滚动习题(二)
1.B [解析] ∵z=--i,∴=-+i,∴的虚部为.故选B.
2.B [解析] 在复平面内,(2-i)i=2i-i2=1+2i对应的点为(1,2),该点关于虚轴对称的点为(-1,2),所以z=-1+2i.故选B.
3.B [解析] 由i2=-1,得xi-2i2=2+xi,则2+xi=y+2yi,所以解得所以x+yi=4+2i.故选B.
4.C [解析] 因为z1=-1+i,z2=cos θ+isin θ,所以|z1|==2,|z2|==1,所以|z1·z2|=|z1|·|z2|=2×1=2.故选C.
5.D [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),由=1+2i,可得z+2=(1+2i),即a+2+bi=(1+2i)(a-bi),即a+2+bi=(a+2b)+(2a-b)i,所以解得所以z=1+i,所以=1-i,所以在复平面内对应的点为(1,-1),位于第四象限.故选D.
6.D [解析] 对于A,当x=1+i,y=1-i时,x+yi=2+2i,故A错误;对于B,当z1=1,z2=i时,+=0,故B错误;对于C,当z=i时,|z|2=1≠z2,故C错误;对于D,满足|z-1|=2的复数z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心,2为半径的圆上,|z+i|表示圆上的点到点(0,-1)的距离,所以|z+i|的最大值为2+=2+,故D正确.故选D.
7.BCD [解析] 由题意得z=1+=1+=1-i.对于A,=1+i,则在复平面内对应的点在第一象限,故A错误;对于B,=(1+i)2=2i为纯虚数,故B正确;对于C,z·=(1-i)(1+i)=2,故C正确;对于D,===i,故D正确.故选BCD.
8.BCD [解析] 对于A,若z1·z2=0,则|z1·z2|=|z1|·|z2|=0,所以|z1|=0或|z2|=0至少有一个成立,所以z1=0或z2=0,故A为真命题;对于B,若|z1|=|z2|,则与的模相等,但与不一定重合,故B为假命题;对于C,若z2≤1,取z=i,满足条件,但虚数不能比较大小,故C为假命题;对于D,若z1-z2>0,取z1=2+i,z2=1+i,满足条件,但是复数不能比较大小,故D为假命题.故选BCD.
9.2 [解析] 由题可知=(1,1),=(1,3),故=-=(0,2),所以||=2.
10.-2 [解析] 对于方程x2+2x+3=0,Δ=22-4×3<0,由题意可知,z和是方程x2+2x+3=0的两个虚根,由根与系数的关系可得z+=-2.
11.2 四 [解析] 由=a-i,可得z=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i,所以|z|==,可得a=2,所以z=3+i,所以=3-i,所以在复平面内对应的点为(3,-1),位于第四象限.
12.解:(1)z===-i,
∵z为纯虚数,∴=0,且-≠0,可得a=1.
(2)由(1)知=+i,∵在复平面内对应的点位于第二象限,∴解得-1
故实数a的取值范围为(-1,1).
13.解:(1)因为复数z1,z2是方程z2-z+1=0的解,
所以z1=,z2=或z1=,z2=,所以+=+=1.
(2)因为z1在复平面内对应的点在第四象限,
所以z1=-i,所以z1·(a+i)=+i,
因为z1·(a+i)为纯虚数,所以=0,且≠0,解得a=-.
14.解:(1)设z=c+bi(c,b∈R且b≠0),则=c-bi,
因为|2z+15|=|+10|,
所以|(2c+15)+2bi|=|(c+10)-bi|,
所以=,
所以c2+b2=75,所以=5,所以|z|=5.
(2)存在a=±5满足题意.理由如下:
假设存在实数a使+∈R,
则+=+=+i∈R,所以-=0,
因为b≠0,所以a2=c2+b2=75,解得a=±5.
故存在实数a=±5,使+∈R.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.已知复数z=--i(其中i为虚数单位),则其共轭复数的虚部为 ( )
A.- B. C.i D.-i
2.在复平面内,复数z和(2-i)i表示的点关于虚轴对称,则复数z= ( )
A.1+2i B.-1+2i
C.-1-2i D.1-2i
3.[2024·广东湛江雷州二中高一月考] 若xi-2i2=y+2yi,x,y∈R,则复数x+yi= ( )
A.-2+i B.4+2i
C.1-2i D.1+2i
4.[2024·贵阳六中高一月考] 已知z1=-1+i,z2=cos θ+isin θ(θ∈R),则|z1·z2|= ( )
A.4 B.1
C.2 D.不确定
5.已知复数z的共轭复数为,若=1+2i,则在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.下列说法中正确的是 ( )
A.若x,y∈C,x+yi=2+2i,则x=y=2
B.若复数z1,z2满足+=0,则z1=z2=0
C.若复数z为纯虚数,则|z|2=z2
D.若复数z满足|z-1|=2,则|z+i|的最大值为2+
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2024·重庆西南大学附中高一月考] 复数z=1+,其共轭复数为,则下列叙述正确的是 ( )
A.在复平面内对应的点在第四象限
B.是一个纯虚数
C.z·=2
D.=i
8.已知z,z1,z2∈C,则下列命题为假命题的是 ( )
A.若z1·z2=0,则z1=0或z2=0
B.若|z1|=|z2|,则与重合
C.若z2≤1,则-1≤z≤1
D.若z1-z2>0,则z1>z2
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.在复平面内,复数1+i,1+3i对应的向量分别为,,其中O为坐标原点,则||= .
10.[2024·长沙一中高一月考] 设为复数z的共轭复数,若复数z满足z2+2z+3=0,则z+= .
11.[2023·山东菏泽曹县三中高一月考] 已知复数z满足=a-i(其中a>0,i为虚数单位),若|z|=,则实数a= ,复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第 象限.
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)已知a∈R,复数z=.
(1)若z为纯虚数,求a的值;
(2)在复平面内,若对应的点位于第二象限,求实数a的取值范围.
13.(15分)已知复数z1,z2是方程z2-z+1=0的解.
(1)求+的值;
(2)在复平面内,若z1对应的点在第四象限,且z1·(a+i)为纯虚数,其中a∈R,求a的值.
14.(15分)[2024·河南济源一中高一月考] 设虚数z满足|2z+15|=|+10|.
(1)求|z|的值.
(2)是否存在实数a,使+∈R 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.