(共55张PPT)
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质、线面角
探究点一 线面垂直的性质定理的应用
探究点二 求直线与平面所成的角
探究点三 空间距离问题
【学习目标】
1.掌握线面垂直的性质定理,并能应用；
2.掌握直线与平面所成角的定义；
3.灵活运用直线与平面垂直的性质定理解决空间垂直问题；
4.通过利用直线与平面垂直的性质定理解决空间中垂直、距离等
问题的过程，提升逻辑推理素养和直观想象素养．
知识点一 直线与平面垂直的性质
1.如果两条平行直线中,有一条直线______于一个平面,那么另一条直
线也______于这个平面.
2.直线与平面垂直的性质定理
垂直
垂直
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
如果两条直线______ 于同一个平面,那么这 两条直线______ _________________________________________
垂直
平行
3.过空间中一点,__________________与已知平面垂直.
有且只有一条直线
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.( )
√
[解析] 假设过平面外一点有两条直线与已知平面垂直，
由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，
与这两条直线过同一点相矛盾，故只有一条直线与已知平面垂直.
（2）过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.( )
√
[解析] 假设过直线外一点有两个平面与已知直线垂直，则这两个平面
平行，与两个平面过同一点矛盾，故只有一个平面与已知直线垂直.
（3）垂直于同一平面的两条直线一定共面.( )
√
（4）垂直于同一条直线的两个平面平行.( )
√
2.两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂
直于这个平面吗
解：不垂直.假设另一条直线也垂直于这个平面，
则根据线面垂直的性质定理知，这两条直线互相平行，
与两条直线是异面直线矛盾，
故另一条直线不垂直于这个平面.
知识点二 直线与平面所成的角
1.直线与平面的有关概念
（1）垂线段、斜线段：如果是平面 外一
点，是平面 内一点，则 时，____是
平面 的垂线段.如果是平面 内一点，且
斜足
与 不垂直，则称____是平面 的斜线段（相应地，直线 称为平面
的斜线），称 为______.如图所示.
（2）直线与平面所成的角：如图，是平面
的垂线段，是平面 的斜线段，直线 称为
直线在平面 内的射影，称为直线
与平面 所成的角.
2.结论
（1）平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线；平面内垂直于斜线的
直线也垂直于射影.
（2）图形语言：如图所示.
（3）已知 ，是平面 的一条斜线， .①若 ，
则；②若，则 .
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）平面的一条斜线和平面所成角的范围是 .( )
×
[解析] 平面的一条斜线和平面所成角的范围是 .
（2）平面的一条斜线和平面内一条直线所成的角，叫作这条直线和
这个平面所成的角.( )
×
[解析] 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直
线和这个平面所成的角.
（3）若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.( )
×
[解析] 如图,在正四面体中,与底面所成的角和 与底面
所成的角相等,但是与 不平行.
2.若图中的是斜线与平面 所成的角,则需具备哪些条件
解：需要 ,为垂足,为斜线在平面 内的射影,
这样就是斜线与平面 所成的角.
探究点一 线面垂直的性质定理的应用
例1 如图,在四棱锥中,底面 是
矩形, 平面,,是 的中点,
,分别在,上,且, .
证明: .
证明：因为 平面, 平面 ,
所以,又,所以 ，
因为,是的中点,所以 ,
又,, 平面 ,
所以 平面 .
因为,,所以 ，
又因为,,, 平面 ,
所以 平面,所以 .
变式（1） 已知,是两条不同的直线， , 是两个不同的平面.给
出下列四个命题：
； ；
； .
其中真命题是______.（填序号）
②④
[解析] ①中，与同一条直线平行的两个平面不一定平行，还可能相
交，故①是假命题；
②中，由 ， 可得出 ，故②是真命题；
③中，若 , ,则与 平行、相交或异面，故③是假命题；
④中，垂直于同一个平面的两条直线平行，故④是真命题.
故答案为②④.
（2）如图所示,已知平面 平面 ,
,垂足为, ,垂足为 ,直线
,,且与不重合,则直线与直线 的
位置关系是______.
平行
[解析] 平面 平面, ， , .
同理.又,, 平面， 平面
, ,,
又,且, , 平面， 平面, .
［素养小结］
证明线线平行的常用方法：
（1）利用线线平行的定义：证两线共面且无公共点;
（2）利用空间平行线的传递性：证两线同时平行于第三条直线;
（3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行;
（4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直;
（5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
探究点二 求直线与平面所成的角
例2 如图,在正方体 中,求：
（1）与平面 所成的角;
解：因为 平面 ,
所以即为与平面 所成的角.
在中, , ,
所以 ,
所以与平面所成的角是 .
解：连接交于点,连接 ，如图，
因为, ,
,, 平面 ,
所以 平面 ,
所以即为与平面 所成的角.
设正方体的棱长为1,则, ，
（2）与平面 所成的角.
又因为 ,
所以 ,
又,所以 ，
所以与平面所成的角是 .
（1）求证： 平面 ；
证明：由题意知，四边形 是正方形， .
由 平面，得 ，
又， ，
平面 .
又 平面， .
又， 平面 .
变式 如图，在直三棱柱中， ，
.
解：连接，设 .
平面，即为 与平面
所成的角.
在等腰直角三角形中，为斜边 的中点，
，
在中， ，
，
故与平面所成角的正弦值为 .
（2）若为的中点，求与平面 所成角的正弦值.
［素养小结］
求直线与平面所成的角的关键是作垂线，找垂足，把直线与平面所
成的角转化到一个直角三角形中求解.
探究点三 空间距离问题
例3 [2023·辽宁本溪高级中学高一月考] 如图所
示，已知为外一点，，， 两两
垂直，，求点到平面 的
距离．
解：方法一：过点作 平面 ，垂足为点，
连接，， ，
则，， .
因为 ，
所以 ，
所以，所以为 的外心．
因为，， 两两垂直，
所以 ，
所以为正三角形，所以 ，
所以 ，
故点到平面的距离为 .
方法二：由题意可知 .
设点到平面的距离为，
因为，， 两两垂直，
所以， ， ，
所以 平面 .
由，得 ，
即 ，解得 ，
故点到平面的距离为 .
变式 如图，在四棱锥中，底面
是边长为2的菱形， ， 底面
，，点是 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：由底面是菱形，可得 ，
又 平面， 平面，所以平面 .
（2）求到平面 的距离.
解：由（1）知平面，故到平面的距离
即为点 到平面的距离，设为 .
如图，连接，取的中点，连接, ，
易得且，则 底面 .
因为 ，,所以 , ，
所以， ,
又 ，所以.
在 中，由余弦定理得
，
所以 ，
所以 .
由 ，
得 ，
即，解得 ，
所以到平面的距离为 .
［素养小结］
（1）求点到平面的距离,只需找到垂线段,往往是借助几何载体证明
线面垂直,放在平面内解决；或利用等体积法，以体积为中间媒介,计
算相关元素.特别对于三棱锥,可置换底面、置换顶点,有较大的灵活性，
若技巧运用得当,可使解题过程简化.
（2）利用定义将线面距离、面面距离转化为点面距离.
1.[2023·长沙高一期末]若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，
则这两条直线的位置关系为( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.以上皆有可能
[解析] 在正方体中，，与底面 所成
的角相等，此时两直线平行；
，与底面 所成的角相等，此时两直线相交；
，与底面 所成的角相等，此时两直线异面.故选D.
√
2.下列命题中为假命题的是( )
A.垂直于同一条直线的两个平面平行
B.垂直于同一条直线的两条直线平行
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.垂直于同一个平面的两条直线平行
[解析] 垂直于同一条直线的两个平面平行，故A是真命题；
垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故B是假命题；
由空间平行线的传递性可得，平行于同一条直线的两条直线平行，
故C是真命题；
易知垂直于同一个平面的两条直线平行，故D是真命题.故选B.
√
3.如图，在正三棱柱 中，
，则与平面 所成角的
正弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点D，连接， ，
在正三棱柱中，底面 是正三角形，
，又 平面 ，
平面， ，
又， 平面 ，
即为与平面 所成的角.
由题意，，，
在 中， .故选C.
4.[2024·山东烟台高一期末]在正方体中, ,则
点到平面 的距离是( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 如图,在正方体 中,
连接,交于点,
因为 平面 ， 平面,
所以 .
在正方形中,,
因为 ,所以 平面,垂足为,
则 的长即为所 求,
易知 ，所以点A到平面的距离为 .故选B.
5.已知正三棱锥的侧棱长为2,底面边长为1,则侧棱 与底面
所成角的余弦值为_ __.
[解析] 如图所示,作 平面,垂足为,
则 是底面的中心,连接,
则即为侧棱与底面 所成的角.
由题意知, ,
则 .
1.在与线面垂直判定和性质综合应用有关的问
题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,常见的
推理形式有：
（1） , .
（2）,,, , .
（3） , .
（4） , .
2.最小角定理：直线与平面所成的角是该直线与
平面内任意一条直线所成的角中最小的角.证明
如下：
易知当直线与平面所成角为 或 时，满
足题意.当直线与平面斜交时，如图所示,
，直线在平面 内的射影为直线
,为平面 内与 不重合的任意一条直
线,过点作,垂足为, 连接 ,则
.下面只需说明 .
易知,, ,
.
因为与分别是 的直角边与斜边,
所以,则 ,故
,即直线与平面所成的角是该直
线与平面内任意一条直线所成的角中最小的角.
3.三垂线定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线
的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,
提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
例1 如图，在多面体中，四边形为正方形， 平
面， 平面 .
求证：平面平面 .
证明：因为 平面， 平面 ，
所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为四边形为正方形，所以 ，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为， 平面， 平面 ，
所以平面平面 .
2.求直线与平面所成角的步骤：（1）寻找过斜线上一点与平面垂直
的直线;（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射
影所成的锐角或直角即为所求的角;（3）把该角放在某个三角形中,
通过解三角形,求出该角.
例2 “风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多
年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最
早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉
期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸
鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由
于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放
风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、
提线、放飞线五部分组成．
如图①就是一个由菱形的风筝面 和 两个直角三角形尾翼
和 所组成的风筝．其中，，，
， ．现将此风筝的两个尾翼分别沿，折起，
使得点与点重合于点 ，并连接，得到如图②所示的四棱
.
（1）求证： 平面 ；
证明： 底面为菱形， ,
由题可得，，又, 平面 ，
平面 ，
平面，又 平面， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）若为棱上一点，且，求直线与平面 所成角的
正切值.
解：设,连接交于点 ，
由（1）得 平面 ,
即为直线与平面 所成的角.
，， ,
, ,
，， ,
由余弦定理得
，
由余弦定理得
，
，
，
，
直线与平面所成角的正切值为 ．第2课时 直线与平面垂直的性质、线面角
【课前预习】
知识点一
1.垂直 垂直 2.垂直 平行
3.有且只有一条直线
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ [解析] (1)假设过平面外一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,即无公共点,与这两条直线过同一点相矛盾,故只有一条直线与已知平面垂直.
(2)假设过直线外一点有两个平面与已知直线垂直,则这两个平面平行,与两个平面过同一点矛盾,故只有一个平面与已知直线垂直.
2.解:不垂直.假设另一条直线也垂直于这个平面,则根据线面垂直的性质定理知,这两条直线互相平行,与两条直线是异面直线矛盾,故另一条直线不垂直于这个平面.
知识点二
1.(1)AB AC 斜足
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (1)平面的一条斜线和平面所成角的范围是(0°,90°).
(2)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.
(3)如图,在正四面体PABC中,PA与底面ABC所成的角和PB与底面ABC所成的角相等,但是PA与PB不平行.
2.解:需要PA⊥α,A为垂足,OA为斜线PO在平面α内的射影,这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角.
【课中探究】
探究点一
例1 证明:因为AB⊥平面PAD,AE 平面PAD,所以AE⊥AB,又AB∥CD,所以AE⊥CD,
因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD,
又CD∩PD=D,CD,PD 平面PCD,
所以AE⊥平面PCD.
因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD,
又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,
所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.
变式 (1)②④ (2)平行 [解析] (1)①中,与同一条直线平行的两个平面不一定平行,还可能相交,故①是假命题;②中,由a⊥α,a⊥β可得出α∥β,故②是真命题;③中,若a∥α,b∥α,则a与b平行、相交或异面,故③是假命题;④中,垂直于同一个平面的两条直线平行,故④是真命题.故答案为②④.
(2)∵平面α∩平面β=l,∴l α,∵EA⊥α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,EA,EB 平面EAB,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a β,∴EB⊥a,又a⊥AB,且EB∩AB=B,EB,AB 平面EAB,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.
探究点二
例2 解:(1)因为AB⊥平面AA1D1D,
所以∠AA1B即为A1B与平面AA1D1D所成的角.
在Rt△AA1B中,∠BAA1=90°,AB=AA1,
所以∠AA1B=45°,
所以A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接BO,如图,因为A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1 平面BB1D1D,
所以A1O⊥平面BB1D1D,
所以∠A1BO即为A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1,则A1B=,A1O=,
又因为∠A1OB=90°,
所以sin∠A1BO==,
又∠A1BO∈[0°,90°],所以∠A1BO=30°,所以A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
变式 解:(1)证明:由题意知,四边形AA1B1B是正方形,
∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1,得AA1⊥A1C1,
又A1C1⊥A1B1,AA1∩A1B1=A1,
∴A1C1⊥平面AA1B1B.
又AB1 平面AA1B1B,∴A1C1⊥AB1.
又BA1∩A1C1=A1,∴AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D,设AB=AC=AA1=1.
∵AA1⊥平面A1B1C1,∴∠A1DA即为AD与平面A1B1C1所成的角.
在等腰直角三角形A1B1C1中,D为斜边B1C1的中点,
∴A1D=B1C1=,
在Rt△A1DA中,AD==,
∴sin∠A1DA==,
故AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
探究点三
例3 解:方法一:过点P作PO⊥平面ABC,垂足为点O,连接AO,BO,CO,
则PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
因为PA=PB=PC=a,
所以△PAO≌△PBO≌△PCO,
所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.
因为PA,PB,PC两两垂直,所以AB=BC=CA=a,
所以△ABC为正三角形,所以OA=AB=a,
所以PO==a,
故点P到平面ABC的距离为a.
方法二:由题意可知AB=BC=CA=a.
设点P到平面ABC的距离为h,因为PA,PB,PC两两垂直,所以PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,
所以AP⊥平面BPC.
由VP-ABC=VA-BPC,得S△ABC·h=S△BPC·AP,
即××(a)2×h=×a2×a,解得h=a,
故点P到平面ABC的距离为a.
变式 解:(1)证明:由底面ABCD是菱形,可得CD∥AB,
又AB 平面ABE,DC 平面ABE,所以DC∥平面ABE.
(2)由(1)知DC∥平面ABE,故DC到平面ABE的距离即为点C到平面ABE的距离,设为d.
如图,连接AC,取AC的中点F,连接BF,EF,易得EF∥PA且EF=PA=1,则EF⊥底面ABCD.
因为∠ABC=60°,AB=BC,所以AC=2,BF=,
所以S△ABC=×2×=,BE==2,
又AF=AC=1,所以AE==.在△ABE中,由余弦定理得cos∠BEA===,所以sin∠BEA==,
所以S△ABE=×2××=.
由VE-ABC=VC-ABE,得×S△ABC×EF=×S△ABE×d,
即××1=××d,解得d=,
所以DC到平面ABE的距离为.
【课堂评价】
1.D [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A,B1B与底面ABCD所成的角相等,此时两直线平行;A1B,BC1与底面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A1B,C1D与底面ABCD所成的角相等,此时两直线异面.故选D.
2.B [解析] 垂直于同一条直线的两个平面平行,故A是真命题;垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面,故B是假命题;由空间平行线的传递性可得,平行于同一条直线的两条直线平行,故C是真命题;易知垂直于同一个平面的两条直线平行,故D是真命题.故选B.
3.C [解析] 取A1C1的中点D,连接B1D,AD,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面A1B1C1是正三角形,∴B1D⊥A1C1,又CC1⊥平面A1B1C1,B1D 平面A1B1C1,∴CC1⊥B1D,又CC1∩A1C1=C1,∴B1D⊥平面AA1C1C,∴∠B1AD即为AB1与平面AA1C1C所成的角.由题意,B1D==,AB1==2,在Rt△B1AD中,sin∠B1AD===.故选C.
4.B [解析] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AD1,交A1D于点O,因为CD⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,所以AD1⊥CD.在正方形ADD1A1中,AD1⊥A1D,因为CD∩A1D=D,所以AD1⊥平面A1DCB1,垂足为O,则AO的长即为所求,易知AO==,所以点A到平面A1DCB1的距离为.故选B.
5. [解析] 如图所示,作SO⊥平面ABC,垂足为O,则O是底面的中心,连接AO,则∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成的角.由题意知AO=AB=,SA=2,则cos∠SAO===.第2课时 直线与平面垂直的性质、线面角
【学习目标】
1.掌握线面垂直的性质定理,并能应用;
2.掌握直线与平面所成角的定义;
3.灵活运用直线与平面垂直的性质定理解决空间垂直问题;
4.通过利用直线与平面垂直的性质定理解决空间中垂直、距离等问题的过程,提升逻辑推理素养和直观想象素养.
◆ 知识点一 直线与平面垂直的性质
1.如果两条平行直线中,有一条直线 于一个平面,那么另一条直线也 于这个平面.
2.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
如果两条直线 于同一个平面,那么这两条直线 l⊥α,m⊥α l∥m 线面垂直 线线平行
3.过空间中一点, 与已知平面垂直.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直. ( )
(2)过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. ( )
(3)垂直于同一平面的两条直线一定共面. ( )
(4)垂直于同一条直线的两个平面平行. ( )
2.两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面吗
◆ 知识点二 直线与平面所成的角
1.直线与平面的有关概念
(1)垂线段、斜线段:如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时, 是平面α的垂线段.如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称 是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线),称C为 .如图所示.
(2)直线与平面所成的角:如图,AB是平面α的垂线段,AC是平面α的斜线段,直线BC称为直线AC在平面α内的射影,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.
2.结论
(1)平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线;平面内垂直于斜线的直线也垂直于射影.
(2)图形语言:如图所示.
(3)已知AB⊥α,AC是平面α的一条斜线,l α.①若l⊥BC,则l⊥AC;②若l⊥AC,则l⊥BC.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面的一条斜线和平面所成角的范围是[0°,90°]. ( )
(2)平面的一条斜线和平面内一条直线所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.( )
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行. ( )
2.若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角,则需具备哪些条件
◆ 探究点一 线面垂直的性质定理的应用
例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.证明:AE∥MN.
变式 (1)已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.给出下列四个命题:
① α∥β;② α∥β;
③ a∥b;④ a∥b.
其中真命题是 .(填序号)
(2)如图所示,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB,且a与l不重合,则直线a与直线l的位置关系是 .
[素养小结]
证明线线平行的常用方法:
(1)利用线线平行的定义:证两线共面且无公共点;
(2)利用空间平行线的传递性:证两线同时平行于第三条直线;
(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行;
(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直;
(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.
◆ 探究点二 求直线与平面所成的角
例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1B与平面AA1D1D所成的角;
(2)A1B与平面BB1D1D所成的角.
变式 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.
(1)求证:AB1⊥平面A1BC1;
(2)若D为B1C1的中点,求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.
[素养小结]
求直线与平面所成的角的关键是作垂线,找垂足,把直线与平面所成的角转化到一个直角三角形中求解.
◆ 探究点三 空间距离问题
例3 [2023·辽宁本溪高级中学高一月考] 如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.
变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,PA=2,点E是PC的中点.
(1)求证:DC∥平面ABE;
(2)求DC到平面ABE的距离.
[素养小结]
(1)求点到平面的距离,只需找到垂线段,往往是借助几何载体证明线面垂直,放在平面内解决;或利用等体积法,以体积为中间媒介,计算相关元素.特别对于三棱锥,可置换底面、置换顶点,有较大的灵活性,若技巧运用得当,可使解题过程简化.
(2)利用定义将线面距离、面面距离转化为点面距离.
1.[2023·长沙高一期末] 若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线的位置关系为 ( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上皆有可能
2.下列命题中为假命题的是 ( )
A.垂直于同一条直线的两个平面平行
B.垂直于同一条直线的两条直线平行
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.垂直于同一个平面的两条直线平行
3.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,则AB1与平面AA1C1C所成角的正弦值为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2024·山东烟台高一期末] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点A到平面A1DCB1的距离是 ( )
A. B.
C. D.2
5.已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为2,底面边长为1,则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为 . 第2课时 直线与平面垂直的性质、线面角
1.A [解析] ∠ABO即为AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=,所以∠ABO=60°.
2.B [解析] 对于A,若直线a,b都与直线l垂直,则a与b相交、平行或异面,故A错误;对于B,若直线a,b都垂直于平面α,则a∥b,故B正确;对于C,若直线a,b都与直线l成30°角,则a与b相交、平行或异面,故C错误;对于D,若直线a,b都与平面α成60°角,则a与b相交、平行或异面,故D错误.故选B.
3.A [解析] 对于A,若m⊥α,n α,则m⊥n,故A正确;对于B,若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故B错误;对于C,若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n α,故C错误;对于D,若m∥α,m⊥n,则n与α相交、平行或n α,故D错误.故选A.
4.B [解析] 连接AC,因为MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以MC⊥BD,若MA⊥BD,则由MA∩MC=M,得BD⊥平面MAC,又因为AC 平面MAC,所以BD⊥AC,所以当BD⊥AC时,可推出MA⊥BD,所以四边形ABCD为菱形.故选B.
5.A [解析] 如图,根据圆锥的性质得SO⊥底面圆O,所以∠OAS即为母线与底面所成的角.设圆锥的高为h,则πr2h=πr3,所以h=r,所以母线的长l===r,则sin∠OAS===,故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为.故选A.
6.D [解析] 如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD.∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC,又PD∩PA=P,∴BC⊥平面PAD,∵AD 平面PAD,∴AD⊥BC.又AC=AB,∴D为BC的中点.在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,∴AD=4.在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,∴PD==4.故选D.
7.B [解析] 因为EG⊥平面α,PQ 平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ 平面β,得EF⊥PQ,又EG∩EF=E,所以PQ⊥平面EFHG,又GH 平面EFHG,所以PQ⊥GH.故选B.
8.CD [解析] 对于A,记BD和AC的交点为O,当点P为SC的中点时,连接OP,则SA∥OP,易得SA∥平面BDP,故A中结论正确;对于B,因为AD∥BC,AD 平面SBC,BC 平面SBC,所以AD∥平面SBC,所以点A到平面SBC的距离等于点D到平面SBC的距离,过点D作DF⊥SC交SC于点F,易得DF⊥平面SBC,所以DF的长度即为点D到平面SBC的距离,当SD=2,DC=1时,D到平面SBC的距离等于,故B中结论正确;对于C,易知∠SBD即为SB与平面ABCD所成的角,当DB=2时,∠SBD=,此时方程组无解,故C中结论错误;对于D,四棱锥可以补成长方体,长方体的外接球的半径为,而≥=1,所以外接球的半径大于等于,所以其表面积的最小值为 4π×=6π,故D中结论错误.故选CD.
9.ABD [解析] 对于A,连接BD,∵四边形ABCD为正方形,∴AC⊥BD,∵SD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴SD⊥AC,又SD∩BD=D,∴AC⊥平面SBD,又SB 平面SBD,∴AC⊥SB,故A正确;对于B,∵AB∥CD,AB 平面SCD,CD 平面SCD,∴AB∥平面SCD,故B正确;对于C,∵SD⊥平面ABCD,∴AD是SA在平面ABCD内的射影,∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角,故C错误;对于D,∵AB∥CD,∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角,故D正确.故选ABD.
10.45° [解析] 连接CM,∵PC⊥AC,PC⊥BC,AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC,∴PM在平面ABC内的射影为CM,∴∠PMC为PM与平面ABC所成的角.∵AC=BC=5,∠ACB=90°,M为AB的中点,∴AB=10,CM=5.又PC=5,∴△PCM为等腰直角三角形,∴∠PMC=45°,∴PM与平面ABC所成角的大小为45°.
11. [解析] 如图,连接EB.∵BB1⊥平面ABCD,∴∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中,BF=BB1=1,BE===,∴tan∠FEB===.
12.6+6 [解析] 连接AC,BD,B1D1,如图所示,由四边形ABCD为菱形,得AC⊥BD,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BDD1B1,所以BD1⊥AC.在AB上取点F,使得BF=3FA,连接MF,则MF∥AC,所以BD1⊥MF.在BB1上取点G,使得BG=GB1,设MF与BD的交点为O,连接GO,易知在△D1DB中,DD1=8,BD=8,DD1⊥BD,在△GOB中,GB=BB1=3,OB=BD=3,OB⊥BG,所以△D1DB∽△OBG,所以∠D1BD=∠OGB=45°,所以BD1⊥OG.连接MG,GF,因为MF∩OG=O,所以BD1⊥平面MFG,所以△MFG的边(除点M外)即为点N的轨迹.因为FG===3,MF=AC=×2=6,MG===3,所以动点N的轨迹长度为6+6.
13.解:(1)证明:∵DE⊥EF,DE⊥AE,且EF∩AE=E,EF,AE 平面ABFE,∴DE⊥平面ABFE,
同理可得,CF⊥平面ABFE,∴DE∥CF.
易知DE=CF,∴四边形DCFE为平行四边形,
∴DC∥EF且DC=EF.
又AB∥EF且AB=EF,∴AB∥CD且AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC.
(2)连接CE,BE.在梯形ABCD中,∵AB∥DE,且AB=2DE,∴AG=2GE,∴AG=AE,
∵S△DCE=×2×1=1,BF==2,
∴VC-BDG=VG-BCD=VE-BCD=VB-DCE=×·S△DCE·BF=.
14.解:(1)证明:连接BE,EP.由题意知∠PDE=∠BCE=90°,
因为ED=CE,PD=AD=BC,
所以Rt△PDE≌Rt△BCE,所以PE=BE.
因为F为PB的中点,所以EF⊥PB.
因为PD⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
所以PD⊥AB.因为AD⊥AB,PD∩AD=D,所以AB⊥平面PAD,
又PA 平面PAD,所以PA⊥AB.在Rt△PAB中,PF=BF=AF.又PE=BE=EA,
所以△EFP≌△EFA,所以EF⊥FA.
因为PB∩AF=F,所以EF⊥平面PAB.
(2)不妨设BC=1,则AD=PD=1,AB=,PA=,AC=,
所以△PAB为等腰直角三角形,且PB=2.
因为F是PB的中点,所以BF=1,AF⊥PB.
因为AF∩EF=F,所以PB⊥平面AEF.
设BE交AC于点G,过点G作GH∥PB交EF于点H,连接AH,则GH⊥平面AEF,
故∠GAH为AC与平面AEF所成的角.
由△EGC∽△BGA可知,EG=GB,AG=2CG,
所以EG=EB,AG=AC=.
由△EGH∽△EBF,可知GH=BF=,
所以sin∠GAH==,
所以AC与平面AEF所成角的正弦值为.
15. [解析] 依题意可知,该几何体为正四面体,设顶点A在底面的射影是O,则O是△BCD的中心,连接OB,过P作PH⊥OB,交OB于点H,连接HE.设正四面体的棱长为4a,PB=x(016.解:(1)证明:因为PA=PC=AC=4,O为AC的中点,所以PO⊥AC,且PO=2.
连接OB,因为AB2+BC2=AC2,所以△ABC为等腰直角三角形,
所以OB⊥AC,OB=AC=2,所以PO2+OB2=PB2,所以PO⊥OB.
又AC∩OB=O,所以PO⊥平面ABC.
(2)如图,作CH⊥OM,垂足为H,由(1)可得OP⊥CH,
又OM∩OP=O,
所以CH⊥平面POM,
所以CH的长即为点C到平面POM的距离.
由题可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°,由余弦定理可得OM=,
又S△OCM=OM·CH=OC·MC·sin∠ACB,
所以CH==,
故点C到平面POM的距离为.第2课时 直线与平面垂直的性质、线面角
一、选择题
1.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角的大小是 ( )
A.60° B.45°
C.30° D.120°
2.[2024·辽宁大连高一期末] 已知a,b是空间中两条不同的直线,则a∥b的一个充分条件是 ( )
A.直线a,b都垂直于直线l
B.直线a,b都垂直于平面α
C.直线a,b都与直线l成30°角
D.直线a,b都与平面α成60°角
3.已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法中正确的是 ( )
A.若m⊥α,n α,则m⊥n
B.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
4.[2024·辽宁铁岭高一期末] 如图,在四棱锥M-ABCD中,MC⊥平面ABCD,那么MA与BD垂直的一个充分条件是 ( )
A.四边形ABCD为矩形
B.四边形ABCD为菱形
C.四边形ABCD为平行四边形
D.四边形ABCD为梯形
5.已知圆锥SO的底面半径为r,当圆锥的体积为πr3时,该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 ( )
A. B.
C. D.
6.[2023·河南省实验中学高一月考] 在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是 ( )
A. B.2
C.3 D.4
7.[2024·山东东营高一期末] 如图,平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H,为使PQ⊥GH,需增加的一个条件可以是 ( )
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
8.(多选题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=a,DC=b,SD=2,且a+b=2,则下列结论错误的是 ( )
A.若P为棱SC上的点,则存在点P,使得SA∥平面BDP
B.点A到平面SBC的距离有可能等于
C.SB与平面ABCD所成角的大小有可能为
D.四棱锥的外接球的表面积的最小值是π
9.(多选题)[2023·陕西新蕾中学高一期末] 如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的为 ( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面ABCD所成的角是∠SAC
D.AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角
二、填空题
10.已知△ABC为等腰直角三角形,P为空间中一点,且AC=BC=5,PC⊥AC,PC⊥BC,PC=5,AB的中点为M,则PM与平面ABC所成角的大小为 .
11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 .
12.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,AA1⊥平面ABCD,AA1=8,AB=8,∠BCD=60°,点M是棱BC上靠近点C的四等分点,动点N(不与M重合)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1的表面上,且MN⊥BD1,则动点N的轨迹长度为 .
三、解答题
13.如图①,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=4,AD=BC=3,BD与AE交于点G.如图②,分别沿梯形的两条高AE,BF所在直线翻折△ADE,△BCF,使得∠DEF=∠CFE=90°.
(1)求证:AD∥BC;
(2)求三棱锥C-BDG的体积.
14.[2023·安徽安庆一中高一月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.
(1)求证:EF⊥平面PAB;
(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成角的正弦值.
15.如图,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足=3,点P在棱AB上(不包括端点)运动,设EP与平面BCD所成角的大小为θ,则sin θ的最大值为 .
16.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
