(共49张PPT)
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
第1课时 异面直线所成的角、直线与平面垂直
的判定定理
探究点一 求异面直线所成的角
探究点二 直线与平面垂直的理解
探究点三 判定（证明）直线与平面垂直
【学习目标】
1.掌握异面直线所成角的概念及算法；
2.了解直线与平面垂直的定义；
3.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直；
4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理；
5.借助直线与平面垂直的判定定理证明空间中的垂直关系，提升
直观想象素养和逻辑推理素养．
知识点一 异面直线所成的角
1.定义：一般地，如果， 是空间中的两条异面直线，过空间中任
意一点，分别作与，____________的直线，，则与 所成角
的大小，称为异面直线与 所成角的大小.
平行或重合
2.异面直线所成角 的取值范围：_____________.
3.规定：空间中两条平行直线所成角的大小为 .
空间中两条直线，所成角的大小为 时，称与 垂直，记作
.
若且，则一定有 .
4.空间中两条直线所成角 的取值范围：_____________.
【诊断分析】
判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）没有公共点的两条直线一定是异面直线.( )
×
（2）若两条直线垂直，则这两条直线一定相交.( )
×
（3）若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行.( )
×
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行.( )
×
知识点二 直线与平面垂直
1.直线与平面垂直的定义
（1）文字叙述：直线与平面 内的任意直线都______.
（2）符号表示： ，______.
垂直
（3）图形表示：如图所示.
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内 的______________垂直,则 这条直线与这个平面垂直 _______________________________
两条相交直线
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线
和这个平面垂直.( )
×
（2）若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线与这个
平面垂直.( )
×
（3）若一条直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于
梯形的两底边所在的直线.( )
√
（4）若一条直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直
于梯形的两腰所在的直线.( )
×
（5）若直线不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线.( )
×
2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的
变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所
在的直线的夹角是否发生变化？夹角的大小为多少？
解：由直线与平面垂直的定义知旗杆所在的直线与其影子所在的直
线的夹角不变，夹角的大小为 .
探究点一 求异面直线所成的角
［探索］ （1）异面直线一般依附于某几何体,所以在求异面直线所
成的角时,首先将异面直线平移成相交直线,那么,定义中的点一般如何
选取呢
解：定义中的点常选取代表两异面直线的其中一条线段的端点或中
点或几何体中的某个特殊点.
（2）作异面直线所成的角的关键是平移法（作空间平行线）,那么推
导直线平行的方法有哪些
解：空间平行线可以根据中位线、平行四边形的性质、空间平行线
的传递性、比例线段等得到.
例1 [2023·上海建平中学高一月考] 如图，在三棱锥 中，
，，，分别为，的中点，求异面直线
与 所成角的大小．
解：如图，取的中点，连接， .
，分别为， 的中点，
， ，
即为与 所成的角或其补角．
，， ，
，， 为等腰直角三角形，
， 异面直线与所成角的大小为 .
变式 如图,在正方体中, 为侧
面 的中心,求:
（1）异面直线与 所成角的大小;
解：因为 ,
所以即为异面直线与 所成的角或其补角.
在中, ,
所以 ,
所以异面直线与所成角的大小为 .
（2）异面直线与 所成角的大小.
解：如图，连接,易知 ,
所以或其补角即为异面直线与 所成的角.
连接,,易知 是等边三角形,
因为是的中点,所以 ,
所以异面直线与所成角的大小为 .
［素养小结］
求两条异面直线所成的角的一般步骤：
（1）构造角：根据异面直线的定义,通过作平行线,得到异面直线夹
角的相关角.
（2）计算角：求角度,常利用三角形.
（3）确定角：若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成
的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
拓展 [2023·吉林梅河口五中高一月考] 如图，在正方体
中，，分别是棱， 的中点，求异面直线
与 所成角的大小．
解：方法一：如图，连接， ，
设它们相交于点，取的中点，
连接， ， ，
则， ，
为异面直线与 所成的角或其补角．
，为 的中点，
， ，
故异面直线与所成角的大小为 .
方法二：如图所示，分别取， 的中点，，
连接，，则 ，
又， .
连接，，， ，
易知四边形 为平行四边形，
与相交，设交点为 ，
为异面直线与 所成的角或其补角．
设，则，， ，
， ，
故异面直线与所成角的大小为 .
方法三：如图，在原正方体的右侧补上
一个相同的正方体 ，
连接，， ，
，且 ， ，
则为异面直线与 所成的角或其补角.
设，则，， ，
，则 ，
故异面直线与所成角的大小为 .
探究点二 直线与平面垂直的理解
例2 （多选题）下列说法正确的是( )
A.若直线垂直于平面 ，则直线垂直于 内的任一直线
B.若直线垂直于平面 ，则与 内的直线可能相交，可能异面，
也可能平行
C.若， ， ，则
D.若， ，则
√
√
[解析] 若直线垂直于平面 ，则直线垂直于 内的任一直线，
故A正确；
若直线垂直于平面 ，则与 内的直线相交或异面，故B错误；
若 ， ，则，又，所以 ，故C正确；
若， ，则 或 ，故D错误．故选 .
变式 若三条直线，，两两垂直，则直线 垂直于( )
A.平面 B.平面 C.平面 D.平面
[解析] ，，，， 平面，
平面 .
√
探究点三 判定（证明）直线与平面垂直
例3 如图，在正方体中，，分别是棱 ，
的中点，求证： 平面 .
证明：因为，分别是棱， 的中点，所以，
在和 中，, ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
，所以 ，
又 平面, 平面 ，
所以，因为，, 平面 ，
所以 平面 .
变式 [2023·山东聊城高一期末] 如图所示，在四棱锥 中，
底面是矩形， 平面，是等腰三角形，，
分别为，的中点．求证： 平面 .
证明：如图，取的中点，连接， ，
为的中点， .
在矩形中， ，
又为的中点， ， ，
四边形 为平行四边形， .
平面， 平面， ，
又是等腰三角形，为 的中点，
，则， .
平面， 平面 ，
.
连接，，设， ，
则，，
， .
又，， 平面，
平面 .
［素养小结］
（1）使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相
交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决.
（2）证明线面垂直的方法：
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直
线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直
于另一个平面.
拓展 如图,为的直径,垂直于所在的平面, 为圆周上任
意一点,, 为垂足.
（1）求证: 平面 ;
证明：因为为的直径,所以 ，
因为 平面, 平面 ,所以 ，
又,, 平面 ，
所以 平面 .
又 平面,所以 ，
又,且,, 平面 ，
所以 平面 .
（2）若,垂足为,求证: .
证明 ：由（1）知 平面 ,
因为 平面,所以 .
又,,, 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面,所以 .
1.若直线,与直线所成的角相等,则, 的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.相交、平行、异面均有可能
[解析] 当时,显然直线,与直线所成的角相等;
当, 相交时,可以有,,此时直线,与直线所成的角相等;
当直线, 异面时,同样存在直线与,都垂直,
此时直线,与直线 所成的角相等.故选D.
√
2.[2023·宁波余姚中学高一月考]如图，如果垂直于菱形 所
在的平面，那么与 ( )
A.平行 B.垂直且相交 C.垂直且异面 D.相交但不垂直
√
[解析] 连接，与交于点，
四边形为菱形， .
又 平面， 平面， .
又， 平面.
又 平面， ，
又点，A，B，D不共面，与异面，
故与 垂直且异面．故选C.
3.[2024·辽宁大连高一期末]已知三棱柱 的侧棱与底面
边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与
所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图,设的中点为D,连接,,,
易知 为异面直线与所成的角或其补角.
设三棱柱 的侧棱与底面边长均为1,
则,, ,
由余弦定理得 .
√
4.如图所示,在正方体中， ，则异面
直线与 所成的角的大小为____.
[解析] ， 异面直线与所成的角是 或其补角，
由题知 .
5.[2024·宁夏六盘山高级中学高一月考] 如图所示，在正方体
中，为的中点，与交于点 ，求证：
平面 .
证明： 四边形为正方形， ，
平面， 平面 ,，
又，, 平面 ，
平面 ，
又 平面， .
令正方体的棱长为2，连接， ，
易知，， ，
， ，
又，， 平面 ，
平面 .
1.求两条异面直线所成角的技巧
（1）作出异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三
种方法：
①直接平移法（可利用图中已有的平行线，如平行四边形）；
②中位线平移法；
③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到
平行线）.
（2）如果求得的角的余弦值为负值，那么说明两条异面直线所成的
角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时候，应该说：“这个
角或其补角即为所求的角”.
2.两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.
3.线面垂直的判定定理的解读
（1）线面垂直的判定定理可简记为“若线线垂直,则线面垂直”.
（2）利用线面垂直的判定定理时,一定要注意这条直线和平面内的两
条相交直线垂直,而不是任意的两条直线（一交一内一垂直）.
（3）在三棱锥 中,有下列结论：
①若,则点在平面内的射影为 的外心;
②若点到,,的距离相等,则点在平面 内的射影为
的内心;
③若,,则点在平面内的射影为 的垂心.
1.作出异面直线所成的角,主要通过三种平移产生：①直接平移;②中
位线平移;③补形平移.求异面直线所成的角的主要步骤：作（找）、
证、求、答.
例1 在长方体的面上有一点,其中 点不
在面对角线 上.
（1）过点在空间作一直线,使 ,应该如何作图 并说明理由.
解：连接,在平面内过点作直线,使,
则 即为所求,如图（a）.
,, .
（a）
（2）过点在平面内作一直线,使与直线成 角,其
中 ,这样的直线有几条 应该如何作图
（b）
解：过点作直线与成 角,
, 直线与直线也成 角,
即直线即为所求,如图（b）.
由图知与 是异面直线,且与所成的角.
当 时,这样的直线有且只有一条,
当时,这样的直线 有两条.
2.利用线面垂直的判定定理判定一条已知直线和一个平面垂直,关键
是在这个平面内找出两条相交直线都和已知直线垂直,即由线线垂直
推得线面垂直.
例2 如图所示，在直三棱柱 中，
，，求证： 平面 .
证明： 在直三棱柱 中，
， .
又， ，
平面， .
， 四边形 是正方形， .
又， 平面 .11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
第1课时 异面直线所成的角、直线与平面垂直的判定定理
【课前预习】
知识点一
1.平行或重合 2.0°<θ≤90°
4.0°≤θ≤90°
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)×
知识点二
1.(1)垂直 (2)l⊥m 2.两条相交直线
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2.解:由直线与平面垂直的定义知旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角不变,夹角的大小为90°.
【课中探究】
探究点一
探索 解:(1)定义中的点常选取代表两异面直线的其中一条线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.
(2)空间平行线可以根据中位线、平行四边形的性质、空间平行线的传递性、比例线段等得到.
例1 解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG.
∵E,F分别为BC,AD的中点,
∴EG CD,GF AB,
∴∠GFE即为EF与AB所成的角或其补角.
∵AB⊥CD,∴EG⊥GF,∴∠EGF=90°,
∵AB=CD,∴EG=GF,∴△EFG为等腰直角三角形,
∴∠GFE=45°,∴异面直线EF与AB所成角的大小为45°.
变式 解:(1)因为CC1∥BB1,
所以∠A1BB1即为异面直线BA1与CC1所成的角或其补角.
在Rt△A1B1B中,A1B1=B1B,所以∠A1BB1=45°,
所以异面直线BA1与CC1所成角的大小为45°.
(2)如图,连接B1D1,易知BD∥B1D1,所以∠D1B1O或其补角即为异面直线B1O与BD所成的角.连接D1A,AB1,易知△AB1D1是等边三角形,
因为O是AD1的中点,所以∠D1B1O=30°,
所以异面直线B1O与BD所成角的大小为30°.
拓展 解:方法一:如图,连接A1C1,B1D1,设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接GO,GA1,GC1,
则GO∥DB1,EF∥A1C1,
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,
∴GO⊥A1C1,∴∠GOA1=90°,
故异面直线DB1与EF所成角的大小为90°.
方法二:如图所示,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN,A1C1,则MN∥A1C1,
又A1C1∥EF,∴MN∥EF.连接DM,DN,B1N,B1M,
易知四边形DMB1N为平行四边形,
∴MN与DB1相交,设交点为P,
∴∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
设AA1=1,则MP=,DM=,DP=,
∴DM2=DP2+MP2,∴∠DPM=90°,
故异面直线DB1与EF所成角的大小为90°.
方法三:如图,在原正方体的右侧补上一个相同的正方体BCPQ-B1C1P1Q1,连接B1P1,DP1,A1C1,
∵EF∥A1C1,且A1C1∥B1P1,∴EF∥B1P1,
则∠DB1P1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
设AA1=1,则B1D=,B1P1=,DP1=,
∴B1D2+B1=D,则∠DB1P1=90°,
故异面直线DB1与EF所成角的大小为90°.
探究点二
例2 AC [解析] 若直线l垂直于平面α,则直线l垂直于α内的任一直线,故A正确;若直线l垂直于平面α,则l与α内的直线相交或异面,故B错误;若a α,l⊥α,则l⊥a,又a∥b,所以l⊥b,故C正确;若a⊥b,b⊥α,则a∥α或a α,故D错误.故选AC.
变式 C [解析] ∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC 平面OBC,∴OA⊥平面OBC.
探究点三
例3 证明:因为E,F分别是棱B1C1,B1B的中点,所以B1E=BF,在Rt△BB1E和Rt△CBF中,BB1=CB,B1E=BF,
所以Rt△BB1E≌Rt△CBF,所以∠B1BE=∠BCF,
因为∠B1BE+∠EBC=90°,所以∠BCF+∠EBC=90°,
所以CF⊥BE,
又AB⊥平面BCC1B1,CF 平面BCC1B1,
所以AB⊥CF,因为AB∩BE=B,AB,BE 平面EAB,
所以CF⊥平面EAB.
变式 证明:如图,取PD的中点E,连接AE,NE,
∵N为PC的中点,∴NE CD.
在矩形ABCD中,AB CD,
又M为AB的中点,∴AM CD,
∴AM NE,∴四边形AMNE为平行四边形,∴AE∥MN.
∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,∴PA⊥AD,
又△PAD是等腰三角形,E为PD的中点,
∴PA=AD,则AE⊥PD,∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,∴PA⊥AB.
连接PM,CM,设AD=a,AB=2b,则PM2=a2+b2,CM2=a2+b2,∴CM=PM,∴MN⊥PC.
又PC∩PD=P,PC,PD 平面PCD,∴MN⊥平面PCD.
拓展 证明:(1)因为AB为☉O的直径,所以AM⊥BM,
因为PA⊥平面ABM,BM 平面ABM,所以PA⊥BM,
又PA∩AM=A,PA,AM 平面PAM,
所以BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM,所以BM⊥AN,
又AN⊥PM,且BM∩PM=M,BM,PM 平面PBM,
所以AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM,
因为PB 平面PBM,所以AN⊥PB.
又AQ⊥PB,AN∩AQ=A,AN,AQ 平面ANQ,
所以PB⊥平面ANQ,
又NQ 平面ANQ,所以PB⊥NQ.
【课堂评价】
1.D [解析] 当a∥b时,显然直线a,b与直线l所成的角相等;当a,b相交时,可以有l⊥a,l⊥b,此时直线a,b与直线l所成的角相等;当直线a,b异面时,同样存在直线l与a,b都垂直,此时直线a,b与直线l所成的角相等.故选D.
2.C [解析] 连接AC,与BD交于点O,∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.又MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,∴BD⊥MC.又MC∩AC=C,∴BD⊥平面MAC.又MA 平面MAC,∴BD⊥MA,又点M,A,B,D不共面,∴MA与BD异面,故MA与BD垂直且异面.故选C.
3.B [解析] 如图,设BC的中点为D,连接A1D,AD,A1B,易知∠A1AB为异面直线AB与CC1所成的角或其补角.设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长均为1,则AD=,A1D=,A1B=,由余弦定理得cos∠A1AB===.
4.65° [解析] ∵B1C1∥BC,∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB或其补角,由题知∠AEB=90°-25°=65°.
5.证明:∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,
∵AA1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
∴AA1⊥BD,又AA1∩AC=A,AA1,AC 平面AA1O,
∴BD⊥平面AA1O,
又A1O 平面AA1O,∴BD⊥A1O.
令正方体的棱长为2,连接OM,A1M,
易知A1O=,OM=,A1M=3,
∴A1O2+OM2=A1M2,∴A1O⊥OM,
又OM∩BD=O,OM,BD 平面MBD,
∴A1O⊥平面MBD.11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
第1课时 异面直线所成的角、直线与平面垂直的判定定理
【学习目标】
1.掌握异面直线所成角的概念及算法;
2.了解直线与平面垂直的定义;
3.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直;
4.灵活运用直线与平面垂直的判定定理;
5.借助直线与平面垂直的判定定理证明空间中的垂直关系,提升直观想象素养和逻辑推理素养.
◆ 知识点一 异面直线所成的角
1.定义:一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b 的直线a',b',则a'与b'所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.
2.异面直线所成角θ的取值范围: .
3.规定:空间中两条平行直线所成角的大小为0°.
空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m垂直,记作l⊥m.
若a∥b且b⊥c,则一定有a⊥c.
4.空间中两条直线所成角θ的取值范围: .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线. ( )
(2)若两条直线垂直,则这两条直线一定相交. ( )
(3)若两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行. ( )
(4)垂直于同一条直线的两条直线平行. ( )
◆ 知识点二 直线与平面垂直
1.直线与平面垂直的定义
(1)文字叙述:直线l与平面α内的任意直线都 .
(2)符号表示:l⊥α m α, .
(3)图形表示:如图所示.
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的 垂直,则这条直线与这个平面垂直 若m α,n α,m∩n≠ ,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.( )
(2)若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线与这个平面垂直. ( )
(3)若一条直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于梯形的两底边所在的直线. ( )
(4)若一条直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于梯形的两腰所在的直线. ( )
(5)若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线. ( )
2.在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的变化,影子的位置在移动,在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角是否发生变化 夹角的大小为多少
◆ 探究点一 求异面直线所成的角
[探索] (1)异面直线一般依附于某几何体,所以在求异面直线所成的角时,首先将异面直线平移成相交直线,那么,定义中的点一般如何选取呢
(2)作异面直线所成的角的关键是平移法(作空间平行线),那么推导直线平行的方法有哪些
例1 [2023·上海建平中学高一月考] 如图,在三棱锥A-BCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求异面直线EF与AB所成角的大小.
变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为侧面ADD1A1的中心,求:
(1)异面直线BA1与CC1所成角的大小;
(2)异面直线B1O与BD所成角的大小.
[素养小结]
求两条异面直线所成的角的一般步骤:
(1)构造角:根据异面直线的定义,通过作平行线,得到异面直线夹角的相关角.
(2)计算角:求角度,常利用三角形.
(3)确定角:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
拓展 [2023·吉林梅河口五中高一月考] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.
◆ 探究点二 直线与平面垂直的理解
例2 (多选题)下列说法正确的是 ( )
A.若直线l垂直于平面α,则直线l垂直于α内的任一直线
B.若直线l垂直于平面α,则l与α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行
C.若a∥b,a α,l⊥α,则l⊥b
D.若a⊥b,b⊥α,则a∥α
变式 若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 ( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
◆ 探究点三 判定(证明)直线与平面垂直
例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1C1,B1B的中点,求证:CF⊥平面EAB.
变式 [2023·山东聊城高一期末] 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,M,N分别为AB,PC的中点.求证:MN⊥平面PCD.
[素养小结]
(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直,即把线面垂直转化为线线垂直来解决.
(2)证明线面垂直的方法:
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
拓展 如图,AB为☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证:AN⊥平面PBM;
(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.
1.若直线a,b与直线l所成的角相等,则a,b的位置关系是 ( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.相交、平行、异面均有可能
2.[2023·宁波余姚中学高一月考] 如图,如果MC垂直于菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD ( )
A.平行
B.垂直且相交
C.垂直且异面
D.相交但不垂直
3.[2024·辽宁大连高一期末] 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为 .
5.[2024·宁夏六盘山高级中学高一月考] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1的中点,AC与BD交于点O,求证:A1O⊥平面MBD.11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
第1课时 异面直线所成的角、直线与平面垂直的判定定理
1.C [解析] l与平面α内的两条直线垂直,若平面α内的两条直线平行,则无法判定直线l⊥平面α,故A不正确;l与平面α内的无数条直线垂直,若平面α内的无数条直线平行,则无法判定直线l⊥平面α,故B不正确;l与平面α内的任意一条直线垂直,则在平面α内,必存在两条相交直线与l垂直,由直线与平面垂直的判定定理知直线l⊥平面α,故C正确;l与平面α内的某一条直线垂直,则l与平面相交、平行或直线在平面内,故D不正确.故选C.
2.C [解析] 在题图①中,AD⊥BC,故在题图②中,AD⊥BD,AD⊥DC,又BD∩DC=D,BD 平面BCD,DC 平面BCD,所以AD⊥平面BCD,又BC 平面BCD,所以AD⊥BC,易知AD与BC异面.故选C.
3.D [解析] 如图,连接CC',AO',C'O',AC.因为C'O'∥CO,C'C⊥AC,△AOC为等边三角形,所以异面直线AC'与OC所成的角即为∠AC'O'或其补角.因为AC'==2,AO'==2,O'C'=2,所以异面直线AC'与OC所成角的正切值为tan∠AC'O'====.故选D.
4.C [解析] 如图,连接B1C,A1D.易知A1B1⊥平面BCC1B1,又BC1 平面BCC1B1,所以A1B1⊥BC1,又B1C⊥BC1,且A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E 平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1.故选C.
5.C [解析] 由题知直三棱柱是正方体的一半,如图所示,∵AC∥A1C1,∴∠B1CA或其补角即为异面直线A1C1和B1C所成的角,又AC=B1C=AB1,∴△AB1C是等边三角形,∴∠B1CA=60°,过C作直线l的平行线l',则当l'与∠B1CA的角平分线重合时,α取得最小值30°.故选C.
6.C [解析] 因为A1D∥B1C,所以过顶点A作直线l,使得l与直线B1C,C1D所成的角均为60°,即为过顶点A作直线l,使得l与直线A1D,C1D所成的角均为60°.因为∠A1DC1=60°,∠A1DC1的外角平分线与A1D,C1D所成的角相等,均为60°,所以在平面A1C1D内有1条直线满足要求.因为∠A1DC1的角平分线与A1D,C1D所成的角相等,均为30°,所以将角平分线绕点D转动到与平面A1C1D垂直的过程中,存在2条直线与直线A1D,C1D所成的角均为60°.故符合条件的直线有3条.故选C.
[总结] 过空间一点P作与a,b都成角α(0°<α<90°)的直线l,这样的直线l的条数规律,过点P作异面直线a,b的平行线a',b',则直线a',b'交成60°,120°两个角.当0°<α<30°时,直线l不存在;当α=30°时,直线l只能是直线a',b'所夹60°角的平分线,故有1条;当30°<α<60°时,过点P在空间可作2条直线l与直线a',b'均成α角;当α=60°时,直线l可以是120°角的平分线,再加上前一情况的2条,此时共有3条;当60°<α<90°时,过点P在空间可以作4条直线l与直线a',b'均成α角.
7.C [解析] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AC=BC=1,∠ACB=90°,所以A1C1=B1C1=1,∠A1C1B1=90°,所以A1B1==,又D是A1B1的中点,所以DB1=.因为AB1⊥平面C1DF,DF 平面C1DF,所以AB1⊥DF,所以∠FDB1+∠A1B1A=90°,又∠A1AB1+∠A1B1A=90°,所以∠FDB1=∠A1AB1,又∠AA1B1=∠DB1F=90°,所以△AA1B1∽△DB1F,所以=,即=,解得B1F=.故选C.
8.AD [解析] 如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB且EG=AB,FG∥CD且FG=CD,由AB=CD,得EG=FG,则∠GEF即为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角即为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°,由EG=FG知△EFG为等腰三角形.当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.综上可得,EF与AB所成角的大小为15°或75°.故选AD.
9.BD [解析] 对于A,由AB与CE所成角为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直,故A错误;对于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE,故B正确;对于C,由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直,故C错误;对于D,连接AC,由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE,故D正确.故选BD.
10.4 [解析] ∵PA⊥平面ABC,∴△PAC,△PAB为直角三角形.又∠ACB=90°,∴△ABC为直角三角形.∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA,又BC⊥AC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC,即△PBC为直角三角形.故共有4个直角三角形.
11. [解析] 如图,连接FH.取FH的中点O,连接OA,OC,AC.∵HO∥GC且HO=GC,∴四边形HOCG为平行四边形,∴HG∥OC,同理AO∥EF,∴异面直线EF与GH所成的角即为直线OA与OC所成角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则AC=2,OA=,OC=,在△OAC中,由余弦定理得AC2=OC2+OA2-2OA·OCcos∠AOC,即8=6+6-2××cos∠AOC,∴cos∠AOC=.
12.AC⊥BD(答案不唯一) [解析] 在平面四边形ABCD中,连接AC交BD于点E,若AC⊥BD,则AE⊥BD,CE⊥BD.沿BD折叠后,易知AE⊥BD,CE⊥BD,因为AE∩CE=E,所以BD⊥平面AEC,而AC 平面AEC,所以BD⊥AC.故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时,使空间四边形中AC⊥BD.
13.证明:(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=BD,
又SA=SB,所以△ADS≌△BDS,
所以∠SDA=∠SDB=90°,所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC,BD 平面ABC,
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD.
又SD∩AC=D,SD,AC 平面SAC,
所以BD⊥平面SAC.
14.解:(1)证明:∵三棱柱A1B1C1-ABC是直三棱柱,AC=BC=1,∠ACB=90°,
∴A1C1=B1C1=1,∠A1C1B1=90°,AA1⊥平面A1B1C1,
∵C1D 平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D,∵D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1,
又A1B1∩AA1=A1,∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.证明如下:
如图,作DE⊥AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F.
由(1)知C1D⊥平面AA1B1B,∵AB1 平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1,
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,DF,C1D 平面C1DF,
∴AB1⊥平面C1DF,∴AB1⊥DF.易知AA1=A1B1=,∴四边形AA1B1B为正方形,
又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,∴F为BB1的中点.
故当F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
15.C [解析] 如图,连接AC,BD,由题知交点为O,由正方体的性质知,OC⊥平面D1DO,∴D1O⊥OC.取BB1的中点为P1,连接OP1,D1P1,C1P1,CP1,B1D1.由已知得,DD1=2,DO=BO=,BP1=B1P1=1,B1D1=2,∴OD1==,OP1==,D1P1==3,∴O+O=D1,∴OD1⊥OP1.又OP1∩OC=O,∴D1O⊥平面OP1C,∴点P的轨迹在线段P1C上(包括端点).由C1P1=CP1=,可知∠C1CP1为锐角,因为CC1=2<,所以点P到棱C1D1的距离的最大值为,则△D1C1P面积的最大值为×2×=.故选C.
16.解:(1)证明:如图,取PD的中点F,连接EF,AF,
因为E为PC的中点,所以EF∥CD且EF=CD,
由已知得AB∥CD且AB=CD,
所以AB∥EF且AB=EF,所以四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF,
又AF 平面ADP,BE 平面ADP,所以BE∥平面ADP.
(2)如图,取CD的中点G,连接AG,PG,
则AB∥GC且AB=GC,
所以四边形ABCG为平行四边形,所以BC∥AG,所以∠PAG(或其补角)即为PA与CB所成的角,
由题意得PA=AG=PG=3,所以∠PAG=60°,
所以异面直线PA与CB所成角的大小为60°.
[结论] 求两条异面直线所成角的方法.
(1)构造异面直线所成的角的方法:
①过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线,使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角;
②当异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交于该点;
③当两条异面直线互相垂直时,欲求它们所成的角,可通过计算或证明来完成.
(2)平移直线得出的角不一定恰好是所求角,因此要说明此角是异面直线所成的角或是其补角.11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
第1课时 异面直线所成的角、直线与平面垂直的判定定理
一、选择题
1.下列条件中能判定直线l⊥平面α的是 ( )
A.l与平面α内的两条直线垂直
B.l与平面α内的无数条直线垂直
C.l与平面α内的任意一条直线垂直
D.l与平面α内的某一条直线垂直
2.将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线AD折起得到空间四面体ABCD(如图②),则在空间四面体ABCD中,AD与BC ( )
A.相交且垂直 B.相交但不垂直
C.异面且垂直 D.异面但不垂直
3.[2024·河北邯郸高一期末] 如图,在圆柱O'O中,AB,A'B'分别为圆O,圆O'的直径,C为上靠近A的三等分点,C'为上靠近A'的三等分点,且AO=AA'=OO'=2,则异面直线AC'与OC所成角的正切值为 ( )
A. B.2
C. D.
4.[2024·北京顺义区一中高一月考] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )
A.A1E⊥BD B.A1E⊥AC
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥DC1
5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=BB1,过点A作直线l与A1C1和B1C所成的角均为α,则α的最小值为 ( )
A.60° B.45°
C.30° D.15°
★6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使得l与直线B1C,C1D所成的角均为60°,则这样的直线l的条数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的点,AB1,DF交于点E,若AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)[2023·湖南临澧一中高一月考] 在四面体ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成角的大小可能为 ( )
A.15° B.25°
C.65° D.75°
9.(多选题)如图,在下列四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是 ( )
A B C D
二、填空题
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,若PA⊥平面ABC,则图中的直角三角形的个数为 .
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱AD,C1D1,BC,A1B1的中点,则异面直线EF与GH所成角的余弦值是 .
12.[2024·杭州学军中学高一月考] 如图所示,将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形,当平面四边形ABCD满足 时,使空间四边形中AC⊥BD.(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能情况)
三、解答题
13.[2024·山东泰安实验中学高一月考] 如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
14.如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B.
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF 并证明你的结论.
15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.若D1O⊥OP,则△D1C1P面积的最大值为 ( )
A. B.
C. D.2
★16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥DA,PD⊥DC,在底面ABCD中,AB∥DC,AB⊥AD,已知CD=6,AB=AD=PD=3,E为PC的中点.
(1)求证:BE∥平面ADP;
(2)求异面直线PA与CB所成角的大小.
