(共71张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱
探究点一 多面体的识别和判断
探究点二 棱柱的结构特征
探究点三 棱柱中的有关计算
探究点四 多面体的平面展开图
【学习目标】
1.了解多面体的定义及其分类；
2.理解棱柱的定义和结构特征；
3.能在棱柱中构造恰当的特征图形,研究其中的线段数量关系和
位置关系,能用公式计算棱柱的表面积；
4.通过观察空间图形，认识多面体、棱柱的结构特征，培养数学
抽象思维，提升直观想象能力．
知识点一 多面体
1.多面体的定义：一般地，由若干个____________所围成的封闭几何
体称为多面体.围成多面体的各个多边形称为多面体的____,相邻两个
面的公共边称为多面体的____,棱与棱的公共点称为多面体的______.
平面多边形
面
棱
顶点
2.多面体的面对角线、体对角线：一个多面体中,连接同一面上两个
顶点的线段,如果不是多面体的棱,就称其为多面体的__________;连
接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的__________.
面对角线
体对角线
3.多面体的表面积：多面体所有面的面积之和称为多面体的________
（或全面积）.
表面积
4.正多面体：各个面都是______的正多边形且过各顶点的棱数都
______的多面体一般称为正多面体.正多面体的顶点数、面数 、棱
数之间满足关系 ___.
全等
相等
2
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）多面体至少有四个面.( )
√
（2）多面体的顶点为多面体所有棱的公共点.( )
×
（3）多面体任意两个顶点的连线都为多面体的棱.( )
×
2.多面体都有体对角线吗？
解：不是所有的多面体都有体对角线，有些多面体就没有体对角线，
如图中的①②③.
但如果多面体有体对角线，那么就可能有多条体对角线，如图中的④⑤．
3.如何正确理解多面体的定义？
解：（1）多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其他曲面围
成的，也不是由空间多边形围成的．
（2）我们所说的多边形包括它内部的部分，故多面体是一个“封闭”
的几何体．
知识点二 棱柱的结构特征
1.棱柱的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 有两个面互 相______,且 该多面体的 ______都在 这两个面上, 底面：两个互相 平行的面. 侧面：其他各面. 侧棱：两个侧面 的公共边. 按侧棱是否垂
直于底面分
类，可分为直
棱柱、斜棱
柱.
平行
顶点
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 其余各面都 是_________ ___, 高：过棱柱一个 底面上的任意一 个顶点,作另一个 底面的垂线所得 到的线段 （或它的长度） 称为棱柱的高. 按底面的形状
分类，例如底
面是三角形、
四边形、五边
形的棱柱，
平行四边形
续表
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 这样的多面 体称为棱柱 侧面积：所有侧 面的面积之和 可分别称为三
棱柱、四棱
柱、五棱柱
续表
2.几个特殊的棱柱的概念
（1）直棱柱：如果______________________,则可知棱柱所有的侧面
都是长方形,这样的棱柱称为直棱柱（如图①③）.
（2）斜棱柱：____________的棱柱称为斜棱柱（如图②④）.
（3）正棱柱：底面是正多边形的________称为正棱柱（如图③）.
棱柱的侧棱垂直于底面
不是直棱柱
直棱柱
（4）平行六面体：底面是____________的棱柱也称为平行六面体
（如图④）.侧棱与底面垂直的平行六面体称为______________,底面
是矩形的直平行六面体是________,棱长都相等的长方体是________.
平行四边形
直平行六面体
长方体
正方体
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）棱柱可以看作由平面图形平移得到.( )
√
（2）棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不可能是平行四边形.( )
×
[解析] 棱柱的侧面都是平行四边形,底面也有可能是平行四边形.
（3）棱柱的两底面是全等的正多边形.( )
×
[解析] 棱柱的两底面全等,但不一定是正多边形.
（4）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.( )
×
[解析] 有一个侧面是矩形的棱柱不能保证侧棱与底面垂直.
2.已知螺栓头部模型为如图所示的正六棱柱,则它有多少个顶点 多少
条棱 多少个面 其中互相平行的面有多少对 能作为棱柱底面的面有
多少对
解：因为螺栓头部模型为正六棱柱,所以它有12个顶点,18条棱,8个面,
其中有4对互相平行的面,能作为棱柱底面的面只有1对.
3.平行六面体是棱柱吗 写出{四棱柱，平行六面体， 直平行六面
体， 正方体｝之间的包含关系.
解：底面是平行四边形的棱柱叫作平行六面体，故平行六面体是棱柱.
侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体.
底面是矩形的直平行六面体是长方体.棱长都相等的长方体是正方体.
四棱柱、平行六面体、 直平行六面体、
正方体 之间的关系如图所示.
4.如何正确理解棱柱的定义？
解：（1）棱柱的两个主要结构特征：
①有两个面平行，顶点都在这两个面上；
②各侧面都是平行四边形．
通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”．
（2）有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，
有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面．
（3）从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个
位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所形
成的几何体.
知识点三 棱柱的表面展开图和截面
1.一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部）,
称为这个几何体的一个______.
2.直棱柱的表面展开图是由两个________和一些________组成的.
3.过棱柱中不相邻的两条侧棱的截面是____________.
4.棱柱的两个底面与平行于底面的截面的关系是______.
截面
多边形
长方形
平行四边形
全等
【诊断分析】
1.棱柱的侧面展开图是由____________构成的平面图形.
平行四边形
2.如果一个长方体共顶点的三条棱的长分别为3,4,5,那么该长方体的
侧面展开图有几种可能的图形
解：有3种可能的图形.
探究点一 多面体的识别和判断
例1 如图所示的多面体中，底面 为正五边形，
回答下列问题：
（1）写出多面体的体对角线；
解：体对角线为，，，， ，
，，，， .
（2）指出多面体的顶点数、棱数、面数 以及
它们满足的关系式；
解：顶点数，棱数，面数 ，满
足的关系式为 .
（3）写出与棱 异面的棱；
解：与棱异面的棱有，，， ，
，, .
（4）写出与平面 的位置关系，并用符号表示.
解：与平面相交于点，即 平面 .
变式 [2024·山东菏泽高一期中] 正多面体各个面
都是全等的正多边形，其中面数最少的是正四面
体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉
图多面体.如图，正二十面体是由20个等边三角形
所组成的正多面体.已知多面体的顶点数-棱数 面
数 ，则正二十面体的顶点数为( )
A.30 B.20 C.12 D.10
√
[解析] 因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，
且每1条棱被2个三角形共用，即1个面对应 条棱，
所以共有 （条）棱，
所以由顶点数-棱数面数，得正二十面体的顶
点数 棱数面数 .故选C.
［素养小结］
（1）在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，并注意几何体
间的联系与区别；
（2）对于任意简单多面体，其顶点数、棱数及面数 之间满足关
系 .
探究点二 棱柱的结构特征
［探索］ 正四棱柱与长方体有何内在联系
解：正四棱柱一定是长方体,但长方体不一定是正四棱柱.
例2（1） 下列说法正确的是( )
A.底面是矩形的四棱柱是长方体
B.有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C.棱柱的各个侧面都是平行四边形
D.底面是正多边形的棱柱是正棱柱
√
[解析] 底面是矩形的四棱柱有可能是斜棱柱，不一定是长方体，故
A错误；
一般的四棱柱上下两个底面平行，其余各面都是平行四边形，
但上下底面不一定是平行四边形，故四棱柱不一定是平行六面体，
故B错误；
根据棱柱的性质可知C正确；
底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故D错误.故选C.
（2）（多选题）下列结论正确的是( )
A.长方体是平行六面体 B.正方体是平行六面体
C.平行六面体是四棱柱 D.直四棱柱是长方体
[解析] 底面是平行四边形的棱柱叫平行六面体，故长方体、正方体
是平行六面体，故A，B正确；
平行六面体是四棱柱，故C正确；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱，
当直四棱柱的底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故D错误.
故选 .
√
√
√
变式（1） 下列说法正确的是( )
A.侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C.棱柱中各条棱的长都相等
D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
[解析] 显然A正确；棱柱中两个互相平行的面不一定是棱柱的底面，
如正六棱柱相对的侧面也互相平行，故B错误；
棱柱中的每条侧棱的长都相等，而不是各条棱的长都相等，故C错误；
棱柱的底面可以是平行四边形，如长方体，故D错误.故选A.
√
（2）（多选题）下列关于棱柱的说法中正确的是( )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有5个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
√
√
√
[解析] 三棱柱的底面为三角形，故A正确；
因为三棱柱是面数最少的棱柱，有5个面，所以棱柱至少有5个面，
故B正确；
五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，故C正确；
若棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，则侧面的边长
对应相等，但侧面的内角不一定相等，故D错误.故选 .
［素养小结］
判定一个几何体是否是棱柱主要依据棱柱的定义，首先看“面”，观
察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形；
再看“顶点”，即观察顶点是否都在互相平行的两个面上.
探究点三 棱柱中的有关计算
例3 [2023·河南省实验中学高一月考] 直四棱柱的底面是菱形，经过
其不相邻的两条侧棱得到的截面称为对角面，直四棱柱有两个对角
面，其面积分别为， ，求直四棱柱的侧面积．
解：如图，设直四棱柱的底面边长为，侧棱长为 ，
两条底面对角线的长分别为， .
不妨设①， ，
易知 .
由①得，由②得，代入③得 ，
，， .
变式（1） 底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 ，体对
角线长为 ，则这个棱柱的侧面积是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] 如图所示，连接， ，则该直棱柱的底面对
角线为，则，
又体对角线为 ，所以 ，
所以这个棱柱的侧面积是 .
√
（2）如图①所示的正方体的棱长
为1，沿图中阴影部分将其分割成
两块，重新拼接成如图②所示的
[解析] 由题意得，斜四棱柱的上、下两个面为矩形，长为 ，宽为1；
左、右两个面为正方形，边长为1；前、后两个面为平行四边形，
相邻两边长分别为1与，一个内角为 .
故该斜四棱柱的表面积是
.
斜四棱柱，则所得斜四棱柱的表面积是_________.
［素养小结］
（1）对于直棱柱,要灵活应用侧棱与底面垂直的条件,从而构建直角
三角形求解有关问题.
（2）截面问题首先应弄清截面的形状、位置、性质,然后才能进行下
一步的计算.
拓展 已知正三棱柱的底面边长是2,,分别是棱 ,
的中点, .求:
（1）正三棱柱 的侧棱长;
解：由题意知, ,
.
由几何体 为正三棱柱,
得,则 为直角三角形.
.
又是的中点,所以正三棱柱的侧棱长为 .
（2）正三棱柱 的表面积.
解：由题得, ,
,
则正三棱柱的表面积为
.
探究点四 多面体的平面展开图
例4 [2023·浙江宁波余姚中学高一月考]长方体 的
长、宽、高分别为3，2，1，有一质点沿长方体表面从点 运动到点
，则该质点所经过的最短路程为( )
A. B. C. D.4
√
[解析] 如图①，在长方体中，， ，.
如图②所示，将侧面和侧面 展开到同一个平面内，
则，即质点经过侧面 和侧面时，
质点运动的最短路程是 ；
如图③所示，将侧面和底面 展开到同一个平面内，
则，即质点经过侧面和底面 时，
质点运动的最短路程是 ；
如图④所示，将侧面和底面 展开到同一个平面内，
则，即质点经过侧面和底面
时，质点运动的最短路程是.
因为 ，所以该质点运动的最短路程为 .故选A.
变式 如图，在长方体中，, ,
，点在上，是上的动点，则 的最小值
为_____.
[解析] 连接，在长方体中，平面 和平面
以 为公共边的展开图如图所示，
由图可知，当时， 取得最小值.
由题意知,, ，
所以 ， ，
所以在 中， ，在中， ，
所以 ，所以，
即 的最小值为 .
［素养小结］
多面体表面上两点间的最短距离问题常常要转化为求平面上两点间
的最短距离问题.常见的解法是先把多面体的表面展开成平面图形,再
用平面几何知识求有关线段的长度.
1.下列多面体中属于五面体的是( )
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱柱 D.五棱锥
[解析] 三棱锥只有四个面，三棱柱有五个面，四棱柱有
六个面，五棱锥有六个面.故选B.
√
2.给出下列关于四棱柱的说法：
①四条侧棱互相平行且相等；
②两对相对的侧面互相平行；
③侧棱必与底面垂直.
其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.0
√
[解析] 根据棱柱的定义知，四棱柱的各个侧面都是平行四边形，
四条侧棱互相平行且相等，故①正确；
四棱柱两对相对的侧面不一定互相平行，如图所示,故②不正确；
斜四棱柱的侧棱与底面不垂直，故③不正确.故选A.
3.[2023·河南焦作一中高一月考]长方体共顶点的三个面的面积分别
是，， ，则该长方体的体对角线的长是( )
A. B. C.6 D.
[解析] 设该长方体的长、宽、高分别为，， .
由长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，
可得 可得
所以该长方体的体对角线的长为 .故选D.
√
4.如图是一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠即可还原），
则这个多面体的顶点数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
√
[解析] 由展开图还原成几何体，如图所示.
由图可知，该几何体有7个顶点.故选B.
5.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代
表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱
体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是
“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上
的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数
学的对称美．如图是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同
一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体的所有
棱长之和为___________．
[解析] 设其棱长为，过该几何体的中心且与平面 平行的截面
如图②所示，将其补全为一个正方形.
易知 , ，则有,
解得 ，故该半正多面体的所有棱长之和为 ．
①
②
1.棱柱有三个本质特征：（1）有两个面互相平行；（2）顶点都在互
相平行的两个面上；（3）其余各面都是平行四边形.
2.棱柱的分类
3.几种常见的四棱柱之间的关系
4.绘制展开图
绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能
力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标
上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出剩余各面,便可得到其
表面展开图.
1.掌握棱柱的空间结构特征的关键是弄清底面形状与侧棱的特点,如
棱柱的侧棱平行.
例1 利用集合的观点辨析四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体的
关系.
解：用集合来表示这些几何体的关系为正方体正四棱柱 直
四棱柱四棱柱 .
2.空间几何体侧面上两点间的最短距离问题常常转化为求平面上两点
间的距离问题,通常先把侧面展开成平面图形,再用平面几何知识求解.
例2 [2023·湖南常德临澧一中高一月考] 如图所示，在
正三棱柱中，， ，从顶点
沿棱柱侧面(经过棱到达顶点，与 的交点记
为.求从经过到达的最短路线长及此时 的值.
解：如图，将侧面与侧面沿 展
开至同一平面，当，，三点共线时，
从 经过到达 的路线最短，
显然 ，
所以，即 .
所以最短路线长为 .
3.多面体性质探究
例3 设为多面体的一个顶点，定义多面体在 处的离散曲率为
，其中
为多面体的所有与点 相邻的顶点，且平
面，， ，，是多面体的所有以 为
公共点的面.如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体
（每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体），若它们在各
顶点处的离散曲率分别是，，，，则，，， 的大小关系是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于正四面体，其离散曲率 ；
对于正八面体，其离散曲率 ；
对于正十二面体，其离散曲率 ；
对于正二十面体，其离散曲率.
因为，所以 ，故选B.
4.截面问题
例4（1） [2024·福建厦门双十中学高一月考]在立体几何中，用一个
平面去截一个几何体得到的平面图形叫作截面．正方体
中,，分别是棱与的中点,则经过， ， 三点的
截面是( )
A.邻边不相等的平行四边形 B.菱形但不是正方形
C.矩形 D.正方形
√
[解析] 如图所示，连接,，， ，.
设正方体 的棱长为2，
则, ,
, ，
所以四边形为菱形，且 ，
所以经过，B，三点的截面为菱形，
又因为 ，且 ，
所以该截面是菱形但不是正方形.故选B.
（2）（多选题）如图，若过 的平面与正方体
相交，且分别交，于，
两点，则下列关于截面 的说法中正确的是
( )
A.截面可能是矩形 B.截面 可能是菱形
C.截面可能是梯形 D.截面 不可能是正方形
√
√
√
[解析] 如图①，当,分别与顶点 ,C重合时，
显然截面 是矩形，故A正确；
如图②，当，分别为， 的中点时，显然截面
是菱形，故B正确；
由正方体的性质及勾股定理易知截面 不可能
为正方形，故D正确；
根据对称性可知，截面 一定为平行四边形，
故C不正确.故选 .11.1.3 多面体与棱柱
【课前预习】
知识点一
1.平面多边形 面 棱 顶点
2.面对角线 体对角线
3.表面积 4.全等 相等 2
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)×
2.解:不是所有的多面体都有体对角线,有些多面体就没有体对角线,如图中的①②③.但如果多面体有体对角线,那么就可能有多条体对角线,如图中的④⑤.
3.解:(1)多面体是由平面多边形围成的,不是由圆面或其他曲面围成的,也不是由空间多边形围成的.
(2)我们所说的多边形包括它内部的部分,故多面体是一个“封闭”的几何体.
知识点二
1.平行 顶点 平行四边形
2.(1)棱柱的侧棱垂直于底面 (2)不是直棱柱 (3)直棱柱
(4)平行四边形 直平行六面体 长方体 正方体
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (2)棱柱的侧面都是平行四边形,底面也有可能是平行四边形.
(3)棱柱的两底面全等,但不一定是正多边形.
(4)有一个侧面是矩形的棱柱不能保证侧棱与底面垂直.
2.解:因为螺栓头部模型为正六棱柱,所以它有12个顶点,18条棱,8个面,其中有4对互相平行的面,能作为棱柱底面的面只有1对.
3.解:底面是平行四边形的棱柱叫作平行六面体,故平行六面体是棱柱.侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体是长方体.棱长都相等的长方体是正方体.{四棱柱}、{平行六面体}、{直平行六面体}、{正方体}之间的关系如图所示.
4.解:(1)棱柱的两个主要结构特征:
①有两个面平行,顶点都在这两个面上;
②各侧面都是平行四边形.
通俗地讲,棱柱“两头一样平,上下一样粗”.
(2)有两个面互相平行,并不表明只有两个面互相平行,如长方体,有三组对面互相平行,其中任意一组对面都可以作为底面.
(3)从运动的观点来看,棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时,其运动轨迹所形成的几何体.
知识点三
1.截面 2.多边形 长方形 3.平行四边形 4.全等
诊断分析
1.平行四边形
2.解:有3种可能的图形.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)体对角线为AC1,AD1,BD1,BE1,CE1,CA1,DA1,DB1,EB1,EC1.
(2)顶点数V=10,棱数E=15,面数F=7,满足的关系式为V+F-E=2.
(3)与棱AB异面的棱有CC1,DD1,EE1,B1C1,C1D1,D1E1,A1E1.
(4)AB与平面BCC1B1相交于点B,即AB∩平面BCC1B1=B.
变式 C [解析] 因为每个面都是三角形,每个面对应3条棱,且每1条棱被2个三角形共用,即1个面对应条棱,所以共有×20=30(条)棱,所以由顶点数-棱数+面数=2,得正二十面体的顶点数=棱数+2-面数=30+2-20=12.故选C.
探究点二
探索 解:正四棱柱一定是长方体,但长方体不一定是正四棱柱.
例2 (1)C (2)ABC [解析] (1)底面是矩形的四棱柱有可能是斜棱柱,不一定是长方体,故A错误;一般的四棱柱上下两个底面平行,其余各面都是平行四边形,但上下底面不一定是平行四边形,故四棱柱不一定是平行六面体,故B错误;根据棱柱的性质可知C正确;底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,故D错误.故选C.
(2)底面是平行四边形的棱柱叫平行六面体,故长方体、正方体是平行六面体,故A,B正确;平行六面体是四棱柱,故C正确;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱,当直四棱柱的底面不是矩形时,直四棱柱不是长方体,故D错误.故选ABC.
变式 (1)A (2)ABC [解析] (1)显然A正确;棱柱中两个互相平行的面不一定是棱柱的底面,如正六棱柱相对的侧面也互相平行,故B错误;棱柱中的每条侧棱的长都相等,而不是各条棱的长都相等,故C错误;棱柱的底面可以是平行四边形,如长方体,故D错误.故选A.
(2)三棱柱的底面为三角形,故A正确;因为三棱柱是面数最少的棱柱,有5个面,所以棱柱至少有5个面,故B正确;五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形,故C正确;若棱柱的底面边长相等,它的各个侧面为平行四边形,则侧面的边长对应相等,但侧面的内角不一定相等,故D错误.故选ABC.
探究点三
例3 解:如图,设直四棱柱的底面边长为a,侧棱长为l,两条底面对角线的长分别为c,d.
不妨设cl=Q1①,dl=Q2②,易知+=a2③.
由①得c=,由②得d=,代入③得+=a2,∴+=4l2a2,∴2la=,
∴S侧=4al=2.
变式 (1)D (2)4+2 [解析] (1)如图所示,连接BD,BD',则该直棱柱的底面对角线为BD=,则AB=1,又体对角线为BD'=,所以DD'=2,所以这个棱柱的侧面积是4S四边形ABB'A'=4×1×2=8.
(2)由题意得,斜四棱柱的上、下两个面为矩形,长为,宽为1;左、右两个面为正方形,边长为1;前、后两个面为平行四边形,相邻两边长分别为1与,一个内角为45°.故该斜四棱柱的表面积是2×1×+2×12+2×1××sin 45°=4+2.
拓展 解:(1)由题意知,BE=EC=1,DE=AE=2×sin 60°=.
由几何体ABC-A1B1C1为正三棱柱,得CC1⊥BC,则△ECD为直角三角形.
在Rt△ECD中,CD===.
又D是CC1的中点,所以正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2.
(2)由题得,S△ABC=×2×=,=2×2=4,则正三棱柱的表面积为2S△ABC+3=2×+3×4=2+12.
探究点四
例4 A [解析] 如图①,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.如图②所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开到同一个平面内,则AC1= =,即质点经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时,质点运动的最短路程是;如图③所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开到同一个平面内,则AC1==3,即质点经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时,质点运动的最短路程是3;如图④所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开到同一个平面内,则AC1==2,即质点经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时,质点运动的最短路程是2.因为3<2<,所以该质点运动的最短路程为3.故选A.
变式 2 [解析] 连接BD1,在长方体中,平面D1BC1和平面CBC1以BC1为公共边的展开图如图所示,由图可知,当D1Q⊥BC时,PD1+PQ取得最小值.由题意知CC1=,BC=3,D1C1=2,所以BC1==2,D1B==4,所以在Rt△BD1C1中,∠D1BC1=30°,在Rt△BC1C中,∠C1BC=30°,所以∠D1BC=60°,所以D1Q=4×sin 60°=2,即PD1+PQ的最小值为2.
【课堂评价】
B [解析] 三棱锥只有四个面,三棱柱有五个面,四棱柱有六个面,五棱锥有六个面.故选B.
A [解析] 根据棱柱的定义知,四棱柱的各个侧面都是平行四边形,四条侧棱互相平行且相等,故①正确;四棱柱两对相对的侧面不一定互相平行,如图所示,故②不正确;斜四棱柱的侧棱与底面不垂直,故③不正确.故选A.
3.D [解析] 设该长方体的长、宽、高分别为a,b,c(a>b>c).由长方体共顶点的三个面的面积分别是,,,可得可得所以该长方体的体对角线的长为=.故选D.
4.B [解析] 由展开图还原成几何体,如图所示.由图可知,该几何体有7个顶点.故选B.
5.48(-1) [解析] 设其棱长为a,过该几何体的中心且与平面MNPQ平行的截面如图②所示,将其补全为一个正方形.易知AB=BD=DE=a,BC=CD=,则有+=a2,解得a=-1,故该半正多面体的所有棱长之和为48(-1).
②11.1.3 多面体与棱柱
【学习目标】
1.了解多面体的定义及其分类;
2.理解棱柱的定义和结构特征;
3.能在棱柱中构造恰当的特征图形,研究其中的线段数量关系和位置关系,能用公式计算棱柱的表面积;
4.通过观察空间图形,认识多面体、棱柱的结构特征,培养数学抽象思维,提升直观想象能力.
◆ 知识点一 多面体
1.多面体的定义:一般地,由若干个 所围成的封闭几何体称为多面体.围成多面体的各个多边形称为多面体的 ,相邻两个面的公共边称为多面体的 ,棱与棱的公共点称为多面体的 .
2.多面体的面对角线、体对角线:一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,如果不是多面体的棱,就称其为多面体的 ;连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的 .
3.多面体的表面积:多面体所有面的面积之和称为多面体的 (或全面积).
4.正多面体:各个面都是 的正多边形且过各顶点的棱数都 的多面体一般称为正多面体.正多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间满足关系V+F-E= .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)多面体至少有四个面. ( )
(2)多面体的顶点为多面体所有棱的公共点. ( )
(3)多面体任意两个顶点的连线都为多面体的棱. ( )
2.多面体都有体对角线吗
3.如何正确理解多面体的定义
◆ 知识点二 棱柱的结构特征
1.棱柱的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱 柱 有两个面互相 ,且该多面体的 都在这两个面上,其余各面都是 , 这样的多面体称为棱柱 可记作棱柱 ABCDEF- A'B'C'D'E'F' 底面:两个互相平行的面. 侧面:其他各面. 侧棱:两个侧面的公共边. 高:过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高. 侧面积:所有侧面的面积之和 按侧棱是否垂直于底面分类,可分为直棱柱、斜棱柱. 按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱,可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱
2.几个特殊的棱柱的概念
(1)直棱柱:如果 ,则可知棱柱所有的侧面都是长方形,这样的棱柱称为直棱柱(如图①③).
(2)斜棱柱: 的棱柱称为斜棱柱(如图②④).
(3)正棱柱:底面是正多边形的 称为正棱柱(如图③).
(4)平行六面体:底面是 的棱柱也称为平行六面体(如图④).侧棱与底面垂直的平行六面体称为 ,底面是矩形的直平行六面体是 ,棱长都相等的长方体是 .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)棱柱可以看作由平面图形平移得到. ( )
(2)棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不可能是平行四边形. ( )
(3)棱柱的两底面是全等的正多边形. ( )
(4)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. ( )
2.已知螺栓头部模型为如图所示的正六棱柱,则它有多少个顶点 多少条棱 多少个面 其中互相平行的面有多少对 能作为棱柱底面的面有多少对
3.平行六面体是棱柱吗 写出{四棱柱},{平行六面体},{直平行六面体},{正方体}之间的包含关系.
4.如何正确理解棱柱的定义
◆ 知识点三 棱柱的表面展开图和截面
1.一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),称为这个几何体的一个 .
2.直棱柱的表面展开图是由两个 和一些 组成的.
3.过棱柱中不相邻的两条侧棱的截面是 .
4.棱柱的两个底面与平行于底面的截面的关系是 .
【诊断分析】 1.棱柱的侧面展开图是由 构成的平面图形.
2.如果一个长方体共顶点的三条棱的长分别为3,4,5,那么该长方体的侧面展开图有几种可能的图形
◆ 探究点一 多面体的识别和判断
例1 如图所示的多面体中,底面ABCDE为正五边形,回答下列问题:
(1)写出多面体的体对角线;
(2)指出多面体的顶点数V、棱数E、面数F以及它们满足的关系式;
(3)写出与棱AB异面的棱;
(4)写出AB与平面BCC1B1的位置关系,并用符号表示.
变式 [2024·山东菏泽高一期中] 正多面体各个面都是全等的正多边形,其中面数最少的是正四面体,面数最多的是正二十面体,它们被称为柏拉图多面体.如图,正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体的顶点数-棱数+面数=2,则正二十面体的顶点数为 ( )
A.30 B.20
C.12 D.10
[素养小结]
(1)在利用几何体的概念进行判断时,要紧扣定义,并注意几何体间的联系与区别;
(2)对于任意简单多面体,其顶点数V、棱数E及面数F之间满足关系V+F-E=2.
◆ 探究点二 棱柱的结构特征
[探索] 正四棱柱与长方体有何内在联系
例2 (1)下列说法正确的是 ( )
A.底面是矩形的四棱柱是长方体
B.有两个面平行,其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C.棱柱的各个侧面都是平行四边形
D.底面是正多边形的棱柱是正棱柱
(2)(多选题)下列结论正确的是 ( )
A.长方体是平行六面体
B.正方体是平行六面体
C.平行六面体是四棱柱
D.直四棱柱是长方体
变式 (1)下列说法正确的是 ( )
A.侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C.棱柱中各条棱的长都相等
D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
(2)(多选题)下列关于棱柱的说法中正确的是 ( )
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有5个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等
[素养小结]
判定一个几何体是否是棱柱主要依据棱柱的定义,首先看“面”,观察这个多面体是否有两个互相平行的面,其余各面都是平行四边形;再看“顶点”,即观察顶点是否都在互相平行的两个面上.
◆ 探究点三 棱柱中的有关计算
例3 [2023·河南省实验中学高一月考] 直四棱柱的底面是菱形,经过其不相邻的两条侧棱得到的截面称为对角面,直四棱柱有两个对角面,其面积分别为Q1,Q2,求直四棱柱的侧面积.
变式 (1)底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为,体对角线长为,则这个棱柱的侧面积是 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
(2)如图①所示的正方体的棱长为1,沿图中阴影部分将其分割成两块,重新拼接成如图②所示的斜四棱柱,则所得斜四棱柱的表面积是 .
[素养小结]
(1)对于直棱柱,要灵活应用侧棱与底面垂直的条件,从而构建直角三角形求解有关问题.
(2)截面问题首先应弄清截面的形状、位置、性质,然后才能进行下一步的计算.
拓展 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E分别是棱CC1,BC的中点,AE=DE.求:
(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长;
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
◆ 探究点四 多面体的平面展开图
例4 [2023·浙江宁波余姚中学高一月考] 长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,有一质点沿长方体表面从点A运动到点C1,则该质点所经过的最短路程为( )
A.3 B.
C.2 D.4
变式 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=3,AA1=,点P在BC1上,Q是BC上的动点,则PD1+PQ的最小值为 .
[素养小结]
多面体表面上两点间的最短距离问题常常要转化为求平面上两点间的最短距离问题.常见的解法是先把多面体的表面展开成平面图形,再用平面几何知识求有关线段的长度.
1.下列多面体中属于五面体的是 ( )
A.三棱锥 B.三棱柱
C.四棱柱 D.五棱锥
2.给出下列关于四棱柱的说法:
①四条侧棱互相平行且相等;
②两对相对的侧面互相平行;
③侧棱必与底面垂直.
其中正确说法的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.0
3.[2023·河南焦作一中高一月考] 长方体共顶点的三个面的面积分别是,,,则该长方体的体对角线的长是 ( )
A.2 B.3 C.6 D.
4.如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体的所有棱长之和为 . 11.1.3 多面体与棱柱
1.D [解析] 四棱柱的底面可以是任意四边形,而平行六面体的底面必须是平行四边形,故A不正确,由棱柱的定义可知,B不正确,D正确.用一组平行平面去截棱柱,截面面积有时不相等,所以C不正确.故选D.
2.D [解析] 这三个几何体中有两个三棱柱,另一个是底面为六边形的直棱柱,所以这三个几何体中棱柱的个数为3.故选D.
3.B [解析] 根据对角面都是矩形,可知侧棱和底面垂直,所以该几何体是直平行六面体,再根据底面是正方形,可知该几何体是正四棱柱.故选B.
4.C [解析] 由题可得两圆应该在正方体的相对的两个面上,排除A,B,;两个白色三角形有一条共同的棱,排除D.故选C.
5.C [解析] 由题意得直平行六面体的底面菱形的对角线长是6和6.当底面对角线的长为6时,体对角线的长为==3;当底面对角线的长为6时,体对角线的长为==3.故选C.
6.C [解析] 如图,过棱AB和点F作截面,截面为△ABF.∵AC=BC,CF=CF,∴△ACF≌△BCF,∴AF=BF,取AB的中点G,连接FG,由AF=BF,得FG⊥AB,∴FG==4,∴△ABF的面积为AB×FG=×4×4=8,即所求截面面积为8.故选C.
7.A [解析] 由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2的正方体截去了8个正三棱锥所剩的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为.故该几何体的表面积S=6×+8××2×=8(6+6+).
[技巧] 补形出正方体,结合图形求出正方体的棱长,然后直接求解表面积即可.
8.ACD [解析] 棱柱的侧面都是四边形,故A中说法不正确;正方体和长方体都是特殊的四棱柱,故B中说法正确;不是所有几何体的表面都能展开成平面图形,球不能展开成平面图形,故C中说法不正确;棱柱的各条棱并不是都相等,只是棱柱的侧棱都相等,故D中说法不正确.故选ACD.
9.AD [解析] 连接A1D,DB,求DP的最小值,即求△DA1B的底边A1B上的高,易知A1B=A1D=,BD=,易求得A1B边上的高h=.连接A1C1,BC1,得△A1BC1,以A1B所在直线为轴,将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1内,设点C1的新位置为C',连接AC',则AC'即为AP+PC'的最小值,易知AA1=2,A1C'=,cos∠AA1C'=-,所以AC'==.故选AD.
[点拨]多面体表面上两点间的最短距离问题常常要转化为求平面上两点间的最短距离问题.常见的解法是先把多面体的表面展开成平面图形,再用平面几何知识求有关线段的长度.
10. [解析] 设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,体对角线的长度为d,则有2(ab+bc+ca)=22,4(a+b+c)=24,即a+b+c=6,则d==
==.
11.2 [解析] 如图,取AN的中点P,连接MP,则MP=AN.取AC的中点Q,连接BQ,易得BQ=MP.因为BQ=,所以AN=2.
12. [解析] 当点F与点D重合时,如图①所示,由正方体性质知平面D1EF即为平面DGHD1,平面D1EF与底面的交线为DG,且G,H分别为BC,B1C1的中点,所以此时点P在线段DG上.当点F与点A重合时,如图②所示,由正方体性质知平面D1EF即为平面ABC1D1,平面D1EF与底面的交线为AB,所以此时点P在线段AB上.综上,梯形ABGD(图①中)即为点P构成的图形,又正方体的棱长为1,所以所求面积为××1=.
① ②
13.解:将两个完全相同的长方体组合成新的长方体,其情形有以下几种:将面积为5×3=15(cm2)的面重叠到一起,将面积为5×4=20(cm2)的面重叠到一起,将面积为4×3=12(cm2)的面重叠到一起.
三种情形下新长方体的体对角线长分别为=7(cm),=(cm),=5(cm).
14.解:如图所示,将正方体的面ABB1A1,BCC1B1,A1B1C1D1在同一平面展开,如图所示.
由图可得,当M,P,Q,N在一条直线上时,折线MPQN的长最小.
作ON,OM分别与正方形的边平行,且交于点O,
因为正方体的棱长为3,且A1N=AM=2MB1,所以ON=3,OM=2,
所以MN==,即折线MPQN的长的最小值为.
15. [解析] 如图所示,连接DA1,A1Q,易知截面为四边形A1DPQ,四边形A1DPQ为等腰梯形.又PQ==,DA1==2,PD=A1Q==,所以梯形A1DPQ的高h==,故截面的面积S=×(+2)×=.
16.解:(1)如图所示.
(2)如图所示,M,N,H分别为AB,DD1,D1C1的中点,
易知过P,Q,R的截面图形为六边形PHNRMQ,PQ=NR=RM=HP=,MQ=NH=,
所以该截面图形的周长为4+2.11.1.3 多面体与棱柱
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A.四棱柱是平行六面体
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.用一组平行平面去截棱柱,截面面积总相等
D.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
2.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1被两个平面分成三部分,得到三个几何体,其中EF∥GH∥BC,则这三个几何体中棱柱的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
3.平行六面体的对角面都是矩形,且底面是正方形,则此平行六面体一定是 ( )
A.斜棱柱 B.正四棱柱
C.六棱柱 D.正方体
4.[2024·广东惠州六校高一期中] 把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形(如图),则根据各面上的图案判断这个正方体是 ( )
A B C D
5.[2024·福建南安侨光中学高一月考] 一个直平行六面体的侧棱长是9,底面是有一个角为60°且边长为6的菱形,则此平行六面体的体对角线的长是 ( )
A.3 B.3
C.3或3 D.
6.[2023·浙江嘉兴五中高一期末] 正三棱柱ABC-DEF的下底面是等边三角形,各侧面是全等的矩形,已知底面边长为4,棱柱的高为6,过棱AB和点F作截面,则此截面的面积为( )
A.12 B.4
C.8 D.4
★7.[2024·黑龙江绥化海伦一中高一期中] 鲁班锁(也称孔明锁)起源于中国古代建筑的榫卯结构,这种三维的拼插玩具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图①,这是一种常见的鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的示意图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为 ( )
A.8(6+6+) B.6(8+8+)
C.8(6+6+) D.6(8+8+)
8.(多选题)下列说法中不正确的是 ( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有几何体的表面都能展开成平面图形
D.棱柱的各条棱都相等
★9.(多选题)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,P是A1B上的一个动点,则下列选项正确的是 ( )
A.DP的最小值为
B.DP的最小值为
C.AP+PC1的最小值为
D.AP+PC1的最小值为
二、填空题
10.[2023·吉林通化梅河口五中高一月考] 长方体的表面积为22,所有棱的长度之和为24,则这个长方体的一条体对角线的长度为 .
11.如图所示,等腰直角三角形AMN的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,且∠AMN=90°.已知正三棱柱的底面边长为2,则△AMN的斜边长为 .
12.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面BB1C1C的中心,F在棱AD上运动.若点P是平面D1EF与正方体的底面ABCD的公共点,则所有满足条件的点P构成的图形的面积为 .
三、解答题
13.有两个完全相同的长方体,它们的长、宽、高分别是5 cm,4 cm,3 cm,现将它们组合成一个新的长方体,这个新长方体的体对角线的长是多少
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别为AB1,A1C1上的点,且A1N=AM=2MB1,P,Q分别为棱BB1,B1C1上的动点,求折线MPQN的长的最小值.
15.如图,在棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中,P,Q分别为CC1,B1C1的中点,则过D,P,Q三点的平面截正方体A1B1C1D1-ABCD所得截面的面积为 .
16.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=BC=2,P,Q分别为B1C1与BB1的中点.
(1)经过P,Q作平面α,平面α被长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面所截得的截面可能是n边形,请根据n的不同取值分别作出截面图形形状(每种情况找一个代表类型,例如n=3只需要画一种,下面给了四幅图,可以不用完,如果不够请自行增加);
(2)若R为AD上的一点,且AR=2,求过P,Q,R的截面图形的周长.
