(共51张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
探究点一 平面图形的直观图
探究点二 空间几何体的直观图
探究点三 直观图的还原和计算问题
【学习目标】
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形；
2.掌握斜二测画法的步骤,能用斜二测法画出一些简单的平面图形
和空间图形的直观图,掌握直观图的还原与计算，通过从实际物体中抽
象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养直观想象能力．
知识点一 空间几何体
1.定义：如果只考虑一个物体占有的空间______和______,而不考虑
其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.
形状
大小
2.接触过的几何体：长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
【诊断分析】
观察图中的物体，指出这些物体可以抽象为什么样的几何体？
（1）
（2）
（3）
解：（1）球；（2）圆锥；（3）棱锥.
知识点二 斜二测画法
1.直观图的认识
从不同的方向观察同一个空间图形时,所看到的形状可能不一样.立体
几何中,用来表示空间图形的__________,习惯上称为空间图形的直观图.
平面图形
2.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）在平面图形上取互相垂直的轴和轴,作出与之对应的轴和
轴,使得它们正方向的夹角为________________.
（2）平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴_________
_______的线段,且长度______.
平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴______________
的线段,且长度为________________.
（3）连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
（或）
平行（或重合）
不变
平行（或重合）
原来长度的一半
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）水平放置的三角形的直观图一定是三角形.( )
√
[解析] 水平放置的边形的直观图仍是 边形.
（2）水平放置的菱形的直观图一定是菱形.( )
×
[解析] 利用斜二测画法画菱形的直观图时,相邻两边不一定再相等,
故不一定是菱形.
（3）两条相交直线的直观图可能是平行直线.( )
×
[解析] 两条相交直线的公共点在它们的直观图上仍然是公共点,
故两条相交直线的直观图不可能是平行直线.
（4）平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.( )
√
2.（1）相等的角在直观图中还相等吗
解：不一定,例如正方形（四个内角都相等）的直观图为平行四边形
（相邻的内角互补,相对的内角相等）.
（2）我们一般用什么图形作为圆的直观图
解：椭圆.
（3）由直观图还原平面图形时,直观图中平行于轴、 轴的线段在
平面图形中长度如何变化
解：在直观图中平行于 轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于
轴的线段在平面图形中长度变为它的2倍.
知识点三 简单几何体的直观图的画法
1.用斜二测画法作立体图形直观图的步骤
（1）在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的轴与 轴,作出
水平平面上图形的直观图（保留轴与 轴）.
（2）在立体图形中,过轴与轴的交点取轴,并使轴垂直于轴与
轴.过轴与轴的交点作轴对应的轴,且轴垂直于轴.图形中与
轴平行（或重合）的线段画成与 轴________________的线段,且长
度______.连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.
平行（或重合）
不变
2.注意事项：立体几何中的直观图不都是用斜二测画法作出的.
【诊断分析】
画空间几何体的直观图时,为了体现立体感,最重要的措施是什么
解：被遮挡的部分改为虚线,通过实线虚线的变化,展示前后层次,体现
立体感.
探究点一 平面图形的直观图
［探索］ 如何将平面图形与平面图形的直观图进行转化
解：（1）角的关系：原图形中 ，直观图中
（或 ）.
（2）长度关系：原图形中与 轴平行的线段与直观图中对应线段长
度相等;原图形中与 轴平行的线段是直观图中对应线段长度的2倍.
例1 用斜二测画法作出如图所示的水平放置的等腰梯形的直观图.
解：在等腰梯形中，以的中点为原点，所在直线为 轴，
建立如图①所示的平面直角坐标系，与轴交于点 ，
再建立如图②所示的坐标系，使 .
以为中点在轴上取且，在轴上取 .
以为中点作轴，且 .
连接，，去掉辅助线，所得的四边形 就是水平放置
的等腰梯形 的直观图，如图③.
①
②
③
变式 用斜二测画法作出边长为4的水平放置的正三角形（如图）的
直观图.
解：如图①所示,在中，以的中点为原点， 所在的直线
为轴,边上的高所在的直线为轴，建立平面直角坐标系 .
建立如图②所示的坐标系，使 .
以为中点，在轴上取，且,在 轴上取
,连接, . 去掉辅助线,
所得的三角形即为正三角形 的直观图,如图③所示.
①
②
③
［素养小结］
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，
一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不
变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两
个端点，然后连接成线段．
探究点二 空间几何体的直观图
［探索］ 将用斜二测画法作出的直观图还原成空间几何体时应注意
哪些问题
解：将用斜二测画法作出的直观图还原成空间几何体时,应注意：
在直观图中平行于轴、轴、 轴的线段在空间几何体中分别平行于
轴、轴、轴;
在直观图中平行于轴、 轴的线段在空间几何体中长度不变,但平行
于 轴的线段在空间几何体中长度变为它的2倍.
例2 用斜二测画法画出正六棱柱（底面为正六边形,侧面为矩形的棱
柱）的直观图.（尺寸自定）
①
解：（1）画轴.画出轴,轴, 轴,使
, ,如图①所示.
（2）画底面.画出正六边形的直观图 .
（3）画侧棱.过,,,,,各点分别作 轴的平行线,
并在这些平行线上分别截取长度相等的线段, ,
,,, ,使它们都等于侧棱的长.
②
（4）连线成图.连接,,,,, ,
擦去有关辅助线,并把被面遮挡的线段改成虚线
（或擦除）,就得到正六棱柱的直观图，如图②所示.
变式 画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥
的直观图.
①
解：（1）画轴.画出轴、轴、 轴,使
, ，如图①所示.
（2）画底面.以为中心,在 平面内画出
水平放置的正方形的直观图
（3）画顶点.在上截取,使 .
②
（4）连线成图.连接,,, ,并擦去有关辅
助线,将被面遮挡的线段改为虚线（或擦除）,得
到四棱锥的直观图,如图②.
［素养小结］
简单几何体直观图的画法：
（1）画轴：通常以高所在直线为 轴.
（2）画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面.
（3）确定顶点：利用与轴平行或在 轴上的线段确定有关顶点.
（4）连线成图，注意擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成
虚线（或擦除）.
拓展 已知一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为 ,
高为 ,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
①
解：（1）画轴.画出轴、轴、 轴，使
， ，如图①所示.
（2）画下底面.以为中心，在 平面内画出水平
放置的边长为的正方形的直观图 .
（3）画上底面.在上截取,使,以
为中心，画出水平放置的边长为 的正方形 .
②
（4）连线成图.连接，，， ,并擦
去有关辅助线，将被面遮挡的线段改成虚线
（或擦除），得到正四棱台的直观图，如图②.
探究点三 直观图的还原和计算问题
［探索］ 1.如图， 是用斜二测画法作
出的水平放置的 的直观图，能否判断
的形状？
解：根据斜二测画法规则知， ，
故 为直角三角形．
2.若探索1中中，，则 边的实际长度是多少？
解：由已知得中，， ，
.
3.若一个三角形的面积为 ，则它的直观图的面积是多少？
解：原三角形的面积（ 为三角形的底，为三角形的高）.
直观图中， ， ，
则直观图的面积 .
例3 如图所示,梯形 是用斜二测画法作出的水平放置的平面
图形的直观图.若,, ,
.试画出原四边形 ,并求出原图形的面积.
解：如图,建立平面直角坐标系,
在 轴上取, .
在过点的 轴的平行线上取 .
在过点的轴的平行线上取 .
连接,即得到了原四边形 ，
则原四边形是直角梯形,, , ,
所以原图形的面积 .
变式 [2024·河南郑州十一中高二月考] 如图， 是用斜二测画
法作出的水平放置的的直观图，其中 ，
轴，轴，则 ( )
A. B.2 C. D.4
√
[解析] 在中， ， ，
由余弦定理可得
，
即，
又 ，所以 ，
则中，，， ，
故 .故选C.
［素养小结］
（1）由直观图还原为平面图形的关键是找与轴, 轴平行的直线或
线段,且平行于轴的线段还原时长度不变,平行于 轴的线段还原时
放大为直观图中相应线段长度的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次
连接即可.
（2）若一个平面多边形的面积为,其直观图的面积为 ,则有
或 .利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积
或由直观图面积求原图形面积.
拓展 [2024·湖北武汉高一期中] 如图，用斜二测画法作出的水平放
置的四边形的直观图为等腰梯形．已知 ，
，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.四边形的周长为
D.四边形的面积为
√
[解析] 如图①所示，过作 ，
垂足为点，则 是等腰直角三角形，
则 ，
故B错误；
四边形 的平面图如图②所示，
则 ，，
，故A错误；
①
②
，
由勾股定理得 ，
则四边形 的周长为
，故C错误；
四边形 的面积为 ，故D正确.
故选D.
1.如图所示，是水平放置的 用斜
二测画法作出的直观图，则在 的三边及
中线 中，最长的线段是( )
A. B. C. D.
[解析] 由直观图可知 是以点B为直角顶点的直角三角形，
所以斜边 最长.故选B.
√
2.已知的直观图△A'B'C'的面积为，则 的面积为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为的直观图的面积为 ，
所以 .故选D.
√
3.（多选题）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,则下列
说法正确的是( )
A.原来相交的直线仍相交 B.原来垂直的直线仍垂直
C.原来平行的直线仍平行 D.原来共点的直线仍共点
√
√
√
[解析] 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,原来相交的
直线仍相交,故A正确;
原来垂直的直线不一定垂直,故B错误;
原来平行的直线仍平行,故C正确;
原来共点的直线仍共点,故D正确.故选 .
4.[2024·浙江温州高一期末]如图，水平放置的 用斜二测画法作
出的直观图为，若，，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为， ，
所以，所以 ，
即，
因为 ，所以，，
所以 .还原直观 图得到，如图所示,
则, ，所以 .故选D.
5.作出水平放置的四边形 （如图所示）的直观图.
解：过点作轴,垂足为点,如图①所示.
画出对应的轴, 轴, 使 ,如图②所示.
在轴上取点,,使得,.在轴上取一点 ,使得
.过点作轴,使 . 连接,,
并擦去辅助线,如图③所示,四边形 就是四边形 的直观图.
①
②
③
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，不变的关系：
①一般情况下,直线的平行关系不变;
②点的共线性不变,线的共点性不变.
有可能发生变化的关系：
①长度相等的线段,在直观图中长度不一定相等;
②角的大小关系有变化,特别是垂直关系有变化.
原图形与直观图的面积的计算
1.还原原图形：由直观图求原图形的面积,关键是掌握斜二测画法,明
确原图形中垂直于水平直线的线段,在直观图中变为与水平直线成
角且长度为原来一半的线段.
例1 [2023·河南洛阳高一期中]如图所示， 是水平放置的
的斜二测画法的直观图，其中 ，则下
列说法正确的是( )
A. 是钝角三角形
B.的面积是 的面积的2倍
C.点的坐标为
D.的周长是
√
[解析] 因为是水平放置的 的斜二
测画法的直观图，所以根据斜二测画法还原原图
形，如图所示，其中 .
易知，又 ，
，所以 是直角三角形，故A错误；
，
，
所以的面积是的面积的 倍，故B错误；
点B的坐标为，故C错误；
的周长是 ，故D正确．故选D.
2.利用直观图与原图形的面积比：若一个平面多边形的面积为 ,它的
直观图面积为,则 .
例2 如图，平行四边形 是水平放置的一
个平面图形的直观图，其中 ， ，
，则原图形的面积是( )
A.4 B. C. D.6
[解析] 平行四边形 的面积 ，
所以原平面图形的面积 .故选C.
√11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
【课前预习】
知识点一
1.形状 大小
诊断分析
解:(1)球;(2)圆锥;(3)棱锥.
知识点二
1.平面图形
2.(1)45°(或135°) (2)平行(或重合) 不变 平行(或重合)
原来长度的一半
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)水平放置的n边形的直观图仍是n边形.
(2)利用斜二测画法画菱形的直观图时,相邻两边不一定再相等,故不一定是菱形.
(3)两条相交直线的公共点在它们的直观图上仍然是公共点,故两条相交直线的直观图不可能是平行直线.
2.解:(1)不一定,例如正方形(四个内角都相等)的直观图为平行四边形(相邻的内角互补,相对的内角相等).
(2)椭圆.
(3)在直观图中平行于x'轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于y'轴的线段在平面图形中长度变为它的2倍.
知识点三
1.(2)平行(或重合) 不变
诊断分析
解:被遮挡的部分改为虚线,通过实线虚线的变化,展示前后层次,体现立体感.
【课中探究】
探究点一
探索 解:(1)角的关系:原图形中∠xOy=90°,直观图中∠x'O'y'=45°(或135°).
(2)长度关系:原图形中与x轴平行的线段与直观图中对应线段长度相等;原图形中与y轴平行的线段是直观图中对应线段长度的2倍.
例1 解:在等腰梯形ABCD中,以AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴,建立如图①所示的平面直角坐标系xOy,CD与y轴交于点E,再建立如图②所示的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
以O'为中点在x'轴上取A'B'且A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=OE.以E'为中点作C'D'∥x'轴,且C'D'=CD.
连接B'C',D'A',去掉辅助线,所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图③.
变式 解:如图①所示,在△ABC中,以BC的中点O为原点,BC所在的直线为x轴,BC边上的高AO所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.
建立如图②所示的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
以O'为中点,在x'轴上取B'C',且O'B'=O'C'=2,在y'轴上取O'A'=OA,连接A'B',A'C'.
去掉辅助线,所得的三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图,如图③所示.
探究点二
探索 解:将用斜二测画法作出的直观图还原成空间几何体时,应注意:在直观图中平行于x'轴、y'轴、z'轴的线段在空间几何体中分别平行于x轴、y轴、z轴;在直观图中平行于x'轴、z'轴的线段在空间几何体中长度不变,但平行于y'轴的线段在空间几何体中长度变为它的2倍.
例2 解:(1)画轴.画出x'轴,y'轴,z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如图①所示.
(2)画底面.画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取长度相等的线段AA',BB',CC',DD',EE',FF',使它们都等于侧棱的长.
(4)连线成图.连接A'B',B'C',C'D',D'E',E'F',F'A',擦去有关辅助线,并把被面遮挡的线段改成虚线(或擦除),就得到正六棱柱的直观图,如图②所示.
变式 解:(1)画轴.画出x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如图①所示.
(2)画底面.以O'为中心,在x'O'y'平面内画出水平放置的正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点.在O'z'上截取O'P,使O'P=AB.
(4)连线成图.连接PA,PB,PC,PD,并擦去有关辅助线,将被面遮挡的线段改为虚线(或擦除),得到四棱锥的直观图,如图②.
拓展 解:(1)画轴.画出x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°,如图①所示.
(2)画下底面.以O'为中心,在x'O'y'平面内画出水平放置的边长为6 cm的正方形的直观图ABCD.
(3)画上底面.在O'z'上截取O'O1,使O'O1=4 cm,以O1为中心,画出水平放置的边长为2 cm的正方形A1B1C1D1.
(4)连线成图.连接AA1,BB1,CC1,DD1,并擦去有关辅助线,将被面遮挡的线段改成虚线(或擦除),得到正四棱台的直观图,如图②.
探究点三
探索
1.解:根据斜二测画法规则知,∠ACB=90°,故△ABC为直角三角形.
2.解:由已知得△ABC中,AC=6,BC=8,故AB==10.
3.解:原三角形的面积S=a·h(a为三角形的底,h为三角形的高).直观图中,a'=a,h'=h·sin 45°=h,则直观图的面积S'=a'·h'=a·h=×a·h=S.
例3 解:如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.
在过点D的y轴的平行线上取DA=2D1A1=2.
在过点A的x轴的平行线上取AB=A1B1=2.
连接BC,即得到了原四边形ABCD,
则原四边形ABCD是直角梯形,AB=2,CD=3,AD=2,
所以原图形的面积S=×2=5.
变式 C [解析] 在△A'B'C'中,B'C'=C'A'=1,∠B'A'C'=45°,由余弦定理可得B'C'2=A'C'2+A'B'2-2A'C'·A'B'·cos 45°,即A'B'2-A'B'=0,又A'B'>0,所以A'B'=,则△ABC中,AB⊥AC,AB=A'B'=,AC=2C'A'=2,故BC===.故选C.
拓展 D [解析] 如图①所示,过D'作D'E⊥O'B',垂足为点E,则△A'D'E是等腰直角三角形,则A'D'=A'E=×(4-2)×=,故B错误;四边形ABCD的平面图如图②所示,则AB=A'B'=4,CD=C'D'=2,AD=2A'D'=2,故A错误;过C作CF⊥AB,垂足为点F,则AF=DC=2,由勾股定理得CB==2,则四边形ABCD的周长为4+2+2+2=6+2+2,故C错误;四边形ABCD的面积为×(4+2)×2=6,故D正确.故选D.
【课堂评价】
1.B [解析] 由直观图可知△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形,所以斜边AC最长.故选B.
2.D [解析] 因为△ABC的直观图△A'B'C'的面积为,所以S△ABC=×2=4.故选D.
3.ACD [解析] 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,原来相交的直线仍相交,故A正确;原来垂直的直线不一定垂直,故B错误;原来平行的直线仍平行,故C正确;原来共点的直线仍共点,故D正确.故选ACD.
4.D [解析] 因为A'B'=A'C'=1,B'C'=,所以A'B'2+A'C'2=2=B'C'2,所以C'A'⊥A'B',即C'A'⊥O'B',因为∠C'O'A'=45°,所以O'C'=,O'A'=1,所以O'B'=2.还原直观图得到△ABC,如图所示,则OB=2,OC=2,所以BC==2.故选D.
5.解:过点C作CE⊥x轴,垂足为点E,如图①所示.画出对应的x'轴,y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图②所示.
在x'轴上取点B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE.在y'轴上取一点D',使得O'D'=OD.
过点E'作E'C'∥y'轴,使E'C'=EC.
连接B'C',C'D',并擦去辅助线,如图③所示,四边形O'B'C'D'就是四边形OBCD的直观图.11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
【学习目标】
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形;
2.掌握斜二测画法的步骤,能用斜二测法画出一些简单的平面图形和空间图形的直观图,掌握直观图的还原与计算,通过从实际物体中抽象出空间几何体,画出空间几何体的直观图,培养直观想象能力.
◆ 知识点一 空间几何体
1.定义:如果只考虑一个物体占有的空间 和 ,而不考虑其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.
2.接触过的几何体:长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
【诊断分析】 观察图中的物体,指出这些物体可以抽象为什么样的几何体
◆ 知识点二 斜二测画法
1.直观图的认识
从不同的方向观察同一个空间图形时,所看到的形状可能不一样.立体几何中,用来表示空间图形的 ,习惯上称为空间图形的直观图.
2.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴和y'轴,使得它们正方向的夹角为 .
(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴 的线段,且长度 .
平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴 的线段,且长度为 .
(3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)水平放置的三角形的直观图一定是三角形. ( )
(2)水平放置的菱形的直观图一定是菱形. ( )
(3)两条相交直线的直观图可能是平行直线. ( )
(4)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴. ( )
2.(1)相等的角在直观图中还相等吗
(2)我们一般用什么图形作为圆的直观图
(3)由直观图还原平面图形时,直观图中平行于x'轴、y'轴的线段在平面图形中长度如何变化
◆ 知识点三 简单几何体的直观图的画法
1.用斜二测画法作立体图形直观图的步骤
(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴).
(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴,且z'轴垂直于x'轴.图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴 的线段,且长度 .连接有关线段.
(3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).
2.注意事项:立体几何中的直观图不都是用斜二测画法作出的.
【诊断分析】 画空间几何体的直观图时,为了体现立体感,最重要的措施是什么
◆ 探究点一 平面图形的直观图
[探索] 如何将平面图形与平面图形的直观图进行转化
例1 用斜二测画法作出如图所示的水平放置的等腰梯形的直观图.
变式 用斜二测画法作出边长为4的水平放置的正三角形(如图)的直观图.
[素养小结]
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取恰当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.
(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
◆ 探究点二 空间几何体的直观图
[探索] 将用斜二测画法作出的直观图还原成空间几何体时应注意哪些问题
例2 用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形,侧面为矩形的棱柱)的直观图.(尺寸自定)
变式 画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.
[素养小结]
简单几何体直观图的画法:
(1)画轴:通常以高所在直线为z轴.
(2)画底面:根据平面图形直观图的画法确定底面.
(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图,注意擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).
拓展 已知一个正四棱台的上底面边长为2 cm,下底面边长为6 cm,高为4 cm,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
◆ 探究点三 直观图的还原和计算问题
[探索] 1.如图,△A'B'C'是用斜二测画法作出的水平放置的△ABC的直观图,能否判断△ABC的形状
2.若探索1中△A'B'C'中A'C'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是多少
3.若一个三角形的面积为S,则它的直观图的面积是多少
例3 如图所示,梯形A1B1C1D1是用斜二测画法作出的水平放置的平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形ABCD,并求出原图形的面积.
变式 [2024·河南郑州十一中高二月考] 如图,△A'B'C'是用斜二测画法作出的水平放置的△ABC的直观图,其中B'C'=C'A'=1,A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,则BC= ( )
A. B.2 C. D.4
[素养小结]
(1)由直观图还原为平面图形的关键是找与x'轴,y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长度的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
(2)若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=S或S=2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
拓展 [2024·湖北武汉高一期中] 如图,用斜二测画法作出的水平放置的四边形ABCD的直观图为等腰梯形A'B'C'D'.已知A'B'=4,C'D'=2,则下列说法正确的是 ( )
A.AB=2
B.A'D'=2
C.四边形ABCD的周长为4+2+2
D.四边形ABCD的面积为6
1.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC用斜二测画法作出的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是 ( )
A.AB B.AC
C.BC D.AD
2.已知△ABC的直观图△A'B'C'的面积为,则△ABC的面积为 ( )
A. B.
C.2 D.4
3.(多选题)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,则下列说法正确的是 ( )
A.原来相交的直线仍相交
B.原来垂直的直线仍垂直
C.原来平行的直线仍平行
D.原来共点的直线仍共点
4.[2024·浙江温州高一期末] 如图,水平放置的△ABC用斜二测画法作出的直观图为△A'B'C',若A'B'=A'C'=1,B'C'=,则BC=( )
A. B.
C.2 D.2
5.作出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
1.D [解析] 在A选项中,原图形中相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A选项错误.在B选项中,原图形中平行的两条线段仍然平行,不平行的两条线段仍然不会平行,所以梯形的直观图不可能是平行四边形,故B选项错误.在C选项中,原图形中相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,但是原图形中相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行,所以矩形的直观图中对边仍然平行,所以矩形的直观图不可能为梯形,故C选项错误.在D选项中,原图形中相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,但是原图形中相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行,所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直,但是对边仍然平行,所以正方形的直观图可能是平行四边形,故D选项正确.故选D.
2.D [解析] 根据斜二测画法的规则,∠x'O'y'的大小为45°或135°,∠x'O'z'的大小为90°.故选D.
3.C [解析] 如图所示,斜二测画法直观图还原平面图形,故△ABC是钝角三角形.故选C.
4.C [解析] 先按比例缩小,可知长方体的长、宽、高分别为4 cm,1 cm,2 cm,再结合斜二测画法,可知直观图中的相应尺寸分别为4 cm,0.5 cm,2 cm.故选C.
5.A [解析] 由题意及斜二测画法可知在△ABC中,OA=OB=1,OC=2,∠AOC=90°,所以BC=AC==,所以△ABC的周长为AB+BC+AC=2+2.故选A.
6.D [解析] 根据题意得原图形ABCD为梯形.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=A'B'=4,CD=C'D',高DO=2D'O',设C'D'=D'O'=x(x>0),则原平面图形的面积S=(x+4)×2x÷2=12,整理得x2+4x-12=0,解得x=2或x=-6(舍去),所以D'O'=2.故选D.
7.D [解析] 设正三角形ABC的边长为x,则其高为x,因为原正三角形的高BD平行于y轴(如图①),所以在直观图中B'D'平行于y'轴,所以∠B'D'A'=45°,B'D'=x(如图②).所以正三角形ABC的直观图的高为B'D'sin 45°=×x=x,所以△ABC的直观图的面积为×x×x=x2.由已知得x2=a2,所以x=2a,故△ABC的周长为3x=6a.
8.ABD [解析] 画出A,B,D三个选项中两个正三角形ABC的直观图分别如图①②③所示.可以发现,A,B,D三个选项中两个水平放置的正三角形ABC的直观图是全等三角形.画出C选项中两个正三角形ABC的直观图如图④所示.由图可知C选项中两个水平放置的正三角形ABC的直观图不是全等三角形.故选ABD.
9.CD [解析] 在△ABC中,OC=OA=2,OB=2O'B'=2,BO是△ABC的中线,以AC的中点O为原点,AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图,则A(2,0),B(0,2),C(-2,0),AC=AO+CO=2+2=4,∴AB=BC==2,∵==4,∴△ABC是等腰直角三角形,故A错误,C正确.∵在△A'B'C'中,O'C'=O'A'=2O'B'=2,∴S△A'B'C'=2××2×1×sin 45°=,OB=2,S△ABC=×4×2=4=2S△A'B'C',故B错误.△ABC的周长为AB+BC+AC=2+2+4=4+4,故D正确.故选CD.
[点拨] 若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则S=2S'.
10.4 [解析] 由S原图=2S直观图,可得正方形ABCD的面积为4×2=16,所以正方形ABCD的边长为4.
11.10 24 [解析] 如图所示,以C为原点,以CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,在x轴上取点A,使得CA=C'A'=6,在y轴上取点B,使得BC=2B'C'=8,所以AB==10,△ABC的面积S=×6×8=24.
12.4+4 [解析] 由题意可知O'D'=A'D'=2,∠A'O'D'=45°,∴O'A'=2,还原直观图可得原平面图形如图所示,则OD=2O'D'=4,OA=O'A'=2,AB=DC=2,∴AD===2,∴原平面图形的周长为4+4.
13.解:画出平面直角坐标系xOy,使点A与原点O重合,在x轴上取点C,使AC=,再在y轴上取点D,使AD=2,取AC的中点E,连接DE并延长至点B,使DE=EB,连接DC,CB,BA,如图①.
擦去辅助线,则四边形ABCD即为正方形A'B'C'D'的原图形,如图②所示.
易知四边形ABCD为平行四边形,∵AD=2,AC=,
∴S ABCD=2×=2,即原图形的面积为2.
14.解:(1)在△ABC中,以D为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图①所示的平面直角坐标系xOy,再建立如图②所示的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)在坐标系x'O'y'中,在x'轴上取O'B'=OB,O'C'=OC,
在y'轴上取O'A',使O'A'=OA.
(3)连接A'B',C'A',擦去辅助线,所得的△A'B'C'即为△ABC的直观图(如图③所示).
15. [解析] 如图①所示为正三角形OAB在平面直角坐标系内的图形.设AO的中点为C,连接BC.过点C'作x'轴和y'轴,使∠x'C'y'=45°,作出△ABC的直观图,如图②所示.过点B'作B'D⊥x'轴,垂足为点D,因为正三角形OAB的面积为,所以正三角形OAB的边长为2,则O'A'=2,又∠A'C'B'=45°,B'C'=BC=,所以B'D=B'C'·sin 45°=,故点B'到边O'A'的距离为.
16.解:由斜二测画法可知,直观图如图所示,在直观图中,A2O'=1,O'B2=1,C2O'=3,B2C2=2,A2A1=,B2B1=,C2C1=,A1A2∥B1B2∥C1C2∥y'轴,
所以=+--=+
--=+
--=.11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边形
2.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O'x',O'y',O'z'轴,则∠x'O'y'与∠x'O'z'的大小分别为 ( )
A.90°,90° B.45°,90°
C.135°,90° D.45°或135°,90°
3.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,它用斜二测画法作出的直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
4.已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,以长、宽、高所在直线分别为x,y,z轴,按1∶500的比例用斜二测画法作出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高分别为 ( )
A.4 cm,1 cm,2 cm B.4 cm,0.5 cm,1 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm D.2 cm,0.5 cm,1 cm
5.[2023·西安铁一中学高一期末] 如图,水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图为△A'B'C',已知A'O'=B'O'=C'O'=1,则△ABC的周长为 ( )
A.2+2 B.2+
C.1+ D.1+2
6.已知某平面图形的直观图如图所示,A'B'∥C'D',∠D'O'A'=135°,A'B'=4,C'D'=D'O',若原平面图形的面积为12,则D'O'= ( )
A.6 B.4 C.2 D.2
7.[2024·山东临沂高一期中] 已知水平放置的三角形ABC为正三角形,用斜二测画法作出的其直观图的面积为a2,则△ABC的周长是 ( )
A.2a B.a C.4a D.6a
8.(多选题)在下列选项中,利用斜二测画法,边长为1的正三角形ABC的直观图是全等三角形的是 ( )
★9.(多选题)如图所示,△A'B'C'是用斜二测画法作出的水平放置的△ABC的直观图,其中O'C'=O'A'=2O'B'=2,则以下说法正确的是 ( )
A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC的周长是4+4
二、填空题
10.已知用斜二测画法作出的水平放置的正方形ABCD的直观图 A'B'C'D'的面积为 4,则正方形 ABCD的边长为 .
11.如图所示,水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图是图中的△A'B'C',已知A'C'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是 ,△ABC的面积为 .
12.如图,一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形,且O'D'=2,则原平面图形的周长为 .
三、解答题
13.如图,四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形,且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,请画出该四边形的原图形,并求出原图形的面积.
14.如图所示,在△ABC中,BC=8,BC边上的高AD=6,试用斜二测画法画出其直观图.
15.已知点O为坐标原点,点A在x轴上,等边三角形OAB的面积为,用斜二测画法得到的其直观图为△O'A'B',则点B'到边O'A'的距离为 .
16.如图,已知点A(-1,1),B(1,3),C(3,1),用斜二测画法作出该水平放置的四边形ABCO的直观图,并求出直观图的面积.
