(共52张PPT)
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
探究点一 多面体的体积
探究点二 旋转体的体积
探究点三 球的体积
探究点四 简单组合体的体积
【学习目标】
1.了解祖暅原理的内容,掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、球
的体积公式的过程；
2.掌握柱体、锥体、台体、球的体积公式,能运用公式解决简单
的实际问题；
3.了解组合体的概念,掌握求组合体表面积、体积的方法,并能解
决实际应用问题；
4.通过柱体、锥体、台体和球的体积的计算，培养直观想象素养
和数学运算素养．
知识点一 祖暅原理
1.祖暅原理
幂势既同,则积不容异.
含义：夹在________________的两个几何体,如果被_______________
____的任意平面所截,两个截面的面积________,那么这两个几何体的
体积__________.
两个平行平面间
平行于这两个平面
总相等
一定相等
2.祖暅原理的应用
__________、______的两个柱体或锥体,体积相等.
等底面积
等高
【诊断分析】
（1）柱体的体积可以转化为长方体的体积吗
解：可以.依据柱体的定义、性质和祖暅原理可知,柱体的体积可以转
化为长方体的体积.
（2）祖暅原理用来解决什么问题
解：祖暅原理提供了求不规则几何体体积的一种方法.
知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积公式 说明
柱体
锥体
台体
底面积
高
底面积
高
上、下底面面积
高
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）底面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相等.
( )
×
（2）锥体的体积是等底面积、等高的柱体的体积的三分之一.( )
√
2.用变化的观点分析圆台与圆柱、圆锥之间的相互联系，你能发现三
者的体积公式之间的关系吗
解：圆柱和圆锥是圆台的特殊情形，当圆台的上、下底面半径接近
相等时，圆台接近于圆柱，圆台的体积公式变为圆柱的体积公式；
当圆台的上底面半径接近于零时，圆台接近于圆锥，圆台的体积公
式变为圆锥的体积公式.
.
知识点三 球的体积
如果球的半径为，那么球的体积计算公式为 _____.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
球是曲面几何体,其体积公式不能推导出来.( )
×
2.将一个气球（看作一个球）的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来
的几倍？
解：设气球原来的半径为，则气球原来的体积 ，
气球的半径扩大1倍后，半径变为 ，则气球扩大后的体积
，
所以将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的8倍.
知识点四 组合体
1.概念：由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体.常见的组
合体大多是由柱、锥、台、球等几何体组成的.
2.求组合体的体积（或表面积）时，只需要算出其中每个几何体的体
积（或表面积），然后再处理即可.
探究点一 多面体的体积
例1（1） 若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱
长为3，则这个正四棱台的体积为_ ____.
[解析] 由题知正四棱台的上底面的对角线长为 ，下底面的对角
线长为 ，侧棱长为3，
所以正四棱台的高为 ，
则该正四棱台的体积为 .
（2）如图，在长方体 中，
,，求四棱锥
的体积.
解：连接，如图所示,则 ，
又 ，
所以 .
变式（1） 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为 ,体积为1
4,则该正四棱台的高为___.
2
[解析] 设该正四棱台的上底面边长为 ,则斜高、下底面边长分别为
,,所以该正四棱台的高为 .
又因为,所以 ,
故该正四棱台的高为2.
（2）如图所示，已知正方体 的
棱长为，为的中点，为 上一点，则三
棱锥 的体积为______.
[解析] 由题意得，
三棱锥 的高为 ，
又 ，
.
［素养小结］
求几何体体积的常用方法：
探究点二 旋转体的体积
例2 已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形，若该圆
锥的侧面积为 ，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设圆锥的底面圆半径为，母线长为，高为 ，
因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，
所以，得 .
因为该圆锥的侧面积为 ，所以 ，所以 ，
则，所以底面圆的面积 ，
圆锥的高，故圆锥的体积 .故选A.
√
变式 如图，圆台的高为3，轴截面 中
母线与底面直径的夹角为 ，轴截面中
一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
解：设上、下底面半径，母线长分别为，，，
作于点 ，则，， ，
.， ，
，，又 高，
.
［素养小结］
旋转体体积问题的求解技巧：
一是借助旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题;二是利用三角
形全等、相似等关系求出所需的量.
拓展 如图所示，有一块扇形铁皮,, ，要剪
下来一个扇环，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形
内剪下一块与其相切的圆 使它恰好作圆台形容器的下底面
（大底面）.试求：
（1） 的长；
解：如图所示，设与圆 相切于点，连接, ，
设圆台的上、下底面半径分别为， .
, .
在中，， ，
，
.
（2）容器的容积.
解：由（1）知， ，
则圆台的高
， 圆台的体积，
即容器的容积为 .
探究点三 球的体积
例3（1） [2023·银川一中高一月考]用一个平面截球 ，截面是半径
为1的圆，球心到截面的距离为，则球 的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 设截面圆的圆心为，为截面圆周上任一点，
连接 ，，，则，，
，即球的半径为，
球的体积 .
√
（2）[2024·浙江金华一中高一期中]已知三棱锥 的三条侧棱
，，两两互相垂直，且， ，则此三
棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为三棱锥的三条侧棱，， 两两互相垂直，
所以三棱锥的外接球就是以,, 为长、宽、高的长方体的外接球，
因为,, ，所以长方体的体对角线长为
，
所以外接球的直径是 ，半径为，
所以所求外接球的体积 ．故选A.
变式 如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容
器，正三棱柱的棱长都为 ，将一个球放在容器口，
再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深
为 ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设球的半径为 ，正三棱柱底面三角形的内
切圆的半径为 ，
则 ，
解得，
所以，解得 ，
所以球的体积 .故选D.
［素养小结］
计算球的体积、表面积的关键是求出球的半径，另外球还有如下性
质：①用一个平面去截球，截面是圆面；②球心和截面圆心的连线
垂直于截面；③球心到截面的距离与球的半径 以及截面圆的半径
之间满足 .
探究点四 简单组合体的体积
例4 现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组
成，上部分的形状是正四棱锥 ，下
部分的形状是正四棱柱
（如图所示），并要求正四棱柱的高 是正四
棱锥的高的4倍，若， ，
则仓库的容积是多少？
解：由，知 .
因为 ，
所以正四棱锥 的体积
，
，
所以仓库的容积 .
变式 [2024·山东菏泽外国语学校高一月考]三星堆遗址祭祀区4号坑
发现了玉琮，一种内圆外方的筒型玉器（如图①），是古人用于祭
祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图②所示，圆筒内
径长，外径长，筒高，中部为棱长是 的正方体的
一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题可知，该玉琮的体积
，故选A.
［素养小结］
求组合体体积的方法：
（1）分析组合体的结构特征：弄清组合体的组成形式,找准常见几何
体的关键量.
（2）选择计算方法：依据组合体的组成形式,选择合适的计算方法，
常用“切割”“补形”等方法求解.
（3）计算求值：依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解.
1.以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何
体的体积为( )
A. B. C. D.
[解析] 以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周所得几何体
是底面半径为2，高为2的圆柱，
所以所得到的几何体的体积 .故选B.
√
2.如图所示,在正方体 中,四棱锥
的体积占正方体体积的( )
A. B. C. D.不确定
[解析] 四棱锥 的高与正方体的高相等,
底面与正方体的底面重合,
根据柱体和锥体的体积 公式得,
四棱锥的体积占正方体体积的 , 故选B.
√
3.小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体
轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，卷纸的直径为
，轴的直径为，当小明用掉 的纸后，剩下的
这卷纸的直径最接近于(参考数据： ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设小明用掉 的纸后，剩下的这卷纸的直径为
，卷纸高为 ，
则由题可知 ，
解得，则 ，
所以剩下的这卷纸的直径最接近于 .故选B.
4.若两个球的表面积之比为 ，则其体积之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 设两个球的半径分别为，，则有 ，
， 两个球的体积之比为 .
故选A.
√
5.如图所示，多面体中，已知平面 是边长为3的正方
形，，，到平面 的距离为2，则该多面体的
体积 ___.
[解析] 如图，连接,, ，则
， ， ，
.
故 .
1.祖暅原理的理解
（1）两个几何体夹在两个平行平面之间．
（2）几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截得两个截面的
面积总相等．
以上两个条件缺一不可，否则结论不成立．
2.空间几何体的体积公式
（1）柱体、锥体、台体体积公式中的高为几何体的高,即为点到面或
面到面的距离.
（2）台体的体积公式,当为上底面面积， 为下底面面积)时,
为柱体的体积公式,当 时,为锥体的体积公式.
（3）柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
3.球的体积公式的推导
作球，将球的表面分成 个小网格，把球心与每一个小网格的顶
点连接起来，整个球体被分割成 个“准锥体”．
当 无限增大时，每一个小锥体“曲”的底面几乎变成“平”的，此时，
每个“准锥体”就近似于棱锥，从而可得球的体积公式
.
1.求简单几何体的体积,一是要掌握这些几何体体积的计算公式,二是
要分清所求几何体的类型,或者所求几何体是由哪些简单几何体组成
的,然后用公式求解.
例1 在一个封闭的正三棱柱内有一个体积为 的球.若
，，则 的最大值是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为正三角形 的边长为6，所以其内切圆的半径，
所以在封闭的正三棱柱 内的球的半径的最大值为，
所以其体积的最大值为 ，故选D.
2.等体积变换能够以体积为中间媒介,计算相关元素.特别对于三棱锥,
可置换底面、置换顶点,有较大的灵活性.若技巧运用得当,可使解题过
程简化.
例2（1） 如图，在长方体中，
为 的中点，设三棱锥的体积为 ，
四棱锥的体积为，则 的值为
( )
A.1 B. C. D.
[解析] ，
则 .
√
（2）将两个半径为1的小铁球熔化后制作成一个大球,则这个大球的
半径 为____.
[解析] 两个小铁球的体积之和为,
由题意得,解得 .
3.“割补法”是求不规则几何体体积的基本方法,通过割补能使不规则
几何体成为规则几何体,利用规则几何体的体积公式求出其体积,然后
加上或减去“割”或“补”的那部分体积即得原几何体的体积.“割补法”
也体现了化归与转化的数学思想在立体几何中的应用.
例3 如图，在六面体 中，平
面平面，四边形 与四边
形是两个全等的矩形， ，
， 平面 ，
A.288 B.376 C.448 D.600
，， ，则六面体
的体积为( )
√
[解析] 将六面体 补成如图所示
的长方体 .
在长方体中， ，
，
.
直三棱柱 的体积
，
直三棱柱 的体积，
三棱锥 的体积 ，
故六面体 的体积为
.
故选B.11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
【课前预习】
知识点一
1.两个平行平面间 平行于这两个平面 总相等 一定相等
2.等底面积 等高
诊断分析
解:(1)可以.依据柱体的定义、性质和祖暅原理可知,柱体的体积可以转化为长方体的体积.
(2)祖暅原理提供了求不规则几何体体积的一种方法.
知识点二
底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高
诊断分析
1.(1)× (2)√
2.解:圆柱和圆锥是圆台的特殊情形,当圆台的上、下底面半径接近相等时,圆台接近于圆柱,圆台的体积公式变为圆柱的体积公式;当圆台的上底面半径接近于零时,圆台接近于圆锥,圆台的体积公式变为圆锥的体积公式.
V圆锥=πr2hV圆台=πh(r'2+r'r+r2)V圆柱=πr2h.
知识点三
诊断分析
1.×
2.解:设气球原来的半径为R,则气球原来的体积V=πR3,
气球的半径扩大1倍后,半径变为2R,则气球扩大后的体积V'=π(2R)3=8×πR3=8V,所以将一个气球的半径扩大1倍,它的体积扩大到原来的8倍.
【课中探究】
探究点一
例1 (1) [解析] 由题知正四棱台的上底面的对角线长为2,下底面的对角线长为4,侧棱长为3,所以正四棱台的高为=,则该正四棱台的体积为×(4++16)×=.
(2)解:连接BD1,如图所示,则=2,又==×S△ABD×DD
1=×S△ABD×AA1=××3×3×2=3( cm3),所以=6 cm3.
变式 (1)2 (2)a3 [解析] (1)设该正四棱台的上底面边长为2a,则斜高、下底面边长分别为5a,8a,所以该正四棱台的高为=4a.又因为×4a×(64a2+4a2+)=14,所以a=,故该正四棱台的高为2.
(2)由题意得=EA1·A1D1=a2,三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,∴=·a·a2=a3.又=,∴=a3.
探究点二
例2 A [解析] 设圆锥的底面圆半径为r,母线长为l,高为h,因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形,所以2πr=l,得l=4r.因为该圆锥的侧面积为4π,所以πrl=4πr2=4π,所以r=1,则l=4,所以底面圆的面积S=π×r2=π,圆锥的高h==,故圆锥的体积V=Sh=π.故选A.
变式 解:设上、下底面半径,母线长分别为r,R,l,作A1D⊥AB于点D,则A1D=3,∠A1AD=,∴AD==,
∴R-r=.∵BD=A1D·tan =3,∴R+r=3,∴R=2,r=,又∵高h=3,∴V圆台=π(R2+Rr+r2)h=π×[(2)2+2×+()2]×3=21π.
拓展 解:如图所示,设OA与圆R相切于点E,连接ER,OR,
设圆台的上、下底面半径分别为r',r.
(1)∵2πr=×72,∴r=12 cm.
在Rt△OER中,RE=r,OR=2r,∴OD=3r=36 cm,
∴AD=OA-OD=36(cm).
(2)由(1)知2πr'=·3r,∴r'=6 cm,则圆台的高h===6(cm),∴圆台的体积V=π(r'2+r'r+r2)h=π(62+6×12+122)×6=504π(cm3),即容器的容积为504π cm3.
探究点三
例3 (1)B (2)A [解析] (1)设截面圆的圆心为O',M为截面圆周上任一点,连接OO',O'M,OM,则OO'=,O'M=1,∴OM= =,即球O的半径为,∴球O的体积V=π×()3=4π.
(2)因为三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,所以三棱锥的外接球就是以PA,PB,PC为长、宽、高的长方体的外接球,因为PA=,PB=,PC=,所以长方体的体对角线长为=2,所以外接球的直径是2,半径为,所以所求外接球的体积V=×π×()3=π.故选A.
变式 D [解析] 设球的半径为R,正三棱柱底面三角形的内切圆的半径为r,则S底=×6×6×sin 60°=r(6+6+6),解得r=,所以R=,解得R=2,所以球的体积V=πR3=π.故选D.
探究点四
例4 解:由PO1=2 m,知O1O=4PO1=8 m.
因为A1B1=AB=6 m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V四棱锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3),正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V四棱柱=AB2·O1O=62×8=288(m3),所以仓库的容积V=V四棱锥+V四棱柱=24+288=312(m3).
变式 A [解析] 由题可知,该玉琮的体积V=π×4×+3×3×3-π×3×=(cm3),故选A.
【课堂评价】
1.B [解析] 以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周所得几何体是底面半径为2,高为2的圆柱,所以所得到的几何体的体积V=π×22×2=8π.故选B.
2.B [解析] 四棱锥S-ABCD的高与正方体的高相等,底面与正方体的底面重合,根据柱体和锥体的体积公式得,四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的,故选B.
3.B [解析] 设小明用掉的纸后,剩下的这卷纸的直径为x cm,卷纸高为h cm,则由题可知(π×62-π×22)h×=h,解得x2=48,则x=4≈4×1.732=6.928,所以剩下的这卷纸的直径最接近于7 cm.故选B.
4.A [解析] 设两个球的半径分别为r,R,则有4πr2∶4πR2=4∶9,∴r∶R=2∶3,∴两个球的体积之比为πr3∶πR3=r3∶R3=8∶27.故选A.
5. [解析] 如图,连接EB,EC,AC,则VE-ABCD=×32×2=6.∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△ABE=2S△BEF,∴VF-EBC=VC-EFB=VC-ABE=VE-ABC=×VE-ABCD=.故V=VE-ABCD+VF-EBC=6+=.11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
【学习目标】
1.了解祖暅原理的内容,掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、球的体积公式的过程;
2.掌握柱体、锥体、台体、球的体积公式,能运用公式解决简单的实际问题;
3.了解组合体的概念,掌握求组合体表面积、体积的方法,并能解决实际应用问题;
4.通过柱体、锥体、台体和球的体积的计算,培养直观想象素养和数学运算素养.
◆ 知识点一 祖暅原理
1.祖暅原理
幂势既同,则积不容异.
含义:夹在 的两个几何体,如果被 的任意平面所截,两个截面的面积 ,那么这两个几何体的体积 .
2.祖暅原理的应用
、 的两个柱体或锥体,体积相等.
【诊断分析】 (1)柱体的体积可以转化为长方体的体积吗
(2)祖暅原理用来解决什么问题
◆ 知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式
几何体 体积公式 说明
柱体 V柱体=Sh S为柱体的 ,h为柱体的
锥体 V锥体=Sh S为锥体的 ,h为锥体的
台体 V台体=(S2+ +S1)h S1,S2分别为台体的 ,h为台体的
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)底面积相等、高相等的一个三棱柱与一个四棱柱的体积不相等. ( )
(2)锥体的体积是等底面积、等高的柱体的体积的三分之一. ( )
2.用变化的观点分析圆台与圆柱、圆锥之间的相互联系,你能发现三者的体积公式之间的关系吗
◆ 知识点三 球的体积
如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球= .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
球是曲面几何体,其体积公式不能推导出来. ( )
2.将一个气球(看作一个球)的半径扩大1倍,它的体积扩大到原来的几倍
◆ 知识点四 组合体
1.概念:由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体.常见的组合体大多是由柱、锥、台、球等几何体组成的.
2.求组合体的体积(或表面积)时,只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积),然后再处理即可.
◆ 探究点一 多面体的体积
例1 (1)若一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,侧棱长为3,则这个正四棱台的体积为 .
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,求四棱锥A-BB1D1D的体积.
变式 (1)正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14,则该正四棱台的高为 .
(2)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E为AA1的中点,F为CC1上一点,则三棱锥A1-D1EF的体积为 .
[素养小结]
求几何体体积的常用方法:
◆ 探究点二 旋转体的体积
例2 已知一圆锥的侧面展开图是一个中心角为直角的扇形,若该圆锥的侧面积为4π,则该圆锥的体积为 ( )
A. B.
C.3π D.π
变式 如图,圆台的高为3,轴截面AA1B1B中母线AA1与底面直径AB的夹角为,轴截面中一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.
[素养小结]
旋转体体积问题的求解技巧:
一是借助旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题;二是利用三角形全等、相似等关系求出所需的量.
拓展 如图所示,有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=,OA=72 cm,要剪下来一个扇环ABCD,作圆台形容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆R使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).试求:
(1)AD的长;
(2)容器的容积.
◆ 探究点三 球的体积
例3 (1)[2023·银川一中高一月考] 用一个平面截球O,截面是半径为1的圆,球心O到截面的距离为,则球O的体积为 ( )
A.π B.4π
C.4π D.6π
(2)[2024·浙江金华一中高一期中] 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PC=,PB=,则此三棱锥外接球的体积为 ( )
A.π B.π
C.8π D.
变式 如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,正三棱柱的棱长都为6 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为5 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( )
A.32π cm3 B.π cm3
C.π cm3 D.π cm3
[素养小结]
计算球的体积、表面积的关键是求出球的半径,另外球还有如下性质:①用一个平面去截球,截面是圆面;②球心和截面圆心的连线垂直于截面;③球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆的半径r之间满足r=.
◆ 探究点四 简单组合体的体积
例4 现需要设计一个仓库,它由上、下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍,若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少
变式 [2024·山东菏泽外国语学校高一月考] 三星堆遗址祭祀区4号坑发现了玉琮,一种内圆外方的筒型玉器(如图①),是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空,形状对称,如图②所示,圆筒内径长2 cm,外径长3 cm,筒高4 cm,中部为棱长是3 cm的正方体的一部分,圆筒的外侧面内切于正方体的侧面,则该玉琮的体积为 ( )
A.cm3 B.cm3
C.cm3 D.cm3
[素养小结]
求组合体体积的方法:
(1)分析组合体的结构特征:弄清组合体的组成形式,找准常见几何体的关键量.
(2)选择计算方法:依据组合体的组成形式,选择合适的计算方法,常用“切割”“补形”等方法求解.
(3)计算求值:依据计算方法与常见几何体的体积公式计算求解.
1.以边长为2的正方形的一边所在直线为轴旋转一周,所得到的几何体的体积为( )
A.2π B.8π C. D.
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四棱锥S-ABCD的体积占正方体体积的 ( )
A. B. C. D.不确定
3.小明有一卷纸,纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷,它的整体外貌如图所示,卷纸的直径为12 cm,轴的直径为4 cm,当小明用掉的纸后,剩下的这卷纸的直径最接近于(参考数据:≈1.732) ( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
4.若两个球的表面积之比为4∶9,则其体积之比为 ( )
A.8∶27 B.16∶81
C.64∶729 D.2∶3
5.如图所示,多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,EF到平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积V= . 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
1.C [解析] 由题可知圆锥的高、底面半径均为2,所以圆锥的体积为×2×π×22=.故选C.
2.D [解析] V三棱锥A'-EFQ=V三棱锥Q-A'EF=××EF×AA'×A'D'=,所以三棱锥A'-EFQ的体积为定值,与点E,F,Q的位置均无关.
3.C [解析] 由题意得棱台的体积V1=×9×(400+900+)=5700(cm3).∵长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等,宽和高分别为原长方体一半的小长方体,∴长方体凹槽的体积是原长方体体积的,则长方体形凹槽的体积V2=×900×12=8100(cm3).∴这个斗的体积V=V1+V2=5700+8100=13 800(cm3).故选C.
4.B [解析] 设原来球的半径为R,则原来球的大圆面积S=4πR2,原来球的体积V=πR3.设增大后球的半径为R1,因为增大后球的大圆面积增大为原来的4倍,即增大后球的大圆面积S1=4S,所以16πR2=4π,即R1=2R,则增大后球的体积V1=π=π×8R3,又==8,所以球的体积增大为原来的8倍.故选B.
5.B [解析] 设四棱锥P-ABCD的高为h,底面ABCD的面积为S,则V2=V三棱锥P-ABD=×Sh=Sh.因为CE=2EP,所以PE=PC,所以V1=V三棱锥P-EBD=V三棱锥E-PBD=V三棱锥C-PBD=V三棱锥P-BCD=×Sh=Sh,所以==,故选B.
6.C [解析] 如图所示,设两圆锥的顶点分别为A,B,连接AB,设底面圆的圆心为O1,球心为O,底面圆上一点为C,连接O1C,OC,则圆锥底面圆的半径r=O1C,球的半径R=OC=6.∵两个圆锥的体积之和为球的体积的,∴πr2·AO1+πr2·BO1=πr2(AO1+BO1)=πr2·2R=×πR3,化简得r2=R2=27,则r=3.在Rt△OO1C中,OO1===3,则两个圆锥的高分别为AO1=R-OO1=3,BO1=R+OO1=9,∴两个圆锥高的差的绝对值为6,故选C.
7.C [解析] 正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=,A1B1=2,所以△ABC的面积为×××=,△A1B1C1的面积为×2×2×=3.设O,O1分别是△ABC,△A1B1C1的中心,D,D1分别是BC,B1C1的中点,如图所示,连接AD,A1D1,OO1,DD1,则A,O,D三点共线,A1,O1,D1三点共线,AD=AB×sin=×=,A1D1=A1B1×sin=2×=3,所以OD=AD=,O1D1=A1D1=1,DD1===.过D作DE⊥A1D1,垂足为E,则DE∥OO1,因为DE===,所以三棱台ABC-A1B1C1的高为,所以三棱台的体积V=××=.故选C.
8.BCD [解析] 由已知及题图知cos∠ADC=且0°<∠ADC<90°,所以∠ADC=60°,故A错误;圆台的高h=2×sin 60°=,所以圆台轴截面ABCD的面积S=×(2+4)×=3(cm2),故B正确;圆台的体积V=×(π×12+π×+π×22)×=(cm3),故C正确;将圆台一半侧面展开,如图中环形ABCD,E为AD的中点,而圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD且OC=4,又∠COD==,所以在Rt△COE中,CE==5 (cm),所以点C到AD的中点的最短距离为5 cm,故D正确.故选BCD.
9.BC [解析] 对于A,设三棱柱的底面积为S,高为h,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=Sh,因为D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,所以S△DEF=S,则三棱锥A1-DEF的体积为×Sh=V,故A错误;对于B,如图①,因为AF=AC,DE∥AC,DE=AC,所以DE∥AF,DE=AF,则四边形ADEF为平行四边形,所以S四边形ADEF=S,则=×Sh=Sh,故B正确;对于C,如图②,因为△CEF∽△C1B1A1,且棱柱上、下底面平行,E,F分别是棱BC,CA的中点,所以线段C1C,B1E,A1F的延长线交于一点,则几何体CEF-C1B1A1为三棱台,且S△CEF=S,则=h=Sh=V,所以=-=V-V=V,故C正确;对于D,因为S△ADF=S△BDE=S△CEF,所以===×Sh=V,则=---=V-3×V=V,故D错误.故选BC.
① ② ③
10.48 cm2 cm3 [解析] 设正四棱锥S-ABCD的高为h,斜高为h'.如图所示,设O为正方形ABCD的中心,E为CD的中点,连接SO,OE,SE.在Rt△SOE中,∠OSE=30°,OE=2 cm,∴SO=2 cm,SE=4 cm,即h=2 cm,h'=4 cm,∴S表=4××4×4+4×4=32+16=48(cm2),V=×4×4×2=( cm3)
11.8 [解析] 以四面体的各棱为长方体的面对角线,作出该长方体,如图所示.设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则∴易知V三棱锥D-ABE=DE·S△ABE=V长方体.同理V三棱锥C-ABF=V三棱锥D-ACG=V三棱锥D-BCH=V长方体,∴V四面体ABCD=V长方体-4×V长方体=V长方体.∵V长方体=2×3×4=24,∴V四面体ABCD=8.
[点睛] 三对对棱分别相等的四面体都可以补形为长方体,其中各棱均为长方体各面的对角线.
12. [解析] 如图,∵D,E分别为PB,PC的中点,∴S四边形BDEC=S△PBC,则S△BDE=S四边形BDEC=×S△PBC=S△PBC.∵VP-ABC=VA-PBC=V2,VD-ABE=VA-BDE=V1,且三棱锥A-PBC与三棱锥A-BDE的高相等,∴==.
13.解:(1)设圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为l,高为h1,
则2πr=24π,故r=12,h1==16(cm),
所以“笼具”的体积V=πr2h-πr2h1=π·=3552π(cm2).
(2)圆柱的侧面积S1=2πrh=720π(cm2),
圆柱的底面积S2=πr2=144π(cm2),
圆锥的侧面积S3=πrl=240π(cm2),
故“笼具”的表面积S=S1+S2+S3=1104π(cm2).
故制造50个这样的“笼具”的总造价为=(元).
14.解:如图所示,连接CA,则V几何体C-EFGH=V-V四棱锥C-ABFE-V四棱锥C-ADHE,其中V是几何体ABCD-EFGH的体积.
因为AE=1,BF=DH=2,CG=3,且几何体ABCD-EFGH是以正方形ABCD为底面的正四棱柱的一部分,所以几何体ABCD-EFGH的体积V=()2×2=4.
V四棱锥C-ABFE=×S四边形ABFE×BC=×(AE+BF)×AB×BC=×(1+2)××=1,
同理得V四棱锥C-ADHE=1,
所以V几何体C-EFGH=V-V四棱锥C-ABFE-V四棱锥C-ADHE=4-1-1=2,
即几何体C-EFGH的体积为2.
[点拨] 求解不规则几何体的体积问题,主要是将其分解为若干个“柱、锥、台、球”的基本型,然后根据相关公式求解,还有很多的题在求解时主要应用转化思想化不规则为规则,以“分割”“补形”为工具将不规则几何体转化为常见的几何体.
15.D [解析] 开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=×8=(cm),底面圆的半径r=×4=(cm),故细沙的体积V=πr2H=××=(cm3).当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4 cm,设高为H' cm,则×42×H'=,解得H'=.故选D.
16.解:(1)由题意可知,正三棱柱的底面积S△ABC=×6×6×=9,且高AA1=8,
故=8×9=72.
(2)如图,过点V,C,C1作圆锥的轴截面VEF,分别交AB,A1B1于点M,N连接C1N,
由题可知底面圆O是矩形ABB1A1的外接圆,连接VO,A1B.
∵A1B==10,∴底面圆O的半径为5.
∵ON=MN=4,OF=EF=5,∴NF=1,
∵C1N==3,且△FC1N与△FVO相似,
∴=,即VO=15,∴VF==10,
V圆锥=×25π×15=125π,∴剩余几何体的体积为125π-72.
∵圆锥的侧面积为10×5π=50π,底面积为25π,
∴剩余几何体的表面积为50π+25π-6×8+6×8×2+9×2=50π+25π+48+18.11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
一、选择题
1.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,且面积为4,则圆锥的体积为 ( )
A. B.
C. D.
2.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D'C'上,则三棱锥A'-EFQ的体积 ( )
A.与点E,F的位置有关
B.与点Q的位置有关
C.与点E,F,Q的位置均有关
D.与点E,F,Q的位置均无关,是定值
3.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一,并为中国所特有,图①②是北京故宫太和殿斗拱实物图,图③是斗拱构件之一的斗的直观图,本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等,宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是400 cm2,900 cm2,高为9 cm,长方体形凹槽的高为12 cm,那么这个斗的体积是( )
A.6700 cm3 B.6900 cm3
C.13 800 cm3 D.14 800 cm3
4.[2024·陕西西安高一期中] 球的大圆面积增大为原来的4倍,那么球的体积增大为原来的 ( )
A.4倍 B.8倍
C.16倍 D.32倍
5.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,CE=2EP,若三棱锥P-EBD的体积为V1,三棱锥P-ABD的体积为V2,则的值为 ( )
A. B.
C. D.
第5题图 第6题图
6.如图,半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面,若两个圆锥的体积之和为球的体积的,则这两个圆锥高的差的绝对值为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
7.[2024·湖南长沙一中高二期中] 在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=,A1B1=2,侧棱AA1的长为2,则此正三棱台的体积为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)某班级到一工厂参加社会实践,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,则下列说法正确的有 ( )
A.∠ADC=30°
B.该圆台轴截面ABCD的面积为3 cm2
C.该圆台的体积为 cm3
D.沿着该圆台表面,从点C到AD的中点的最短距离为5 cm
9.(多选题)已知三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点,记三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,则 ( )
A.三棱锥A1-DEF的体积为V
B.四棱锥A1-ADEF的体积为V
C.多面体ABEFA1B1的体积为V
D.多面体A1B1C1DEF的体积为V
二、填空题
10.已知正四棱锥的底面边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,则该正四棱锥的表面积与体积分别为 , .
★11.已知四面体ABCD中,AB=CD=,BC=AD=2,BD=AC=5,则四面体ABCD的体积为 .
12.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则= .
三、解答题
13.[2024·福建连城一中高一月考] 某种“笼具”由内、外两层组成,无下底面,内层和外层的形状分别是一个圆锥和圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计.已知圆柱的底面周长为24π cm,高为30 cm,圆锥的母线长为20 cm.
(1)求这种“笼具”的体积;
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元
★14.如图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,且AB=,AE=1,BF=DH=2,CG=3,求几何体C-EFGH的体积.
15.[2023·成都高一期中] 如图,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部落入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为 ( )
A.2 cm B. cm C. cm D. cm
16.[2024·广东揭阳三校高一期中] 如图,一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱ABC-A1B1C1(该棱柱的各个顶点均在圆锥侧面上),且棱柱侧面ABB1A1落在圆锥底面上,已知正三棱柱的底面边长为6,高为8.
(1)求挖掉的正三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)求剩余几何体的体积和表面积.
