(共59张PPT)
11.4 空间中的垂直关系
11.4.2 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质定理
探究点一 垂直关系的相互转化
探究点二 面面垂直的性质定理的应用
探究点三 线线、线面、面面垂直的综合应用
【学习目标】
1.掌握面面垂直的性质定理；
2.灵活运用线面、面面垂直的性质定理解决空间中的位置关系问题；
3.借助平面与平面垂直的性质定理进行线面、面面垂直关系的转
化，培养逻辑推理素养和直观想象素养．
知识点 平面与平面垂直的性质定理
1.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直 于它们交线的直线 ______于另一个平面 __________________________________
垂直
2.面面垂直的性质定理的作用
（1）判定直线与平面垂直;
（2）由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若两个平面垂直，则这两个平面内任意两条直线互相垂直.( )
×
[解析] 如图①，在正方体 中，
平面 平面,
但与 所成的角为 ,即与 不垂直.
（2）若平面 平面 ，且直线 ，则直线垂直于平面 内
的无数条直线.( )
√
[解析] 如图②，平面 内存在无数条垂直于两
个平面交线的直线，这些直线都与直线 垂直.
（3）若平面 平面 ，，，则 .( )
×
[解析] 直线不一定在平面 内，根据平面与平面垂直的性质定理知，
直线不一定垂直于平面 .
2.黑板所在平面与地面所在平面垂直，如何在黑板上画一条与地面垂
直的直线？
解：容易发现相邻墙壁所在平面与黑板所在平面的交线与地面垂直，
因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必
与地面垂直.
探究点一 垂直关系的相互转化
例1（1） 已知，是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的
平面，给出下列三个结论：
①若， ，，则 ；
②若 ，，，则 ；
③若 ， ，，则 .
其中正确的结论为( )
A.①② B.③ C.②③ D.①②③
√
[解析] 对于①，依据线面垂直的判定定理，
一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，
才能得到该直线与此平面垂直，而只与 内的一
条直线垂直，不能得到 ，故①不正确．
对于②，如图，在长方体 中，
平面 平面，平面与平面 的交线为，
与平面的交线为，但 ，故②不正确．
对于③，若 ，，则在平面 内或 ，
若在平面 内，由 可得 ；
若 ，过作平面与 交于直线，则 ，由 得 ，
从而 ，故③正确．故选B.
（2）设平面 平面 ,若平面 内的一条直线垂直于平面 内
的一条直线 ,则( )
A.直线必垂直于平面 B.直线必垂直于平面
C.直线不一定垂直于平面 D.过的平面与过 的平面垂直
[解析] 当两个平面垂直时,在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂
直于另一个平面.
√
变式 已知，为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则
下列四个结论中正确的是( )
A.若, ，则
B.若 , ，则
C.若 , , ，则
D.若, , ，则
√
[解析] 对于A，若, ，则与 平行、相交或在平面
内，故A错误；
对于B，若 , ，则与 平行、相交或 在平面 内，
故B错误；
对于C，若 , , ，则 ,所以 ，故C正确；
对于D，若, , ，则与 平行、相交或在平面 内，
故D错误.故选C.
［素养小结］
空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系
不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
探究点二 面面垂直的性质定理的应用
例2 如图，在直三棱柱中， 为正
三角形，点，分别在棱， 上，且
， .
（1）证明：平面 平面 ；
证明：取的中点，过点作，交 于点，
连接， ，如图．
由，且，得 ，
由，得，所以 ，
由，且可知，且 ，
所以四边形是平行四边形，所以 ．
因为为正三角形，点为 的中点，所以 ，
又平面 平面，平面 平面
， 平面 ，
所以 平面，所以 平面 ，
又 平面，所以平面 平面 ．
（2）若，求三棱锥 的体积．
解：因为，所以 ，
又 ，
所以 ．
由（1）知 平面 ，
且 ，
所以 ．
变式 [2024·浙江鄞州中学高一期末] 如图,在三棱锥中,
平面,平面 平面.求证: .
证明：在平面内作交于点 .
因为平面 平面 ,
且平面 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面,所以 .
因为 平面, 平面 ,
所以,又 ,
所以 平面 ，
又 平面,所以 .
［素养小结］
在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需
作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样
便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题.
探究点三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3 [2024·北京西城区高一期末] 如图，在
四棱锥中，平面 平面
，，四边形
为正方形，为的中点，点在棱 上，
点在棱上，且平面平面 .
（1）求证： .
证明：因为四边形 为正方形，
所以 ，
因为平面 平面，平面 平
面， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面，所以 .
（2）求证：为的中点，并求点到平面 的距离.
解：因为平面平面，平面
平面，平面 平面
，所以 ，
又因为为 的中点，所以为 的中点．
由（1）知， 平面，又 平面 ，
所以平面 平面，
所以点到平面的距离等于点到 的距离，
因为，
所以 为正三角形，
又为的中点，所以点到 的距离为 ，
因为平面平面，
所以点 到平面的距离为 ．
（3）在棱上是否存在点，使得平面 平面 ？若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
解：当为的中点，即 时，
平面 平面 ，证明如下：
连接交于点，连接 ，
易知 ，
当为的中点时， ．
因为平面 平面，平面 平面，
平面， ，
所以 平面，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
故当点为的中点时，平面 平面，
此时 ．
变式 [2023·无锡太湖高级中学高一月考] 如图，菱形 的边长为
6， ，.将沿对角线 折起，连接
，得到三棱锥，是棱的中点， .
（1）求证：平面 ；
证明：因为是菱形的对角线的交点，所以是 的中点．
又点是棱的中点，所以是的中位线，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
证明：由题意得， ，
因为 ，所以 ，
，即 ，
又四边形是菱形，所以 .
因为， 平面， 平面，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）求证：平面 平面 ；
（3）求三棱锥 的体积．
解：三棱锥的体积等于三棱锥 的体积．
由（2）知， 平面 ，所以为三棱锥 的高，
又的面积为 ，
所以三棱锥的体积为 .
［素养小结］
（1）证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种
方法是利用面面垂直的性质定理.若题中已知面面垂直，则可考虑利
用面面垂直的性质定理.
（2）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直时，要注意以下三点：
①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直
于它们的交线.
（3）平行关系与垂直关系之间的相互转化
拓展 正四棱锥的底面边长为2,高为2,是的中点,动点
在正四棱锥的表面上运动,并且总保持,则动点 的轨迹的长
度为_________.
[解析] 如图所示,取的中点,的中点 ,
连接,,,,设,
连接,则 平面，
又 平面，所以平面 平面.
易知, ,又, ，
所以平面 平面 ， 所以平面 平面.
在正方形中，，
因为平面 平面， 平面，
所以 平面,
(不包括点 的边上运动.
因为 ,
,
所以,,
所以动点 的轨迹的长度为 .
1.下列说法中错误的是( )
A.若平面 平面 ,则平面 内的所有直线都垂直于平面
B.若平面 平面 ,则平面 内垂直于平面 与平面 的交线的
直线垂直于平面 内的无数条直线
C.若平面 平面 ,则平面 内垂直于平面 与平面 的交线的
直线垂直于平面 内的任意一条直线
D.若平面 平面 ,则经过平面 内一点且与平面 垂直的直线在
平面 内
√
[解析] 在正方体中,平面 平面 ,
直线 平面,但与平面 不垂直,故A中说法错误.
易知B，C，D中说法均正确.故选A.
2.下面有四个说法：
①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直；
②如果平面 和不在这个平面内的直线都垂直于平面 ，那么
；
③垂直于同一平面的两个平面互相平行；
④垂直于同一平面的两个平面互相垂直．
其中说法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与
这个平面垂直，故①正确；
若 , ，则 或 ，又 ，所以 ，
故②正确；
垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，故③④错误.故选B.
3.已知平面 平面 ，且，点 ，， 为垂足，
点 ，，为垂足.若，，则
( )
A.2 B. C. D.1
[解析] 连接，， ，， ,
，， 为直角三角形，
，
在 中， .
√
4.如图所示，在三棱锥中，侧面 底面 ，且
，，，则 ____.
[解析] 平面 平面，平面 平面 ，
，即， 平面， 平面 .
又 平面，， .
5.如图，在四棱锥中，底面 为直角
梯形，, ，平面 底面
，为的中点，, ,求证：
平面 平面 .
证明：因为，为的中点， ，
所以，所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以平行四边形 是矩形，
所以 .
因为,为的中点，所以 ，
又平面 平面，平面 平面，
平面，所以 平面 .
因为 平面，所以 ，
又，, 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面，所以平面 平面 .
1.应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点
（1）一个意识
若所给题目中有面面垂直的条件,一般要利用面面垂直的性质定理将
其转化为线面垂直.
（2）三个注意点：①两个平面垂直,是前提条件;②直线必须在其中
一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线.
2.证明线面垂直的常用方法
（1）线面垂直的判定定理;
（2）面面垂直的性质定理;
（3）若, ,则,为直线, 为平面0);
（4）若 , ,则为直线, , 为平面).
3.平面与平面垂直的其他性质
（1）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二
个平面的直线在第一个平面内.
（2）如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另
一个平面.
（3）如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平
面或在另一个平面内.
1.运用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线.若已知有面面垂直的
条件,可设法找出或作出一平面上的一条直线垂直于它们的交线,这样
就能得到线面垂直的结论.
例1 [2024·福建厦门外国语学校高一期末] 如图，四棱锥
的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面
平面，，分别为,的中点，直线 与平面
所成角的正切值为 ．
（1）证明：平面 ；
证明：如图①,取的中点，连接, ，
①
因为，分别为,的中点，所以 ,
又 平面， 平面，
所以平面 ，
因为底面为矩形，所以且 ，
所以四边形为平行四边形，所以 ，
又 平面， 平面，所以平面 .
因为,, 平面 ，
所以平面平面 ，
又 平面 ，所以平面 .
（2）证明： .
②
证明： 如图②,取的中点，连接, ，
因为侧面是边长为2的正三角形，所以 ，
又平面 平面，平面 平面
， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以，
所以即为直线与平面 所成的角.
因为直线与平面所成角的正切值为 ，
所以 ，
因为,所以 ，
所以 ，
又，所以底面 为正方形.
在正方形中，易得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ,所以 ，
因为 平面， 平面，所以 ，
因为，, 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
2.解决折叠问题的策略
（1）抓住折叠前后的变量与不变量,一般情况下,在折线同侧的量,折
叠前后不变,“跨过”折线的量,折叠前后可能会发生变化,这是解决这类
问题的关键.
（2）在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况,
注意相应的点、直线、平面间的位置关系,线段的长度,角度的变化情况.
例2 如图①，在直角梯形中，， ，
，是的中点，是与 的交点.将
沿折起到如图②中的位置，得到四棱锥 .
①
②
（1）证明： ；
证明：在题图①中，连接 ,
，，是 的中点，
四边形是正方形， ,
在题图②中，， ，
又，, 平面，
平面 .
，且， 四边形 是平行四边形，
， 平面 ，
又 平面， .
①
②
（2）当平面 平面时，求三棱锥 的体积.
①
②
解： 平面 平面，平面 平面 ，
， 平面， 平面 .
， ，
.第2课时 平面与平面垂直的性质定理
【课前预习】
知识点
1.垂直
诊断分析
1.(1)× (2)√ (3)× [解析] (1)如图①,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1⊥平面BCC1B1,但A1B与BC1所成的角为60°,即A1B与BC1不垂直.
(2)如图②,平面β内存在无数条垂直于两个平面交线的直线,这些直线都与直线b垂直.
(3)直线b不一定在平面α内,根据平面与平面垂直的性质定理知,直线b不一定垂直于平面β.
2.解:容易发现相邻墙壁所在平面与黑板所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)C [解析] (1)对于①,依据线面垂直的判定定理,一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,才能得到该直线与此平面垂直,而n只与β内的一条直线m垂直,不能得到n⊥β,故①不正确.对于②,如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面DCC'D'⊥平面ABCD,平面ABC'D'与平面DCC'D'的交线为C'D',与平面ABCD的交线为AB,但C'D'∥AB,故②不正确.对于③,若m⊥α,m⊥n,则n在平面α内或n∥α,若n在平面α内,由n⊥β可得α⊥β;若n∥α,过n作平面与α交于直线l,则n∥l,由n⊥β得l⊥β,从而α⊥β,故③正确.故选B.
(2)当两个平面垂直时,在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
变式 C [解析] 对于A,若m⊥n,n∥α,则m与α平行、相交或m在平面α内,故A错误;对于B,若m∥β,α⊥β,则m与α平行、相交或m在平面α内,故B错误;对于C,若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则β∥α,所以m⊥α,故C正确;对于D,若m⊥n,n⊥β,α⊥β,则m与α平行、相交或m在平面α内,故D错误.故选C.
探究点二
例2 解:(1)证明:取AC的中点G,过点G作GH∥CC1,交C1F于点H,连接BG,EH,如图.
由AF=AC,且CG=AG=AC,得==,
由△FGH∽△FCC1,得==,所以GH=CC1,
由BE∥CC1,且BE=BB1=CC1可知GH∥BE,且GH=BE,
所以四边形BEHG是平行四边形,所以EH∥BG.
因为△ABC为正三角形,点G为AC的中点,所以BG⊥AC,
又平面ABC∩平面ACC1A1=AC,平面ABC⊥平面ACC1A1,BG 平面ABC,
所以BG⊥平面ACC1A1,所以EH⊥平面ACC1A1,
又EH 平面C1EF,所以平面C1EF⊥平面ACC1A1.
(2)因为AF=AC,所以CF=AC=9,
又CC1=AA1=12,所以=CC1·CF=×12×9=54.
由(1)知EH⊥平面ACC1A1,且EH=BG=AC=×12=6,
所以==·EH=×54×6=108.
变式 证明:在平面PAB内作AD⊥PB交PB于点D.
因为平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC=PB,
所以AD⊥平面PBC,
又BC 平面PBC,所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC,又PA∩AD=A,
所以BC⊥平面PAB,
又AB 平面PAB,所以BC⊥AB
探究点三
例3 解:(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,
所以CD⊥AD,
因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,CD 平面ABCD,
所以CD⊥平面SAD,
又SA 平面SAD,所以CD⊥SA.
(2)因为平面EFM∥平面SCD,平面EFM∩平面ABCD=EM,平面SCD∩平面ABCD=CD,所以CD∥EM,
又因为E为AD的中点,
所以M为BC的中点.
由(1)知,CD⊥平面SAD,又CD 平面SCD,
所以平面SCD⊥平面SAD,所以点E到平面SCD的距离等于点E到SD的距离,
因为SA=SD=AD=2,所以△SAD为正三角形,又E为AD的中点,所以点E到SD的距离为,
因为平面EFM∥平面SCD,所以点M到平面SCD的距离为.
(3)当N为SC的中点,即=时,平面DMN⊥平面ABCD,证明如下:
连接EC交DM于点O,连接SE,
易知EO=CO,
当N为SC的中点时,NO∥SE.
因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SE 平面SAD,SE⊥AD,
所以SE⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,
又NO 平面DMN,
所以平面DMN⊥平面ABCD.
故当点N为SC的中点时,平面DMN⊥平面ABCD,此时=.
变式 解:(1)证明:因为O是菱形ABCD的对角线的交点,所以O是AC的中点.
又点M是棱BC的中点,所以OM是△ABC的中位线,所以OM∥AB.
因为OM 平面ABD,AB 平面ABD,
所以OM∥平面ABD.
(2)证明:由题意得,OM=OD=3,
因为DM=3,所以OM2+OD2=MD2,所以∠DOM=90°,即OD⊥OM,
又四边形ABCD是菱形,所以OD⊥AC.
因为OM∩AC=O,OM 平面ABC,AC 平面ABC,所以OD⊥平面ABC,
因为OD 平面MDO,
所以平面ABC⊥平面MDO.
(3)三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积.
由(2)知,OD⊥平面ABC,
所以OD为三棱锥D-ABM的高,
又△ABM的面积为××6×6×sin 120°=,所以三棱锥M-ABD的体积为×S△ABM×OD=.
拓展 + [解析] 如图所示,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,GF,GE,BD,设BD∩AC=O,连接SO,则SO⊥平面ABCD,又SO 平面SBD,所以平面SBD⊥平面ABCD.易知GE∥SB,EF∥BD,又GE∩EF=E,SB∩BD=B,所以平面SBD∥平面GEF,所以平面GEF⊥平面ABCD.在正方形ABCD中,AC⊥EF,因为平面GEF∩平面ABCD=EF,AC 平面ABCD,所以AC⊥平面GEF,故动点P在△EFG(不包括点E)的边上运动.因为BD==2,SB=SD==,所以EF=DB=,GF=GE=SB=,所以动点P的轨迹的长度为EF+FG+GE=+.
【课堂评价】
1.A [解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AA1B1B⊥平面ABCD,直线A1B1 平面AA1B1B,但A1B1与平面ABCD不垂直,故A中说法错误.易知B,C,D中说法均正确.故选A.
2.B [解析] 由面面垂直的判定定理可知,经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直,故①正确;若α⊥β,a⊥β,则a α或a∥α,又a α,所以a∥α,故②正确;垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交,故③④错误.故选B.
3.C [解析] 连接BC,∵AC⊥l,α⊥β,α∩β=l,AC α,∴AC⊥β.∵BC β,∴AC⊥BC,∴△ABC为直角三角形,∴BC==,在Rt△BCD中,CD===.
4. [解析] ∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°,即PA⊥AC,PA 平面PAC,∴PA⊥平面ABC.又AB 平面ABC,∴PA⊥AB,∴PB==.
5.证明:因为AD∥BC,Q为AD的中点,BC=AD,所以BC QD,所以四边形BCDQ为平行四边形,
又∠ADC=90°,所以平行四边形BCDQ是矩形,所以BC⊥BQ.
因为PA=PD,Q为AD的中点,所以PQ⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ 平面PAD,所以PQ⊥平面ABCD.
因为BC 平面ABCD,所以PQ⊥BC,
又PQ∩BQ=Q,PQ,BQ 平面PQB,
所以BC⊥平面PQB,
因为BC 平面PBC,所以平面PBC⊥平面PQB.第2课时 平面与平面垂直的性质定理
【学习目标】
1.掌握面面垂直的性质定理;
2.灵活运用线面、面面垂直的性质定理解决空间中的位置关系问题;
3.借助平面与平面垂直的性质定理进行线面、面面垂直关系的转化,培养逻辑推理素养和直观想象素养.
◆ 知识点 平面与平面垂直的性质定理
1.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 于另一个平面 α⊥β,α∩β=m,AO α,AO⊥m AO⊥β 面面垂直 线面垂直
2.面面垂直的性质定理的作用
(1)判定直线与平面垂直;
(2)由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两个平面垂直,则这两个平面内任意两条直线互相垂直. ( )
(2)若平面α⊥平面β,且直线b α,则直线b垂直于平面β内的无数条直线. ( )
(3)若平面α⊥平面β,α∩β=l,b⊥l,则b⊥β.( )
2.黑板所在平面与地面所在平面垂直,如何在黑板上画一条与地面垂直的直线
◆ 探究点一 垂直关系的相互转化
例1 (1)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列三个结论:
①若α∩β=m,n α,n⊥m,则n⊥β;
②若α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则n⊥m;
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.
其中正确的结论为 ( )
A.①② B.③
C.②③ D.①②③
(2)设平面α⊥平面β,若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则 ( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
变式 已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个结论中正确的是 ( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,α⊥β,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,α⊥β,则m⊥α
[素养小结]
空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是孤立的,而是相互关联的,它们之间的转化关系如下:
◆ 探究点二 面面垂直的性质定理的应用
例2 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点E,F分别在棱BB1,AC上,且BE=BB1,AF=AC.
(1)证明:平面C1EF⊥平面ACC1A1;
(2)若AC=AA1=12,求三棱锥C1-ECF的体积.
变式 [2024·浙江鄞州中学高一期末] 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB.
[素养小结]
在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.
◆ 探究点三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3 [2024·北京西城区高一期末] 如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD=AD=2,四边形ABCD为正方形,E为AD的中点,点F在棱SB上,点M在棱BC上,且平面EFM∥平面SCD.
(1)求证:CD⊥SA.
(2)求证:M为BC的中点,并求点M到平面SCD的距离.
(3)在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
变式 [2023·无锡太湖高级中学高一月考] 如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将△ABC沿对角线AC折起,连接BD,得到三棱锥B-ACD,M是棱BC的中点,DM=3.
(1)求证:OM∥平面ABD;
(2)求证:平面ABC⊥平面MDO;
(3)求三棱锥M-ABD的体积.
[素养小结]
(1)证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.若题中已知面面垂直,则可考虑利用面面垂直的性质定理.
(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直时,要注意以下三点:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线.
(3)平行关系与垂直关系之间的相互转化
拓展 正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是BC的中点,动点P在正四棱锥的表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的长度为 .
1.下列说法中错误的是 ( )
A.若平面α⊥平面β,则平面α内的所有直线都垂直于平面β
B.若平面α⊥平面β,则平面α内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于平面β内的无数条直线
C.若平面α⊥平面β,则平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于平面α内的任意一条直线
D.若平面α⊥平面β,则经过平面α内一点且与平面β垂直的直线在平面α内
2.下面有四个说法:
①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直;
②如果平面α和不在这个平面内的直线a都垂直于平面β,那么a∥α;
③垂直于同一平面的两个平面互相平行;
④垂直于同一平面的两个平面互相垂直.
其中说法正确的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知平面α⊥平面β,且α∩β=l,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则CD= ( )
A.2 B.
C. D.1
4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,则PB= .
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,PA=PD,BC=AD,求证:平面PBC⊥平面PQB.第2课时 平面与平面垂直的性质定理
1.D [解析] ∵平面α,β及直线l满足α⊥β,l∥α,∴l∥β或l β或l与β相交.故选D.
2.B [解析] 对于A,若m⊥α,n β,m⊥n,则α与β相交或平行,故A错误;对于B,由m⊥α,m∥n,可得n⊥α,又n β,所以α⊥β,故B正确;对于C,若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m与n相交、平行或异面,故C错误;对于D,若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n与β相交、平行或n β,故D错误.故选B.
3.D [解析] ∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC 平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,∴AC⊥平面PBC,∵BC 平面PBC,∴AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴动点C的运动轨迹是以AB为直径的圆(除去A,B两点).故选D.
4.B [解析] 如图,过点A作AE⊥BD,交BD于点E,∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AE 平面ABD,∴AE⊥平面BCD,又BC 平面BCD,∴AE⊥BC.∵DA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴DA⊥BC,又AE∩DA=A,AE,DA 平面ABD,∴BC⊥平面ABD,又AB 平面ABD,∴AB⊥BC,∴△ABC是直角三角形.故选B.
5.C [解析] 连接AG,如图所示.∵四边形ACDE为正方形,∴AE⊥AC,AE∥CD,故CD与GF所成的角等于AE与GF所成的角.∵平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE∩平面ABC=AC,AE⊥AC,AE 平面ACDE,∴AE⊥平面ABC,∵AG 平面ABC,∴AE⊥AG.∵AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,∴AG==,AF=1,∴FG==,∴cos∠AFG==,∴CD与GF所成角的余弦值为.故选C.
6.C [解析] 因为AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,所以BE⊥AC,DE⊥AC,又BE∩DE=E,BE,DE 平面BDE,所以AC⊥平面BDE,又AC 平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE,故C正确;在平面ABC内取一点P,作PM⊥AB,PN⊥BE,垂足分别为M,N,如图,因为平面ABC⊥平面BDE,平面ABC∩平面BDE=BE,所以PN⊥平面BDE,所以PN⊥BD,若平面ABC⊥平面ABD,同理可得PM⊥BD,而PM∩PN=P,PM,PN 平面ABC,于是得BD⊥平面ABC,显然BD与平面ABC不一定垂直,故A不正确;过A作AF⊥BD,垂足为F,连接CF,由△ABD≌△CBD,得CF⊥BD,则∠AFC是二面角A-BD-C的平面角,而∠AFC不一定是直角,即平面ABD与平面BDC不一定垂直,故B不正确;因为DE⊥AC,BE⊥AC,所以∠DEB是二面角D-AC-B的平面角,∠DEB不一定是直角,所以平面ABC与平面ADC不一定垂直,故D不正确.故选C.
7.A [解析] 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,PA 平面PAD,所以PA⊥平面ABCD,又BD 平面ABCD,所以PA⊥BD,故D中结论正确;若PD⊥BD,则由PA⊥BD,PA∩PD=P,PA,PD 平面PAD,可得BD⊥平面PAD,又AD 平面PAD,所以BD⊥AD,这与四边形ABCD为矩形矛盾,故A中结论不正确;因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AD⊥CD,CD 平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,又PD 平面PAD,所以PD⊥CD,故B中结论正确;因为PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PA⊥CB,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PB 平面PAB,所以PB⊥BC,故C中结论正确.故选A.
8.ABC [解析] 在正三角形ABC中,AF为中线,DE为中位线,所以AF⊥BC,DE∥BC,所以AF⊥DE,则DE⊥A'G,DE⊥GF,又A'G∩GF=G,所以DE⊥平面A'GF,又DE 平面BCED,所以平面A'GF⊥平面BCED,故C正确;过A'作A'H⊥AF,垂足为H,则A'H 平面A'GF,又平面A'GF⊥平面BCED,平面A'GF∩平面BCED=AF,所以A'H⊥平面ABC,故A正确;三棱锥A'-FED的底面三角形FED的面积是定值,高是点A'到平面FED的距离,易知当A'G⊥平面FED时距离(即高)最大,则三棱锥A'-FED的体积最大,故B正确;易知BD∥EF,所以∠A'EF(或其补角)即为异面直线A'E与BD所成的角,因为正三角形ABC的边长为2a,所以A'E=a,EF=a.而0
9.ABC [解析] 如图所示,取AD的中点M,连接PM,BM,AC,设AC与BD交于点O.∵侧面PAD为等边三角形,∴PM⊥AD,又底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,∴AD⊥平面PMB,故A正确.由A可知,AD⊥平面PMB,∴AD⊥PB,∴异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确.∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,∴∠PBM即为二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=PM=,∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM⊥AD,∴PM⊥平面ABCD,∴PM⊥BM.在Rt△PMB中,tan∠PBM==1,∴∠PBM=45°,故C正确.∵PM⊥BM,BM⊥AD,PM∩AD=M,∴BM⊥平面PAD,又BD∩BM=B,∴BD与平面PAD不垂直,故D错误.故选ABC.
10.直角 [解析] 设P在平面ABC上的射影为O,∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,∴O∈AB.连接OC,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心,且是AB的中点,∴△ABC是直角三角形.
11. [解析] 在△PAD中,PD=,AP=1,AD=2,所以PD2=AD2+AP2,所以AP⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AP 平面PAD,所以AP⊥平面ABCD.所以四棱锥P-ABCD外接球的直径是以AB,AD,AP为棱的长方体的体对角线,设外接球的半径为R,则2R==3,所以R=,则四棱锥P-ABCD的外接球的体积V=πR3=π×=.
12. [解析] 因为平面ABCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,AD 平面ABCD,AD⊥CD,所以AD⊥平面DCEF,又DF 平面DCEF,所以AD⊥DF,所以∠ADN=90°,所以AN==.如图,取CD的中点G,连接MG,NG,因为四边形ABCD,DCEF均为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=,因为MG∥AD,所以MG⊥平面DCEF,又NG 平面DCEF,所以MG⊥NG,所以∠MGN=90° ,所以MN==.
13.解:(1)证明:连接BD,易得△ABD和△PAD都是边长为2的正三角形,
∵N为AD的中点,∴AD⊥PN,AD⊥BN,
又PN∩BN=N,PN,BN 平面PBN,∴AD⊥平面PBN.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD,PN 平面PAD,
∴PN⊥平面ABCD,∵BN 平面ABCD,∴PN⊥BN,
易得PN=BN=,∴S△PBN=××=.
由(1)知AD⊥平面PBN,
∵底面ABCD为菱形,∴BC∥AD,∴BC⊥平面PBN,
又M为PC的中点,∴M到平面PBN的距离为BC=1,
∴VP-NBM=VM-PBN=××1=.
14.解:(1)证明:在正方形ABCD中,BD⊥AC,
∵AD=2,∴BD=2,∴OD=.
∴DE=OD,∴平行四边形ODEF为菱形,∴FD⊥OE.
∵平面ODEF⊥平面ABCD,平面ODEF∩平面ABCD=OD,AC⊥OD,AC 平面ABCD,
∴AC⊥平面ODEF,∴AC⊥DF.
又AC∩OE=O,∴FD⊥平面ACE.
(2)存在线段EC的中点M,使得AE∥平面BDM.
证明如下:
连接OM,∵M为EC的中点,O为AC的中点,∴AE∥OM.
又∵OM 平面BDM,AE 平面BDM,∴AE∥平面BDM,此时=1.
15.a [解析] 在题图②中,设BC的中点为D,PQ的中点为R,连接AR,RD,则AR=x,AR⊥PQ,RD⊥BC.∵平面APQ⊥平面PBCQ,且AR⊥PQ,AR 平面APQ,平面APQ∩平面PBCQ=PQ,∴AR⊥平面PBCQ.连接RB,∵RB 平面PBCQ,∴AR⊥RB.在Rt△BRD中,BR2=BD2+RD2=+,又AR2=x2,∴在Rt△ARB中,d2=AB2=BR2+AR2=2x2-ax+a2=2+,故当x=a时,d2取得最小值.
16.解:(1)证明:因为A1B1⊥A1C,A1B1⊥B1C1,
AB∥A1B1,BC∥B1C1,
所以AB⊥A1C,AB⊥BC,
因为BC∩A1C=C,BC,A1C 平面A1BC,
所以AB⊥平面A1BC,
又AB 平面ABC,所以平面A1BC⊥平面ABC.
(2)由(1)知,平面A1BC⊥平面ABC,如图,过点A1作A1D⊥BC于点D,
因为平面A1BC∩平面ABC=BC,A1D 平面A1BC,
所以A1D⊥平面ABC,
所以∠A1BD是A1B与平面ABC所成的角,
即∠A1BD=.
过点D作DE⊥AC于点E,因为A1D⊥平面ABC,AC 平面ABC,所以A1D⊥AC,
又DE∩A1D=D,DE,A1D 平面A1DE,所以AC⊥平面A1DE,
又A1E 平面A1DE,所以AC⊥A1E,
所以∠A1ED为二面角A1-AC-B的平面角.
在Rt△ABC中,AB=3,AC=5,
可得BC==4,
在Rt△A1DB中,A1B=4,A1D=2,BD=2,CD=2,
又由△DEC∽△ABC,可得=,
所以DE===,
所以tan∠A1ED==,
所以二面角A1-AC-B的正切值为.第2课时 平面与平面垂直的性质定理
一、选择题
1.平面α,β及直线l满足α⊥β,l∥α,则 ( )
A.l∥β
B.l β
C.l与β相交
D.以上三种情况都有可能
2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是 ( )
A.若m⊥α,n β,m⊥n,则α⊥β
B.若m⊥α,m∥n,n β,则α⊥β
C.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n
D.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β
3.[2024·广东茂名高新中学高一期末] 如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的运动轨迹是 ( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
4.[2024·杭州高一期末] 在四面体ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
5.[2024·浙江金华一中高一期末] 如图,已知正方形ACDE所在的平面与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是AE,BC的中点,则CD与GF所成角的余弦值为 ( )
A. B.-
C. D.-
6.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论一定正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC
7.如图所示,已知四边形ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD,则下列结论中不正确的是 ( )
A.PD⊥BD
B.PD⊥CD
C.PB⊥BC
D.PA⊥BD
8.(多选题)[2023·辽宁葫芦岛高一期末] 如图,边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G.将△AED绕DE旋转到△A'ED的位置(点A'不在平面ABC上),则下列结论正确的是 ( )
A.动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上
B.三棱锥A'-FED的体积有最大值
C.平面A'GF⊥平面BCED
D.异面直线A'E与BD不可能互相垂直
9.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为等边三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是 ( )
A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90°
C.二面角P-BC-A的大小为45°
D.BD⊥平面PAD
二、填空题
10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是 三角形.
11.[2024·山东莱西一中高一月考] 已知四棱锥P-ABCD的每个顶点都在球O的球面上,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD为边长为2的正方形,PD=,AP=1,则四棱锥P-ABCD的外接球的体积为 .
12.[2024·辽宁葫芦岛高一期末] 如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段AN的长为 ,线段MN的长为 .
三、解答题
13.[2024·山东菏泽外国语学校高一月考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,M,N分别为棱PC,AD的中点.
(1)求证:AD⊥平面PBN;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.
14.如图,O为正方形ABCD的中心,四边形ODEF是平行四边形,且平面ODEF⊥平面ABCD,AD=2,DE=.
(1)求证:FD⊥平面ACE.
(2)线段EC上是否存在一点M,使得AE∥平面BDM 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
15.[2023·银川一中高一月考] 如图①所示,已知等边三角形ABC的边长为a,将△APQ沿平行于BC的线段PQ折起,使平面APQ⊥平面PBCQ,如图②所示.在图②中,设点A到直线PQ的距离为x,AB的长为d,则当x= 时,d2取得最小值,最小值是 .
16.[2024·广州天河中学高一期末] 如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1与A1C,B1C1都垂直,已知AB=3,AA1=AC=5.
(1)求证:平面A1BC⊥平面ABC;
(2)当直线A1B与底面ABC所成的角为时,求二面角A1-AC-B的正切值.