本章总结提升
【知识辨析】
1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 6.×
【素养提升】
题型一
例1 (1)D (2)A [解析] (1)因为(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,所以解得m=2.故选D.
(2)∵z1>z2,∴复数z1和z2都是实数,则z1-z2>0成立.当z1=2-3i,z2=-5-3i时,z1-z2=(2-3i)-(-5-3i)=7>0,但2-3i>-5-3i不成立.故“z1>z2”是“z1-z2>0”的充分不必要条件.故选A.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)易知z=3-4i的实部为3,虚部为-4,故z的实部与虚部的和为-1.故选A.
(2)因为z=a2-b+(b-2a)i<3,所以z为实数,则则a2-2a-3<0,解得-1
题型二
例2 (1)C (2)B [解析] (1)==1-i.故选C.
(2)因为==
=-i,所以z==(-i)2026=(-1)2026×i2026=i4×506+2=i2=-1,所以=-1.故选B.
变式 (1)C (2)-1-i [解析] (1)由题可知,=-1-i,∴z=(-1+i)(-1-i)=1+3=4,∴==-+i.故选C.
(2)因为(1+i)2=1+2i+i2=2i,所以=2i,则z====-1-i.
题型三
例3 (1)A (2)C [解析] (1)因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
(2)因为,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,=-=-(+),所以对应的复数为3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.故选C.
变式 (1)A (2)B [解析] (1)由复数z=3-4i,得=3+4i,|z|==5,所以=+i.
(2)∵复数z=-cos θ+isin θ在复平面内对应的点在第三象限,∴解得2kπ-<θ<2kπ(k∈Z).故选B.
例4 (1)BCD (2)8 [解析] (1)设复数z=a+bi(a,b∈R),则z-2-3i=(a-2)+(b-3)i,所以|z-2-3i|==5①.假设A正确,则a=2,b=-8,不满足①式,所以假设不成立,所以A不正确;假设B正确,则a=-2,b=6,满足①式,所以B正确;假设C正确,则a=5,b=-1,满足①式,所以C正确;假设D正确,则a=5,b=7,满足①式,所以D正确.故选BCD.
(2)因为z∈C且|z+i|=3,所以在复平面内,z对应的点在以(0,-1)为圆心,3为半径的圆上.|z-3-3i|表示圆上的点到点(3,3)的距离,因为圆心(0,-1)与点(3,3)之间的距离为=5,所以|z-3-3i|max=3+5=8.
变式 (1)ACD (2)B [解析] (1)设z1在复平面内对应的向量为,z2在复平面内对应的向量为,由向量加法几何意义可知,|+|≤||+||,故A正确;当z1=0时,对任意z2,都满足z1z2=|z1|2,故B错误;设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R),则|z1z2|==
=·
=|z1|·|z2|,故C正确;∵非零复数z1,z2,z3满足z1z2=z1z3,∴z1z2-z1z3=0,∴z1(z2-z3)=0,又z1≠0,∴z2-z3=0,∴z2=z3,故D正确.故选ACD.
(2)设z=a+bi,a,b∈R,则===|b-ai|==1,所以复数z在复平面内对应的点Z(a,b)在以原点O(0,0)为圆心,半径r=1的圆上.|z-3+4i|表示点Z与复数z0=3-4i在复平面内对应的点Z0(3,-4)的距离.因为|OZ0|==5,所以|z-3+4i|min=|OZ0|-r=5-1=4,故选B.
题型四
例5 解:(1)8×2=16=16=8+8i.
(2)8(cos 240°+isin 240°)÷2(cos 150°-isin 150°)==4(cos 390°+isin 390°)=4(cos 30°+isin 30°)=2+2i.
变式 (1)D [解析] 由题意知==
=
==+i.故选D.
(2)解:依题意得(-1+i)=,
所以z2=(-1+i)=
2=
2=-+i.本章总结提升
判断下列说法是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)
1.形如a+bi的数叫作复数,其中a,b分别是它的实部和虚部. ( )
2.互为共轭复数的两数之差一定是纯虚数.( )
3.设z=(2t2+5t-3)+(t2-2t+2)i(t∈R),则z在复平面内对应的点Z在第一象限. ( )
4.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|==||,它表示复平面内的点Z(a,b)到原点O的距离.一般地,|z1-z2|表示z1与z2在复平面内对应的两点间的距离. ( )
5.两个虚数的和或差可能是实数. ( )
6.=-i( )
◆ 题型一 复数的概念与分类
[类型总述] (1)复数的概念与分类;(2)复数相等的充要条件;(3)共轭复数的概念.
例1 (1)[2024·广州华南师大附中高一月考] 若复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,则实数m的值为 ( )
A.2或3 B.0或3
C.0 D.2
(2)已知复数z1和z2,则“z1>z2”是“z1-z2>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
变式 (1)设复数z=3-4i,则z的实部与虚部的和为 ( )
A.-1 B.1
C.5 D.7
(2)已知a,b均为实数,复数z=a2-b+(b-2a)i,其中i为虚数单位,若z<3,则a的取值范围为 ( )
A.(-1,3)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-∞,-3)∪(1,+∞)
D.(-3,1)
◆ 题型二 复数代数形式的四则运算
[类型总述](1)复数代数形式的加、减、乘、除运算;(2)in(n∈N*)的周期性.
例2 (1)[2023·全国甲卷] = ( )
A.-1 B.1
C.1-i D.1+i
(2)已知i为虚数单位,复数z=,则= ( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
变式 (1)若z=-1+i,则= ( )
A.-1+i B.-1-i
C.-+i D.--i
(2)已知=(1+i)2(i为虚数单位),则复数z= .
◆ 题型三 复数的几何意义及其应用
[类型总述](1)复数的表示(点和向量);(2)复数的模;(3)复数加、减法的几何意义.
例3 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)在复平面内,O是坐标原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,i为虚数单位,那么对应的复数为 ( )
A.4+7i B.1+3i
C.4-4i D.-1+6i
变式 (1)[2023·广东佛山南海中学高一月考] 若复数z=3-4i,则= ( )
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
(2)若复数z=-cos θ+isin θ在复平面内对应的点在第三象限,则θ的取值范围为 ( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
例4 (1)(多选题)若复数z满足|z-2-3i|=5,则复数z的共轭复数可能为 ( )
A.2+8i B.-2-6i
C.5+i D.5-7i
(2)[2023·内蒙古赤峰二中高一月考] 已知z∈C,且|z+i|=3,i为虚数单位,则|z-3-3i|的最大值是 .
变式 (1)(多选题)对于复数z1,z2,z3,下列说法正确的是 ( )
A.|z1+z2|≤|z1|+|z2|
B.若z1z2=|z1|2,则z1=z2
C.|z1z2|=|z1|·|z2|
D.若非零复数z1,z2,z3满足z1z2=z1z3,则z2=z3
(2)[2024·河南濮阳华龙高级中学高一月考] 已知复数z满足=1(i为虚数单位),则|z-3+4i|的最小值为 ( )
A.3 B.4 C.2 D.5
◆ 题型四 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
[类型总述](1)复数三角形式的乘、除法运算法则;(2)复数三角形式乘、除法的几何意义.
例5 计算:
(1)8×2;
(2)8(cos 240°+isin 240°)÷2(cos 150°-isin 150°).
变式 (1)若复数z1=4,z2=,z3=,则= ( )
A.-i B.-i
C.+i D.+i
(2)设复数z1,z2对应的向量为,,O为坐标原点,且z1=-1+i,若把绕原点逆时针旋转,把绕原点顺时针旋转,所得两向量恰好重合,求复数z2.(共28张PPT)
本章总结提升
题型一 复数的概念与分类
题型二 复数代数形式的四则运算
题型三 复数的几何意义及其应用
题型四 复数乘、除运算的三角表示及其
几何意义
判断下列说法是否正确.（请在括号中填写“√”或“×”）
1.形如的数叫作复数,其中, 分别是它的实部和虚部.( )
×
2.互为共轭复数的两数之差一定是纯虚数.( )
×
3.设,则 在复平面内对应的
点 在第一象限.( )
×
4.复数的模 ,它表示复平面
内的点到原点的距离.一般地,表示与 在复平面内
对应的两点间的距离.( )
√
5.两个虚数的和或差可能是实数.( )
√
6. ( )
×
题型一 复数的概念与分类
［类型总述］（1）复数的概念与分类；（2）复数相等的充要条件；
（3）共轭复数的概念.
例1（1） [2024·广州华南师大附中高一月考]若复数
是纯虚数，则实数 的值为( )
A.2或3 B.0或3 C.0 D.2
[解析] 因为 是纯虚数，
所以解得 .故选D.
√
（2）已知复数和，则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] ， 复数和都是实数，则 成立.
当， 时，
，但 不成立.
故“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
√
变式（1） 设复数，则 的实部与虚部的和为( )
A. B.1 C.5 D.7
[解析] 易知的实部为3，虚部为，故 的实部与虚部的
和为 .故选A.
√
（2）已知，均为实数，复数，其中 为虚数
单位，若，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以 为实数，
则则，解得，
故 的取值范围为 .故选A.
√
题型二 复数代数形式的四则运算
［类型总述］（1）复数代数形式的加、减、乘、除运算;（2）
的周期性.
例2（1） [2023·全国甲卷] ( )
A. B.1 C. D.
[解析] .故选C.
√
（2）已知为虚数单位，复数，则 ( )
A.1 B. C. D.
[解析] 因为
，
所以 ，
所以 ．故选B.
√
变式（1） 若,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知， ,
，
.故选C.
√
（2）已知（为虚数单位），则复数 _______．
[解析] 因为，所以 ，
则 .
题型三 复数的几何意义及其应用
［类型总述］（1）复数的表示（点和向量）;（2）复数的模;（3）
复数加、减法的几何意义.
例3（1） [2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内， 对应的点位
于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为 ，
所以在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，故选A.
√
（2）在复平面内，是坐标原点，，， 对应的复数分别为
,,，为虚数单位，那么 对应的复数为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，对应的复数分别为， ，
，，
所以 对应的复数为 .故选C.
√
变式（1） [2023·广东佛山南海中学高一月考]若复数 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 由复数，得， ，
所以 .
√
（2）若复数 在复平面内对应的点在第三象限,
则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 复数 在复平面内对应的点在第三象限,
解得 .故选B.
√
例4（1） （多选题）若复数满足，则复数 的共轭
复数可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 设复数 ，则 ，
所以.
假设A正确，则 , ，不满足①式，所以假设不成立，
所以A不正确；
假设B正确，则,，满足①式，所以B正确；
假设C正确，则 , ，满足①式，所以C正确；
假设D正确，则, ，满足①式，所以D正确.故选 .
√
√
√
（2）[2023·内蒙古赤峰二中高一月考] 已知，且，
为虚数单位，则 的最大值是___.
8
[解析] 因为且，所以在复平面内， 对应的点在以
为圆心，3为半径的圆上.表示圆上的点到点
的距离，
因为圆心与点 之间的距离为，
所以 .
变式（1） （多选题）对于复数，， ，下列说法正确的是
( )
A.
B.若，则
C.
D.若非零复数，，满足，则
√
√
√
[解析] 设在复平面内对应的向量为， 在复平面内对应的向量
为，由向量加法几何意义可知， ，
故A正确；
当时，对任意，都满足 ，故B错误；
设， ，
则
，故C正确；
非零复数，， 满足，，
，又 ，，，故D正确.
故选 .
（2）[2024·河南濮阳华龙高级中学高一月考]已知复数满足
（为虚数单位），则 的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.5
[解析] 设，, ，则
,
所以复数 在复平面内对应的点在以原点为圆心，半径
的圆上.
表示点与复数在复平面内对应的点
的距离.因为 ，
所以 ，故选B.
√
题型四 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
［类型总述］（1）复数三角形式的乘、除法运算法则;（2）复数三
角形式乘、除法的几何意义.
例5 计算：
（1） ；
解： .
（2） ．
解：
.
变式（1） 若复数, ,
,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知
.
故选D.
√
（2）设复数，对应的向量为，， 为坐标原点，且
，若把绕原点逆时针旋转，把 绕原点顺时针
旋转，所得两向量恰好重合，求复数 .
解：依题意得 ，
所以
.