(共42张PPT)
11.3 空间中的平行关系
11.3.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定定理
探究点一 平面与平面平行的判定定理的理解
探究点二 判定（证明）平面与平面平行
探究点三 面面平行的探索性问题
【学习目标】
1.掌握空间两个平面的位置关系,并会判断；
2.掌握空间平面与平面平行的判定定理,并能利用这个定理解决
空间中的平行关系问题；
3.通过发现、推导和应用平面与平面的判定定理的过程，培养数
学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养．
知识点 平面与平面平行的判定定理
1.平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有两种：____________,如图所示.
相交、平行
（1）
（2）
2.平面与平面平行的判定定理
判定定理 推论
文字 语言 如果一个平面内有_______ _______分别平行于另一个 平面，那么这两个平面平 行 如果一个平面内有____________
__分别平行于另一个平面内的
__________，则这两个平面平行
符号 语言
两条相交直线
两条相交直线
两条直线
判定定理 推论
图形 语言 ___________________________________________ _______________________________________________
续表
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平
面平行.( )
×
[解析] 一个平面内必须至少有两条相交直线与另一个平面平行，
这两个平面才平行.
（2）一个平面 内两条不平行的直线都平行于平面 ，则平面
与平面 平行.( )
√
[解析] 由平面与平面平行的判定定理可知正确.
（3）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这
两个平面平行.( )
√
[解析] 因为一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，
所以一定存在两条相交直线都平行于另一个平面，
根据平面与平面平行的判定定理知这两个平面平行.
（4）两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平
面平行．( )
×
2.要证明矩形所在平面平行于平面 ，可在四条边所在直线
,,,中选择两条直线，证明它们与平面 平行即可，则不
能选择的两条直线是哪两条
解：根据平面与平面平行的判定定理知，所选的两条直线必须相交，
而，，故不能选择,或, .
探究点一 平面与平面平行的判定定理的理解
例1（1） 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，
那么这两个平面的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.垂直
[解析] 图①②分别为两个平面平行、相交的情形，故选C.
①
②
√
（2）（多选题）以下条件能够判断平面 与平面 平行的是
( )
A.平面 内有两条直线与平面 平行
B.两不同平面 ， 平行于同一个平面
C.平面 内的任意一条直线与平面 无公共点
D.夹在平面 与平面 间的两条平行线段相等
√
√
[解析] 对于选项A，由面面平行的判定定理可知，若平面 内有两
条相交直线与平面 平行，则平面 与平面 平行，故A不正确；
对于选项B,平行于同一个平面的两个平面平行，故B正确；
对于选项C,平面 内的任意一条直线与平面 无公共点，则平面
与平面 无公共点，即平面 与平面 平行，故C正确；
对于选项D,相交平面也存在夹在两平面间的两条平行线段相等的
情况，故D不正确.
故选 .
探究点二 判定（证明）平面与平面平行
例2（1） 已知正方体中,,,分别为, ,
的中点,则平面与平面 的位置关系为______.
平行
[解析] 连接,,由题可得,故四边形 为平行四边形，
,分别为,的中点， ,
又,,,
平面 平面 .
（2）如图，在长方体中，,,,分别是, ,
,的中点，求证：平面平面 .
证明：在长方体中，,
分别是,的中点， ，
， 四边形 是平行四边形，
，又 平面
， 平面，平面 .
同理可得平面，
又， 平面， 平面 ，
平面平面 .
变式 如图所示，在四棱锥 中，底面
为平行四边形，点，，分别在 ，
，上，且 .
求证：平面平面 .
证明： ， ，
平面， 平面， 平面
四边形为平行四边形，， .
又 平面， 平面， 平面
， 平面平面 .
［素养小结］
（1）要证明两平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线分
别平行于另一个平面即可.
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,
即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到
再作辅助线.
拓展 如图，在四棱锥中，四边形
是正方形，，分别是， 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：连接，由四边形 是正方形，
且是的中点，得为的中点，
又为 的中点，
为的中位线， .
平面， 平面， 平面 .
（2）若点为的中点，判断平面 与平面
的位置关系，并证明.
解：平面平面 .证明如下：
，分别为， 的中点，
为的中位线， .
平面， 平面， 平面 .
由（1）知平面，又， 平面，
平面， 平面平面 .
探究点三 面面平行的探索性问题
例3 [2024·福建漳州高一期中] 如图，在三棱柱 中，点
,分别在线段,上，且满足， .
（1）求证：平面 .
证明：， ，
即， ，
又， ，
平面， 平面，
平面 .
（2）在线段上是否存在点，使得平面平面 .若存
在，求出 ；若不存在，请说明理由.
解：存在点，使得平面 平面
，且 ，证明如下：
当时，连接, ，如图.
， ，
，
平面， 平面，平面 .
由（1）知，又 平面， 平面 ，
平面 ，
又，, 平面，
平面平面 ，
存在点，当 时，
使得平面平面 .
变式 如图，在三棱柱中，,分别是棱, 的中
点．在棱上找一点，使得平面平面 ，并证明你的
结论.
解：存在点为棱的中点，使平面 平面 .
证明如下：
因为,分别是棱,的中点，所以 ，
因为 平面, 平面 ，
平面 .
因为,分别是棱,的中点，所以 ，
因为 平面, 平面，所以平面 .
因为，, 平面，所以平面平面 ．
［素养小结］
平行关系的探索性问题主要考查空间想象能力，考查元素
（直线、平面）的运动变化.求解此类问题要注意逆向推理.
1.[2023·广东东莞弘林中学高一月考]已知两条不同的直线， ，两
个不同的平面 ， ，下列条件能得出 的有( )
， ，且 ， ；
， ，且， ， ；
， ，且 ；
， ， ，且 ， .
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
√
[解析] 在①中，与不一定相交，则 与 可能相交或平行，故①
错误；
在②中，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，则这两个
平面可能相交或平行，故②错误；
在③中，平面 ， 可能相交或平行，故③错误；
在④中，由面面平行的判定定理可知④正确．故选A.
2.如图所示,在三棱锥中,,, 分别是棱
,,的中点,则平面与平面 的位置
关系是______.
平行
[解析] 在中,因为,分别是,的中点,
所以.又 平面, 平面 ，
所以平面.同理可证平面.
又, 平面, 平面,
所以平面平面 .
3.在四棱锥中，底面为平行四边形，是 的中点，
若在棱上存在一点，使得平面，则 ___.
2
[解析] 取的中点，连接,,，设与相交于点 ，连接.
因为为的中点，是的中点，所以，
又 平面, 平面,所以平面.
当为 的中点时，,，又为的中点，
所以，又 平面, 平面,所以平面，
又 ，所以平面平面，
又 平面，所以平面 ，
故当时，平面 .
4.如图所示，在三棱柱中，， ，
，分别是，，， 的中点.求证：
（1），，， 四点共面；
证明：，分别是， 的中点，
是的中位线，则 .
，，，，， 四点共面.
（2）平面平面 .
解：，分别为，的中点， .
四边形为平行四边形，,分别为,
的中点， ,
四边形 为平行四边形，
则.又， ，
平面平面 .
1.平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交
图示 __________________________________ ______________________________________
表示法
公共点 0个 无数个
2.面面平行判定定理的解读
（1）平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”.
（2）面面平行的判定定理包含三个条件：一内一交一平行.三个条件
缺一不可.
3.平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点.
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
（3）转化为线线平行：平面 内的两条相交直线与平面 内的两
条相交直线分别平行,则 .
（4）利用平行平面的传递性：若 , ,则 .
要证明面面平行,依据判定定理只需要找出一个平面内的两条相交直
线分别平行于另一个平面即可.常进行如下转化：线线平行 线面平
行 面面平行.
例（1） 在正方体中，点，，分别是棱 ，
，的中点，点，到平面的距离分别为， ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，取的中点，连接， ，
易证.
又因为 平面， 平面，
所以平面 ，同理可证平面.
因为， 平面 ，
且，所以平面平面 ，
又 平面，所以平面，所以 ，故选A.
（2）（多选题）如图，在直三棱柱 中，
，，分别为所在棱的中点， ，三棱柱
挖去两个三棱锥， 后
所得的几何体记为 ，则( )
A. 有7个面 B. 有13条棱
C. 有7个顶点 D.平面平面
√
√
√
[解析] 对于A，由图可知， 有面 ，面，
面，面，面 ，面，
面 ，共7个面，故A正确；
对于B， 有棱,,,,,,, ,
,,,, ，共13条棱，故B正确；
对于C， 有顶点B,C,,,,, ,D，共8个顶
点，故C错误；
对于D，取的中点，连接，，则 ，，
因为，所以为的中点，
又为 的中点，所以，即，
因为 平面， 平面，所以平面 ，
因为为的中点，所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面，
因为，, 平面，
所以平面平面 ，故D正确.故选 .11.3.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定定理
【课前预习】
知识点
1.相交、平行
2.两条相交直线 两条相交直线 两条直线
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)一个平面内必须至少有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平面才平行.
(2)由平面与平面平行的判定定理可知正确.
(3)因为一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,所以一定存在两条相交直线都平行于另一个平面,根据平面与平面平行的判定定理知这两个平面平行.
2.解:根据平面与平面平行的判定定理知,所选的两条直线必须相交,而AB∥CD,BC∥AD,故不能选择AB,CD或BC,AD.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)BC [解析] (1)图①②分别为两个平面平行、相交的情形,故选C.
(2)对于选项A,由面面平行的判定定理可知,若平面α内有两条相交直线与平面β平行,则平面α与平面β平行,故A不正确;对于选项B,平行于同一个平面的两个平面平行,故B正确;对于选项C,平面α内的任意一条直线与平面β无公共点,则平面α与平面β无公共点,即平面α与平面β平行,故C正确;对于选项D,相交平面也存在夹在两平面间的两条平行线段相等的情况,故D不正确.故选BC.
探究点二
例2 (1)平行 [解析] 连接EF,B1D1,由题可得EF AB,故四边形ABEF为平行四边形,∴AF∥BE.∵F,G分别为A1D1,A1B1的中点,∴FG∥B1D1,又B1D1∥BD,∴FG∥BD.∵AF∩FG=F,BE∩BD=B,∴平面EBD∥平面FGA.
(2)证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,E1分别是AB,A1B1的中点,∴A1E1∥EB,A1E1=EB,∴四边形A1EBE1是平行四边形,∴A1E∥E1B,又∵A1E 平面EA1D1F,E1B 平面EA1D1F,∴E1B∥平面EA1D1F.
同理可得E1F1∥平面EA1D1F,又∵E1B∩E1F1=E1,E1B 平面BE1F1C,E1F1 平面BE1F1C,
∴平面BE1F1C∥平面EA1D1F.
变式 证明:∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,∴MQ∥AD,NQ∥BP.∵BP 平面PBC,NQ 平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC.又∵BC 平面PBC,MQ 平面PBC,∴MQ∥平面PBC.∵MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ∥平面PBC.
拓展 解:(1)证明:连接AE,由四边形ABED是正方形,且F是BD的中点,得F为AE的中点,又G为EC的中点,
∴GF为△AEC的中位线,∴GF∥AC.
∵AC 平面ABC,GF 平面ABC,∴GF∥平面ABC.
(2)平面GFP∥平面ABC.证明如下:
∵F,P分别为BD,CD的中点,
∴FP为△BCD的中位线,∴FP∥BC.
∵BC 平面ABC,FP 平面ABC,∴FP∥平面ABC.
由(1)知GF∥平面ABC,又FP∩GF=F,FP 平面GFP,GF 平面GFP,∴平面GFP∥平面ABC.
探究点三
例3 解:(1)证明:∵CE=2EA,CF=2FA1,即==2,∴EF∥AA1,又AA1∥BB1,∴EF∥BB1,
∵BB1 平面BB1C1C,EF 平面BB1C1C,∴EF∥平面BB1C1C.
(2)存在点G,使得平面EFG∥平面AA1B1B,且=,证明如下:当=时,连接EG,FG,如图.
∵CF=2FA1,∴==,∴FG∥A1B1,
∵A1B1 平面AA1B1B,FG 平面AA1B1B,∴FG∥平面AA1B1B.
由(1)知EF∥AA1,又EF 平面AA1B1B,AA1 平面AA1B1B,∴EF∥平面AA1B1B,
又EF∩FG=F,EF,FG 平面EFG,∴平面EFG∥平面AA1B1B,
∴存在点G,当=时,使得平面EFG∥平面AA1B1B.
变式 解:存在点F为棱B1B的中点,使平面DEF∥平面A1B1C.证明如下:
因为E,F分别是棱AA1,BB1的中点,所以A1B1∥EF,
因为EF 平面A1B1C,A1B1 平面A1B1C,所以EF∥平面A1B1C.
因为D,F分别是棱BC,BB1的中点,所以DF∥B1C,
因为DF 平面A1B1C,B1C 平面A1B1C,所以DF∥平面A1B1C.
因为EF∩DF=F,EF,DF 平面DEF,所以平面DEF∥平面A1B1C.
【课堂评价】
1.A [解析] 在①中,l与m不一定相交,则α与β可能相交或平行,故①错误;在②中,一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面,则这两个平面可能相交或平行,故②错误;在③中,平面α,β可能相交或平行,故③错误;在④中,由面面平行的判定定理可知④正确.故选A.
2.平行 [解析] 在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE 平面ABC,AB 平面ABC,所以DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF=E,DE 平面DEF,EF 平面DEF,所以平面DEF∥平面ABC.
3.2 [解析] 取PF的中点M,连接EM,MB,BD,设AC与BD相交于点O,连接FO.因为M为PF的中点,E是PC的中点,所以ME∥FC,又FC 平面ACF,ME 平面ACF,所以ME∥平面ACF.当F为MD的中点时,DF=FM=PM,=2,又O为BD的中点,所以FO∥MB,又FO 平面ACF,MB 平面ACF,所以MB∥平面ACF,又ME∩MB=M,所以平面ACF∥平面MBE,又BE 平面MBE,所以BE∥平面ACF,故当=2时,BE∥平面ACF.
4.证明:(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,则GH∥B1C1.
∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC.
∵四边形ABB1A1为平行四边形,G,E分别为A1B1,AB的中点,∴A1G EB,
∴四边形A1EBG为平行四边形,
则A1E∥GB.又A1E∩EF=E,GB∩BC=B,
∴平面EFA1∥平面BCHG.11.3.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定定理
【学习目标】
1.掌握空间两个平面的位置关系,并会判断;
2.掌握空间平面与平面平行的判定定理,并能利用这个定理解决空间中的平行关系问题;
3.通过发现、推导和应用平面与平面的判定定理的过程,培养数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
◆ 知识点 平面与平面平行的判定定理
1.平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有两种: ,如图所示.
2.平面与平面平行的判定定理
判定定理 推论
文字语言 如果一个平面内有 分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行 如果一个平面内有 分别平行于另一个平面内的 ,则这两个平面平行
符号语言 l α,m α,l∩m≠ ,l∥β,m∥β α∥β a∥c,b∥d,a∩b=A,a α,b α,c β,d β α∥β
图形语言
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
(2)一个平面α内两条不平行的直线都平行于平面β,则平面α与平面β平行. ( )
(3)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ( )
(4)两个平面同时与第三个平面相交,若两交线平行,则这两个平面平行. ( )
2.要证明矩形ABCD所在平面平行于平面α,可在四条边所在直线AB,BC,CD,DA中选择两条直线,证明它们与平面α平行即可,则不能选择的两条直线是哪两条
◆ 探究点一 平面与平面平行的判定定理的理解
例1 (1)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.垂直
(2)(多选题)以下条件能够判断平面α与平面β平行的是 ( )
A.平面α内有两条直线与平面β平行
B.两不同平面α,β平行于同一个平面
C.平面α内的任意一条直线与平面β无公共点
D.夹在平面α与平面β间的两条平行线段相等
◆ 探究点二 判定(证明)平面与平面平行
例2 (1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为B1C1,A1D1,A1B1的中点,则平面EBD与平面FGA的位置关系为 .
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是AB,CD,A1B1,C1D1的中点,求证:平面BE1F1C∥平面EA1D1F.
变式 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
[素养小结]
(1)要证明两平面平行,只需在其中一个平面内找到两条相交直线分别平行于另一个平面即可.
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
拓展 如图,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,G,F分别是EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC;
(2)若点P为CD的中点,判断平面GFP与平面ABC的位置关系,并证明.
◆ 探究点三 面面平行的探索性问题
例3 [2024·福建漳州高一期中] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别在线段AC,A1C上,且满足CE=2EA,CF=2FA1.
(1)求证:EF∥平面BB1C1C.
(2)在线段B1C上是否存在点G,使得平面EFG∥平面AA1B1B.若存在,求出;若不存在,请说明理由.
变式 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是棱BC,AA1的中点.在棱BB1上找一点F,使得平面DEF∥平面A1B1C,并证明你的结论.
[素养小结]
平行关系的探索性问题主要考查空间想象能力,考查元素(直线、平面)的运动变化.求解此类问题要注意逆向推理.
1.[2023·广东东莞弘林中学高一月考] 已知两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )
①l α,m α,且l∥β,m∥β;
②l α,m α,且l∥m,l∥β,m∥β;
③l∥α,m∥β,且l∥m;
④l∩m=P,l α,m α,且l∥β,m∥β.
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .
3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是PC的中点,若在棱PD上存在一点F,使得BE∥平面ACF,则= .
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.11.3.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定定理
1.C [解析] 在A中,α内有无穷多条直线都与β平行,则α与β平行或相交,故A错误;在B中,直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内,则α与β相交或平行,故B错误;在C中,α内的任何直线都与β平行,则必存在两条相交直线与β平行,由面面平行的判定定理得α∥β,故C正确;在D中,直线a在α内,直线b在β内,且a∥β,b∥α,则α与β相交或平行,故D错误.故选C.
2.B [解析] β中任意一条直线均不与l相交不能推出α∥β,α∥β可以推出β中任意一条直线均不与l相交,故“β中任意一条直线均不与l相交”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B.
3.B [解析] 因为l∥α,m∥α,m β,l β,l∩m=P,所以β∥α.
4.B [解析] 对于①,若m α,l∩α=A,A m,则m是平面α内不经过点A的直线,则l与m不共面,故①是真命题;对于②,若α∩β=m,m∥l,则l∥α且l∥β,或l在α内,或l在β内,故②是假命题;③是两个平面平行的判定定理,故③是真命题.故选B.
5.A [解析] ∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点,∴A1D1∥E1F1.又∵A1D1 平面BCF1E1,E1F1 平面BCF1E1,∴A1D1∥平面BCF1E1.∵E1和E分别是A1B1和AB的中点,∴A1E1∥BE且A1E1=BE,∴四边形A1EBE1是平行四边形,∴A1E∥BE1.又∵A1E 平面BCF1E1,BE1 平面BCF1E1,∴A1E∥平面BCF1E1.∵A1E 平面EFD1A1,A1D1 平面EFD1A1,A1E∩A1D1=A1,∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.故选A.
6.B [解析] 如图,M,G,H,I,J分别是棱BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,易证E与M,G,H,I,J共面.由EM∥AC,AC 平面ACD1,EM 平面ACD1,得EM∥平面ACD1,同理EJ∥平面ACD1,而EM,EJ是平面EMGHIJ内的相交直线,所以平面EMGHIJ∥平面ACD1.若EF∥平面ACD1,则F∈平面EMGHIJ,观察各选项,A,C,D满足,B不满足.故选B.
7.D [解析] 易得经过P,Q,R三点的平面即为平面PSRHNQ(S为AA1的中点),如图所示.对于B,C,点N在平面PQR上,所以B,C中阴影平面与平面PQR不平行;对于A,MC1与QN相交,所以A中阴影平面与平面PQR不平行;对于D,因为A1C1∥RH,A1C1 平面PQR,RH 平面PQR,所以A1C1∥平面PQR,同理,BC1∥平面PQR,因为A1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1 平面A1C1B,所以平面A1C1B∥平面PQR,所以D中阴影平面与平面PQR平行.故选D.
8.CD [解析] 对于A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以“存在一条直线a,a∥α,a∥β”是“α∥β”的一个必要条件;对于B,若存在一条直线a,a α,a∥β,则α∥β或α与β相交,不能得出α∥β,故“存在一条直线a,a α,a∥β”不是“α∥β”的充分条件;对于C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故“存在一个不同于α,β的平面r,满足α∥r,β∥r”是“α∥β”的一个充分条件;对于D,通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中,成为相交直线,则可得α∥β,所以“存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α”是“α∥β”的一个充分条件.故选CD.
9.BC [解析] 将平面展开图折起,折成一个正方体,如图所示.因为BM与平面ABFE交于点B,所以BM与平面ABFE相交,故A错误;易知BE∥CN,又BE 平面ABFE,CN 平面ABFE,所以CN∥平面ABFE,故B正确;因为BM∥AN,BD∥NF,BM∩BD=B,AN∩NF=N,所以平面BMD∥平面AFN,故C正确;因为平面BDE与平面CMN有公共点D,所以两平面相交,故D错误.故选BC.
10.平行 [解析] 假设α∩β=l,在平面α内,与l相交的直线为a,设a∩l=A,对于β内的直线b,若直线b过点A,则a与b相交,若直线b不过点A,则a与b异面,此时β内不存在直线b∥a,与题设矛盾,故α∥β.
11.平行 [解析] 因为E,F分别为PC,PD的中点,所以EF∥CD,易知AB∥CD,所以EF∥AB,又EF 平面PAB,AB 平面PAB,所以EF∥平面PAB.因为E,G分别为PC,BC的中点,所以EG∥PB,又EG 平面PAB,PB 平面PAB,所以EG∥平面PAB.因为EF∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.
12. [解析] 由题意知,BE=2,CD=3,在CD上取点M1,使得M1D=2,M1C=1,连接BM1,则M1D∥BE且M1D=BE,所以四边形BEDM1为平行四边形,故BM1∥DE,又BM1 平面ADE,DE 平面ADE,所以BM1∥平面ADE.在AC上取点M2,使得M2A=2,M2C=1,连接BM2,M1M2,则==,所以M1M2∥AD,又M1M2 平面ADE,AD 平面ADE,所以M1M2∥平面ADE,又BM1∩M1M2=M1,BM1,M1M2 平面BM1M2,所以平面BM1M2∥平面ADE,则点M的轨迹为线段M1M2.在△CM1M2中,CM1=CM2=1,∠M1CM2=120°,由余弦定理,得M1M2==,即点M的轨迹的长度为.
13.证明:(1)如图,连接BG.
∵M为BC的中点,N为GC的中点,∴MN∥BG.
∵BG 平面ABED,MN 平面ABED,∴MN∥平面ABED.
(2)∵G,O分别为DE,DF的中点,∴GO∥EF.
∵EF 平面BCFE,GO 平面BCFE,∴GO∥平面BCFE.
∵OF∥HC且OF=HC,
∴四边形OFCH是平行四边形,∴OH∥FC.
∵FC 平面BCFE,OH 平面BCFE,
∴OH∥平面BCFE.
又GO∩OH=O,GO,OH 平面GOH,
∴平面GOH∥平面BCFE.]
14.解:平面EFG与平面E1F1G1平行,理由如下:
如图所示,连接A1C1,AC.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1 ,
则四边形AA1C1C 为平行四边形,故AC∥A1C1 ,
由题易知FG∥AC,G1E1∥A1C1 ,故FG∥G1E1.
∵FG 平面E1F1G1,G1E1 平面E1F1G1,∴FG∥平面E1F1G1.
同理可证,EF∥平面E1F1G1,而EF∩FG=F,EF,FG 平面EFG,故平面EFG∥ 平面E1F1G1.
15.B [解析] 取CD的中点P,DD1的中点Q,连接PQ,PN,QN,D1C,如图所示.因为P,N分别为CD,BC的中点,所以PN∥BD,同理,P,Q分别为CD,DD1的中点,所以PQ∥D1C∥A1B,又PQ∩PN=P,PQ 平面PQN,PN 平面PQN,A1B∩BD=B,A1B 平面A1BD,BD 平面A1BD,所以平面PQN∥平面A1BD.因为MN∥平面A1BD,所以MN 平面PQN,又点M在平面DCC1D1内运动,所以点M在平面PQN和平面DCC1D1的交线上,即M∈PQ.在△PQN中,PN=,PQ=CD1=,QN==,所以cos∠NPQ==-,所以∠NPQ=120°,所以N点到PQ的最小距离d=PN·sin(180°-120°)=,所以线段MN的最小值为.故选B.
16.解:(1)证明:如图,取PD的中点O,连接AO,OE.
∵在△PCD中,O,E分别为PD,PC的中点,∴OE∥CD,OE=CD.
∵F为AB的中点,∴AF∥CD,AF=CD,
∴AF∥OE,AF=OE,故四边形AFEO为平行四边形,∴EF∥OA.
∵EF 平面PAD,OA 平面PAD,∴EF∥平面PAD.
(2)如图,取CD的中点V,连接VF,VE.
∵在△PCD中,V,E分别为CD,PC的中点,∴VE∥PD.
∵VE 平面PAD,PD 平面PAD,
∴VE∥平面PAD.
又VF∥AD,VF 平面PAD,AD 平面PAD,
∴VF∥平面PAD.
又VF∩VE=V,且VF,VE 平面VEF,
∴平面VEF∥平面PAD.
∵点G为底面四边形内(包括边界)的一动点,且平面GEF∥平面ADP,
∴点G∈VF,即点G在线段VF(不包括点F)上移动,
当点G与点V重合时,FG的长度取得最大值2.11.3.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定定理
一、选择题
1.下列条件中,可以推出平面α与平面β平行的是 ( )
A.α内有无穷多条直线都与β平行
B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内
C.α内的任何直线都与β平行
D.直线a在α内,直线b在β内,且a∥β,b∥α
2.已知α,β是两个不同的平面,直线l α,则“β中任意一条直线均不与l相交”是“α∥β”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若直线l∥平面α,直线m∥平面α,直线l与m相交于点P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.重合 D.不确定
4.已知m,l是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列三个命题:
①若m α,l∩α=A,A m,则l与m不共面;
②若α∩β=m,m∥l,则l∥α且l∥β;
③若l α,m α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则α∥β.
其中假命题是 ( )
A.① B.②
C.③ D.②③
5.如图,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.不确定
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,则下列条件中,不能使直线EF∥平面ACD1的有 ( )
A.F为AA1的中点 B.F为BB1的中点
C.F为CC1的中点 D.F为A1D1的中点
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,R,Q,M,N,G,H均为所在棱的中点,则阴影平面与平面PQR平行的是 ( )
A B C D
8.(多选题)[2024·河北邯郸高一期中] 设α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是 ( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a α,a∥β
C.存在一个不同于α,β的平面γ,满足α∥γ,β∥γ
D.存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
9.(多选题)如图为一个正方体的平面展开图,在这个正方体中 ( )
A.BM∥平面ABFE
B.CN∥平面ABFE
C.平面BMD∥平面AFN
D.平面BDE∥平面CMN
二、填空题
10.已知两个不同的平面α和β,在平面α内任取一条直线a,在β内总存在直线b∥a,则α与β的位置关系是 .
11.[2023·天津武清区天和城实验中学高一月考] 如图所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD,E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点.现将△PDC沿DC翻折,使点P 平面ABCD,则平面PAB与平面EFG的位置关系是 .
12.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=3,BC=5,AA1=6,D为CC1的中点,E为BB1上一点,=3,∠ACD=120°,M为侧面AA1C1C上一点,且BM∥平面ADE,则点M的轨迹的长度为 .
三、解答题
13.如图,在三棱柱ABC-DEF中,G,O,H,M分别为DE,DF,AC,BC的中点,N为GC的中点.
(1)证明:MN∥平面ABED;
(2)证明:平面GOH∥平面BCFE.
14.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为DD1,DA及CD的中点,E1,F1,G1分别为B1C1,BB1及A1B1的中点,试判断平面EFG与平面E1F1G1的位置关系,并说明理由.
15.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,N为BC的中点.当点M在平面DCC1D1内运动时,有MN∥平面A1BD,则线段MN的最小值为 ( )
A.1 B. C. D.
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD是平行四边形,AB=1,AD=2,E,F分别为棱PC,AB的中点.
(1)证明:EF∥平面PAD;
(2)点G为底面四边形内(包括边界)的一动点,且平面GEF∥平面ADP,求FG的长度的最大值.
