单元素养测评卷(二)
1.A [解析] 若i是虚数单位,则i2=-1,故“a=i”是“a2=-1”的充分条件.由a2=-1,得a=±i,故“a=i”不是“a2=-1”的必要条件.故“a=i”是“a2=-1”的充分不必要条件.故选A.
2.C [解析] 由复数的几何意义得z=2+3i,所以=2-3i,其虚部为-3.故选C.
3.C [解析] ===.故选C.
4.A [解析] 因为ω=-+i=cos+isin,所以ω3=cos 2π+isin 2π=1,ω2=cos+isin=--i,所以1+ω+ω2+ω3=1-+i--i+1=1.故选A.
5.A [解析] z===+i.由|z|=2,得+=8,解得a=±6.由z在复平面内对应的点在第四象限,得则a>1.综上可得a=6.故选A.
6.C [解析] 由题可知A(2,2),设B(x1,y1),C(x2,y2).∵四边形OABC是菱形,∴=,||=||,即+=8.∵∠AOC=60°,∴△AOC是等边三角形,∴||=||,即(x2-2)2+(y2-2)2=8,即+-4(x2+y2)=0,可得x2+y2=2,即x2=2-y2,代入+=8,得(2-y2)2+=8,整理得-2y2-2=0,可得y2=1±.当y2=1+时,x2=2-(1+)=1-,x1=2+x2=2+1-=3-,y1=2+y2=3+,∴B(3-,3+);当y2=1-时,x2=2-(1-)=1+,x1=2+x2=2+1+=3+,y1=2+y2=2+1-=3-,∴B(3+,3-).综上可得,点B对应的复数为(3-)+(3+)i或(3+)+(3-)i.故选C.
7.A [解析] 设z=x+yi(x,y∈R),由|z-2|=2,得复数z在复平面内表示的点(x,y)到点(2,0)的距离为2,所以z在复平面内对应的点在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上.因为|z+1-4i|=|z-(-1+4i)|表示点(x,y)与点(-1,4)间的距离,所以其最小值为-2=3.
8.D [解析] 由复数z1=1+i,z2=cos α+isin α(α∈R),得z1-z2=(1-cos α)+i(1-sin α),因此|z1-z2|===≤=+1,当且仅当α+=2kπ-,k∈Z,即α=2kπ-,k∈Z时取等号,所以|z1-z2|的最大值为+1.
9.BD [解析] ∵i2k+1z=2+i,∴z=.当k为奇数时,z====-1+2i,在复平面内对应的点为(-1,2),位于第二象限;当k为偶数时,z====1-2i,在复平面内对应的点为(1,-2),位于第四象限.故选BD.
10.ABD [解析] 因为eiθ=cos θ+isin θ,所以=cos +isin =i,故A正确;=cos +isin =+i,则||==1,故B正确;=()3=e-πi=cos(-π)+isin(-π)=-1,故C错误;==cos ,故D正确.故选ABD.
11.ACD [解析] 对于A,一元二次方程的复数根互为共轭复数,故A正确;对于B,由题意得(z1+z2)2=++2z1z2=-+2×=,因为复数根互为共轭复数,所以z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,故z1+z2==,则a=2,又z1z2==,所以b=1,则a-b=1,故B错误;对于C,a2+b2=22+12=5,故C正确;对于D,(z1-z2)2=+-2z1z2=--2×=-,则z1-z2=±i,所以|-|=|(z1-z2)(z1+z2)|==,故D正确.故选ACD.
12.-i [解析] 因为z=2i,所以=-2i,则+=-2i+=-2i+=-2i-=-i.
13. [解析] z====-+i=cos+isin,所以辐角主值为.
14.12 [解析] 由复数(i是虚数单位)的共轭复数是2-5i,可得=2+5i.由==+i,可得+i=2+5i,则=2且=5,解得a=12.
15.解:(1)∵复数z为纯虚数,∴解得m=0,故m的值为0.
(2)∵复数z在复平面内对应的点在第四象限,
∴解得0故m的取值范围为(0,3).
16.解:(1)由已知得解得
所以z1=5+3i.
(2)由z1=z2,得解得a=4.
17.解:(1)依题意得,2=2-4i,即=1-2i,
则z1=1+2i.z2===1+i.
因为=+,所以向量对应的复数为z1+z2=(1+2i)+(1+i)=2+3i.
(2)依题意得=(x1,y1),=(x2,y2),
则△POQ的面积为|x1y2-x2y1|,
由(1)知,对应的复数为2+3i,
则=(2,3),对应的复数为1+2i,则=(1,2),
所以△ABC的面积为×|1×3-2×2|=.
18.解:(1)若α,β为实数,则Δ=1-4m≥0,即m≤,
由根与系数的关系可得
所以|α-β|===3,
解得m=-2,符合题意.
若α,β为虚数,则Δ=1-4m<0,即m>,
由根与系数的关系可得
设α=a+bi,β=a-bi,a,b∈R且b>0,
则|α-β|=|2bi|=2b=3,解得b=.
因为α+β=2a=-1,所以a=-,
所以m=αβ=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=+=,符合题意.
综上,m的值为-2或.
(2)当α,β为实数,即m≤时,(|α|+|β|)2=9,
即α2+β2+2|αβ|=9,所以(α+β)2-2αβ+2|αβ|=9,
所以1-2m+2|m|=9.
当0≤m≤时无解;当m<0时,m=-2.
当α,β为虚数,即m>时,β=.
由|α|+|β|=3,可知|α|=,
则m=α·=|α|2=.
综上,m的值为-2或.
19.解:(1)由z1=1+2i,z2=3-4i,
可得z1z2=(1+2i)(3-4i)=3-4i+6i-8i2=11+2i,
又=(1,2),=(3,-4),
所以·=1×3+2×(-4)=-5.
(2)因为z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
所以z1z2=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i,
可得=(ac-bd)2+(ad+bc)2.
因为=(a,b),=(c,d),
所以·=ac+bd,=(ac+bd)2,
所以-=(ac-bd)2+(ad+bc)2-(ac+bd)2=(ad+bc)2-4abcd=(ad-bc)2≥0,
所以|·|≤|z1z2|,
当且仅当ad=bc时取等号,此时向量,满足∥.单元素养测评卷(二)
第十章
(时间:120分钟 分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位,则“a=i”是“a2=-1”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2024·合肥中科大附中高一月考] 在复平面内,点(2,3)表示复数z,则的虚部是 ( )
A.3 B.3i
C.-3 D.-3i
3.已知i是虚数单位,则= ( )
A.1 B.2
C. D.
4.若ω=-+i,则1+ω+ω2+ω3= ( )
A.1 B.i
C.-1 D.-i
5.[2024·上海南洋模范中学高一月考] 若复数z=(a∈R),|z|=2,z在复平面内对应的点在第四象限,则a= ( )
A.6 B.4
C.-4 D.-6
6.在复平面内,O是坐标原点,已知四边形OABC为菱形,∠AOC=60°,向量对应的复数为2+2i,则点B对应的复数是 ( )
A.(3-)+(3+)i
B.(3+)+(3-)i
C.(3-)+(3+)i或(3+)+(3-)i
D.(3+)+(3+)i或(3-)+(3-)i
7.[2023·宁夏六盘山高级中学高一月考] 已知i是虚数单位,设复数z满足|z-2|=2,则|z+1-4i|的最小值为 ( )
A.3 B.7
C.2 D.4
8.[2024·河北赵县中学高一月考] 若复数z1=1+i,z2=cos α+isin α(α∈R),其中i是虚数单位,则|z1-z2|的最大值为 ( )
A.2 B.3
C.-1 D.+1
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知复数z满足i2k+1z=2+i(k∈N),则z在复平面内对应的点可能位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下公式eiθ=cos θ+isin θ,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数学中的天桥”,则( )
A.=i B.||=1
C.=1 D.cos =
11.[2024·湖南湘西土家族苗族自治州高一期中] 已知复数z1,z2是关于z的方程3z2-az+b=0(a,b∈R,a>0)的两个复数根,且z1z2=,+=-,则 ( )
A.z1与z2互为共轭复数
B.a-b=2
C.a2+b2=5
D.|-|=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知复数z=2i,则+= .
13.若复数z=,则z的辐角主值为 .
14.[2024·湖南师大附中高一月考] 设a∈R,复数(i是虚数单位)的共轭复数是2-5i,则a= .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2023·延安子长中学高一月考] 已知复数z=(m2+2m)+(m2-m-6)i,m∈R,i是虚数单位.
(1)若复数z为纯虚数,求m的值;
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限,求m的取值范围.
16.(15分)[2024·浙江台州高一月考] 已知复数z1=m+ni(m>n>0)满足|z1|=,z1的实部与虚部的积为15.
(1)求z1;
(2)设z2=(a2-2a-3)+(a2-4a+3)i(a∈R),z1=z2,求a的值.
17.(15分)[2024·长沙高一期末] 在复平面xOy内,向量对应复数z1,向量对应复数z2,2+3i=2-i,z2=.
(1)求向量对应的复数;
(2)若点P(x1,y1),Q(x2,y2),则三角形POQ的面积为|x1y2-x2y1|,求三角形ABC的面积.
18.(17分)已知关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)的两根分别为α,β.
(1)若|α-β|=3,求m的值;
(2)若|α|+|β|=3,求m的值.
19.(17分)在复平面内,复数z1,z2所对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点,i是虚数单位.
(1)若z1=1+2i,z2=3-4i,求z1z2与·;
(2)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),求证:|·|≤|z1z2|,并指出向量,满足什么条件时该不等式取等号.
