(共80张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.5 旋转体
探究点一 旋转体的结构特征
探究点二 旋转体中的简单计算问题
探究点三 旋转体的表面积与侧面积
探究点四 与球相关的“切”“接”问题
【学习目标】
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,掌握圆柱、圆锥、圆台、球
的结构特征，通过实物、计算机软件等观察空间图形，抽象出圆柱、
圆锥、圆台和球的结构特征，培养数学抽象思维和直观想象能力；
2.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体,
会作旋转体的轴截面,并利用轴截面或截面计算圆柱、圆锥、圆台、
球的表面积，通过圆柱、圆锥、圆台和球的表面积的计算，培养数
学运算能力．
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
（1）
1.圆柱的定义：以____________所在直线为旋转轴，
将矩形旋转一周而形成的几何体称为圆柱.如图（1）.
矩形的一边
2.圆锥的定义：以直角三角形__________所在直线为旋转轴，将直角
三角形旋转一周而形成的几何体称为圆锥.如图（2）.
一直角边
（2）
3.圆台的定义：以直角梯形________________所在直线为旋转轴，将
直角梯形旋转一周而形成的几何体称为圆台.如图（3）.
垂直于底边的腰
（3）
4.旋转体
（1）定义：用类似______、______、______的形成方式构成的几何
体都是旋转体.
圆柱
圆锥
圆台
（2）有关概念：________称为旋转体的轴，在轴上的边（或它的长
度）称为旋转体的____，垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体
的______，不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的______.无
论旋转到什么位置，________________都称为母线.
旋转轴
高
底面
侧面
不垂直于轴的边
5.轴截面：在旋转体中，通过__________所得到的截面通常简称为轴
截面.如圆柱的轴截面是______，圆锥的轴截面是____________，圆
台的轴截面是__________.
轴的平面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）圆台有无数条母线,它们相等,延长后相交于一点.( )
√
（2）用平面去截圆锥，会得到一个圆锥和一个圆台.( )
×
（3）以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,旋转一周得到的旋转
体为圆锥.( )
×
（4）圆台的轴截面是等腰梯形.( )
√
2.（1）圆柱的母线有多少条 它们之间有什么关系
解：圆柱的母线有无数条,它们之间相互平行.
（2）圆台的两条母线所在的直线一定相交吗
解：一定.由于圆台可认为是由平行于圆锥底面的平面截圆锥所得的,
故两条母线所在的直线一定相交.
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积定义
（1）旋转体的侧面积：旋转体______的面积称为旋转体的侧面积.
（2）旋转体的表面积：________与________之和称为旋转体的表面
积（或全面积）.
侧面
侧面积
底面积
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
名称 图形及侧面展开图 公式
旋转体 圆柱
名称 图形及侧面展开图 公式
旋转体 圆锥
续表
名称 图形及侧面展开图 公式
旋转体 圆台
续表
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）圆柱的侧面积等于底面积与高的积.( )
×
[解析] 圆柱的侧面积等于底面周长与高的积.
（2）圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，母线缩小到原来的 ，它的
表面积不变.( )
×
[解析] 当圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，母线缩小到原来的 时，
它的底面积扩大为原来的4倍，而侧面积不变，所以它的表面积发生
了变化.
（3）圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、一个扇形、一个
扇环.( )
×
[解析] 圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是由一个矩形和两个等圆、
一个扇形和一个圆、一个扇环和两个不相等的圆构成的.
2.已知圆锥的底面半径为，高为 ，则这个圆锥的底面积
为_____，侧面积为_____，表面积为_____ .
[解析] 因为圆锥的底面半径为，所以底面周长为 ，底面
积为 .
由勾股定理得，圆锥的母线长为，
则圆锥的侧面积为 ，
所以圆锥的表面积为
知识点三 球的结构特征
1.球的相关概念
球 图形及表示
定义：一个半圆绕着它的______所在的直线旋转一 周所形成的曲面称为球面;球面围成的几何体,称为 ____.球也是一个旋转体 _________________________________________
相关概念： 球心：形成球面的半圆的圆心. 半径：连接球面上一点和球心的线段. 直径：连接球面上两点且通过球心的线段 图中的球表示
为球
直径
球
2.球的截面
（1）球面可以看成空间中到一个定点的______________的点的集合.
（2）球面被__________的平面截得的圆称为球的大圆.此时，大圆的
半径等于__________.
距离等于定长
经过球心
球的半径
（3）球面被____________的平面截得的圆称为球的小圆.用一个平面
去截半径为的球，如图，设平面 水平放置且不过球心，
为平面 的垂线，并与平面 交于点，，则对平面 与
球面的交线上任意一点，都有 .
不经过球心
3.球的表面积：__________(球的半径为 .
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）用任意一个平面去截球,得到的是一个圆面.( )
√
（2）若球的半径扩大为原来的3倍，则它的表面积扩大为原来的3倍.
( )
×
2.球与球面有何区别
解：
区别 联系
球面 球面是半圆旋转一周形成的曲面 球面是球的
表面
球 球是几何体,包括球面及其所围成的空间部分 探究点一 旋转体的结构特征
例1（1） （多选题）下列说法正确的是( )
A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台
B.棱台的两个底面一定是相似多边形
C.连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D.在圆锥中，用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是
圆台
√
√
[解析] 对于A，以直角梯形较长的腰所在直线为轴旋转所得的几何
体不是圆台，故A错误；
对于B，棱台的两个底面一定是相似多边形，故B正确；
对于C，圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线，故C错误；
对于D，根据圆台的定义可得D正确.故选 .
（2）（多选题）下列说法正确的是( )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C.圆台所有的平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
√
√
√
[解析] 由圆柱、圆锥、圆台的几何特征，可知A，C，D正确.
对于B，设圆锥过顶点的截面的顶角为 ，母线长为 ，
则截面面积 ，显然当轴截面的顶角小于或等于 时，
轴截面的面积最大；
当轴截面的顶角大于 时，轴截面的面积不是最大的，故B错误．
故选 .
变式（1） 给出下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球面上任意两点的连线是球的直径；
③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面；
⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面叫作球；
⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] ①正确；当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是
球的直径，故②错误；
用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面，而不是一个圆，
故③错误，④正确；
以半圆的直径所在直线为轴旋转一周所形成的曲面是球面，
球面所围成的几何体叫作球，故⑤错误；⑥正确.故选D.
（2）下列平面图形中，通过围绕定直线 旋转可得到如图所示的几
何体的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] A得到的是上面为一个圆锥，下面为一个
圆台的几何体，不符合题意；
B得到的是上、下均为圆锥，中间为一个圆柱的
几何体，不符合题意；
C得到的是上面为一个圆柱，下面为一个圆锥的几何体，符合题意；
D得到的是上、下均为圆锥的几何体，不符合题意.故选C.
［素养小结］
（1）判断简单旋转体的结构特征时应注意：
①明确由哪个平面图形旋转而成;
②明确旋转轴是哪条直线.
（2）简单旋转体的轴截面及其应用问题中应注意：
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体
结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的
转化思想.
探究点二 旋转体中的简单计算问题
例2（1） 已知某地球仪上北纬 纬线所在圆的长度为 ,则
该地球仪的半径是( )
A. B. C. D.
[解析] 设北纬 纬线所在圆的半径为,则 , .
设地球仪的半径为,则 , .
√
（2）一个圆台的母线长为，两底面面积分别为 和
，则这个圆台的高为_________；将圆台还原为圆锥后，圆
锥的母线长为_______.
[解析] 圆台的轴截面是等腰梯形（如图所示）．
设 的中点为，的中点为，连接，
由已知可得 ，，，
过作， 为垂足，则
，
所以圆台的高为.
如图所示，延长，，交于点 ，设截得此圆台的圆锥的
母线长为，则由，可得 ，
解得，即圆锥的母线长为 .
变式（1） 已知圆台的轴截面是上底为4，下底为8的等腰梯形，且
圆台的母线长为4，则圆台的高为( )
A. B.3 C. D.4
[解析] 由题意，作出圆台的轴截面，如图所示，
设圆台上、下底面的圆心分别为,,连接，作 ，C为垂足.
因为圆台的轴截面是上底为4，下底为8的等腰梯形，且圆台的母线长为4，
所以,,，所以在 中，
，
即圆台的高为 .故选C.
√
（2）已知球的两个平行截面的面积分别为 和 ,它们位于球心
的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是___.
[解析] 设球的半径为.因为两个平行截面的面积分别为 ， ,
所以两个截面圆的半径分别为, .
因为球心到两个截面的距离分别为, ,
所以,所以,所以 .
［素养小结］
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性
质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中经过旋转轴的截面
（轴截面）的性质，利用相似三角形中的相似比，构建相关几何变
量的方程（组）而得解．
拓展 把一个圆锥截成圆台，所得圆台的上、下底面半径之比为 ，
母线长是 .
（1）写出圆台上、下底面的位置关系；
解：圆台的上、下底面相互平行．
（2）求圆锥的母线长．
解：设圆锥顶点为，底面圆心为，圆台上底面圆心为 ，
作出圆锥的轴截面如图所示.
设圆锥的母线长为 ，
在中， ，
，
即，解得 ，
故圆锥的母线长为 .
探究点三 旋转体的表面积与侧面积
例3（1） 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体
的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出
发，绕圆锥爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的
最短路程为 ，则这个圆锥的表面积为_____.
[解析] 作出该圆锥的侧面展开图，如图所示，
该小虫爬行的最短路程为 ，
由余弦定理可得
，
所以.
设底面圆的半径为，则有，解得 ，
所以这个圆锥的表面积 .
（2）已知某圆台的高为3，上底面半径是下底面半径的 ，其轴截面
是一个底角为 的等腰梯形，求这个圆台的侧面积.
解：设圆台的上底面半径为，则下底面半径为 .
由题意得，圆台的母线长满足， .
又，， ，
，
即圆台的侧面积为 .
（3）已知过球面上三点，， 的截面到球心的距离等于球的半径
的，且，， ，求该球的表面积.
解：设球的半径为，球心为，截面圆的圆心为，
连接， ，则.
在中，， ，
是的中点，
，，，
该球的表面积 .
变式（1） 如图，在直角梯形中， ，
，，若将直角梯形绕 边
所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由已知可得 ,
则所得几何体的表面积 .故选A.
√
（2）已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与
表面积的比值是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可得轴截面 是等腰直角三角形，
设该圆锥的底面半径为，则其母线长为 ，
所以该圆锥的侧面积，
表面积 ，
故 .故选A.
√
［素养小结］
在求与旋转体有关的面积问题时，常常要画出轴截面或截面，利用
轴截面中的边角关系，找出母线、底面半径与高的关系，求出未知
量，再利用公式求解.
拓展 如图,圆台的上、下底面半径分别是和 ,它的侧面展
开图扇环的圆心角为 .
（1）求圆台母线 的长度;
解：延长圆台的母线交于一点 .
设圆台的上底面周长为,因为扇环的圆心角为 ,
所以,解得 .
同理可得.故 .
（2）求圆台的表面积.
解：
探究点四 与球相关的“切”“接”问题
例4（1） 一个正方体内有一个内切球,以正方体的对角面为截面,所
得截面图形是下列图中的( )
A. B. C. D.
[解析] 由组合体的结构特征知,球与正方体的各个面相切,与各条棱相
离.故选B.
√
解：轴截面如图所示,设圆台的上、下底面半径分别为
,,母线长为,球的半径为 ,则, .
因为 ,所以 .
又 ,
所以 .又，所以, ,
故
.
（2）已知圆台内有一表面积为 的内切球,如果
圆台的下底面与上底面半径之差为5,求圆台的表面积.
变式 已知圆锥内部有一个半径为1的球与其侧面和底面均相切，且
圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆锥的底面半径为 ，则该圆锥的轴截面（等边三角形）的
边长为 ，
由等面积法可知圆锥的轴截面面积为，
解得，则该圆锥的母线长为 ，
所以该圆锥的侧面积为 .故选C.
√
［素养小结］
解决此类问题的关键是利用好“切点”和“接点”以及轴截面，这样能
把空间问题平面化.
1.下列说法正确的是( )
A.圆锥的母线长等于底面圆的直径
B.圆柱的母线与轴垂直
C.圆台的母线与轴平行
D.球的直径必过球心
[解析] 圆锥的母线长与底面圆的直径无联系;圆柱的母线与轴平行;
圆台的母线与轴不平行；球的直径必过球心.故选D.
√
2.在中，，，，现以 边所在直线为轴
旋转一周，则所得几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
[解析] ，，，为直角三角形，
以 所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，圆锥的底面半径为3，
母线长为5， 圆锥的侧面积为 ，
圆锥的表面积为 .故选A.
√
3.若一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24,则球心到这条
直线的距离为( )
A.13 B.12 C.5 D.24
[解析] 易知球心到这条直线的距离 .
√
4.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径为，高为1， 和
是底面圆周上两点，则圆锥 的侧面展开图的圆心角为_____，
面积的最大值为___.
2
[解析] 易得圆锥的母线长为 ，
底面周长为 .
设侧面展开图的圆心角为 ，则 .
如图， 和都是圆锥的母线，则.
连接，设圆锥 经过，的截面为，
则为的中点.在直角三角形 中，，
可得的顶角为，
所以 面积的最大值为 .
5.已知圆锥的底面半径为1,高为 ,其中有一个内接正方体,求这个内
接正方体的棱长.
解：过圆锥的顶点和正方体的一个对角面作截
面,得到圆锥的轴截面,如图所示.
设 ,则,作于点,
则 , .
因为,所以 ，
所以,解得 ，
故内接正方体的棱长是 .
1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
2.与简单旋转体的截面有关的结论
（1）圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面都是圆面.
（2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面（即过旋转轴的截面）分别是矩形、
等腰三角形、等腰梯形.
3.常见的有关球的一些性质
（1）若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球
的直径;若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;
若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.
（2）若球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也
等于圆柱底面圆的直径.
（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系
.
1.解决旋转体问题要弄清圆柱、圆锥、圆台是由什么样的平面图形旋
转形成的,以及轴截面中的边长与旋转体中母线、半径的关系.
例1 如图，圆台上底面半径为3，下底面半径为5，
若一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的中点
将此圆台分为上、下两个圆台，设该平面上方圆
台的侧面积为，下方圆台的侧面积为 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设最初圆台的母线长为 ，
因为一个平行于底面的平面沿着该圆台母线的
中点将此圆台分为上、下两个圆台，
所以平面上方圆台的母线长为 ，上底面半径为3，
下底面半径为4，
平面下方 圆台的母线长为 ，上底面半径为4，下底面半径为5.
由圆台的侧面积公式可得，
，
所以 .故选C.
2.将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题最基本、
最常用的方法.在求空间图形表面两点间的最短距离时,常将侧面展开,
化曲（折）为直,从而把“折线拉成直线”,使问题得以巧妙解决.
例2 [2024·四川乐山高一期中] 圆台的上、下底面半径分别为 ，
,母线,从圆台母线的中点 拉一条绳子绕圆台侧
面转到点 在下底面).
（1）求绳子的最短长度;
解：如图所示,画出圆台的侧面展开图,并还原成扇形,
设扇形的圆心为 ,则绳子的最短长度为侧面展开图中 的长度.
设, ,
则解得
所以,, ,
故 ,
即绳子的最短长度为 .
（2）当绳子最短时,求上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
解：作于点,交于点 ,
则 即为所求的最短距离.
由 ,可得 .
故 ,
即当绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的最短距离为 .
3.解决旋转体的表面积问题时,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开
图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可.棱锥
及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面上的射影与高、
底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.
例3 圆锥的母线与高的夹角为 ，底面是半径为2的圆，则该圆锥的
侧面积为____.
[解析] 圆锥的轴截面以及侧面展开图如图所示，
圆锥的母线与高的夹角为，底面是半径为2的圆,
母线长，底面圆周长 ，
圆锥的侧面积 .
4.球的截面问题
设球的截面圆上有一点,球心为,截面圆圆心为,则是以
为直角顶点的直角三角形.解答球的截面问题时`,常用该直角三角形求解.
例4（1） 已知球的表面积为 ，点，，在球 的球面上，
且， ，则球心到平面 的距离为___.
1
[解析] 如图，设为 外接圆的圆心，
连接,,
根据球的表面积 为球的半径)，
可得.
在 所在的平面中，， ，
由正弦定理可得为 外接圆的半径)，
所以.因为 平面，所以，
所以球心 到平面的距离 .
（2）[2024·广东湛江二中高一期中]球面被平面所截得的一部分叫作
球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫作球冠的底，
垂直于截面的直径被截得的一段叫作球冠的高.球冠的表面积为
（如图①，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个
工艺品，如图②所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正
方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即
一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为 ，
则该工艺品的表面积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设截面圆的半径为，球的半径为 ，则球心到某一截面的距
离为正方体棱长的一半，即此距离为2.
因为其中一个截面圆的周长为 ，所以，则，
所以 ，可得，所以球的表面积 ．
又球冠的高 ，所以所截的一个球冠的表面积
，
且截面圆的面积为 ，所以工艺品的表面积
．
故选B.
5.与球有关的切、接问题
（1）正方体的内切球：球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的
内切球，此时球的半径 为正方体的棱长),过在一个平面上的
四个切点作截面如图①.
（2）球与正方体的各条棱相切：球与正方体的各条棱相切于各棱的
中点.过球心作正方体的对角面,可得球的半径 为正方体的
棱长),如图②.
（3）长方体的外接球：长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体
的外接球.根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体
过同一顶点的三条棱的长为,, ,则可得球的半径
,如图③.
（4）正方体的外接球：正方体的棱长与外接球半径 的关系为
.
（5）正四面体的外接球：正四面体的棱长与外接球半径 的关系
为 .
例5 正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则
球的表面积为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图，取正四面体 底面的中心为，
正四面体外接球的球心为， 的中点为D，
连接，，，
由正四面体的性质知在 上，在上，
设正四面体的棱长为 ，外接球的半径为，
则， .
中，，可得 ，
则，在中，，可得 ，
故 .11.1.5 旋转体
【课前预习】
知识点一
1.矩形的一边 2.一直角边 3.垂直于底边的腰
4.(1)圆柱 圆锥 圆台
(2)旋转轴 高 底面 侧面 不垂直于轴的边
5.轴的平面 矩形 等腰三角形 等腰梯形
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.解:(1)圆柱的母线有无数条,它们之间相互平行.
(2)一定.由于圆台可认为是由平行于圆锥底面的平面截圆锥所得的,故两条母线所在的直线一定相交.
知识点二
1.(1)侧面 (2)侧面积 底面积
2.2πr2 2πrl 2πr(r+l) πr2 πrl πr(r+l) πr'2 πr2
π(r'l+rl) π(r2+r'2+rl+r'l)
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)圆柱的侧面积等于底面周长与高的积.
(2)当圆锥的底面半径扩大到原来的2倍,母线缩小到原来的时,它的底面积扩大为原来的4倍,而侧面积不变,所以它的表面积发生了变化.
(3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是由一个矩形和两个等圆、一个扇形和一个圆、一个扇环和两个不相等的圆构成的.
2.16π 24π 40π [解析] 因为圆锥的底面半径为4 cm,所以底面周长为8π cm,底面积为16π cm2.由勾股定理得,圆锥的母线长为=6(cm),则圆锥的侧面积为×8π×6=24π(cm2),所以圆锥的表面积为16π+24π=40π(cm2).
知识点三
1.直径 球
2.(1)距离等于定长 (2)经过球心 球的半径
(3)不经过球心
3.S=4πR2
诊断分析
1.(1)√ (2)×
2.解:
区别 联系
球面 球面是半圆旋转一周形成的曲面 球面是球 的表面
球 球是几何体,包括球面及其所围成的空间部分
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BD (2)ACD [解析] (1)对于A,以直角梯形较长的腰所在直线为轴旋转所得的几何体不是圆台,故A错误;对于B,棱台的两个底面一定是相似多边形,故B正确;对于C,圆柱的轴截面与其侧面的交线才是圆柱的母线,故C错误;对于D,根据圆台的定义可得D正确.故选BD.
(2)由圆柱、圆锥、圆台的几何特征,可知A,C,D正确.对于B,设圆锥过顶点的截面的顶角为α,母线长为l,则截面面积S=l2sin α,显然当轴截面的顶角小于或等于90°时,轴截面的面积最大;当轴截面的顶角大于90°时,轴截面的面积不是最大的,故B错误.故选ACD.
变式 (1)D (2)C [解析] (1)①正确;当球面上两点的连线经过球心时,这两点的连线才是球的直径,故②错误;用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面,而不是一个圆,故③错误,④正确;以半圆的直径所在直线为轴旋转一周所形成的曲面是球面,球面所围成的几何体叫作球,故⑤错误;⑥正确.故选D.
(2)A得到的是上面为一个圆锥,下面为一个圆台的几何体,不符合题意;B得到的是上、下均为圆锥,中间为一个圆柱的几何体,不符合题意;C得到的是上面为一个圆柱,下面为一个圆锥的几何体,符合题意;D得到的是上、下均为圆锥的几何体,不符合题意.故选C.
探究点二
例2 (1)A (2)3 cm 20 cm [解析] (1)设北纬30°纬线所在圆的半径为r,则2πr=12π,∴r=6 cm.设地球仪的半径为R,则==cos 30°,∴R=4 cm.
(2)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).设AD的中点为O1,BC的中点为O,连接OO1,由已知可得O1A=2 cm,OB=5 cm,AB=12 cm,过A作AM⊥BC,M为垂足,则OO1=AM==3(cm),所以圆台的高为3 cm.如图所示,延长BA,OO1,CD交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm,则由△SAO1∽△SBO,可得=,解得l=20,即圆锥的母线长为20 cm.
变式 (1)C (2)3 [解析] (1)由题意,作出圆台的轴截面,如图所示,设圆台上、下底面的圆心分别为O1,O,连接OO1,作BC⊥AO,C为垂足.因为圆台的轴截面是上底为4,下底为8的等腰梯形,且圆台的母线长为4,所以AB=4,AO=4,BO1=2,所以在Rt△ABC中,BC===2,即圆台的高为2.故选C.
(2)设球的半径为R.因为两个平行截面的面积分别为5π,8π,所以两个截面圆的半径分别为r1=,r2=2.因为球心到两个截面的距离分别为d1=,d2=,所以d1-d2=-=1,所以R2=9,所以R=3.
拓展 解:(1)圆台的上、下底面相互平行.
(2)设圆锥顶点为S,底面圆心为O,圆台上底面圆心为O',
作出圆锥的轴截面如图所示
设圆锥的母线长为y cm,
在Rt△SOA中,O'A'∥OA,
∴SA'∶SA=O'A'∶OA,
即(y-10)∶y=1∶4,解得y=,故圆锥的母线长为 cm.
探究点三
例3 (1)π [解析] 作出该圆锥的侧面展开图,如图所示,该小虫爬行的最短路程为PP',由余弦定理可得cos∠P'OP===-,所以∠P'OP=.设底面圆的半径为r,则有2πr=×2,解得r=,所以这个圆锥的表面积S=πr2+πrl=π×+π××2=π.
(2)解:设圆台的上底面半径为r,则下底面半径为2r.由题意得,圆台的母线长l满足lcos 45°=2r-r=r,∴l=r.
又(2r-r)tan 45°=3,∴r=3,l=3,∴S侧=π(r+2r)l=π×3×9=27π,即圆台的侧面积为27π.
(3)解:设球的半径为R,球心为O,截面圆的圆心为O1,连接OO1,OA,则OO1=R.在△ABC中,∵AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴O1是AB的中点,∴O1B=O1A=5.∵O+O1A2=OA2,∴R2+52=R2,∴R=10,∴该球的表面积S=4πR2=4π×102=400π.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)由已知可得AB=,则所得几何体的表面积S=S圆锥侧+S圆柱侧+S底=π×1×+2π×1×1+π×12=3π+π.故选A.
(2)由题意可得轴截面ABC是等腰直角三角形,设该圆锥的底面半径为r,则其母线长为r,所以该圆锥的侧面积S1=×2πr×r=πr2,表面积S2=S1+πr2=(+1)πr2,故==2-.故选A.
拓展 解:(1)延长圆台的母线交于一点P.
设圆台的上底面周长为c cm,因为扇环的圆心角为π,
所以c=π·PA=2π×10,解得PA=20 cm.
同理可得PB=40 cm.故AB=PB-PA=20(cm).
(2)S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).
探究点四
例4 (1)B [解析] 由组合体的结构特征知,球与正方体的各个面相切,与各条棱相离.故选B.
(2)解:轴截面如图所示,设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,母线长为l,球的半径为R,则r2-r1=5,l=r1+r2.
因为4πR2=144π,所以R=6.又l2=(2R)2+(r2-r1)2,
所以(r1+r2)2=(2R)2+(r2-r1)2=(2×6)2+52=132,所以l=r1+r2=13.
又r2-r1=5,所以r1=4,r2=9,故S圆台表=π+π+π(r1+r2)l=π·42+π·92+π(4+9)·13=266π.
变式 C [解析] 设圆锥的底面半径为r,则该圆锥的轴截面(等边三角形)的边长为2r,由等面积法可知圆锥的轴截面面积为×(2r)2=×1×6r,解得r=,则该圆锥的母线长为2,所以该圆锥的侧面积为π××2=6π.故选C.
【课堂评价】
1.D [解析] 圆锥的母线长与底面圆的直径无联系;圆柱的母线与轴平行;圆台的母线与轴不平行;球的直径必过球心.故选D.
2.A [解析] ∵AB=4,BC=3,AC=5,∴△ABC为直角三角形,以AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,∴圆锥的侧面积为π×3×5=15π,∴圆锥的表面积为15π+π×32=24π.故选A.
3.C [解析] 易知球心到这条直线的距离d==5.
4.π 2 [解析] 易得圆锥的母线长为=2,底面周长为2××π=2π.设侧面展开图的圆心角为θ,则θ==π.如图,PE和PF都是圆锥PO的母线,则PE=PF=2.连接PO,设圆锥PO经过PO,PE的截面为△PAE,则O为AE的中点.在直角三角形POE中,∠OPE=,可得△PAE的顶角为,所以△PEF面积的最大值为×PE×PFsin =2.
5.解:过圆锥的顶点和正方体的一个对角面作截面,得到圆锥的轴截面,如图所示.设BB1=x,则B1D1=x,作SO⊥EF于点O,则SO=,OE=1.因为△EBB1∽△ESO,所以=,所以=,解得x=,故内接正方体的棱长是.11.1.5 旋转体
【学习目标】
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征,通过实物、计算机软件等观察空间图形,抽象出圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征,培养数学抽象思维和直观想象能力;
2.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体,会作旋转体的轴截面,并利用轴截面或截面计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积,通过圆柱、圆锥、圆台和球的表面积的计算,培养数学运算能力.
◆ 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的结构特征
1.圆柱的定义:以 所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的几何体称为圆柱.如图(1).
2.圆锥的定义:以直角三角形 所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的几何体称为圆锥.如图(2).
3.圆台的定义:以直角梯形 所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的几何体称为圆台.如图(3).
4.旋转体
(1)定义:用类似 、 、 的形成方式构成的几何体都是旋转体.
(2)有关概念: 称为旋转体的轴,在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的 ,垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的 ,不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的 .无论旋转到什么位置, 都称为母线.
5.轴截面:在旋转体中,通过 所得到的截面通常简称为轴截面.如圆柱的轴截面是 ,圆锥的轴截面是 ,圆台的轴截面是 .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆台有无数条母线,它们相等,延长后相交于一点. ( )
(2)用平面去截圆锥,会得到一个圆锥和一个圆台. ( )
(3)以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,旋转一周得到的旋转体为圆锥. ( )
(4)圆台的轴截面是等腰梯形. ( )
2.(1)圆柱的母线有多少条 它们之间有什么关系
(2)圆台的两条母线所在的直线一定相交吗
◆ 知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积定义
(1)旋转体的侧面积:旋转体 的面积称为旋转体的侧面积.
(2)旋转体的表面积: 与 之和称为旋转体的表面积(或全面积).
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
名称 图形及侧 面展开图 公式
旋 转 体 圆 柱 r为底面半径, l是母线长 底面积:S底= . 侧面积:S侧= . 表面积:S=
圆 锥 r为底面半径, l是母线长 底面积:S底= . 侧面积:S侧= . 表面积:S=
圆 台 r',r分别是上、 下底面半径, l是母线长 上底面面积:S上底= . 下底面面积:S下底= . 侧面积:S侧= . 表面积:S=
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)圆柱的侧面积等于底面积与高的积. ( )
(2)圆锥的底面半径扩大到原来的2倍,母线缩小到原来的,它的表面积不变. ( )
(3)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、一个扇形、一个扇环. ( )
2.已知圆锥的底面半径为4 cm,高为2 cm,则这个圆锥的底面积为 cm2,侧面积为 cm2,表面积为 cm2.
◆ 知识点三 球的结构特征
1.球的相关概念
球 图形及表示
定义:一个半圆绕着它的 所在的直线旋转一周所形成的曲面称为球面;球面围成的几何体,称为 .球也是一个旋转体 图中的球表示为球O
相关概念: 球心:形成球面的半圆的圆心. 半径:连接球面上一点和球心的线段. 直径:连接球面上两点且通过球心的线段
2.球的截面
(1)球面可以看成空间中到一个定点的 的点的集合.
(2)球面被 的平面截得的圆称为球的大圆.此时,大圆的半径等于 .
(3)球面被 的平面截得的圆称为球的小圆.用一个平面α去截半径为R的球O,如图,设平面α水平放置且不过球心,OO'为平面α的垂线,并与平面α交于点O',OO'=d,则对平面α与球面的交线上任意一点P,都有O'P=.
3.球的表面积: (球的半径为R).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)用任意一个平面去截球,得到的是一个圆面. ( )
(2)若球的半径扩大为原来的3倍,则它的表面积扩大为原来的3倍. ( )
2.球与球面有何区别
◆ 探究点一 旋转体的结构特征
例1 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台
B.棱台的两个底面一定是相似多边形
C.连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D.在圆锥中,用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
(2)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C.圆台所有的平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
变式 (1)给出下列说法:
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线;
②球面上任意两点的连线是球的直径;
③用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆;
④用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面;
⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面叫作球;
⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.
其中正确的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)下列平面图形中,通过围绕定直线l旋转可得到如图所示的几何体的是 ( )
A B C D
[素养小结]
(1)判断简单旋转体的结构特征时应注意:
①明确由哪个平面图形旋转而成;
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用问题中应注意:
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量;
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
◆ 探究点二 旋转体中的简单计算问题
例2 (1)已知某地球仪上北纬30°纬线所在圆的长度为12π cm,则该地球仪的半径是( )
A.4 cm B.6 cm
C.2 cm D.12 cm
(2)一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2,则这个圆台的高为 ;将圆台还原为圆锥后,圆锥的母线长为 .
变式 (1)已知圆台的轴截面是上底为4,下底为8的等腰梯形,且圆台的母线长为4,则圆台的高为 ( )
A. B.3 C.2 D.4
(2)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是 .
[素养小结]
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构建相关几何变量的方程(组)而得解.
拓展 把一个圆锥截成圆台,所得圆台的上、下底面半径之比为1∶4,母线长是10 cm.
(1)写出圆台上、下底面的位置关系;
(2)求圆锥的母线长.
◆ 探究点三 旋转体的表面积与侧面积
例3 (1)如图所示,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为2,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为2,则这个圆锥的表面积为 .
(2)已知某圆台的高为3,上底面半径是下底面半径的,其轴截面是一个底角为45°的等腰梯形,求这个圆台的侧面积.
(3)已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球的半径的,且AC=8,BC=6,AB=10,求该球的表面积.
变式 (1)如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥CD,AD∥BC,BC=2CD=2AD=2,若将直角梯形绕BC边所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积为 ( )
A.3π+π B.3π+2π
C.6π+2π D.6π+π
(2)已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比值是 ( )
A.2- B.-1
C.+1 D.2+
[素养小结]
在求与旋转体有关的面积问题时,常常要画出轴截面或截面,利用轴截面中的边角关系,找出母线、底面半径与高的关系,求出未知量,再利用公式求解.
拓展 如图,圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图扇环的圆心角为π.
(1)求圆台母线AB的长度;
(2)求圆台的表面积.
◆ 探究点四 与球相关的“切”“接”问题
例4 (1)一个正方体内有一个内切球,以正方体的对角面为截面,所得截面图形是下列图中的 ( )
(2)已知圆台内有一表面积为144π的内切球,如果圆台的下底面与上底面半径之差为5,求圆台的表面积.
变式 已知圆锥内部有一个半径为1的球与其侧面和底面均相切,且圆锥的轴截面为等边三角形,则圆锥的侧面积为 ( )
A.2π B.4π
C.6π D.8π
[素养小结]
解决此类问题的关键是利用好“切点”和“接点”以及轴截面,这样能把空间问题平面化.
1.下列说法正确的是 ( )
A.圆锥的母线长等于底面圆的直径
B.圆柱的母线与轴垂直
C.圆台的母线与轴平行
D.球的直径必过球心
2.在△ABC中,AB=4,BC=3,AC=5,现以AB边所在直线为轴旋转一周,则所得几何体的表面积为 ( )
A.24π B.21π
C.33π D.39π
3.若一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24,则球心到这条直线的距离为( )
A.13 B.12 C.5 D.24
4.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,底面半径为,高为1,E和F是底面圆周上两点,则圆锥PO的侧面展开图的圆心角为 ,△PEF面积的最大值为 .
5.已知圆锥的底面半径为1,高为,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.11.1.5 旋转体
1.A [解析] 圆柱、圆锥、球均为旋转体,棱柱不是旋转体.故选A.
2.B [解析] 设圆锥的母线长为l,则2π×=πl,解得l=2.故选B.
3.A [解析] 设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则2rl=8,所以rl=4,所以该圆柱的侧面积S=2πrl=8π.故选A.
4.C [解析] 易知母线长为=3,上底面圆的周长为2π,下底面圆的周长为4π,易知圆台侧面展开图为圆环的一部分,圆环的小圆半径为3,大圆半径为6,所以所求面积S=×6×4π-×3×2π=9π.故选C.
5.B [解析] 因为人推动木柄绕圆盘转动1圈,碌碡恰好滚动了3圈,所以圆盘与碌碡的半径之比为3∶1,又圆盘的半径等于碌碡的高,所以该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为1∶3.故选B.
6.D [解析] 因为“鞠”表面上的四个点A,B,C,D满足AB=CD= cm,BD=AC=2 cm,AD=BC=5 cm,所以可以把A,B,C,D四点放到长方体的四个顶点上,则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径,设该长方体的长、宽、高分别为x,y,z,“鞠”的半径为R,则(2R)2=x2+y2+z2,由题意得x2+y2=20,x2+z2=13,y2+z2=25,所以(2R)2=x2+y2+z2=29,即4R2=29,所以该“鞠”的表面积为4πR2=29π(cm2).故选D.
7.D [解析] 由题意知,该组合体的表面积是最底层正方体的表面积与上面各层正方体的侧面积之和.最底层正方体的棱长为4,则该正方体的表面积为6×42=96;自下向上第二层正方体的棱长为2,则它的侧面积为4×(2)2=32;自下向上第三层正方体的棱长为2,则它的侧面积为4×22=16;自下向上第四层正方体的棱长为,则它的侧面积为4×()2=8;自下向上第五层正方体的棱长为1,则它的侧面积为4×12=4;自下向上第六层正方体的棱长为,则它的侧面积为4×=2;自下向上第七层正方体的棱长为,则它的侧面积为4×=1.故该塔形组合体的表面积为96+32+16+8+4+2+1=159.
8.AB [解析] 如果绕一条直角边所在的直线旋转,那么形成的几何体是圆锥,圆锥的底面半径为1,母线长为,所以形成的几何体的表面积S1=π×1×+π×12=(+1)π.如果绕斜边所在的直线旋转,那么形成的几何体是底面重合的两个圆锥的组合体,两个圆锥的底面半径都为,两个圆锥的母线都为1,所以形成的几何体的表面积S2=2×π××1=π.故选AB.
9.BD [解析] 由圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个半圆,得2π×1=π×VA,则VB=VA=2.对于A,圆锥的侧面积为π×1×VA=2π,故A错误;对于B,圆锥的底面直径为2,即圆锥的轴截面为等边三角形,则母线与圆锥的高所成角的大小为,故B正确;对于C,由选项B知,等腰三角形VAB中,0<∠AVB≤,则△VAB不可能为等腰直角三角形,故C错误;对于D,△VAB的面积S=VA·VB·sin∠AVB≤×2×2sin 60°=,故D正确.故选BD.
10.4π+4π [解析] 根据题意可得旋转所形成的几何体为圆锥,其底面半径为2,母线长为2,则圆锥的表面积S=π×2×2+π×22=4π+4π.
11.π [解析] 如图,作一个棱长为的正方体,该正方体的面对角线长为3.将各棱长为3的三棱锥放入该正方体,使三棱锥的顶点与正方体的顶点重合.若球与三棱锥的各棱均相切,则球与正方体的各面均相切,所以球就是正方体的内切球,球的半径为正方体棱长的一半,即,故该球的表面积为4π×=π.
12. [解析] 圆锥侧面展开图(扇形)的弧长等于圆锥底面圆的周长,即2π×=,又扇形的半径为2,所以扇形的圆心角为=.设侧面展开图为扇形ASA',连接MA',则展开图中MA'的长度就是绳子长度的最小值,在△SMA'中,由余弦定理可得MA'==.
13.解:(1)以AB所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底面半径是4 cm,下底面半径是16 cm,母线DC==13(cm),
所以该几何体的表面积为π×(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).
(2)以BC所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示,其中圆锥的高为16-4=12(cm),圆锥的母线DC的长为13 cm,
又圆柱的母线AD的长为4 cm,所以该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).
14.解:(1)过圆台的轴作截面,如图,截面为等腰梯形ABCD,设O,O1分别为AB,CD的中点,连接O1O,作CM⊥AB于点M.由已知可得BC=12 cm.
在Rt△CMB中,B=45°,所以CM=6 cm,所以圆台的高为6 cm.
(2)延长BC,OO1交于点S,S即为圆锥的顶点,设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm,则由△SCO1∽△SBO,可得==,即=,所以l=16,即截得此圆台的圆锥的母线长为16 cm.
[点睛] 处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面,在轴截面中寻找各元素的关系.
15. [解析] 作出正方体的对角面,如图所示,易知球心O1和O2在AC上,过点O1,O2分别作AD,BC的垂线,垂足分别为E,F.设球O1的半径为r,球O2的半径为R,由AB=1,AC=,得AO1=r,O2C=R,∴r+R+(r+R)=,∴R+r==.
16.解:如图所示,设北纬45°圈的圆心为O1,地球的球心为O,连接OO1,O1A,O1B,OA,OB.
由题意知∠AO1B=40°+50°=90°.
因为OO1垂直☉O1所在平面,所以OO1⊥O1A,OO1⊥O1B.
因为点A,B在北纬45°上,所以∠OBO1=∠OAO1=45°,所以O1A=O1B=O1O=OA·cos 45°=R,
所以A,B两点间北纬45°圈的劣弧长为×2π×R=R.
[点拨]一般情况下,在球的截面问题中,截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础,而球的轴截面是将球的问题(空间问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析、解决问题.11.1.5 旋转体
一、选择题
1.下列几何体中不是旋转体的是 ( )
2.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为 ( )
A.2 B.2 C.4 D.4
3.[2024·广东东莞中学高一月考] 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的侧面积为 ( )
A.8π B.8π
C.12π D.10π
4.已知某圆台的高为,上底面半径为,下底面半径为2,则其侧面展开图的面积为( )
A.9π B.6π
C.9π D.8π
5.碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具,如图,近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上,木桩的大小忽略不计,碌碡的高与圆盘的半径相等,当人或动物推动木柄时,碌碡在圆盘上滚动.若人或动物推动木柄绕圆盘转动1圈,碌碡恰好滚动了3圈,则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为 ( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.2∶3
6.如图,蹴鞠,又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等,“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义,“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面,已知某“鞠”表面上的四个点A,B,C,D满足AB=CD= cm,BD=AC=2 cm,AD=BC=5 cm,则该“鞠”的表面积为( )
A.20π cm2 B.24π cm2
C.27π cm2 D.29π cm2
7.有一塔形组合体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各棱的中点.已知最底层正方体的棱长为4,若该塔形几何体是由7个正方体构成的,则该塔形组合体的表面积(含最底层的正方体的底面积)为 ( )
A.127 B.127
C.143 D.159
8.(多选题)已知等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某条边所在直线旋转一周,则形成的几何体的表面积可以为 ( )
A.π B.(1+)π
C.2π D.(2+)π
9.(多选题)[2024·浙江嘉兴八校联盟高一期中] 已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个半圆,设圆锥的顶点为V,A,B是底面圆周上的两个不同的动点,给出下列四个结论,其中正确的是 ( )
A.圆锥的侧面积为4π
B.母线与圆锥的高所成角的大小为
C.△VAB可能为等腰直角三角形
D.△VAB的面积的最大值为
二、填空题
10.若一个等腰直角三角形的直角边长为2,将该三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周,则旋转所形成的几何体的表面积为 .
11.[2023·广东广州白云区高一期中] 已知球与棱长均为3的三棱锥的各条棱都相切,则该球的表面积为 .
12.已知圆锥SO(S为顶点,O为底面圆的圆心)的底面半径是,母线长是2,则将它的侧面沿母线SA展开形成的扇形的圆心角为 ;若M是SA的中点,从M处拉一条绳子绕圆锥侧面转到点A,则绳子长度的最小值为 .
三、解答题
13.如图所示,已知直角梯形ABCD中,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.
(1)求以AB所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体的表面积;
(2)求以BC所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体的表面积.
★14.一个圆台由一个圆锥截得,且圆台的母线长为12 cm,母线与轴的夹角是45°,两底面的半径之比是1∶4.
(1)求圆台的高;
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.
15.已知有一个棱长为1的正方体,若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切,则两球半径之和为 .
★16.设地球的半径为R,在北纬45°上有两个点A,B,点A在西经40°上,点B在东经50°上,求A,B两点间北纬45°圈的劣弧长.
