北师大版九年级数学上册第六章反比例函数 自我评估检测（含答案）

反比例函数自我评估
（本试卷满分120分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
若函数y=（m+2）x|m|-3是y关于x的反比例函数，则m的值为（　　）
A．2 B．- 2 C．± 2 D．1
下列反比例函数中，图象经过点（-1，2）的是（　　）
A．y＝ B．y＝- C．y＝ D．y＝-
3. 若反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x值的增大而减小，则k的取值范围为（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜1
4. 如图，点A是反比例函数y=（x＜0）图象上一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上．若ABCD的面积为6，则k的值为（　　）
A．6 B．-6 C．3 D．-3
第4题图 第7题图 第9题图
5．在平面直角坐标系中，若点A（x1，1）和点B（x2，3）在反比例函数y=-的图象上，则下列关系式中正确的是（　　）
A．x1＞x2 B．x1=x2 C．x1＜x2 D．无法确定
6. 若点A（a，b）为反比例函数y＝与一次函数y=x+4图象的交点，则- 的值为（　　）
A．1 B．4 C．-1 D．-4
7. 如图，四边形OCDE是边长为2的正方形，△EDF是边长为2的等边三角形，点G，H分别是边DE，DC的中点，在F，D，G，H四个点中，位于同一反比例函数图象上的是（　　）
A．点F和点G B．点F和点D C．点F和点H D．点G和点H
8. 一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A，与y轴负半轴交于点B，则下列判断正确的是（　　）
A．k+b＞0 B．k+b＜0 C．k-b＞0 D．k-b＜0
9. 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于60 km/h，则小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（　　）
A．0.1 h B．0.35 h C．0.45 h D．0.5 h
10. 根据图①所示的程序图，得到了图②所示的y与x的函数图象．若M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴，交函数图象于点P，Q，连接OP，OQ，则下列结论：①x＜0时，y=；②△OPQ的面积为定值；③x＞0时，y的值随x值的增大而增大；④MQ=2PM．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②③
① ②
第10题图
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若点P（2，n）在反比例函数y=的图象上，则n的值为 ．
12. 杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600 N和0.5 m，动力为F（N），动力臂为l（m），则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
13．若反比例函数y=的图象在第一、三象限，则点（k，-3）在第 象限．
14. 根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为1.0×105 Pa，体积为600 m3的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积为12 m3，则气舱内的压强为__________ Pa.
第14题图 第15题图 第16题图
如图，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，C（2，1），D（1，1）．反比例函数y=的图象与边BC交于点E，与边CD交于点F．若，则的值为 ．
16. 如图，一次函数y=x-2的图象分别交x轴，y轴于点A，B，P为AB上一点，且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y=（k＞0）的图象于点Q.若S△OQC=，则PQ的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（6分）已知反比例函数y=的图象经过A（1，1）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点（2，y1），（4，y2）是反比例函数图象上两点，试比较y1，y2的大小．
18.（6分）已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例．当x＝1时，y＝﹣1；x＝3时，y＝5.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值．
19. （8分）如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁BC段滑动（点P不与点B，C重合）．已知OA=OC=10 cm，BC=25 cm，砝码的质量为100 g.根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量×OA=右盘物体质量×OP（不计托盘与横梁的质量）．
（1）设右侧托盘中放置物体的质量为y（g），OP的长为x（cm），则y关于x的函数表达式为 ；
（2）小明想称量一个空矿泉水瓶的质量，但因为太轻无法直接称量，他进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向空矿泉水瓶中加入28 g的水后，发现点P移动到PC的长为15 cm时，天平平衡．请你帮助小明求出这个空矿泉水瓶的质量．
第19题图 第20题图
（8分）如图，一次函数y=x+m的图象经过点A（-3，0），交反比例函数y=的图象于点B（n，4）．
（1）求m，n，k的值；
（2）点C在反比例函数y=第一象限的图象上，若S△AOC＜S△AOB，直接写出点C的横坐标a的取值范围．
21.（8分）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图所示．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标．
第21题图 第22题图
（8分）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点P是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上异于点B的任意一点，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F．
点B的坐标为 ，k的值为 ；
（2）设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S，当S=时，求点P的坐标.
23.（10分）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图①为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图②）由两条曲线EG，FH（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB=2 m，BE=2 m，AC=20 m，GM=10 m，MN=4 m，以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求图②中EG所在图象的函数表达式；
（2）如图③，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架EG，并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ，用来雕刻EG所在曲面的花纹，问：点P在EG上滑动的过程中，PQ最长为多少？
① ② ③
第23题图
24.（12分）综合与实践
如图①，某兴趣小组计划开垦一个面积为8 m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m，由矩形地块面积为8 m2，得到xy=8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标.由木栏总长为10 m，可得2x+y=10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y=-2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图②，反比例函数y＝(x＞0)的图象与直线l1：y=-2x+10的交点坐标为（1，8）和 ，因此，木栏总长为10 m时，能围出矩形地块，分别为AB=1 m，BC=8 m或AB= m，BC= m.
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图②中画出一次函数的图象并说明理由；
【问题延伸】（3）当木栏总长为a m时，小颖得到了一次函数y=-2x+a.发现直线y=-2x+a可以看成是直线y=-2x通过平移得到的，在平移过程中，当直线y=-2x+a与反比例函数y＝(x＞0)的图象有唯一交点时，求出a的值，并求出这个交点的坐标．
① ②
第24题图
反比例函数自我评估 参考答案
答案详解
三、17. 解：（1）将点A（1，1）代入y=，解得k=1.
所以反比例函数的表达式为y=.
（2）解法一：在y=中，当x=2时，y1=；当x=4时，y2=.因为＞，所以y1＞y2．
解法二：由（1）可知该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，函数值y随x值的增大而减小，因为点（2，y1），（4，y2）均在第一象限，且2<4，所以y1＞y2．
18.解：设y1＝k1x（k1≠0），y2＝（k2≠0），则y＝y1+y2＝k1x+.
将（1，-1），（3，5）代入，得解得
所以y与x的函数关系式为y＝x+．
（2）5.
解：（1）y=（10≤x≤35）
（2）设这个空矿泉水瓶的质量为a g.
根据题意，得100×10=（10+15）×（a+28），解得a=12.
答：这个空矿泉水瓶的质量为12 g.
20.解：（1）将A（-3，0）代入y=x+m，得-3+m=0，解得m=3.
所以一次函数的表达式为y=x+3.
将B（n，4）代入y=x+3，得n+3=4，解得n=1.
所以B（1，4）.
将B（1，4）代入y=，解得k=4.
所以m的值为3，n的值为1，k的值为4.
（2）a＞1．
21.解：（1）由题图可知A（-3，2）.
设反比例函数的表达式为y=（k≠0）.
将A（-3，2）代入y=，解得k=-6.
所以反比例函数表达式为y=-.
设直线OA的表达式为y=ax.
将A（-3，2）代入y=ax，解得k=-.
所以直线OA的表达式为y=-x.
由题图可知直线OA向上平移3个单位长度得到直线BC，所以直线BC的表达式为y=-x+3.
联立解得（舍去）或
所以C.
22.解：（1）（3，3） 9
（2）分点P在点B的左侧和右侧两种情况：
①如图，当点P1在点B的左侧时，因为P1（m，n）在反比例函数y=上，所以mn=9．
所以S=m（n-3）=mn-3m=，解得m=.所以n=6．
所以P1；
第22题图
②如图，当点P2在点B的右侧时，因为P2（m，n）在反比例函数y=上，所以mn=9．
所以S=n（m-3）=mn-3n=，解得n=.所以m=6．
所以P2．
综上，点P的坐标为或.
23.解：（1）由题意可得E（-8，-2）.
设EG所在曲线的函数表达式为y=（k≠0）.
将E（-8，-2）代入y=，解得k=16.
所以EG所在曲线的函数表达式为y＝.
（2）由题意可知点G的横坐标为-2.
将x=-2代入y＝，解得y=-8.所以G（-2，-8）.
设EG所在直线的函数表达式为y=k1x+b（k1≠0）.
将E（-8，-2），G（-2，-8）代入y=k1x+b，得解得
所以EG所在直线的函数表达式为y=-x-10.
由反比例函数图象的对称性，可知曲线EG关于直线y=x对称，且当伸缩机械臂PQ所在直线与直线y=x重合时，PQ取得最大值.
联立解得此时P（-5，-5）.
联立解得此时Q（-4，-4）.
所以PQ的最长为＝（m）．
解：（1）（4，2） 4 2
（2）不能围出矩形地块，画出一次函数y=-2x+6的图象如图中l2所示.
因为l2 与函数y=的图象没有交点，所以不能围出面积为6 m2的矩形．
第24题图
（3）令-2x+a=，整理，得2x2-ax+8=0.
因为一次函数与反比例函数的图象有唯一交点，所以Δ=（-a）2-4×2×8=0，解得a=±8.
因为a＞0，所以a=8．
所以一次函数的表达式为y=-2x+8.
联立解得
所以a的值为8，这个交点的坐标为（2，4）．