北师大版九年级数学上册第四章图形的相似 自我评估检测（含答案）

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图形的相似自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若=，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=30°，∠B=70°，则∠C′的度数为（　　）
A．30° B．70° C．100° D．80°
3．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（　　）
A．4 cm，5 cm，6 cm，7 cm B．3 cm，4 cm，5 cm，8 cm
C．8 cm，4 cm，1 cm，3 cm D．5 cm，15 cm，3 cm，9 cm
4．如图，AD∥BE∥CF，若AB=4，BC=8，DE=3，则DF的长是（　　）
A．1.5 B．6 C．9 D．12
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为1∶3，若△ABC的周长是3，则△DEF的周长是（　　）
A．15 B．12 C．9 D．6
如图是小明所在实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50 cm处，遮光板在刻度尺70 cm处，光屏在刻度尺80 cm处，量得像高3 cm，则蜡烛的高为（　　）
A．5 cm B．6 cm C．4 cm D．4.5 cm
如图，点C是线段AB的黄金分割点，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（　　）
A．S1＝S2 B．S1=2S2 C．S1=S2 D．S1＝S2
8．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A B C D 第8题图
如图，小红作出了边长为1的第1个等边三角形A1B1C1，算出了等边三角形A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个等边三角形A2B2C2，算出了等边三角形A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个等边三角形A3B3C3，算出了等边三角形A3B3C3的面积，…，小丽看了说，按这样的方法作下去，我可以算出等边三角形A2024B2024C2024的面积为（ ）
A．× B．× C． × D．×
第9题图 第10题图
10.如图，点A，B，C，D的坐标分别为（1，1），（1，5），（5，1），（7，1），若以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能为（　　）
A．（7，-2） B．（5，-1） C．（6，0） D．（7，3）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在一张比例尺为1∶20 000的地图上，量得A，B两地的距离是7 cm,则A，B两地的实际距离为________ m.
12．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个矩形；④两个正六边形.其中是相似图形的是________. （填序号）
13．如图，已知∠B=∠D，请你添加一个条件，使得△ABC∽△ADE，这个条件可以是_________.（写出一个即可）
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14．如图，已知△ABC和△A′B′C是以点C为位似中心的位似图形，点A（-1.4，1.5）的对应点为A′（-0.2，-3），点C位于（-1，0）处，若点B的对应点B′的横坐标为3，则点B的横坐标为__________．
15．边长分别为1的正方形和长、宽分别为3和2的矩形按如图所示放置，则图中阴影部分的面积为_________________．
16．【数学文化】早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为a的杆子（“表”）在间距为d的两个地点测日影，测得影长分别为s1，s2，用这种方式计算出的日高公式H=____________________．（用含a，d，s1，s2的代数式表示）
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（6分）已知＝＝.
（1）求的值；
（2）若x+y+z=18，求x的值．
（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为
A（0，4），B（2，2），C（4，6）．以点O为位似中心画一个三角形，使
它与△ABC位似，且相似比为1∶2．
第18题图
19．（8分）纸张尺寸是将纸张的长宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是ISO所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如A4，B5等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活便利性．
如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张A（n+1）纸．
（1）A1纸面积是A2纸面积的 倍，A2纸周长是A4纸周长的 倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比．
第19题图 第20题图 第21题图
20.（8分）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3．
（1）请用尺规作图的方法在线段AB上找一点D，使得△ACD∽△ABC；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求BD的长．
21．（8分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，=．
（1）若AB=12，求线段AD的长；
（2）若△ADE的面积为1，求BFED的面积．
22.（8分）如图①，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，连接DE，DF．
（1）若∠EDF＝90° ∠A，求证：△BDE∽△CFD；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接EF，若EF=9，BE=10，求DE的长．
① ②
第22题图
23.（10分）【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【解决问题】如图②，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的光源在点G处，光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一直线上．已知点E到地面的距离DE＝3.5 m，点F到地面的距离CF＝1.5 m，光源与木板的水平距离AC＝5.4 m，木板与墙的水平距离CD＝4 m．
（1）求平面镜与木板的水平距离BC的长；
（2）求光源到地面的距离AG的高．
① ②
第23题图
（12分）【基础巩固】
（1）如图①，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，连接CE.若∠ABD=∠CAE，CD=CE，求证：△ABD∽△CAE；
【尝试应用】
（2）如图②，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC上一点，连接BE，∠BCE=∠CDO，BE=DO.若BD=16，OE=12，求AC的长；
【拓展提升】
（3）如图③，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，F为DC上一点，连接AE，OE，AF，∠AEO=∠CAF.若＝，AC=8，求菱形ABCD的边长．
① ② ③
第24题图
图形的相似自我评估 参考答案
答案详解
三、17．解：设＝＝=k，则x=2k,y=3k,z=4k.
（1）==2.
（2）因为x+y+z=18，所以2k+3k+4k=18，解得k=2.
所以x=2k=4．
18．解：如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作．
第18题图
解：（1）2 2
（2）设A1纸的长和宽分别为m，n，则A2纸的长和宽分别为n，m.
因为A1纸与A2纸相似，所以.整理，得m2=2n2.
所以m∶n=∶1，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为∶1．
解：（1）如图所示，点D即为所求作.
第20题图
（2）因为△ACD∽△ABC，所以.
因为AB=4，AC=3，所以，解得BD＝.
所以BD的长为．
21.解：（1）因为四边形BFED是平行四边形，所以DE∥BF．
所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.所以△ADE∽△ABC．所以===．
因为AB=12，所以AD=AB=3.
（2）因为△ADE∽△ABC，所以===．所以S△ABC=16S△ADE=16.
因为四边形BFED是平行四边形，所以EF∥AB．所以∠CEF=∠CAB，∠CFE=∠CBA.所以△EFC∽△ABC．
由（1），知=，所以.所以==．所以S△EFC=S△ABC=9.
所以SBFED=S△ABC-S△ADE-S△EFC=16-9-1=6．
22.（1）证明：因为AB=AC，所以∠ABD=∠ACD=（180°-∠A）=90°-∠A.
因为∠EDF=90°-∠A，所以∠ABD=∠ACD=∠EDF.
因为∠EDC=∠ABD+∠BED，∠EDC=∠EDF+∠CDF，所以∠BED=∠CDF.
所以△BDE∽△CFD.
（2）解：因为△BDE∽△CFD，所以.
因为D是BC的中点，所以BD=CD.所以.所以.
又因为∠B=∠EDF，所以△BDE∽△DFE.所以，即，解得DE=3（负值舍去）．
所以DE的长为3．
解：（1）由题意可知FC∥ED，所以∠BCF＝∠BDE，∠BFC＝∠BED，所以△BCF∽BDE．
所以，即，解得BC＝3．
答：平面镜与木板的水平距离BC的长为3 m．
（2）因为AC＝5.4 m，所以AB＝AC﹣BC＝2.4（m）．
由光的反射定律，易得∠ABG＝∠CBF．
又因为∠BAG＝∠BCF，所以△ABG∽△CBF．
所以，即，解得AG＝1.2．
答：光源到地面的距离AG的高为1.2 m．
24. （1）证明：因为CD=CE，所以∠CDE=∠CED．
因为∠CDE=∠ABD+∠BAD，∠CED=∠CAE+∠ACE，∠ABD=∠CAE，所以∠BAD=∠ACE．所以△ABD∽△CAE.
（2）解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO=AC，BO=DO=BD=×16=8．
所以BE=DO=BO=8．所以∠BEO=∠BOE．所以∠BCE+∠CBE=∠CDO+∠OCD．所以∠CBE=∠OCD．
因为∠BCE=∠CDO，所以△BEC∽△COD．所以＝．
设CO=x,则CE=CO-OE=x-12.
所以＝，解得x=16或x=-4（舍去）．
所以CO=16.所以AC=2CO=32．
（3）解：如图，延长AF，BC交于点G.
因为=，所以设DF=3t，FC=2t，则CD=5t．
因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD=BC=CD=5t，AD∥BC，AO=AC=×8=4，AC⊥BD．
所以∠CGF=∠DAF，∠GCF=∠ADF.所以△CGF∽△DAF．
所以＝，即＝，解得CG=t．
在Rt△BOC中，因为E为BC的中点，所以OE=CE=BC=t．所以∠COE=∠ACE.所以∠AOE=∠ACG．
又因为∠AEO=∠CAF，所以△AOE∽△GCA．所以＝，即＝，解得t=±（负值舍去）．所以CD=5t=4，即菱形ABCD的边长为4．
第24题图
答案速览
一、1．A 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．B 9．C 10．A
二、11．1400 12．①④ 13．∠C=∠E（答案不唯一） 14．-3 15． 16．
三、解答题见“答案详解”
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