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11.3 空间中的平行关系
11.3.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定定理
探究点一 线面平行判定定理的理解
探究点二 证明线面平行
【学习目标】
掌握直线与平面平行的判定定理,并能利用这个定理解决空间中
的平行关系问题，借助直线与平面平行的判定，培养数学抽象素养、
直观想象素养和逻辑推理素养.
知识点 直线与平面平行的判定定理
1.直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有三种：_______________________________
_______________.其中后两种位置关系又统称为直线在平面外.一般
地,直线与平面的位置关系可以用图表示.
直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交
2.直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外的一条直线与______________________，
那么这条直线与这个平面平行
符号语言 ______________________
图形语言 ___________________________________
利用判定定理证明直线和平面 平行时,必须具备三个条件：①直线
不在平面 内,即 ;②直线在平面 内,即 ;③两直线 ,
平行,即 .这三个条件缺一不可.
平面内的一条直线平行
， ，
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个
平面平行.( )
×
[解析] 只有当这条直线在这个平面外时，这条直线才与这个平面平行.
（2）过已知直线外一点有且仅有一个平面与该直线平行.( )
×
[解析] 因为过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,
而经过所作直线的平面有无数个（除经过已知直线与所作直线的平面），
根据直线与平面平行的判定定理知,这些平面都与已知直线平行.
（3）若直线不平行于平面 ，则直线就不平行于平面 内的任意
一条直线.( )
×
（4）若直线与平面 内的无数条直线不平行，则直线与平面 不
平行.( )
×
2.如图所示,一块矩形木板的一边在平面 内,把这块木板绕
转动,在转动过程中,的对边（不落在 内）和平面 的位置
关系是什么
解：由题知，, , ，
由直线与平面平行的判定定理可知， .
探究点一 线面平行判定定理的理解
例1 [2023·成都高一期中]给出下列命题：
①若直线平行于平面 内的无数条直线，则 ；
②若直线在平面 外，则 ；
③若直线直线， 平面 ，则 ；
④若直线直线， 平面 ，那么直线平行于平面 内的无
数条直线．
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①，直线虽然与平面 内无数条直线平行，但是直线
有可能在平面 内，不一定平行于 ，故①是假命题.
对于②，直线在平面 外包括两种情况： 或和 相交，
和 不一定平行，故②是假命题．
对于③， 直线直线， 平面 ， 或在平面 内，
故③是假命题.
对于④， 直线直线 ， 平面 ， 或 ，
与平面 内的无数条直线平行，故④是真命题．故选A.
变式 [2024·湖南浏阳一中高一月考] 过四棱锥 任意两条棱
的中点作直线，其中与平面 平行的直线有( )
A.4条 B.5条 C.6条 D.7条
√
[解析] 如图，设,,,,,,, 为相应
棱的中点，则，且 平面
， 平面，
所以 平面，
同理可得,,,, 与平面 平行，
由图可知其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在
平面内，所以与平面 平行的直线有6条.故选C.
探究点二 证明线面平行
［探索］（1）当直线与平面的交点个数满足什么情况时,才能保证
直线与平面平行
解：当直线与平面的交点个数为0时,才能保证直线与平面平行.
（2）证明线面平行问题的一般思路是什么
解：将证明线面平行转化为证明线线平行.
例2 如图,在棱长为的正方体中,,,, 分别是
,,, 的中点.求证：
（1）平面 ；
证明：如图，连接,,
因为四边形 是正方形,所以是 的中点,
又是的中点,所以 .
因为 平面, 平面 ,
所以平面 .
（2）平面 .
解：连接,,因为,分别是, 的中点,
所以, .
因为是的中点,四边形 是正方形,
所以,,
,
所以四边形是平行四边形,所以 .
因为 平面, 平面 ,
所以平面 .
变式 如图所示的一块正四棱锥 木料，侧棱长和底面边长
均为13，为侧棱 上的点．
（1）若，要经过点和棱 将木
料锯开，在木料表面应该怎样画线 （请写出必
要作图说明）
解：因为，所以为 的中点，
作，交于，则为 的中点，
连接, ，如图①,
因为四边形为正方形，所以 ，
故，即,,,共面，
故要经过点 和棱将木料锯开，
在木料表面沿线段,, 画线即可.
（2）若，在线段上是否存在一点，使直线
平面 如果不存在，请说明理由；如果存在，求出 的值以
及线段 的长.
解：存在满足题意的点， ，
理由如下：
假设在线段上存在一点，使直线 平面 ，
连接并延长交于，连接 ，
因为平面， 平面，平面 平面 ，
所以，则 ，
由题意知四边形为正方形，故 ，
则，即假设成立，
故在线段上存在一点，使直线 平面，此时 .
因为，，
所以，故 .
中， ，则 ，
即，又， ，
所以，故 .
［素养小结］
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的步骤：
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中
位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.
拓展 在三棱柱中,,分别是棱, 的中点,在线段
上是否存在一点,使得直线平面 请证明你的结论.
解：如图,取棱的中点为,连接, , , ,
设为与 的交点，易知为 的中点.
连接, ,则,分别为, 的中位线,
所以且, 且 ,
所以且 .
连接,则四边形 为平行四边形,所以 .
又因为直线 平面, 平面 ,
所以直线平面 ，
即线段上存在一点（线段 的中点）,使得直线平面 .
1.若直线直线，直线 平面 ，直线 平面 ，则下列结
论错误的是( )
A.直线与平面 平行
B.直线平行于平面 内的所有直线
C.平面 内有无数条直线与直线 平行
D.若直线直线，直线 平面 ，则直线平面
√
[解析] 在A中，由直线与平面平行的判定定理知A中结论正确；
在B中，直线与平面 内的直线平行或异面，故B中结论错误；
在C中，平面 内有无数条直线与直线 平行，故C中结论正确；
在D中，因为，，所以 ，由直线与平面平行的判定
定理知D中结论正确.故选B.
2.在空间四边形中,,分别是, 上的点,若
,则对角线和平面 的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定
[解析] , 平面,
平面,平面 .
√
3.（多选题）[2023·合肥高一期末] 如图是一个几
何体的平面展开图，其中四边形 为正方
形，，，，分别为，，， 的中
点，在此几何体中( )
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面
√
√
√
[解析] 先把展开图还原为一个四棱锥，如图所示．
连接，交于点，则为 的中点，连接，
因为为 的中点，所以，
又 平面， 平面，
所以平面 ，故A正确；
，分别为，的中点，所以，又，所以 ，
又 平面, 平面，所以平面 ，故B正确；
因为，分别为，的中点，所以，又 平面 ，
平面，所以平面，故C正确；
因为， 与平面相交，所以与平面相交，故D不正确．
故选 .
4.（多选题）若直线不平行于平面 ，且 ，则下列说法正确
的是( )
A. 内存在一条直线与平行 B. 内不存在与 平行的直线
C. 内所有直线与异面 D. 内有无数条直线与 相交
[解析] 因为直线不平行于平面 ，且 ，所以直线与平面
相交，故 内不存在与平行的直线，故A错误，B正确；
因为直线 与平面 相交，所以在 内过交点的直线与 共面，故C错误；
因为直线与平面 相交，所以在 内有无数条过交点的直线与 相交，
故D正确.故选 .
√
√
1.直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面 内 直线在平面 外
直线与平面 相交 直线与平面
平行
公共点 ________公共点 ______公共点 ______公共点
符号表示
图形语言 _______________________________ _________________________________ ________________________________
无数个
一个
没有
2.“在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线”是证明线面平行
的关键,其常用方法有：
①空间平行线的传递性;
②三角形的中位线;
③平行四边形;
④成比例线段.
3.线面平行判定定理应用的误区
（1）条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”.
（2）不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.
证明线面平行的常用方法
（1）定义法:证明直线与平面无公共点（不易操作）.
（2）利用判定定理要证明直线 与平面
平行的关键是设法在平面 内找到一条直线,使 ,即要证直线
与平面 平行,先证直线与直线 平行,由立体向平面转化.需要考虑
是否有已知的平行线,若无已知的平行线,则考虑添加辅助线,利用中位
线定理、平行线分线段成比例定理,或者构造平行四边形等证明两直
线平行.
例1 如图所示，在直三棱柱中，是 的中点.
（1）证明：平面 ；
证明：连接交于点，则为的中点，连接 ，
又因为为的中点，所以 ，
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）设, ，求三棱锥
的体积.
解：因为， ，
所以 ，所以 ，
所以 .
例2 （多选题）[2024·福建厦门一中高一期中] 约翰
逊多面体是指除了正多面体、半正多面体
（包括13种阿基米德多面体、无穷多种侧棱与底棱
相等的正棱柱、无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸
多面体，其中由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体.台塔，
又叫帐塔、平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一
个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边
形的台塔，包括正三角台塔、正四角台塔、正五角台塔．如图是所有棱
长均为1的正三角台塔 ，则 ( )
A.该台塔共有15条棱
B. 平面
C.该台塔的高为
D.该台塔外接球的体积为
√
√
√
[解析] 台塔下底面有6条棱，上底面有3条棱，台塔
有6条侧棱，共15条棱，故A正确；
台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，
且台塔所有棱长均为1，连接，因为且 ，
且，所以且，
所以四边形 为平行四边形，所以，
又 平面， 平面 ，
所以平面 ，故B正确；
设上底面正三角形在下底面正六边形 内的
投影为，如图②,
设点是正六边形 的中心，则也是 的中心，
和都是正三角形，是 的中心，
连接, ，如图③,由台塔的棱长为1，得 ，
所以台塔的高 ，
故C错误；
由图④⑤得 或
，
解得，所以 ，
则台塔的外接球体积 ，
故D正确.故选 .
设台塔的外接球的球心为，半径为，设 ，
设上底面正三角形的外接圆圆心为 ，其半径，
下底面正六边形 的外接圆圆心为，其半径 ，11.3.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定定理
【课前预习】
知识点
1.直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交
2.平面内的一条直线平行 l α,m α,l∥m
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (1)只有当这条直线在这个平面外时,这条直线才与这个平面平行.
(2)因为过直线外一点可作唯一的一条直线与已知直线平行,而经过所作直线的平面有无数个(除经过已知直线与所作直线的平面),根据直线与平面平行的判定定理知,这些平面都与已知直线平行.
2.解:由题知,CD∥AB,CD α,AB α,由直线与平面平行的判定定理可知,CD∥α.
【课中探究】
探究点一
例1 A [解析] 对于①,直线l虽然与平面α内无数条直线平行,但是直线l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α,故①是假命题.对于②,直线a在平面α外包括两种情况:a∥α或a和α相交,∴a和α不一定平行,故②是假命题.对于③,∵直线a∥直线b,b 平面α,∴a∥α或a在平面α内,故③是假命题.对于④,∵直线a∥直线b,b 平面α,∴a α或a∥α,∴a与平面α内的无数条直线平行,故④是真命题.故选A.
变式 C [解析] 如图,设E,F,G,H,I,J,M,N为相应棱的中点,则NE∥PB,且NE 平面PBD,PB 平面PBD,所以NE∥平面PBD,同理可得HE,NH,GF,MF,MG与平面PBD平行,由图可知其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内,所以与平面PBD平行的直线有6条.故选C.
探究点二
探索 解:(1)当直线与平面的交点个数为0时,才能保证直线与平面平行.
(2)将证明线面平行转化为证明线线平行.
例2 证明:(1)如图,连接AC,D1C,因为四边形ABCD是正方形,所以Q是AC的中点,
又P是AD1的中点,所以PQ∥D1C.
因为PQ 平面DCC1D1,D1C 平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)连接D1Q,QE,因为Q,E分别是BD,BC的中点,所以QE∥DC,QE=DC.
因为F是C1D1的中点,四边形DCC1D1是正方形,
所以D1F∥DC,D1F=DC,所以QE∥D1F,QE=D1F,
所以四边形QEFD1是平行四边形,所以EF∥QD1.
因为EF 平面BB1D1D,QD1 平面BB1D1D,
所以EF∥平面BB1D1D.
变式 解:(1)因为PM∶MA=1∶1,所以M为PA的中点,
作MG∥AD,交PD于G,则G为PD的中点,连接MB,GC,如图①,
因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD,
故GM∥BC,即B,M,G,C共面,故要经过点M和棱BC将木料锯开,在木料表面沿线段BM,MG,GC画线即可.
(2)存在满足题意的点N,BN∶ND=5∶8,理由如下:
假设在线段BD上存在一点N,使直线MN∥平面PBC,
连接AN并延长交BC于E,连接PE,
因为MN∥平面PBC,MN 平面PAE,平面PAE∩平面PBC=PE,所以MN∥PE,则==,
由题意知四边形ABCD为正方形,故BC∥AD,
则==,即假设成立,故在线段BD上存在一点N,使直线MN∥平面PBC,此时=.
因为BC∥AD,AD=13,所以==,故BE=.
△PBE中,∠PBE=60°,则PE2=PB2+BE2-2PB·BEcos 60°=132+-2×13××=,
即PE=,又MN∥PE,PM∶MA=5∶8,
所以==,故MN=×=7.
拓展 解:如图,取棱AB的中点为M,连接A1M,MC,A1C,AC1,
设O为A1C与AC1的交点,
易知O为AC1的中点.
连接MD,OE,
则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,
所以MD∥AC且MD=AC,OE∥AC且OE=AC,
所以MD∥OE且MD=OE.
连接OM,则四边形MDEO为平行四边形,所以DE∥MO.
又因为直线DE 平面A1MC,MO 平面A1MC,
所以直线DE∥平面A1MC,
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),
使得直线DE∥平面A1MC.
【课堂评价】
1.B [解析] 在A中,由直线与平面平行的判定定理知A中结论正确;在B中,直线a与平面α内的直线平行或异面,故B中结论错误;在C中,平面α内有无数条直线与直线a平行,故C中结论正确;在D中,因为a∥b,a∥c,所以c∥b,由直线与平面平行的判定定理知D中结论正确.故选B.
2.A [解析] ∵AE∶EB=CF∶FB=1∶3,∴AC∥EF.∵AC 平面DEF,EF 平面DEF,∴AC∥平面DEF.
3.ABC [解析] 先把展开图还原为一个四棱锥,如图所示.连接AC,交BD于点O,则O为AC的中点,连接OG,因为G为PC的中点,所以OG∥PA,又PA 平面BDG,OG 平面BDG,所以PA∥平面BDG,故A正确;因为E,F分别为PA,PD的中点,所以EF∥AD,又AD∥BC,所以EF∥BC,又EF 平面PBC,BC 平面PBC,所以EF∥平面PBC,故B正确;因为F,H分别为PD,PB的中点,所以FH∥BD,又FH 平面BDG,BD 平面BDG,所以FH∥平面BDG,故C正确;因为EF∥AD,AD与平面BDG相交,所以EF与平面BDG相交,故D不正确.故选ABC.
4.BD [解析] 因为直线l不平行于平面α,且l α,所以直线l与平面α相交,故α内不存在与l平行的直线,故A错误,B正确;因为直线l与平面α相交,所以在α内过交点的直线与l共面,故C错误;因为直线l与平面α相交,所以在α内有无数条过交点的直线与l相交,故D正确.故选BD.11.3.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定定理
【学习目标】
掌握直线与平面平行的判定定理,并能利用这个定理解决空间中的平行关系问题,借助直线与平面平行的判定,培养数学抽象素养、直观想象素养和逻辑推理素养.
◆ 知识点 直线与平面平行的判定定理
1.直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有三种: .其中后两种位置关系又统称为直线在平面外.一般地,直线与平面的位置关系可以用图表示.
2.直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果平面外的一条直线与 ,那么这条直线与这个平面平行
符号语言 l∥α
图形语言
利用判定定理证明直线l和平面α平行时,必须具备三个条件:①直线l不在平面α内,即l α;②直线m在平面α内,即m α;③两直线l,m平行,即l∥m.这三个条件缺一不可.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行. ( )
(2)过已知直线外一点有且仅有一个平面与该直线平行. ( )
(3)若直线 l不平行于平面α,则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线. ( )
(4)若直线l与平面α内的无数条直线不平行,则直线l与平面α不平行. ( )
2.如图所示,一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内,把这块木板绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在α内)和平面α的位置关系是什么
◆ 探究点一 线面平行判定定理的理解
例1 [2023·成都高一期中] 给出下列命题:
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥直线b,b 平面α,则a∥α;
④若直线a∥直线b,b 平面α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线.
其中真命题的个数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
变式 [2024·湖南浏阳一中高一月考] 过四棱锥P-ABCD任意两条棱的中点作直线,其中与平面PBD平行的直线有 ( )
A.4条 B.5条
C.6条 D.7条
◆ 探究点二 证明线面平行
[探索] (1)当直线与平面的交点个数满足什么情况时,才能保证直线与平面平行
(2)证明线面平行问题的一般思路是什么
例2 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.求证:
(1)PQ∥平面DCC1D1;
(2)EF∥平面BB1D1D.
变式 如图所示的一块正四棱锥P-ABCD木料,侧棱长和底面边长均为13,M为侧棱PA上的点.
(1)若PM∶MA=1∶1,要经过点M和棱BC将木料锯开,在木料表面应该怎样画线 (请写出必要作图说明)
(2)若PM∶MA=5∶8,在线段BD上是否存在一点N,使直线MN∥平面PBC 如果不存在,请说明理由;如果存在,求出BN∶ND的值以及线段MN的长.
[素养小结]
利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的步骤:
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理.
拓展 在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是棱BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使得直线DE∥平面A1MC 请证明你的结论.
1.若直线a∥直线b,直线a 平面α,直线b 平面α,则下列结论错误的是 ( )
A.直线a与平面α平行
B.直线a平行于平面α内的所有直线
C.平面α内有无数条直线与直线a平行
D.若直线a∥直线c,直线c 平面α,则直线c∥平面α
2.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC和平面DEF的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定
3.(多选题)[2023·合肥高一期末] 如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中 ( )
A.PA∥平面BDG B.EF∥平面PBC
C.FH∥平面BDG D.EF∥平面BDG
4.(多选题)若直线l不平行于平面α,且l α,则下列说法正确的是 ( )
A.α内存在一条直线与l平行
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内所有直线与l异面
D.α内有无数条直线与l相交11.3.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定定理
1.C [解析] 如图所示,由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.故选C.
2.B [解析] 直线l在平面α外,包括直线l与平面α平行和相交,充分性不成立;若直线l∥平面α,则直线l一定在平面α外,必要性成立.因此是必要不充分条件.故选B.
3.A [解析] 连接AC,交BD于点O,连接OQ,则OA=OC.又AQ=PQ,∴OQ∥PC.∵OQ 平面BDQ,PC 平面BDQ,∴PC∥平面BDQ.
4.C [解析] 在A,B中,易知AB∥A1B1∥MN,MN 平面MNP,AB 平面MNP,所以AB∥平面MNP;在D中,易知AB∥PN,PN 平面MNP,AB 平面MNP,所以AB∥平面MNP;在C中,AB∥A1B1,因为A1B1与平面MNP相交,所以AB不平行于平面MNP.
5.B [解析] 如图,设点P为AB的中点,取A1B1的中点Q,连接AQ,DQ,则B1P∥AQ,又B1P 平面AQD,AQ 平面AQD,∴B1P∥平面AQD,易知AC∥DQ,故平面AQD与平面ACD是同一个平面,∴B1P∥平面ACD,此时B1P=,故选B.
6.A [解析] 如图,连接D1C,因为G,H分别为D1C1,CC1的中点,所以D1C∥GH,又D1C∥A1B,所以GH∥A1B,因为GH 平面A1BD,A1B 平面A1BD,所以GH∥平面A1BD,由图易知EH,EG,FH均与平面A1BD相交.故选A.
7.C [解析] 对于①,由题意得AB∥CF,AB=CF,∴四边形ABCF是平行四边形,∴AF∥BC,∵AF 平面BCD,BC 平面BCD,∴AF∥平面BCD,故①正确;对于②,取DF的中点G,连接EG,CG,∵E是AD的中点,AF∥BC,AF=BC,∴EG=BC,EG∥BC,∴四边形BCGE为梯形,∴直线BE与直线CG相交,∴BE与平面CDF相交,故②错误;对于③,连接AC,交BF于点O,连接OE,∵四边形ABCF是平行四边形,∴O是AC的中点,∴OE∥CD,∵OE 平面BEF,CD 平面BEF,∴CD∥平面BEF,故③正确.故选C.
8.ACD [解析] 连接EF,因为E,F分别为AB,CD的中点,所以FE AD.由题意知AD A1D1,故FE A1D1,所以四边形FEA1D1为平行四边形,所以A1E∥D1F,故A正确;显然A1E与HF为相交直线,故B错误;因为EG∥IF,且IF在平面D1IF内,EG不在平面D1IF内,所以EG∥平面D1IF,故C正确;因为A1E∥D1F,且D1F在平面D1FGB1内,A1E不在平面D1FGB1内,所以A1E∥平面D1FGB1,故D正确.故选ACD.
9.BCD [解析] 对于A,假设存在某一位置满足题意,则B,B1,E,P四点共面,而点P不在平面BB1E内,故A错误.对于B,连接ED,因为BC∥AD,BC 平面AED,AD 平面AED,所以BC∥平面AED,所以当P是直线A1C与平面AED的交点时满足要求,故B正确.对于C,因为A1B1的中点E在平面PBE内,所以点A1与点B1到平面PBE的距离总相等,故C正确.对于D,连接B1C,交BC1于O,则O为B1C的中点,连接EO,所以EO∥A1C,又EO 平面BC1E,A1C 平面BC1E,所以A1C∥平面BC1E,所以点P到平面BC1E的距离为定值,从而三棱锥P-BC1E的体积为定值,即三棱锥C1-PBE的体积为定值,故D正确.故选BCD.
10.平行 [解析] 如图,取BD的中点F,连接EF,D1F.∵E为BC的中点,F为BD的中点,∴EF∥DC,且EF=DC.∵G为C1D1的中点,∴D1G∥CD且D1G=CD,∴EF∥D1G且EF=D1G,∴四边形EFD1G为平行四边形,∴D1F∥EG,而D1F 平面BDD1B1,EG 平面BDD1B1,∴EG∥平面BDD1B1.
11.平行 [解析] 连接AC,∵空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,CD上的点(不包括端点),且=,∴EF∥AC,∵EF 平面ABC,AC 平面ABC,∴EF∥平面ABC.
12.1∶2 [解析] 如图,连接AC,设AC与BD的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形,所以点O是AC的中点.当EO∥SC时,EO 平面EBD,SC 平面EBD,∴SC∥平面EBD,此时点E是SA的中点,所以SE∶SA=1∶2.
13.解:(1)证明:取AC的中点N,连接SN,BN,
因为△ABC为等边三角形,SA=SC,所以O,M分别在BN,SN上,
因为M是△SAC的重心,所以=2,因为O为△ABC的中心,所以=2,
所以=,所以OM∥SB,因为SB 平面SAB,OM 平面SAB,所以OM∥平面SAB.
(2)因为OM∥SB,所以==,
因为OM=1,所以SB=3,所以SA=AB=3,
因为O为等边三角形ABC的中心,
所以BO=×AB=××3=,所以底面圆的面积为π()2=3π,SO==,
所以圆锥SO的体积为×3π×=π.
14.解:存在,当M是AB的中点时,DE∥平面A1MC.
证明如下:如图所示,连接AC1,设O为A1C与AC1的交点.由已知得O为AC1的中点.
连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,
所以MD∥AC且MD=AC,OE∥AC且OE=AC,因此MD∥OE且MD=OE.
连接MO,则四边形MDEO为平行四边形,所以DE∥MO.
因为DE 平面A1MC,MO 平面A1MC,所以DE∥平面A1MC.
15.BD的中点 [解析] 当Q为BD的中点时,PQ∥平面BCE.证明如下:连接AC.∵四边形ABCD为正方形,∴AC∩BD=Q,且Q为AC的中点.又P为AE的中点,∴PQ∥EC.又PQ 平面BCE,EC 平面BCE,∴PQ∥平面BCE.故当点Q为BD的中点时,PQ∥平面BCE.
16.解:(1)取PC上靠近C的四等分点,记为G,连接AG,BG,则结合题意知==,所以BG∥EF,又BG 平面ABG,EF 平面ABG,所以EF∥平面ABG.
(2)延长FE,与CB的延长线交于点M,连接MA并延长,与CD的延长线交于点N,连接FN,交PD于点H.由(1)可得FG=2CG,由FM∥BG,可得MB=2BC.
由AB∥CN,可得==,
又AB=DC,所以CN=DC,ND=DC.
在DC上取点K,使得=,连接FK,
则=,又=,所以=,则=.
[点睛] 解题的关键在于利用线面平行的判定定理以及截面的求法,通过三角形相似求出比值.11.3.2 直线与平面平行
第1课时 直线与平面平行的判定定理
一、选择题
1.若点E,F,G,H分别是四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点,则四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知空间直线l和平面α,则“直线l在平面α外”是“直线l∥平面α”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,Q是PA的中点,则直线PC与平面BDQ的位置关系为 ( )
A.平行
B.相交
C.直线PC在平面BDQ内
D.无法确定
4.[2024·北京西城区高二期末] 如图,下列正三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P分别为其所在棱的中点,则不能得出AB∥平面MNP的是 ( )
A B C D
5.已知在棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为B1C1的中点,若在棱AB上存在一点P,使得B1P∥平面ACD,则B1P的长度为 ( )
A.2 B.
C. D.3
6.[2024·河南郑州一中高一期中] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,D1C1,CC1的中点分别为E,F,G,H,则下列直线中,与平面BDA1平行的是 ( )
A.GH B.EH
C.EG D.FH
7.[2024·浙江绍兴高二期末] 如图①,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E,F分别为AD,CD的中点,以AF为折痕把△ADF折起,使点D不落在平面ABCF内(如图②),那么在以下3个结论中,正确结论的个数是 ( )
①AF∥平面BCD;
②BE∥平面CDF;
③CD∥平面BEF.
A.0 B.1
C.2 D.3
8.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,H,I分别为棱AB,CD,BC,A1D1,AD的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.A1E∥D1F
B.A1E∥HF
C.EG∥平面D1IF
D.A1E∥平面D1FGB1
9.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1B1的中点,P是线段A1C(不含端点)上的一个动点,那么在点P运动的过程中,下列说法中正确的有 ( )
A.存在某一位置,使得直线PE和直线BB1相交
B.存在某一位置,使得BC∥平面AEP
C.点A1与点B1到平面PBE的距离总相等
D.三棱锥C1-PBE的体积不变
二、填空题
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,G分别是BC,C1D1的中点,则EG与平面BDD1B1的位置关系是 .
11.在空间四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上(不包括端点),且满足=,则直线EF与平面ABC的位置关系是 .
12.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点E是SA上一点,当SE∶SA= 时,SC∥平面EBD.
三、解答题
13.如图,S为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面圆的内接正三角形,M是△SAC的重心.
(1)求证:OM∥平面SAB;
(2)若SA=AB,OM=1,求圆锥SO的体积.
14.在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形.设D,E分别是棱BC,CC1的中点,在棱AB上是否存在一点M,使DE∥平面A1MC 请证明你的结论.
15.如图,正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB,P为AE的中点,Q在BD上,若PQ∥平面BCE,则点Q的位置是 .
★16.老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD.点E在棱PB上,满足=,点F在棱PC上,满足=,要求同学们按照以下方案进行切割:
(1)试在棱PC上确定一点G,使得EF∥平面ABG,并进行证明;
(2)过点A,E,F的平面α交PD于点H,沿平面α将四棱锥模型切割成两部分,在实施过程中为了方便切割,需先在模型中确定点H的位置,并求出的值.
