(共48张PPT)
11.2 平面的基本事实与推论
探究点一 平面的基本事实与推论及其三
种语言的转换
探究点二 共面问题
探究点三 共点、共线问题
【学习目标】
1.掌握平面的画法及表示方法，掌握平面的基本事实及推论；
2.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实,并能解
决空间线面的位置关系问题；
3.从直观认识的基础上论证点、线、面之间的关系，培养直观想
象素养和逻辑推理素养．
知识点 平面的基本事实
1.三个基本事实
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 经过_______ _________的 3个点,有且只 有一个平面 __________________________________ 确定平面的
依据
不在一条直线上
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实2 如果一条直 线上的_____ ___在一个平 面内,那么这 条直线在这 个平面内 _______________________________ ①确定直线在
平面内的依据.
②判定点在平
面内的依据.
③判断一个面
是否是平面的
依据
两个点
续表
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实3 如果两个不 重合的平面 有______公 共点,那么它 们有且只有 ___________ 的公共直线 ________________________________ ①确定两平面
相交的依据.
②判定点在直
线上的依据
一个
一条过该点
续表
2.三个推论
推论1 经过一条直线与________一点,有且只有一个平面.
推论2 经过两条______直线,有且只有一个平面.
推论3 经过两条______直线,有且只有一个平面.
直线外
相交
平行
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）几何里的平面是有厚度的,有边界的.( )
×
[解析] 几何里的平面是没有厚度,无限延展且没有边界的.
（2）若线段在平面 内,则直线在平面 内.( )
√
[解析] 因为线段在平面 内,所以线段上的所有点都在平面 内,
故线段上的,两点一定在平面 内,
由基本事实2可知直线 在平面 内.
（3）平面 与平面 相交,它们只有有限个公共点.( )
×
[解析] 平面 与平面 相交,它们有无限个公共点,这些点都在同一
条直线上.
（4）如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
×
[解析] 如果三点共线,那么这两个平面有可能相交,也可能重合,所以
该说法错误.
2.（1）自行车有一个脚撑就可站稳,为什么
解：因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不在同一条直
线上,可确定一个平面,因此自行车有一个脚撑就可站稳.
（2）两个平面的交线可能是一条线段吗
解：不可能.由基本事实3知,两个平面的交线是一条直线.
（3）三个推论与基本事实1是一回事,对吗
解：三个推论与基本事实1是一回事,这三个推论都可以转化成“经过
不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面”的基本事实.
探究点一 平面的基本事实与推论及其三种语言的转换
例1（1） 用符号语言和图形语言表示下面的文字语言.
平面 与平面 交于,平面 与平面 交于,平面 与平面 交
于 .
解：符号语言为,, .
图形语言，如图所示.
（2）用文字语言和图形语言表示下面的符号语言.
，， ， .
解：文字语言为点在平面 与平面 的交线
上，直线，分别在平面 ， 内．
图形语言，如图所示.
变式 （多选题）下列说法正确的是( )
①
②
③
④
A.在图①中，点在平面 内
B.在图②中，直线在平面 内
C.在图③中，直线交平面 于点
D.在图④中，三个平面两两相交
√
√
√
[解析] 由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知A,C,D正确；
B中，若在平面 内，则直线应画在平行四边形里面.故选 .
［素养小结］
三种语言相互转换时，要注意符号语言的意义：
点与直线及平面的位置关系用 或 表示;直线与平面的位置关系用
或 表示.
拓展 给出下列说法：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确
定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平
面图形；⑤两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的说法是
____.（填序号）
④
[解析] 不共线的三点才能确定一个平面，故①错误；
一条直线和直线外的一点才能确定一个平面，故②错误；
由异面直线的定义知，两条直线不一定能确定一个平面，故③错误；
因为梯形的一组对边平行，所以由“两条平行直线确定一个平面”知，
梯形是一个平面图形，又三角形的三个顶点不共线，所以三角形也是
一个平面图形，故④正确；
两两相交于同一点的三条直线如三棱锥的三条侧棱，它们确定了三个
平面，故⑤错误.故答案为④.
探究点二 共面问题
例2 求证：两两相交但不过同一点的四条直线共面.
①
证明：分两种情况证明.
（1）有三条直线过同一点,如图①所示.
, 点与直线可以确定一个平面 ,
又,, ,,, ,
, , ,, ,, 四条直线共面.
②
（2）任意三条直线都不过同一点,如图②所示.
, 直线与直线 可以确定一个平面 .
又,,,,, ,, .
由, ,得 ;由, ,得 .
因此,,, 四条直线共面.
变式 如图所示，，，.求证：直线 ,
, 在同一平面内.
证明：方法一：（纳入平面法）
，和确定一个平面 .
,，又 ， .
同理可证 .
，， ，
故直线,, 在同一平面内.
方法二：（辅助平面法）
，和确定一个平面 ，
，,确定一个平面 ，
， ， ， ， ， .
同理可证 ， ， ， .
不共线的三个点,,既在平面 内，又在平面 内，
平面 和 重合，即直线，， 在同一平面内.
［素养小结］
证明共面的方法是：利用基本事实及其推论即可.
拓展 已知直线，，， .求证：
，，， 四线共面．
证明：，，确定一个平面 ，
，， ， ，
又，， .
，，确定一个平面 ，同理可得 .
， ， ， ，
与 重合，，，， 四线共面．
探究点三 共点、共线问题
［探索］ 已知两条以上直线,如何证明它们经过同一点
解：在证明多线共点时,可先证明两条直线经过一个点,再证明其余的
直线也经过这个点.
例3 如图所示，在正方体中，，分别是 ，
的中点.
（1）求证：，，三线交于点 ；
证明：连接，，
在正方体中，， 分别是，的中点，
且，与 相交，
设交点为， 平面， 平面，
又, 平面, 平面,
为平面与平面的公共点.
平面 平面,，
，，三线交于点 .
（2）在（1）的结论下，是上一点，若
交平面于点，求证：，， 三点共线.
证明：记平面 平面.
在（1）的结论下，是 上一点，
交平面于点，则 平面，
平面 ，又 平面，.
同理，，，即，，都在平面 与
平面的交线上，，， 三点共线.
变式 如图，在三棱锥中，,分别是,的中点，, 分
别在,上，且.设与交于点 ，求
证：,, 三点共线.
证明:如图，， ，
又 平面, 平面 ，
同理 平面，为平面 与
平面的一个公共点.
又平面 平面,，
即,, 三点共线.
［素养小结］
证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再证明
这一点在其余的直线上,而证明多点共线问题只需要证明多点均在两
个相交的平面上.在证明后者时,往往依据“如果两个不重合的平面有
一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线”这一基本事实,
从而只需证明这些点在两个平面上.
拓展 [2024·浙江宁波五校联盟高一期中] 如图，在长
方体中，， ，
点,,，分别是棱,,, 的中点．
（1）证明：三条直线,, 相交于同一点；
证明：连接， ，如图.
,分别是,的中点，且 ，
，且 ，
四边形为平行四边形， .
在中，,分别是,的中点，
， ，且，
,,,四点共面，与 相交.
设， 平面， 平面，
平面， 平面 ，
平面 平面， ，
三条直线,, 相交于同一点.
解： ，
三棱锥的高为 ，
是棱的中点， ，，
,分别是棱, 的中点，， ，
．
故 ．
（2）求三棱锥 的体积．
1.下列叙述中正确的是( )
A.因为 ， ，所以
B.因为 ， ，所以
C.因为 ，，，所以
D.因为 ， ，所以
[解析] 因为 ， ，所以 ，故A错误；
因为 ， ，所以，故B错误；
因为 ，，，所以 ，故C错误；
因为 ， ，所以 ，故D正确.故选D.
√
2.[2023·长沙高一期末]如图所示，平面 平面，点 ，
点 ，点 ，点，，若，， 三点确定
的平面为 ，则 ( )
A. B. C. D.以上均错误
√
[解析] ， ， ，又 ，
为 与 的一个公共点， ， ，
为 与 的一个公共点， .
3.如图，长方体中，是的中点，直线 交
平面于点 ，则下列结论中错误的是( )
A.，，三点共线 B.，，， 四点共面
C.，，，四点共面 D.，，， 四点共面
√
[解析] 连接,，则，
, , C,A四点共面， 平面 ，
， 平面，
平面，
点在平面与平面 的交线上，
同理点A，都在平面与平面的交线上，
,,三点共线，故A中结论正确；
,, 三点共线，且直线与直线外一点可确定一个平面，
,,,四点共面，A,,C, 四点共面，故B，D中结论正确；
,， 平面, 平面，
易知与异面，,,, 四点不共面，故C中结论错误.
故选C.
4.（多选题）下列说法正确的是( )
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线 平面 ，直线 平面 ，则“与相交”是“ 与
相交”的充要条件
C.若，直线 平面 ，直线 平面 ，且 ，
则
D.若 条直线中任意2条共面，则它们共面
√
√
[解析] A显然正确；
对于B，“ 与 相交”推不出“与 相交”，也可能，故B错误；
对于C，因为，所以 ，且 ，所以 ，故C正确；
对于D，正方体的侧棱任意2条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.
故选 .
5.如图，在三棱锥中，，分别是，的中点，，
分别是，上的点，且.求证：直线，， 交
于一点.
证明:，, ，
四边形为梯形， 梯形的两腰和 相
交于一点，设交点为，
, 平面， 平面，
同理 平面 ，又平面 平面，
， 直线，，交于一点 .
1.相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把
被遮住部分的线画成虚线或者不画,以增强立体感.
2.基本事实1和三个推论是确定一个平面的方法.
3.证明三点共线的方法
4.证明三线共点的步骤
5.多线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而
“其他”直线往往可看作平面与平面的交线.
1.点共线、线共点问题的解决方法：首先找出两个平面,然后证明这
些点、线的公共点同时在两个相交平面内,根据基本事实3知,这些点
都在这两个平面的交线上.
例1 如图，设不全等的与 不在
同一平面内，且， ，
.求证：，， 三线共点.
证明：因为，且 ，
所以四边形为梯形，故直线与 必相交，
不妨设，则， .
又， 平面，所以 平面 .
同理可证， 平面 .
由此可知在平面与平面的交线上，
所以 ，， 三线共点.
2.点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要
依据是基本事实1、基本事实2及推论.通常有三种方法：（1）纳入平
面法：先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内;（2）
辅助平面法（平面重合法）先由有关的点、线确定平面 ,再由其
余元素确定平面 ,最后证明平面 , 重合;（3）反证法.
例2 已知直线直线，直线与,都相交，求证：过,, 有且只
有一个平面.
证明：如图所示.
因为，所以过,有且只有一个平面 .
设， ,
所以 ， ，且，,所以 ，
即过,, 有且只有一个平面.11.2 平面的基本事实与推论
【课前预习】
知识点
1.不在一条直线上 两个点 一个 一条过该点
2.直线外 相交 平行
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× (4)× [解析] (1)几何里的平面是没有厚度,无限延展且没有边界的.
(2)因为线段AB在平面α内,所以线段AB上的所有点都在平面α内,故线段AB上的A,B两点一定在平面α内,由基本事实2可知直线AB在平面α内.
(3)平面α与平面β相交,它们有无限个公共点,这些点都在同一条直线上.
(4)如果三点共线,那么这两个平面有可能相交,也可能重合,所以该说法错误.
2.解:(1)因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不在同一条直线上,可确定一个平面,因此自行车有一个脚撑就可站稳.
(2)不可能.由基本事实3知,两个平面的交线是一条直线.
(3)三个推论与基本事实1是一回事,这三个推论都可以转化成“经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面”的基本事实.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)符号语言为α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.
图形语言,如图所示.
(2)文字语言为点A在平面α与平面β的交线l上,直线AB,AC分别在平面α,β内.图形语言,如图所示.
变式 ACD [解析] 由点与平面、直线与平面、平面与平面的画法可知A,C,D正确;B中,若l在平面α内,则直线应画在平行四边形里面.故选ACD.
拓展 ④ [解析] 不共线的三点才能确定一个平面,故①错误;一条直线和直线外的一点才能确定一个平面,故②错误;由异面直线的定义知,两条直线不一定能确定一个平面,故③错误;因为梯形的一组对边平行,所以由“两条平行直线确定一个平面”知,梯形是一个平面图形,又三角形的三个顶点不共线,所以三角形也是一个平面图形,故④正确;两两相交于同一点的三条直线如三棱锥的三条侧棱,它们确定了三个平面,故⑤错误.故答案为④.
探究点二
例2 证明:分两种情况证明.
(1)有三条直线过同一点,如图①所示.∵A d,∴点A与直线d可以确定一个平面α,又∵B,C,D∈d,∴B,C,D∈α,∴AB α,AC α,AD α,∴a,b,c,d四条直线共面.
(2)任意三条直线都不过同一点,如图②所示.∵a∩b=A,∴直线a与直线b可以确定一个平面α.又∵D,E∈b,B,C∈a,∴D,E∈α,B,C∈α.由B,E∈α,得c α;由C,D∈α,得d α.因此a,b,c,d四条直线共面.
变式 证明:方法一:(纳入平面法)
∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3=B,∴B∈l2,又l2 α,∴B∈α.
同理可证C∈α.
∵B∈l3,C∈l3,∴l3 α,故直线l1,l2,l3在同一平面内.
方法二:(辅助平面法)
∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α,
∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β,
∵A∈l2,l2 α,∴A∈α,∵A∈l2,l2 β,∴A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
∵不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内,
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
拓展 证明:∵a∥b,∴a,b确定一个平面α,
∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α,
又A∈l,B∈l,∴l α.
∵b∥c,∴b,c确定一个平面β,同理可得l β.
∵b α,l α,b β,l β,
∴α与β重合,∴a,b,c,l四线共面.
探究点三
探索 解:在证明多线共点时,可先证明两条直线经过一个点,再证明其余的直线也经过这个点.
例3 证明:(1)连接EF,D1C,∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥CD1且EF≠CD1,∴EC与D1F相交,设交点为P.∵P∈EC,EC 平面ABCD,∴P∈平面ABCD,又∵P∈FD1,FD1 平面ADD1A1,∴P∈平面ADD1A1,∴P为平面ABCD与平面ADD1A1的公共点.∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴P∈AD,∴CE,D1F,DA三线交于点P.
(2)记平面PCD1∩平面ABCD=l.在(1)的结论下,G是D1E上一点,FG交平面ABCD于点H,则FH 平面PCD1,∴H∈平面PCD1,又H∈平面ABCD,∴H∈l.同理,P∈l,E∈l,即P,E,H都在平面PCD1与平面ABCD的交线上,∴P,E,H三点共线.
变式 证明:如图,∵EH∩FG=P,∴P∈EH,又∵EH 平面ABD,∴P∈平面ABD,同理P∈平面BCD,∴P为平面ABD与平面BCD的一个公共点.又平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD,即P,B,D三点共线.
拓展 解:(1)证明:连接B1C,MQ,如图.
∵M,Q分别是A1B1,CD的中点,且A1B1∥CD,A1B1=CD,∴QC∥MB1且QC=MB1,
∴四边形B1CQM为平行四边形,∴B1C∥QM.
在△B1C1C中,∵P,N分别是CC1,B1C1的中点,∴PN∥B1C,∴PN∥QM,且PN=QM,∴M,N,P,Q四点共面,MN与PQ相交.
设MN∩QP=H,∵MN 平面A1B1C1D1,QP 平面DCC1D1,∴H∈平面A1B1C1D1,H∈平面DCC1D1,
∵平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1=C1D1,∴H∈C1D1,
∴三条直线MN,QP,D1C1相交于同一点.
(2)V三棱锥C-MNP=V三棱锥M-NPC,三棱锥M-NPC的高为MB1,
∵M是棱A1B1的中点,A1B1=4,
∴MB1=2,∵N,P分别是棱B1C1,CC1的中点,B1C1=4,CC1=3,
∴S△NPC=×CP×C1N=×CC1×BC=××3×2=.
故V三棱锥C-MNP=V三棱锥M-NPC=S△NPC×MB1=××2=1.
【课堂评价】
1.D [解析] 因为P∈α,Q∈α,所以PQ α,故A错误;因为P∈α,P∈β,所以P∈(α∩β),故B错误;因为AB α,C∈AB,D∈AB,所以CD α,故C错误;因为AB α,AB β,所以α∩β=AB,故D正确.故选D.
2.C [解析] ∵K∈AB,AB γ,∴K∈γ,又K∈β,∴K为γ与β的一个公共点,∵C∈γ,C∈β,∴C为γ与β的一个公共点,∴β∩γ=CK.
3.C [解析] 连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,∴A1,C1,C,A四点共面,∴A1C 平面ACC1A1,∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1,∵M∈平面AB1D1,∴点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理点A,O都在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,∴A,M,O三点共线,故A中结论正确;∵A,M,O三点共线,且直线与直线外一点可确定一个平面,∴A,M,O,A1四点共面,A,M,C,O四点共面,故B,D中结论正确;∵O,M,B1∈平面AB1D1,B 平面AB1D1,∴易知BB1与OM异面,∴B,B1,O,M四点不共面,故C中结论错误.故选C.
4.AC [解析] A显然正确;对于B,“α与β相交”推不出“a与b相交”,也可能a∥b,故B错误;对于C,因为a∩b=P,所以P∈α,且P∈β,所以P∈l,故C正确;对于D,正方体的侧棱任意2条都共面,但这4条侧棱却不共面,故D错误.故选AC.
5.证明:∵==,∴FG∥BD,FG=BD,
∴四边形FGHE为梯形,∴梯形的两腰FE和GH相交于一点,设交点为P,∵P∈FE,FE 平面ABC,∴P∈平面ABC,同理P∈平面ADC,又平面ABC∩平面ADC=AC,∴P∈AC,∴直线EF,GH,AC交于一点P.11.2 平面的基本事实与推论
【学习目标】
1.掌握平面的画法及表示方法,掌握平面的基本事实及推论;
2.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实,并能解决空间线面的位置关系问题;
3.从直观认识的基础上论证点、线、面之间的关系,培养直观想象素养和逻辑推理素养.
◆ 知识点 平面的基本事实
1.三个基本事实
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实1 经过 的3个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α 确定平 面的依 据
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈α,B∈α AB α ①确定直线在平面内的依据. ②判定点在平面内的依据. ③判断一个面是否是平面的依据
(续表)
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实3 如果两个不重合的平面有 公共点,那么它们有且只有 的公共直线 A∈α,且A∈β α∩β=a,且A∈a ①确定两平面相交的依据. ②判定点在直线上的依据
2.三个推论
推论1 经过一条直线与 一点,有且只有一个平面.
推论2 经过两条 直线,有且只有一个平面.
推论3 经过两条 直线,有且只有一个平面.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)几何里的平面是有厚度的,有边界的. ( )
(2)若线段AB在平面α内,则直线AB在平面α内. ( )
(3)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点. ( )
(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. ( )
2.(1)自行车有一个脚撑就可站稳,为什么
(2)两个平面的交线可能是一条线段吗
(3)三个推论与基本事实1是一回事,对吗
◆ 探究点一 平面的基本事实与推论及其三种
语言的转换
例1 (1)用符号语言和图形语言表示下面的文字语言.
平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC.
(2)用文字语言和图形语言表示下面的符号语言.
α∩β=l,A∈l,AB α,AC β.
变式 (多选题)下列说法正确的是 ( )
① ② ③ ④
A.在图①中,点A在平面α内
B.在图②中,直线l在平面α内
C.在图③中,直线l交平面α于点P
D.在图④中,三个平面两两相交
[素养小结]
三种语言相互转换时,要注意符号语言的意义:
点与直线及平面的位置关系用∈或 表示;直线与平面的位置关系用 或 表示.
拓展 给出下列说法:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③两条直线确定一个平面;④三角形和梯形一定是平面图形;⑤两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的说法是 .(填序号)
◆ 探究点二 共面问题
例2 求证:两两相交但不过同一点的四条直线共面.
变式 如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
[素养小结]
证明共面的方法是:利用基本事实及其推论即可.
拓展 已知直线a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c,l四线共面.
◆ 探究点三 共点、共线问题
[探索] 已知两条以上直线,如何证明它们经过同一点
例3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.
(1)求证:CE,D1F,DA三线交于点P;
(2)在(1)的结论下,G是D1E上一点,若FG交平面ABCD于点H,求证:P,E,H三点共线.
变式 如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,G,H分别在CD,AD上,且CG∶GD=AH∶HD=2∶1.设EH与FG交于点P,求证:B,D,P三点共线.
[素养小结]
证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再证明这一点在其余的直线上,而证明多点共线问题只需要证明多点均在两个相交的平面上.在证明后者时,往往依据“如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线”这一基本事实,从而只需证明这些点在两个平面上.
拓展 [2024·浙江宁波五校联盟高一期中] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=3,点M,N,P,Q分别是棱A1B1,B1C1,CC1,CD的中点.
(1)证明:三条直线MN,QP,D1C1相交于同一点;
(2)求三棱锥C-MNP的体积.
1.下列叙述中正确的是 ( )
A.因为P∈α,Q∈α,所以PQ∈α
B.因为P∈α,P∈β,所以P (α∩β)
C.因为AB α,C∈AB,D∈AB,所以CD∈α
D.因为AB α,AB β,所以α∩β=AB
2.[2023·长沙高一期末] 如图所示,平面α∩平面β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,点C l,AB∩l=K,若A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ= ( )
A.AC B.BC C.CK D.以上均错误
3.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论中错误的是 ( )
A.A,M,O三点共线
B.M,O,A1,A四点共面
C.B,B1,O,M四点共面
D.A,O,C,M四点共面
4.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a 平面α,直线b 平面β,则“a与b相交”是“α与β相交”的充要条件
C.若α∩β=l,直线a 平面α,直线b 平面β,且a∩b=P,则P∈l
D.若n条直线中任意2条共面,则它们共面
5.如图,在三棱锥A-BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且==.求证:直线EF,GH,AC交于一点.11.2 平面的基本事实与推论
一、选择题
1.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是 ( )
A.l α
B.平面α过直线l
C.直线l上只有这两个点在α内
D.直线l上所有点都在α内
2.下列说法正确的是 ( )
A.三点确定一个平面
B.一条直线和一个点确定一个平面
C.梯形一定是平面图形
D.过平面外一点只有一条直线与该平面平行
3.已知空间中四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中 ( )
A.必有某三点共线
B.必有某三点不共线
C.至少有三点共线
D.不可能有三点共线
4.已知α,β,γ是不同的平面,a,b,c是不同的直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则 ( )
A.P∈c B.P c
C.c∩a= D.c∩β=
5.已知平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有 ( )
A.1条或2条
B.2条或3条
C.1条或3条
D.1条或2条或3条
6.[2023·湖北黄冈黄州中学高一期中] 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,则下面几个说法中正确的个数是 ( )
①E,F,G,H四点共面;②EG∥FH;③若直线EG与直线FH交于点P,则P,A,C三点共线.
A.0 B.1 C.2 D.3
★7.[2024·江西部分重点中学高二期末] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E,F分别是AB,BC的中点,过点D1,E,F的平面截该正方体所得的截面多边形记为Ω,则Ω的周长为 ( )
A.4+4 B.4+
C.+2 D.4+
8.(多选题)下列说法中不正确的是 ( )
A.四点至少确定一个平面
B.过一条直线的平面有无数多个
C.两条直线确定一个平面
D.三条两两相交的直线确定三个平面
9.(多选题)设P表示一个点,a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,则下列说法中正确的是 ( )
A.若P∈a,P∈α,则a α
B.若a∩b=P,b β,则a β
C.若a∥b,a α,P∈b,P∈α,则b α
D.若α∩β=b,P∈α,P∈β,则P∈b
二、填空题
10.已知平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,P∈β,P l,且MN∩l=R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,则β∩γ= .
11.[2023·江苏金陵中学高一月考] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为棱A1B1和A1C1上的点(不包括端点),且BE∩CF=P.给出下列说法:
①B,C,E,F四点共面;
②P∈平面ABB1A1;
③平面AEF与平面BB1C1C不相交;
④P,A1,A三点共线.
以上说法正确的是 .
12.P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB,△PBC的重心,AC=a,则DE的长为 .
三、解答题
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,直线A1C1交PN于点E.
(1)若直线AC1交平面MNP于点F,求证:M,E,F三点共线;
(2)求三棱锥D-MNP的体积.
14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,则直线A1P与平面ABCD是否相交 为什么 直线D1P呢
15.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H,若EF与HG交于点M,则( )
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上,也可能在直线BD上
D.M不在直线AC上,也不在直线BD上
★16.在图中画出过A,B,C三点的截面与多面体在各个面上的交线,其中AB与所在面的边不平行,要求保留作图痕迹.11.2 平面的基本事实与推论
1.C [解析] 根据基本事实2可知,若一条直线上有两点在一个平面内,则这条直线上所有的点都在该平面内.故选C.
2.C [解析] 不在一条直线上的三点确定一个平面,当三点在一条直线上时,不能确定平面,A不正确;当点在直线上时,不能确定平面,B不正确;梯形有两条边平行,两条平行线确定一个平面,梯形的两腰也在这个平面内,C正确;过平面外一点与平面平行的平面内,过该点的直线都符合条件,D不正确.故选C.
3.B [解析] 如图①②所示,由图可知A,C,D均不正确,只有B正确.故选B.
4.A [解析] 如图,∵a∩b=P,∴P∈a,P∈b,∵α∩β=a,β∩γ=b,∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,∴P∈c.
5.D [解析] 当α过β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;当β与γ没有交线时,α与β和γ各有1条交线,此时共有2条交线;当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.故选D.
6.C [解析] 如图所示,∵E,F分别为AB,AD的中点,∴EF∥BD,EF=BD,∵G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,∴GH∥BD,GH=BD,∴EF∥GH,则E,F,G,H四点共面,①正确;∵GH>EF,∴四边形FEGH是梯形,故EG∥FH不成立,②错误;若直线EG与直线FH交于点P,则由P∈EG,EG 平面ABC,得P∈平面ABC,同理P∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,∴P∈AC,P,A,C三点共线,③正确.说法正确的有2个.故选C.
7.C [解析] 延长DA,DC,与直线EF分别相交于M,Q,连接D1M,D1Q与A1A,C1C分别交于点P,H,连接PE,HF,则五边形D1PEFH即为截面多边形Ω.正方体的棱长为2,点E,F分别是AB,BC的中点,所以EF=×=,由Rt△BEF≌Rt△CQF≌Rt△AEM得,AM=CQ=BE=BF=1,EF=ME=FQ=,所以P,H分别为AA1,CC1上靠近A,C的三等分点,故A1P=C1H=,所以D1P=D1H====,PE=FH====,
所以Ω的周长为D1P+PE+EF+FH+D1H=×2+×2+=2+.故选C.
[点拨] 作出辅助线,得到五边形D1PEFH即为截面多边形Ω,根据三角形全等或相似得到各边长度,求出Ω的周长.
8.ACD [解析] 若四点共线,则四点不能确定一个平面,故A中说法不正确;过一条直线的平面有无数多个,故B中说法正确;若两条直线异面,则两条直线无法确定一个平面,故C中说法不正确;若三条两两相交的直线过同一个点,则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面,故D中说法不正确.故选ACD.
9.CD [解析] 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a α,故A错误;当a∩β=P时,a β,故B错误;如图,∵a∥b,P∈b,∴P a,又a α,P∈α,∴由直线a与点P确定一个平面α,又a∥b,∴由a与b确定一个平面β,∵β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b α,故C正确;两个平面的公共点必在其交线上,故D正确.故选CD.
10.直线PR [解析] 如图,连接PR.因为MN γ,R∈MN,所以R∈γ.因为R∈l,所以R∈β.又P∈γ,P∈β,所以β∩γ=直线PR.
11.①②④ [解析] 因为BE∩CF=P,所以B,E,C,F四点共面,故①正确;因为P∈BE,BE 平面ABB1A1,所以P∈平面ABB1A1,故②正确;因为P∈CF,CF 平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,又平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,所以P,A1,A三点共线,故④正确;因为直线AE与BB1相交,所以平面AEF与平面BB1C1C相交,故③不正确.故填①②④.
12.a [解析] 如图,连接PD,PE并延长,分别交AB,BC于M,N两点,则M,N分别为AB,BC的中点,连接DE,MN,则DE∥MN且DE=MN,又MN∥AC且MN=AC,∴DE∥AC且DE=AC,∴DE=a.
13.解:(1)证明:连接AC,∵A1C1∩PN=E,
∴E∈A1C1,E∈PN,则E∈平面AA1C1C,E∈平面MPN,
又M∈CC1,∴M∈平面AA1C1C,又M∈平面PMN,
∴平面AA1C1C∩平面PMN=ME,
∵AC1∩平面PMN=F,∴F∈平面PMN,F∈平面AA1C1C,
∴点F在直线ME上,则M,E,F三点共线.
(2)∵VD-MNP=VN-MDP=S△MDP·NC1,S△MDP=2×2-×2×1-×1×1-×2×1=,
∴VD-MNP=××1=.
14.解:直线A1P与平面ABCD相交.理由如下:
∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,∴AA1∥BP,且AA1=2BP,
∴四边形ABPA1是梯形,∴AB与A1P相交.
∵AB 平面ABCD,∴AB与A1P的交点一定在平面ABCD内,
又A1P 平面ABCD,∴直线A1P与平面ABCD相交.
直线D1P与平面ABCD相交.理由如下:
如图,连接BD,∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,
∴DD1∥BP,DD1=2BP,∴四边形BPD1D是梯形,∴直线D1P与BD相交.
∵BD 平面ABCD,∴直线D1P与BD的交点一定在平面ABCD内,
又D1P 平面ABCD,∴直线D1P与平面ABCD相交.
15.A [解析] 由题意EF在平面ABC内,HG在平面ACD内,因为EF与HG交于点M,所以M一定在平面ABC与平面ACD的交线AC上.故选A.
16.解:(1)连接BA并延长,交FE的延长线于点D;
(2)连接DC,交EQ于点G,延长DC,交FH的延长线于点M;
(3)连接BM,交HP于点N;
(4)连接CN,GA.则五边形AGCNB即为所求.
[点拨] 求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点.
