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11.3 空间中的平行关系
11.3.3 平面与平面平行
第2课时 平面与平面平行的性质定理
探究点一 面面平行的性质定理的应用
探究点二 平行关系的综合应用
【学习目标】
1.掌握空间平面与平面平行的性质定理,并能利用这个定理解决
空间中的平行关系问题；
2.利用平面与平面平行的性质定理证明空间平行问题；
3.借助平面平行的判定与性质进行各种平行关系的转化，培养直
观想象素养和逻辑推理素养．
知识点 两个平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
如果两个______平面同时 与第三个平面相交,那么它 们的交线______ _____________________________________ ______________________________ 面面平行
__________
平行
平行
线线平行
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行.
( )
√
[解析] 正确.
（2）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线相互
平行.( )
×
[解析] 错误.因为两个平面平行，所以分别在这两个平面内的两条直
线无公共点，它们平行或异面.
（3）若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平
面.( )
√
[解析] 正确.因为两个平面平行，所以这两个平面无公共点，
所以其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，
即一个平面内的直线必平行于另一个平面.
2.夹在两个平面间的三条线段平行且相等，试讨论这两个平面的位置
关系.
解：画出满足条件的图形，如图所示，
易知这两个平面的位置关系为平行或相交.
探究点一 面面平行的性质定理的应用
例1 [2023·温州苍南金乡卫城中学高一月考] 如图，在四棱柱
中，底面为梯形，，平面 与
交于点.求证： .
证明：因为， 平面，
平面，所以平面.
因为 ， 平面， 平面，
所以 平面，
又 平面， 平面，，
所以平面平面 ，
又平面 平面，平面 平面，
所以 .
变式 如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于 ,
的母线，,分别是, 的中点.
（1）证明：平面 ；
证明：连接，根据圆柱的性质可得
且，所以四边形 为平行四边形.
因为为的中点，所以为的中点，
又 为的中点，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）设平面与圆所在平面的交线为 ，证
明：平面 .
解：根据圆柱的性质可得，圆平面 ，
又平面 圆，
平面 平面，所以，
因为 平面 ， 平面，
所以平面 .
［素养小结］
应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤
拓展 如图，已知平面平面平面 ，且
位于 与 之间，点, ，, ，
，， .
（1）求证： ；
证明： ，平面 ，
平面，， .
同理，， .
（2）设与不平行，且，，，为定点， 与 间的距离
为， 与 间的距离为，当的值是多少时， 的面积最大？
解：由（1）知， ，
同理， .
故 .
由题意知，与异面，只有 在 ， 间变换位置，，是常量，是 与 所成角的正弦值，
也是常量.
，
当且仅当时等号成立，此时 最大，
当，即 到 ， 两平面的距离 相等时， 的面积最大.
探究点二 平行关系的综合应用
［探索］ 三种平行关系之间的相互转化关系是怎样的
解：三种平行关系可以任意转化,其相互转化关系如图所示.
例2 如图，在正方体中，点在上，点在
上，且.求证：平面 .
证明：如图，作交于点，连接 ，
， .
， ，
， ，
， ，
又， .
平面， 平面 ，
平面 .
， 平面，
平面 ，
平面 ，
又 平面， 平面 ，
，
平面平面 ，
又 平面，平面 .
变式 在如图所示的五面体中，四边形 为平行四边
形，平面，，为的中点,求证： 平面
.
证明：取的中点，连接, .
因为,分别为,的中点，所以 .
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为平面， 平面，
平面 平面，所以 .
又，，所以， ，
所以四边形为平行四边形，所以 .
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为，所以平面平面 .
因为 平面，所以平面 .
［素养小结］
（1）解决线线平行、线面平行与面面平行的综合问题的策略：
①立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这
三种平行关系不是独立的,而是相互联系、相互转化的.
②解决平行关系的综合问题必须灵活运用线面平行、面面平行的判
定定理与性质定理.
（2）空间中平行关系的相互转化
空间中线线平行、线面平行、面面平行可相互转化，其关系可用下
图表示：
拓展 [2023·广东佛山高一期中] 如图，在六面体
中，，四边形 是平行四边
形， .
（1）证明：平面平面 ；
证明：由四边形是平行四边形，得，
又 平面， 平面，所以平面 ，
因为， 平面， 平面，所以平面 ，
又,, 平面，所以平面平面 .
解：连接，延长,， ，
设的延长线与的延长线交于点 ,
的延长线与的延长线交于点 ,
由， ，得，
由，是 的中点，得 ，
因此点,重合，记为，
显然平面 平面 ，平面 平面 ，
由（1）知，平面平面，所以 .
（2）若是棱的中点，证明： .
1.已知平面平面 ,点,在平面 内,点,在平面 内.若
,则直线与 的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能
[解析] 由题意,根据两条直线的不同位置可知直线与 可能相交、
平行或异面,故选D.
√
2.已知平面平面 ，点， ，点， ，则直线
直线 的充要条件是( )
A. B.
C.与相交 D.，，， 四点共面
[解析] 若 ，则A，B，C，D四点共面；
若A，B，C，D四点共面，则 .故选D.
√
3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两
个平面内以交点为顶点的两个三角形是( )
A.相似但不全等的三角形
B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形
D.以上结论都不对
√
[解析] 由题意知， ，
平面 ，平面，
由面面平行的性质定理，得 ，
则四边形为平行四边形，.
同理 ，，
.故选B.
4.如图，平面平面 ，所在的平面与 ， 分别交于
，，若，，，则 __.
[解析] 平面平面 ，， ，
.
5.如图，在直四棱柱中，底面 是正方形，
，，点，，分别是，， 的中点.
求证：平面 .
证明：如图，取的中点，连接， .
因为，分别是,的中点，
四边形 是正方形，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为，分别是， 的中点，所以，
又 平面， 平面，
所以 平面 ,
又,所以平面平面 ，
又因为 平面，所以平面 .
1.平面与平面平行的性质定理的解读
（1）平面与平面平行的性质定理可简记为“若面面平行,则线线平行”.
（2）夹在两个平行平面间的平行线段相等.
（3）经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行.
（4）若两个平面平行于第三个平面,则这两个平面互相平行.
2.线、面平行的判定和性质之间的转化关系
利用面面平行的性质定理解题的步骤：
（1）先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条;
（2）判定这两个平面平行（此条件有时题目会直接给出）;
（3）再找一个平面,使这两条直线都在这个平面上;
（4）由定理得出结论.
例1 [2024·山西太原高一期末] 如图，在正三棱台 中，
，，，分别是，的中点，为 上
一点.
（1）若是的中点，求证：平面 ；
证明：取的中点，连接, ，如图.
在三棱台中，是的中点，
是 的中点，所以 ，
因为，所以，
又 平面， 平面 ，所以平面，
因为，分别是， 的中点，所以，
又 平面， 平面 ，所以平面 ，
又， 平面， 平面 ，
所以平面平面，
又 平面，所以 平面 .
解：在等腰梯形中，因为 ，，所以 ，
因为 平面， 平面 ，所以平面 ，
因为平面，， 平 面，
平面 ，所以平面平面 ，
因为平面 平面，
平面 平面 ，所以，
在中，，所以 ，
即为上靠近 的三等分点.
（2）若平面，求点 的位置，并说明理由.
例2 [2024·福建莆田四中高一期中] 如图，在正四棱柱
中，,,,,分别为,,,, 的
中点.
（1）求证:平面 .
证明：由,分别为, 的中点可得 .
取的中点，连接, ，如图.
因为,分别为, 的中点，
所以，且 ，
根据正四棱柱的性质可得，且 ，
所以，且 ，
所以四边形为平行四边形，则 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）棱（含端点）上是否存在点，使得平面平面
若存在，求出点 的位置，若不存在，请说明理由.
解：连接,, ,如图.
由,分别为, 的中点可得
，且 ，
所以四边形为平行四边形，则 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面，同理平面 ，
又，且, 平面 ，
所以平面平面 ，
故棱（含端点）上存在点 ，使得平面平面，
此时点即为 点.第2课时 平面与平面平行的性质定理
【课前预习】
知识点
平行 平行 线线平行
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)正确.
(2)错误.因为两个平面平行,所以分别在这两个平面内的两条直线无公共点,它们平行或异面.
(3)正确.因为两个平面平行,所以这两个平面无公共点,所以其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点,即一个平面内的直线必平行于另一个平面.
2.解:画出满足条件的图形,如图所示,易知这两个平面的位置关系为平行或相交.
【课中探究】
探究点一
例1 证明:因为BE∥AA1,AA1 平面AA1D,BE 平面AA1D,所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD,AD 平面AA1D,BC 平面AA1D,所以BC∥平面AA1D,又BE 平面BCE,BC 平面BCE,BE∩BC=B,所以平面BCE∥平面AA1D,又平面A1DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AA1D=A1D,所以EC∥A1D.
变式 证明:(1)连接AF,根据圆柱的性质可得AD∥EF且AD=EF,所以四边形AEFD为平行四边形.
因为M为DE的中点,所以M为AF的中点,又N为BF的中点,所以MN∥AB.
因为MN 平面ABE,AB 平面ABE,
所以MN∥平面ABE.
(2)根据圆柱的性质可得,圆O'∥平面ABE,又平面BDE∩圆O'=l,平面BDE∩平面ABE=BE,所以l∥BE,因为l 平面BEF,BE 平面BEF,所以l∥平面BEF.
拓展 解:(1)证明:∵β∥γ,平面ACF∩β=BM,平面ACF∩γ=CF,∴BM∥CF,∴=.
同理,=,∴=.
(2)由(1)知BM∥CF,∴==,同理,=.
故S△BEM=BM·MEsin∠BME=CF·AD·sin∠BME.
由题意知,AD与CF异面,只有β在α,γ间变换位置,CF,AD是常量,sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常量.
=-=-+≤,
当且仅当=时等号成立,此时S△BEM最大,∴当=,即β到α,γ两平面的距离相等时,△BEM的面积最大.
探究点二
探索 解:三种平行关系可以任意转化,其相互转化关系如图所示.
例2 证明:如图,作MP∥BB1交BC于点P,连接NP,
∵MP∥BB1,∴=.∵BD=B1C,DN=CM,
∴MB1=NB,∴=,∴=,∴NP∥CD,
又AB∥CD,∴NP∥AB.
∵NP 平面AA1B1B,AB 平面AA1B1B,∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1,MP 平面AA1B1B,BB1 平面AA1B1B,∴MP∥平面AA1B1B,
又MP 平面MNP,NP 平面MNP,MP∩NP=P,∴平面MNP∥平面AA1B1B,
又MN 平面MNP,∴MN∥平面AA1B1B.
变式 证明:取CD的中点N,连接MN,FN.
因为N,M分别为CD,BC的中点,所以MN∥BD.
又BD 平面BDE,MN 平面BDE,所以MN∥平面BDE.
因为EF∥平面ABCD,EF 平面ABFE,平面ABCD∩平面ABFE=AB,所以EF∥AB.
又AB=CD=2DN=2EF,AB∥CD,所以EF∥DN,EF=DN,所以四边形EFND为平行四边形,所以FN∥ED.
又ED 平面BDE,FN 平面BDE,所以FN∥平面BDE.
因为FN∩MN=N,所以平面MNF∥平面BDE.
因为FM 平面MNF,所以FM∥平面BDE.
拓展 证明:(1)由四边形ABCD是平行四边形,得BC∥AD,又AD 平面AED,BC 平面AED,所以BC∥平面AED,
因为DE∥CF,CF 平面AED,DE 平面AED,所以CF∥平面AED,又BC∩CF=C,BC,CF 平面BCF,所以平面ADE∥平面BCF.
(2)连接AG,延长EF,AG,DC,设EF的延长线与DC的延长线交于点O1,DC的延长线与AG的延长线交于点O2,
由DE∥CF,DE=2CF,得CO1=CD,由BC∥AD,G是BC的中点,得CO2=CD,
因此点O1,O2重合,记为O,显然平面AOE∩平面AED=AE,平面AOE∩平面BCF=FG,
由(1)知,平面ADE∥平面BCF,所以AE∥FG.
【课堂评价】
1.D [解析] 由题意,根据两条直线的不同位置可知直线AB与CD可能相交、平行或异面,故选D.
2.D [解析] 若AC∥BD,则A,B,C,D四点共面;若A,B,C,D四点共面,则AC∥BD.故选D.
3.B [解析] 由题意知AA'∥BB'∥CC',α∥β,∴平面AA'C'C∩α=AC,平面AA'C'C∩β=A'C',由面面平行的性质定理,得AC∥A'C',则四边形ACC'A'为平行四边形,∴AC=A'C'.同理BC=B'C',AB=A'B',∴△ABC≌△A'B'C'.故选B.
4. [解析] ∵平面α∥平面β,∴CD∥AB,∴=,∴AB===.
5.证明:如图,取A1B1的中点P,连接MP,C1P.
因为E,P分别是D1C1,A1B1的中点,四边形ABCD是正方形,所以A1P EC1,
所以四边形A1PC1E是平行四边形,
所以C1P∥A1E,又C1P 平面A1EA,A1E 平面A1EA,所以C1P∥平面A1EA.
因为P,M分别是A1B1,AB1的中点,
所以PM∥AA1,又PM 平面A1EA,A1A 平面A1EA,所以PM∥平面A1EA,
又C1P∩PM=P,所以平面PMNC1∥平面A1EA,
又因为MN 平面PMNC1,所以MN∥平面A1EA.第2课时 平面与平面平行的性质定理
【学习目标】
1.掌握空间平面与平面平行的性质定理,并能利用这个定理解决空间中的平行关系问题;
2.利用平面与平面平行的性质定理证明空间平行问题;
3.借助平面平行的判定与性质进行各种平行关系的转化,培养直观想象素养和逻辑推理素养.
◆ 知识点 两个平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
如果两个 平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线 l∥m 面面平行
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面平行. ( )
(2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线相互平行. ( )
(3)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面. ( )
2.夹在两个平面间的三条线段平行且相等,试讨论这两个平面的位置关系.
◆ 探究点一 面面平行的性质定理的应用
例1 [2023·温州苍南金乡卫城中学高一月考] 如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E.求证:EC∥A1D.
变式 如图,正方形ABCD为圆柱OO'的轴截面,EF是圆柱上异于AD,BC的母线,M,N分别是DE,BF的中点.
(1)证明:MN∥平面ABE;
(2)设平面BDE与圆O'所在平面的交线为l,证明:l∥平面BEF.
[素养小结]
应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤
拓展 如图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间,点A,D∈α,C,F∈γ,AC∩β=B,AF∩β=M,DF∩β=E.
(1)求证:=;
(2)设AD与CF不平行,且A,C,F,D为定点,α与β间的距离为h',α与γ间的距离为h,当的值是多少时,△BEM的面积最大
◆ 探究点二 平行关系的综合应用
[探索] 三种平行关系之间的相互转化关系是怎样的
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.
变式 在如图所示的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,EF∥平面ABCD,AB=2EF,M为BC的中点,求证:FM∥平面BDE.
[素养小结]
(1)解决线线平行、线面平行与面面平行的综合问题的策略:
①立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是独立的,而是相互联系、相互转化的.
②解决平行关系的综合问题必须灵活运用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理.
(2)空间中平行关系的相互转化
空间中线线平行、线面平行、面面平行可相互转化,其关系可用下图表示:
拓展 [2023·广东佛山高一期中] 如图,在六面体ABCDEF中,DE∥CF,四边形ABCD是平行四边形,DE=2CF.
(1)证明:平面ADE∥平面BCF;
(2)若G是棱BC的中点,证明:AE∥FG.
1.已知平面α∥平面β,点A,C在平面α内,点B,D在平面β内.若AB=CD,则直线AB与CD的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上都有可能
2.已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是 ( )
A.AB∥CD
B.AD∥CB
C.AB与CD相交
D.A,B,C,D四点共面
3.如图,不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交,两个平面内以交点为顶点的两个三角形是 ( )
A.相似但不全等的三角形
B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形
D.以上结论都不对
4.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,
CD=1,则AB= .
5.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=4,点E,M,N分别是C1D1,AB1,CC1的中点.求证:MN∥平面A1EA.第2课时 平面与平面平行的性质定理
1.D [解析] 由直线与直线外一个点可确定一个平面,知a与B可确定平面γ,γ与α,β的两条交线相互平行.故选D.
2.D [解析] 对于A,若a∥b,b α,则a α或a∥α,故A错误;对于B,若a α,b β,a∥b,则平面α,β也可能相交,故B错误;对于C,若α∥β,a∥α,则a β或a∥β,故C错误;对于D,因为α∩β=a,β∩γ=b,a∥b,a γ,所以a∥γ,又α∩γ=c,a α,所以a∥c,故D正确.故选D.
3.C [解析] ∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,平面D1EBF∩平面ABB1A1=BE,平面D1EBF∩平面DCC1D1=D1F,∴BE∥D1F,同理可得D1E∥BF,∴四边形D1EBF一定是平行四边形.
4.D [解析] 设E为CD的中点,G为EC的中点,连接MG,NG,C'E,如图所示,则NG∥AD,又NG 平面ADD'A',AD 平面ADD'A',所以NG∥平面ADD'A',又MN∥平面ADD'A',NG∩MN=N,所以平面MNG∥平面ADD'A',又平面DCC'D'分别交平面MNG和平面ADD'A'于直线MG,DD',所以MG∥DD'.因为E为CD的中点,G为EC的中点,M为CC'的中点,所以C'E∥MG,所以DD'∥C'E.又C'D'∥CD,所以四边形DEC'D'为平行四边形,所以C'D'=DE=CD,故棱台上、下底面边长的比值为.故选D.
5.A [解析] 如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.又BF 平面ACGD,AM 平面ACGD,∴BF∥平面ACGD.故选A.
6.D [解析] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为CC1∥AA1,CC1 平面A1ABB1,AA1 平面A1ABB1,所以CC1∥平面A1ABB1,故A中结论正确;因为平面ABC∥平面A1B1C1,AF 平面ABC,所以AF∥平面A1B1C1,故B中结论正确;如图,取AB的中点G,连接A1G,GF,因为点G,F分别是棱AB,BC的中点,所以GF AC,又A1E AC,所以GF A1E,所以四边形GFEA1为平行四边形,所以EF∥A1G,又EF 平面A1ABB1,A1G 平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1,故C中结论正确;取AC的中点H,连接C1H,易证得四边形AHC1E为平行四边形,所以EA∥C1H,又C1H与平面C1CBB1相交,所以AE与平面C1CBB1相交,故D中结论错误.故选D.
7.B [解析] 如图所示,连接A1C1,AC,M,N分别是AA1,CC1的中点,则MN∥A1C1∥AC,作QE∥A1C1,交C1D1于E,连接EN并延长交DC的延长线于点K,连接QM并延长交DA的延长线于点T,连接TK交AB于点G,交BC于点F,连接NF,GM,则多边形QENFGM为过M,N,Q三点的截面.因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,截面QENFGM与平面ABCD,平面A1B1C1D1分别相交于GF,QE,所以GF∥QE,从而有TK∥AC,由A1Q=1,D1Q=2,知D1Q=D1E=2,C1E=A1Q=1,因为N是CC1的中点,C1E∥CK,所以CK=C1E=1,又因为TK∥AC,所以CF=CK=1,同理AG=1,BG=BF=2,QE=2,MN=3,EN==.截面QENFGM可由梯形QENM与梯形FGMN组成,梯形QENM是等腰梯形,且梯形QENM与梯形FGMN全等,梯形QENM的高h==,所以截面面积S=2×(QE+MN)h=.故选B.
8.AD [解析] 因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面EFGH∩平面ABB1A1=EF,平面EFGH∩平面CDD1C1=GH,所以EF∥GH,故A正确;易知EF∥A1B,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD与EF不可能平行,故B错误;因为直线A1B与平面ABCD相交,所以直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,故C错误;易知EF∥A1B,EH∥A1D1,所以EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,又EF∩EH=E,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.故选AD.
9.BCD [解析] 对于A,取BB1的中点M,连接GM,如图所示,由正方体的性质可知,BD∥GM,而GM∩EG=G,所以BD,EG不平行,故A错误;对于B,连接D1C,易知平面FGE∥平面D1BC,由面面平行的性质可知BD1∥平面EFG,故B正确;对于C,==·AE=××2×1×1=,故C正确;对于D,由平面FGE∥平面D1BC,D1P∥平面EFG,可得D1P 平面D1BC,所以点P的轨迹为线段BC,长度为2,故D正确.故选BCD.
10.平行四边形 [解析] 由夹在两平行平面间的平行线段相等可得,四边形ABB1A1,四边形DCC1D1是平行四边形,∴AB A1B1,CD C1D1,又A1B1 C1D1,∴AB CD,∴四边形ABCD一定是平行四边形.
11. [解析] ∵平面α∥平面β,AA'与BB'确定的平面分别与平面α,β交于AB ,A'B',∴AB∥A'B',∴易知△ABO∽△A'B'O,∴==.同理=,=,∴==.∵S△ABC=×2×2×=,∴S△A'B'C'=×=.
12.a [解析] 如图,过P作PM∥BC,交CD于点M,连接QM.∵PM∥BC,AD∥BC,∴PM∥AD,又PM 平面SAD,AD 平面SAD,所以PM∥平面SAD,又PQ∥平面SAD,PM∩PQ=P,PM,PQ 平面PQM,∴平面PQM∥平面SAD,又平面PQM∩平面SDC=MQ,平面SDC∩平面SAD=SD,∴MQ∥SD,又BP∶PD=1∶2,PM∥BC,∴CM∶DM=1∶2,∴QM=SD=a.∵SD∥QM,AD∥MP,∴∠PMQ=∠ADS.∵cos∠ADS===,∴PQ2=PM2+QM2-2PM·QM·cos∠PMQ=a2+a2-2×a×a×=,∴PQ=a,∴线段PQ的长为a.
13.解:如图,连接A1B交AB1于点O,连接OD1,因为四边形A1ABB1为平行四边形,所以O为A1B的中点.
因为平面BC1D∥平面AB1D1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,所以BC1∥D1O,
所以D1为A1C1的中点,所以D1C1=A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1,
平面AA1C1C∩平面BDC1=DC1,
平面AA1C1C∩平面AB1D1=AD1,所以AD1∥DC1,
又AD∥D1C1,所以四边形ADC1D1是平行四边形,
所以AD=C1D1=A1C1=AC,所以=1.
14.证明:(1)连接AC交BD于点O,连接OE,如图,
因为底面ABCD是正方形,所以O为AC,BD的中点,
又因为E为侧棱SC的中点,所以SA∥EO,
又SA 平面EDB,EO 平面EDB,所以SA∥平面EDB.
(2)连接OF,由(1)可知,SA∥EO,且SA 平面SAD,EO 平面SAD,
所以EO∥平面SAD,
又因为EF∥平面SAD,且EO∩EF=E,EO,EF 平面EOF,
所以平面SAD∥平面EOF,
因为平面SAD∩平面ABCD=AD,平面EOF∩平面ABCD=OF,所以AD∥OF,
又因为O为BD的中点,所以F为AB的中点.
15.D [解析] 由题意得A1B=CB1=a.在BA1,CB1上分别取M,N,使BM=B1N,分别过M,N作MM1⊥AB,NN1⊥BC,垂足分别为M1,N1,连接M1N1,则MM1∥AA1,NN1∥BB1,故=,=.由于=,故=,从而M1N1∥AC,可得M1N1∥平面ACC1A1.又MM1∥平面ACC1A1,M1N1∩MM1=M1,所以平面MM1N1N∥平面ACC1A1.又MN 平面MM1N1N,所以MN∥平面ACC1A1,从而满足条件的MN有无数条.故选D.
16.解:(1)点F是BC的中点,理由如下:
因为O为AB的中点,F为BC的中点,所以OF∥AC,
又AC 平面AEC,OF 平面AEC,所以OF∥平面AEC.
因为四边形DOAE为矩形,所以DO∥AE,
又AE 平面AEC,OD 平面AEC,所以OD∥平面AEC.
因为DO∩OF=O,DO,OF 平面DOF,所以平面DOF∥平面AEC,
因为DF 平面DOF,所以DF∥平面AEC.
(2)由(1)知点F是BC的中点.
连接OC,因为AC=BC=2,
所以AB==2,
所以OA=OC=OB=,且OC⊥AB,
又DA=2,所以OD==,
所以三棱锥D-BOF的体积V1=S△BOF·DO=××××=,
又三棱锥D-BOC的体积V2=S△BOC·DO=××××=,
四棱锥C-DOAE的体积V3=S矩形DOAE×=×()2×=,
所以几何体DBCAE的体积V=V2+V3=,
所以体积较大部分几何体的体积为V-V1=-=.第2课时 平面与平面平行的性质定理
一、选择题
1.设平面α∥平面β,直线a α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中 ( )
A.不存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
2.已知a,b,c为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若a∥b,b α,则a∥α
B.若a α,b β,a∥b,则α∥β
C.若α∥β,a∥α,则a∥β
D.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则a∥c
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF一定是 ( )
A.矩形 B.正方形
C.平行四边形 D.梯形
4.如图,四棱台ABCD-A'B'C'D'的底面为正方形,M为CC'的中点,点N在棱AB上,AB=4BN.若MN∥平面ADD'A',则此棱台上、下底面边长的比值为 ( )
A. B.
C. D.
5.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则下列结论一定成立的是 ( )
A.BF∥平面ACGD
B.CG∥平面ABED
C.BC∥FG
D.平面ABED∥平面CGF
6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱A1C1,BC的中点,则下列结论中错误的是 ( )
A.CC1∥平面A1ABB1
B.AF∥平面A1B1C1
C.EF∥平面A1ABB1
D.AE∥平面B1BCC1
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别为棱AA1,CC1的中点,点Q是棱A1D1上靠近点A1的三等分点,则平面MNQ截该正方体所得截面的面积为 ( )
A.5 B.
C.4 D.2
8.(多选题)[2023·天津武清区天和城实验中学高一月考] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则 ( )
A.EF∥GH
B.BD∥EF
C.平面EFGH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
第8题图 第9题图
9.(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为所在棱的中点,P为侧面BCC1B1内(包括边界)一动点,且D1P∥平面EFG,则 ( )
A.BD∥EG
B.BD1∥平面EFG
C.三棱锥D1-EFG的体积为
D.点P的轨迹长度为2
二、填空题
10.如图所示,平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形,则四边形ABCD的形状一定是 .
第10题图 第11题图
11.如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分别在α,β内,线段AA',BB',CC'交于点O,O在平面α和平面β之间,若AB=2,AC=2,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2,则△A'B'C'的面积为 .
12.正四棱锥S-ABCD的底面边长为a,侧棱长为2a,点P,Q分别在BD和SC上,并且BP∶PD=1∶2,PQ∥平面SAD,则线段PQ的长为 .
三、解答题
13.如图,已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.
14.如图,已知四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为侧棱SC的中点.
(1)求证:SA∥平面EDB;
(2)已知F为棱AB上的点,若EF∥平面SAD,求证:F是AB的中点.
15.如图,在各棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
16.如图,D为圆锥的顶点,O为圆锥底面的圆心,AB为底面直径,C为底面圆周上一点,DA=AC=BC=2,四边形DOAE为矩形,点F在BC上,且DF∥平面EAC.
(1)请判断点F的位置并说明理由;
(2)平面DFO将多面体DBCAE分成两部分,求体积较大部分几何体的体积.
