北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形 自我评估检测（含答案）

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特殊平行四边形自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若正方形的边长为2，则该正方形的对角线长为（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 4
2. 如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数为（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
第2题图 第3题图 第5题图
3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若BD=4，则AO的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4.下列四边形中，对称轴的条数最多的是（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
5．如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC=90°，则AD的长为（　　）
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
6．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AD，连接BE，则∠AEB的度数为（ ）
A．45° B．67.5° C．75° D．112.5°
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7．如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AB=CD C．AB∥CD D．AC=BD
如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处．若AE=5，BF=3，则CF的长为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．15
将图①中边长为10的菱形纸片沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成图②所示的“赵爽弦图”，若菱形的一条对角线长为16，则图②中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B．4 C．9 D．16
10．已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，有下列条件：①AB=BC；②∠DAB=90°；③BO=DO，AO=CO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD．下列推论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，在菱形ABCD中，若∠DCB=30°，则∠1的度数为_________．
第11题图 第12题图 第15题图 第16题图
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，若AB=3，AD=4，则AC的长为________．
在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，请添加一个条件：_______，使四边形ABCD为正方形.
在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-1），点B（2，3），点C（2，-1），在平面直角坐标系中找一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则点D的坐标为________．
15.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰（如图），测得BD=12 cm，AC=16 cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为__________cm．
16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG=3，CG=1，则MN的长为____________.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（6分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，求∠CBE的度数．
第17题图 第18题图 第19题图
18.（6分）如图，在△ABC中，AC=BC，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．
求证：四边形DFCE是菱形.
19.（8分）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具调整成图①所示的菱形，并测得∠B=60°，AC=10 cm，接着他又将活动学具调整成图②所示的正方形，求此时对角线A'C'的长．
20.（8分）如图，点M在 ABCD的边AD上，BM=CM，有以下三个选项：①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4.请从中选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形．
（1）你选择的条件是 ；（填序号）
（2）根据（1）中添加的条件，证明 ABCD为矩形．
第20题图 第21题图 第22题图
21.（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在线段OB上（不与点O，B重合），点F在线段OD上，且DF=BE，连接AE，AF，CE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC=4，BD=8，当BE=3时，判断△ADE的形状，并说明理由．
22．（8分）如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G.若正方形ABCD的周长是40 cm.
（1）求四边形EFBG的周长；
（2）当AF的长为多少时，四边形EFBG是正方形？
（10分）综合与实践
【阅读材料】
问题：已知：如图，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使点C，D分别在BF，AE上． 小明的作法：（1）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AE于点D：（2）以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BF于点C；（3）连接CD，则四边形ABCD就是所求作的菱形．
【解答问题】
（1）请根据材料中的信息，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB=10，∠ABC=60°，求菱形ABCD的面积；
（3）只利用尺规，你还有其他方法做出菱形ABCD吗？若有，请作出菱形ABCD（保留作图痕迹，不写作法）；若没有，请说明理由.
（12分）综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在 ABCD中，AB＜BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作 DEGF．
特例探究：（1）如图①，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；
（2）“敏学”小组的同学在图①基础上连接BG，AC，得到图②，发现图②中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；
拓展延伸：（3）“善问”小组的同学计划对 ABCD展开类似研究．如图③，在 ABCD中，∠ABC=60°．当AB=4，BC=6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离．
① ② ③
第24题图
特殊平行四边形自我评估参考答案
答案详解
三、17.解：因为∠ACB=90°，∠A=60°，D是AB的中点，所以∠ABC=30°，CD=BD.
所以∠ECB=∠ABC=30°.
因为BE⊥CE，所以∠E=90°.所以∠CBE=90°-∠ECB=60°.
证明：因为D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以DE∥BC，DE=BC，DF∥AC，DF=
AC.所以四边形DFCE是平行四边形.
因为AC=BC，所以DF=DE.所以□DFCE是菱形.
19. 解：因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC.
因为∠B=60°，所以△ABC是等边三角形.所以AB=BC=AC=10 cm.
因为四边形A'BC'D是正方形，所以A'B=BC'，∠B=90°.
因为A'B=BC'=AB=BC=10 cm，所以A'C'===10（cm）.
20.（1）解：①（或②）
（2）选择①∠1=∠2.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC.所以∠ABC+∠BCD=180°.
因为BM=CM，所以∠3=∠4.
又因为∠1=∠2，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ABC=∠BCD.
所以∠ABC=∠BCD=90°.所以 ABCD为矩形．
选择②AM=DM.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DC，AD∥BC.所以∠A+∠D=180°，∠AMB=∠3，∠DMC=∠4.
因为BM=CM，所以∠3=∠4.所以∠AMB=∠DMC.
又因为AM=DM，所以△ABM≌DCM（SAS）.
所以∠A=∠D.所以∠A=∠D=90°.所以 ABCD为矩形．
21.（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO=CO，BO=DO.
因为BE=DF，所以BO-BE=DO-DF，即OE=OF.所以四边形AECF是平行四边形.
因为AC⊥BD，所以 AECF是菱形.
（2）解：△ADE是直角三角形.理由如下：
由（1），得AC⊥BD，AO=CO=AC=2，BO=DO=BD=4.
因为BE=3，所以OE=BO-BE=4-3=1，DE=BD-BE=8-3=5.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2=AO2+DO2=22+42=20.
在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2=AO2+OE2=22+12=5.
因为DE2=52=25，所以AD2+AE2=DE2.所以△ADE是直角三角形．
解：（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠B=90°，∠BAC=45°．
因为EF⊥AB，EG⊥BC，所以∠BFE=∠AFE=90°，∠BGE=90°．
所以四边形EFBG是矩形，∠AEF=∠EAF=45°.所以EG=FB，EF=GB=AF.
因为正方形ABCD的周长是40 cm，所以AB=10 cm.
所以C矩形EFBG=2（EF+BF）=2（AF+BF）=2AB=20（cm）.
（2）当四边形EFBG是正方形时，可知EF=BF.
由（1），知AF=EF，AB=10 cm，所以AF=EF=BF=AB=5（cm）.
所以当AF的长为5 cm时，四边形EFBG是正方形.
23．（1）证明：由作图可知AD=AB，BC=AB，所以AD=AB=BC.
因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．
因为AD=AB，所以ABCD是菱形.
（2）解：过点A作AM⊥BC于点M.
在Rt△ABM中，∠AMB=90°，∠ABC=60°，所以∠BAM=30°．
因为AB=10，所以BM=AB=5.
由勾股定理，得AM===5．
因为四边形ABCD是菱形，所以BC=AB=10．
所以S菱形ABCD=BC AM=50.
（3）解：有. 作出的菱形ABCD如图所示（答案不唯一）.
第23题图
24.（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以∠C=90°，AD∥BC，AB∥CD.
所以∠FED=∠EBC，∠EFD=∠ABE，∠FDE=∠C=90°.所以 DEGF为矩形，
因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC=∠ABC.所以∠FED=∠EFD.所以DE=DF.
所以矩形DEGF为正方形.
（2）解：BG=AC.理由如下：
连接DG交BF于点O，连接BD.
由（1），知四边形DEGF为正方形，所以DG⊥EF，GO=DO.所以BF垂直平分DG.
所以BG=BD.因为四边形ABCD为矩形，所以AC=BD.所以BG=AC.
（3）解：补全图形如图所示，A，G两点之间的距离为2.
第24题图
解析：如图，过点G作GH⊥AD于点H，连接AG.
由题意可知四边形DEGF为平行四边形.
因为∠ABC=60°，BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°.
因为AD∥BC，DF∥GE，所以∠AEB=∠CBE=30°，
∠DEF=∠CBE=30°,∠DEG=∠ADC=∠ABC=60°.
所以AE=AB=4，DE=AD-AE=BC-AE=2.
所以∠GFE=∠DEF=30°，∠EGH=90°-∠DEG=30°.所以EG=FG.
所以四边形DEGF为菱形.所以GE=DE=2.
所以EH＝EG=1.所以AH=AE+EH=5，GH＝=.
所以AG＝=2，即A，G两点之间的距离为2.
答案速览
一、1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．B 10．C
二、11. 15° 12. 5 13. AB=AD（答案不唯一） 14.（-2，3） 15. 16.
三、解答题见“答案详解”
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