北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程 自我评估检测（含答案）

一元二次方程自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A. 3x-1=0 B. x+2y=3 C. x2+2x-1=0 D. x4-1=0
2. 已知x=1是方程x2+x-c=0的一个根，则c的值是（　　）
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
3. 将一元二次方程x2-8x+10=0配方成（x+a）2=b的形式，则a的值为（　　）
A. -8 B. -4 C. 4 D. 8
4. 已知x1，x2是方程x2-4x+2=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A. -4 B. -2 C. 4 D. 2
5. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x-1）=3（x-1），解答过程完全正确的是（　　）
A. 甲 B. 甲和乙 C. 乙 D. 都不正确
甲 乙
两边同时除以（x-1），得x=3. 移项，得x（x-1）-3（x-1）=0. ∴（x-3）（x-1）=0. ∴x-3=0或x-1=0，解得x1=3，x2=1.
6. 若x=是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　）
A. 3x2+2x-1=0 B. 2x2+4x-1=0 C. -x2-2x+3=0 D. 3x2-2x-1=0
7. 已知a是方程x2+2x-10=0的一个根，则代数式2a2+4a的值是（　　）
A. 20 B. 18 C. 10 D. 8
8.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
x2-102＝（x﹣6.8）2 B.（x﹣6.8）2+x2＝102
C. x2-（x﹣6.8）2＝102 D. x2+102＝（x﹣6.8）2
第8题图 第10题图
9. 若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k≥ B. k> C. k≥且k≠1 D. k>且k≠1
10. 【数学文化】我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x=14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x.根据此法，图中正方形ABCD的面积是（ ）
A. 49 B. 64 C. 81 D. 100
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 一元二次方程3x2-5x+7=0的一次项系数为　 　.
12. 一元二次方程（x-2）（x-3）=0的根是　 　.
13. 已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为　 　.
14. 市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次比赛参加的共有　 　 队.
15. 若方程x2-17x+60=0的两根恰为一直角三角形的两边长，则此三角形的斜边长为　 　.
16. 若正数a是关于x的一元二次方程x2-7x+m=0的一个根，-a是关于x的一元二次方程x2+7x-m=0的一个根，则a的值是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17. （每小题4分，共8分）用适当的方法解下列方程：
（1）2x2-18=0； （2）x（x-4）-4+x=0.
18. （6分）已知关于x的方程（m 1）-2x+3=0是一元二次方程，求m的值.
19. （6分）聚焦“绿色发展，美丽宜居”城市建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区旧貌换新颜.已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元，求该市改造小区投入资金的年平均增长率.
20. （8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2=0，求证：无论k取何值，方程总有实数根.
21. （8分）（实践活动）学校课外兴趣活动小组准备利用长为8 m的墙AB和一段长为26 m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于墙的一边CD的长为x m.
（1）如图①，矩形花园的一边EF靠墙AB，另三边EC，CD，DF由篱笆围成.当苗圃园的面积为60 m2时，用含x的代数式表示EC的长，并求x的值.
（2）如图②，如果矩形苗圃园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边AC，CD，DF均由篱笆围成.当苗圃园的面积为60 m2时，求x的值．
① ②
第21题图
22. （8分）【阅读理解】在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
例：解方程x（x+4）=6.
解：原方程变形，得[（x+2）-2][（x+2）+2]=6．
由平方差公式，得（x+2）2-22=6.
移项，得（x+2）2=6+22，即（x+2）2=10．
直接开平方并整理，得x1=-2+，x2=-2-.
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5的过程．
解：原方程变形，得[（x+a）-b][（x+a）+b]=5．
由平方差公式，得（x+a）2-b2=5.
移项，得（x+a）2=5+b2．
直接开平方并整理，得x1=c，x2=d（c>d）．
上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为　 　，　 　，　 　，　 　；
（2）请用“平均数法”解方程：（x-5）（x+3）=5．
23. （10分）中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化.某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒.为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，每盒茶叶每降价2元，平均每天可多售出4盒.若在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
24. （12分）【新定义】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），分别以x1，x2为横纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为x2=3x，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标；
（2）关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-m=0，当它的衍生点M距离原点最近时，求出此时m的值．
一元二次方程自我评估参考答案
答案详解
三、17. 解：（1）移项，得2x2=18.系数化为1，得x2=9.开平方，得x=±3，所以x1=3，x2=-3.
（2）原方程整理，得x（x-4）+（x-4）=0.分解因式，得（x+1）（x-4）=0，解得x1=-1，x2=4.
18. 解：由题意，得m 1≠0且m2+1=2，解得m=-1.所以m的值为-1.
19. 解：设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x.
根据题意，得1000（1+x）2=1440，解得x1=20%，x2=-220%（不合题意，舍去）.
答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为20%.
20. 证明：由题意，得Δ=（k+3）2-4×1×（2k+2）=k2-2k+1=（k-1）2.
因为（k-1）2≥0，所以无论k取何值，方程总有实数根．
21. 解：（1）由题意，得EC= m，则矩形苗圃园的面积为x·=60，解得x=20或x=6.
因为20>8，所以x=20不合题意.所以x的值为6.
（2）由题意，易得AC==17 x.
根据题意，得（17-x）·x=60.整理，得x2-17x+60=0，解得x=5或x=12.
因为所以8所以当苗圃园的面积为60 m2时，x的值为12.
22. 解：（1）5 2 -2 -8
（2）原方程变形，得[（x-1）-4][（x-1）+4]=5.
平方差公式，得（x-1）2-42=5.移项，得（x-1）2=5+42，即（x-1）2=21.
直接开平方并整理，得x1=1+，x2=1-.
23. 解：设每盒茶叶降价x元，则每盒茶叶的销售利润为（120-x-80）元，每天的销售量为盒.
根据题意，得（120-x-80）=1200.整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20.
因为要让利于顾客，所以x=20.
答：若在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价20元时，商家平均每天能盈利1200元.
24. 解：（1）移项，得x2-3x=0.分解因式，得x（x-3）=0，即x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3.
所以该一元二次方程的衍生点M的坐标为（0，3）.
（2）设x2-（2m-1）x+m2-m=0的两个实数根为x1，x2（x1≤x2），则x1+x2=2m-1，x1x2=m2-m.
所以OM====.
因为≥，所以当m=时，OM有最小值，最小值为=，即当它的衍生点M距离原点最近时，m的值为.