
（1）复数的除法是先将式子写成分式形式,再将分子、分母同时乘分
母的共轭复数,然后按复数的乘法法则进行运算,最后化简.
（2）记住以下结论可以提高运算速度：
；； .
探究点三 实系数一元二次方程在复数范围内的解集
例3 在复数范围内求解下列方程：
（1） ；
解：因为 ，
所以方程的解为， .
（2） )．
解： .
当，即或 时，
原方程的解为， ；
当，即 时，
若，则原方程的解为 ，
若，则原方程的解为 ；
当，即时，原方程的解为 ，
.
变式 [2024·长沙高一期末] 已知关于的方程 ，
.
（1）当 时，在复数范围内求方程的解；
解：当时，方程为，配方可得 ，
可得 ，
所以方程的解为 .
（2）已知复数，若方程有虚根，求
的取值范围.
解：因为方程 有虚根，
所以 ，
解得，所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
［素养小结］
对实系数一元二次方程 .
（1）当 时，原方程有实根；
（2）当 时，原方程有虚根，需借助
进行求解.
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选D.
√
2.若复数，，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，由，得 ，
解得，所以实数的取值范围是 .故选A.
√
3.[2023·安徽芜湖一中高一期末]方程 的一个根是
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得 ，
所以 .故选A.
√
4.（多选题）已知复数 ，则下列结论正确的有
( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，因为，所以 ，所以
，所以 ，故A正确；
对于B，，所以 ，故B错误；
对于C，因为，所以 ，因为，所以，所以 ，所以，故C正确；
，
所以，故D正确.
故选 .
5. __________．
[解析] .
1.有关虚数单位 的运算
虚数的乘方及其规律：,,,,, ,
,, .可见,,, ,
,,即 的乘方具有周期
性且最小正周期为4.
2.复数常见运算小结论
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
3.常用公式
若,,则 ；
； .
4.（1）设出复数的代数形式 以代入法解题是一
种基本而常用的方法;
（2）复数的相等 是实
现复数运算转化为实数运算的重要方法.这两种方法必须切实掌握.
5.在复数范围内，实系数一元二次方程 的求根公式为：
（1）当时，；
（2）当 时， .
6.实数的平方根
设,当时,的平方根为实数0;当时, 的平方根是两个
实数;当时,的平方根是两个纯虚数 .
7.虚数的平方根
设,且,若是 的平方
根,则有,即 ,所以有
解方程组求出, 的值即可.
8.复数集内乘法、乘方运算注意事项
实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定
成立，如：
（1）当时，有；当时，有，而 ，
故和不能简单进行比较.例如，当时， ，
，此时2和 不能进行比较.
（2）当，时，有；当，
时，，但 .
1.共轭复数及其应用
（1） ，利用这个性质可证明一个复数为实数.
（2）且，则 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个
复数为纯虚数.
（3） .
（4） .
（5）， .
（6） .
例1（1） 已知复数，是的共轭复数，则 ( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 方法一：
，
， .
方法二：， ，
.
√
（2）（多选题）已知复数, 均不为0，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 设， .
对于A， ，
，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，
则，， ，
则，则 ，
故C正确；
，
，
则，故D正确. 故选 .
2.复数与方程
例2 [2024·武汉高一期末] 我们把
(其中,称为一元 次多项式方程.代数基本定理：任何一
元次复系数多项式方程（即,,, , 为复数）在复
数集内至少有一个复数根.由此推得，任何一元 次复系数多
项式方程在复数集内有且仅有 个复数根（重根按重数计算）.那么
我们由代数基本定理可知：任何一元 次复系数多项式在复
数集内一定可以分解因式，转化为 个一元一次多项式的积.
，其中,，,,, , 为方程
的根.进一步可以推出：在实系数范
围内（即,,, , 为实数），方程 有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知， 是方程的一个根，则一定是多项式 的一个因式，即 ，由待定系数法可知， .
（1）在复数集内解方程 ；
解：观察可知，是方程 的一个根，
则一定是多项式 的一个因式，
即 ，
则解得
即 ，
令，可得 ，
所以该方程的根为1， .
（2）设，其中,,, ，且
，分解因式 .
解：观察可知，是方程 的一
个根，
则一定是多项式 的一个因式，
即 ，
则解得
则 .10.2.2 复数的乘法与除法
【课前预习】
知识点一
1.(ac-bd)+(ad+bc)i 2.z1(z2z3) z1z2+z1z3
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× [解析] (1)设z=x+yi(x,y∈R),则|z|2=x2+y2=(x+yi)(x-yi)=z.
(2)设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=-a-bi,=-a+bi,
∴z1=(a+bi)(-a+bi)=-a2-b2,为实数.
(3)设z=x+yi(x,y∈R),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi≠x2+y2=|z|2.
2.解:复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但复数的乘法中必须在所得结果中把i2换成-1.
知识点二
4.分母实数化 5.1
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× [解析] (3)设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,∴===,当a2≠b2时,不是纯虚数.
2.解:实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复数,一般不能直接约分化简.由于两个共轭复数的积是一个实数,因此,两个复数相除时,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数),再把结果化简即可.
知识点三
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)Δ=b2-4ac=0,所以该方程有两个相等的实数根.
(2)Δ=b2-4ac=1-4=-3<0,所以一元二次方程x2+x+1=0在复数范围内有两个互为共轭复数的虚数根.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)(-8-7i)(-3i)=24i-21.
(2)=--i=--i.
变式 (1)A [解析] 由a+i=2-bi,可得a=2,b=-1,则(a+bi)2=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.故选A.
(2)解:(+4i)(-4i)=()2-(4i)2=3-(-16)=19.
拓展 (1)C (2)B [解析] (1)(1+ai)i=-a+i=3+i,则a=-3.故选C.
(2)z=(a-2i)(1+3i)=a+6+(3a-2)i,因为复数z的实部与虚部的和为12,所以a+6+3a-2=12,解得a=2.故选B.
探究点二
例2 解:(1)+=-=i-i=0.
(2)===
==-1+i.
变式 A [解析] 因为z=1-i,所以=1+i,所以|z|==2,z·=(1-i)·(1+i)=1-3i2=1+3=4,所以======-.故选A.
探究点三
例3 解:(1)因为Δ=1-4×3×2=-23<0,
所以方程3x2+x+2=0的解为x1=-+i,x2=--i.
(2)Δ=a2-16.
当Δ=a2-16>0,即a<-4或a>4时,
原方程的解为x1=,x2=;
当Δ=0,即a=±4时,
若a=4,则原方程的解为x1=x2=-2,
若a=-4,则原方程的解为x1=x2=2;
当Δ<0,即-4
变式 解:(1)当a=1时,方程为3x2-2x+1=0,配方可得=-,可得x-=±i,
所以方程的解为x=±i.
(2)因为方程3x2-2ax+a=0有虚根,
所以Δ=(-2a)2-4×3a=4a2-12a<0,
解得0因为|z|2=4a2+1,
所以1<|z|2<37,所以1<|z|<.
【课堂评价】
1.D [解析] (1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.故选D.
2.A [解析] z=(a-i)·i=1+ai,由|z|≤2,得≤2,解得-≤a≤,所以实数a的取值范围是[-,].故选A.
3.A [解析] 由题得Δ=36-4×1×13=-16,所以x==-3±2i.故选A.
4.ACD [解析] 对于A,因为z=-+i,所以=--i,所以z·==+=1,所以=,故A正确;对于B,z3====1,所以z3+1=2≠0,故B错误;对于C,因为z2==--i,所以|z2|==1,因为z=-+i,所以|z|==1,所以|z|2=1,所以|z2|=|z|2,故C正确;对于D,因为z2=--i,所以z4==-+i,所以z4+z2+1=-+i--i+1=0,故D正确.故选ACD.
5.-35+12i [解析] ===(-1-6i)2=1+12i-36=-35+12i.10.2.2 复数的乘法与除法
【学习目标】
1.掌握复数代数表示式的乘法运算法则及交换律、结合律和乘法对加法的分配律;
2.掌握复数代数表示式的除法运算法则;
3.通过复数的乘、除法运算,培养逻辑推理素养,提升数学运算素养.
◆ 知识点一 复数的乘法法则及运算律
1.复数积的定义
一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2= .
2.复数的乘法运算满足的运算律
对任意复数z1,z2,z3,有
交换律 z1z2=z2z1
结合律 (z1z2)z3=
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=
3.复数乘法运算的性质:
(1) z∈C,z=|z|2=||2;
(2)n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn;
(3)当m,n均为正整数时,zmzn=zm+n;(zm)n=zmn,(z1z2)n=;
(4)(z1+z2)2=+2z1z2+,-=(z1+z2)(z1-z2).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)设z为复数,则|z|2=z. ( )
(2)若z1+z2=0,则z1是实数. ( )
(3)|z|2=z2. ( )
2.复数的乘法与多项式的乘法有何不同
◆ 知识点二 复数的除法
1.复数商的定义:如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=(或z=z1÷z2),其中z1称为被除数,z2称为除数.
2.复数除法的运算性质:当w为非零复数时,有=,=+.
3.复数的倒数:一般地,给定复数z≠0,称为z的倒数.z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积.
4.求两个复数的商的方法: .
5.规定:当z为非零复数且n是正整数时,z0= ,z-n= .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个非零复数的商仍然是复数. ( )
(2)计算两个复数的商时,最终结果的分母可以为虚数. ( )
(3)已知复数z1,z2(z1≠z2)在复平面内对应的点关于实轴对称,则是纯虚数. ( )
2.复数的除法与实数的除法有何不同
◆ 知识点三 实系数一元二次方程在复数范围
内的解集
1.实系数一元二次方程的定义:当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程.
2.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数范围内总是有解的,而且
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有两个互为共轭的虚数根.
3.如果x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解,那么
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)一元二次方程x2+2x+1=0在复数范围内有两个相等的实数根. ( )
(2)在复数范围内,一元二次方程x2+x+1=0没有根. ( )
(3)方程x3=1在复数范围内的解为1,(i为虚数单位). ( )
◆ 探究点一 复数的乘法运算
例1 计算:
(1)(-8-7i)(-3i);
(2).
变式 (1)[2024·湖南岳阳一中高一月考] 已知a,b∈R,i为虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2= ( )
A.3-4i B.3+4i
C.5-4i D.5+4i
(2)计算:(+4i)(-4i).
[素养小结]
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,常用公式:
(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
(3)(1±i)2=±2i.
拓展 (1)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a= ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
(2)已知复数z=(a-2i)(1+3i)(a∈R)的实部与虚部的和为12,则a= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
◆ 探究点二 复数的除法运算
例2 计算:
(1)+;
(2).
变式 [2024·成都高一期末] 已知复数z=1-i,z的共轭复数为,则= ( )
A.-i B.-i
C.+i D.+i
[素养小结]
(1)复数的除法是先将式子写成分式形式,再将分子、分母同时乘分母的共轭复数,然后按复数的乘法法则进行运算,最后化简.
(2)记住以下结论可以提高运算速度:
①=-i;②=i;③=-i.
◆ 探究点三 实系数一元二次方程在复数范围
内的解集
例3 在复数范围内求解下列方程:
(1)3x2+x+2=0;
(2)x2+ax+4=0(a∈R).
变式 [2024·长沙高一期末] 已知关于x的方程3x2-2ax+a=0,a∈R.
(1)当a=1时,在复数范围内求方程的解;
(2)已知复数z=2a+i,若方程3x2-2ax+a=0有虚根,求|z|的取值范围.
[素养小结]
对实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
(1)当b2-4ac≥0时,原方程有实根;
(2)当b2-4ac<0时,原方程有虚根,需借助b2-4ac=|b2-4ac|i2进行求解.
1.(1+i)(2-i)= ( )
A.-3-i B.-3+i
C.3-i D.3+i
2.若复数z=(a-i)·i,|z|≤2,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-,]
B.[-1,1]
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
3.[2023·安徽芜湖一中高一期末] 方程x2+6x+13=0的一个根是 ( )
A.-3+2i B.3+2i
C.-2+3i D.2+3i
4.(多选题)已知复数z=-+i,则下列结论正确的有 ( )
A.= B.z3+1=0
C.|z2|=|z|2 D.z4+z2+1=0
5.= . 10.2.2 复数的乘法与除法
1.A [解析] z1z2=(1+2i)(2-i)=4+3i.
2.C [解析] 因为z===--i,所以z在复平面内对应的点的坐标为,位于第三象限.故选C.
3.A [解析] 因为==i,且i2=-1,i3=-i,i4=1,所以z==i2025=i506×4+1=(i4)506×i=i,所以=-i,所以的虚部为-1.故选A.
4.B [解析] 由=2i,得z====+i,所以=-i,所以的虚部为-.故选B.
5.A [解析] ∵z===3+i,∴=3-i,∴在复平面内对应的点的坐标为(3,-1).故选A.
6.B [解析] 由题知方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的另一个根为1-i,则(1+i)+(1-i)=-a,解得a=-2,所以==-1+i.故选B.
7.B [解析] 由Δ=(-4)2-4×1×5=-4,得方程x2-4x+5=0的两个虚根为=2+i和=2-i,不妨取α=2+i,β=2-i,则|α|==,|β|==,所以==.故选B.
8.AB [解析] 由1+i是关于x的方程x3-3x2+ax-b=0的根,得(1+i)3-3(1+i)2+a(1+i)-b=0,整理得(a-b-2)+(a-4)i=0,又a,b∈R,所以解得对于A,a=4,故A正确;对于B,C,原方程为x3-3x2+4x-2=0,可变形为(x-1)(x2-2x+2)=0,显然此方程有一个实根1,另一个虚根为1-i,故B正确,C错误;对于D,z2024=[(1-i)2]1012=(-2)1012i1012=21012,故D错误.故选AB.
9.AB [解析] 对于A,(z1+z2)*z3=(z1+z2)=z1+z2=(z1*z3)+(z2*z3),故A正确;对于B,z1*(z2+z3)=z1(+)=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),故B正确;对于C,(z1*z2)*z3=(z1)=z1 ,z1*(z2*z3)=z1*(z2)=z1z3,故C不正确;对于D,z1*z2=z1,z2*z1=z2,故D不正确.故选AB.
[点拨] 本题考查新定义运算问题,涉及了复数的四则运算,要解决此类问题,只需把新定义运算理解清楚,然后再进行逻辑推理与计算即可.
10.-1-3i [解析] 因为=3i(1+i)+2=3i-1,所以其共轭复数为-1-3i.
11.2 [解析] 因为-1-i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,所以-1+i也是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,所以n=(-1+i)(-1-i)=(-1)2+1=2.
12. [解析] ∵z1(1-i)=3-i,∴z1===2+i,又点A与点B关于实轴对称,∴z1与z2互为共轭复数,∴z2==2-i,∴|z2|=.
13.解:(1)z1====1-2i,
则|z1|==;z2=(1-i)(-2+2i)=-2+2i+2i-2i2=4i,则|z2|=4.
(2)z1·z2=(1-2i)·4i=8+4i,其在复平面内对应的点的坐标为(8,4);
====--i,其在复平面内对应的点的坐标为.
14.解:由题意得,z1(1+2i)=4+3i,
∴z1==2-i,∴z=+|-i|=3+i.
若实系数一元二次方程的一个根为z=3+i,则另一个根为=3-i,
∵z+=6,z·=10,∴所求的一元二次方程可以是x2-6x+10=0.
15. [解析] z1·z2=(cos θ-i)·(sin θ+i)=(cos θ·sin θ+1)+(cos θ-sin θ)i,因为cos θ·sin θ+1=1+sin 2θ≤,所以z1·z2的实部的最大值为,因为cos θ-sin θ=cos≤,所以z1·z2的虚部的最大值为.
16.解:(1)设z1=a+bi(b>0,a,b∈R),则z2=a-bi,
由题知z1+z2=2a=2,z1z2=k,所以a=1,
因为|z1-z2|=2,所以|2bi|=2,可得b=1,
所以z1=1+i,z2=1-i,所以k=z1z2=2.
(2)因为==i,且当n∈N时,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,
所以+++…+=i+i2+i3+…+i2025=(i-1-i+1)×506+i=i.10.2.2 复数的乘法与除法
一、选择题
1.已知复数z1=1+2i,z2=2-i(i为虚数单位),则z1z2= ( )
A.4+3i B.4-3i
C.-3i D.3i
2.若复数z=(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.[2024·江苏如皋中学高一月考] 已知复数z=,则的虚部为 ( )
A.-1 B.-i C.1 D.i
4.[2024·郑州外国语学校高一月考] 已知复数z满足=2i,则的虚部为 ( )
A. B.- C.i D.-i
5.复数z=(i是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为 ( )
A.(3,-1) B.(-1,-3)
C.(3,1) D.(2,-4)
6.在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根为1+i(i为虚数单位),则= ( )
A.1-i B.-1+i
C.2i D.2+i
7.[2023·山东枣庄八中高一月考] 已知α,β为方程x2-4x+5=0的两个虚根,则= ( )
A. B. C.1 D.
8.(多选题)已知a,b∈R,关于x的方程x3-3x2+ax-b=0有一个虚根为1+i,另一个虚根为z,则( )
A.a=4 B.该方程的实数根为1
C.z=2-i D.z2024=2203
★9.(多选题)[2023·天津益中学校高一月考] 对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3,下列四个结论中正确的有 ( )
A.(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3)
B.z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3)
C.(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)
D.z1*z2=z2*z1
二、填空题
10.定义一种运算如下:=ad-bc,则复数的共轭复数是 .
11.已知-1-i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根,则n= .
12.设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,点A与点B关于实轴对称,若z1(1-i)=3-i,则|z2|= .
三、解答题
13.[2024·安徽铜陵高一期末] 已知复数z1满足z1i=2+i,z2满足=1-i.
(1)求z1,z2,|z1|,|z2|;
(2)分别求z1·z2,在复平面内对应的点的坐标.
14.已知复数z1满足z1-4=(3-2z1)i(i为虚数单位),z=+|z1-2|,写出一个以z为根的实系数一元二次方程.
15.已知复数z1=cos θ-i,z2=sin θ+i,θ∈R,则z1·z2的实部的最大值为 ,虚部的最大值为 .
16.[2024·河北张家口高一期末] 在复数范围内,关于x的方程x2-2x+k=0(k∈R)有两个虚数根z1和z2,若|z1-z2|=2,且z1的虚部为正数.
(1)求实数k的值;
(2)求+++…+的值.