1.1.1 集合的概念与表示 同步练习（含解析） 同步练 高一数学北师大版必修第一册

1.1　集合的概念与表示
第1课时　集合的概念
基础练
1.(探究点一)(多选题)下列所给对象能组成集合的是 (　　)
A.一个平面内的所有点
B.所有小于零的实数
C.某校高一(1)班有个性的学生
D.某一天到商场买过商品的顾客
2.(探究点三)已知集合M是由满足y=(其中x∈N+,∈Z)的实数y组成的,则M中含有的元素个数为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
3.(探究点二)有下列说法:①集合N中最小的数为1;②若-a∈N,则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.其中正确的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(探究点二)已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列结论正确的是(　　)
A.-1 A B.-11∈A
C.3k2-1∈A D.-34 A
5.(探究点三)有下列说法:①集合N与集合N+是同一个集合;②集合N中的元素都是集合Z中的元素;③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;④集合Q中的元素都是集合R中的元素,其中正确的有　　　　　.(填序号)
6.(探究点三)已知集合A中含有0,2,5三个元素,B中含有1,2,6三个元素,定义集合C中的元素是a+b,其中a∈A,b∈B,则C中元素的个数是　　　.
提升练
7.(多选题)下面说法不正确的是(　　)
A.集合N中最小的数是0
B.若-a不属于N,则a属于N
C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2
D.x2+1=2x的解集可表示为{1,1}
8.已知x,y为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则集合M中的元素为　　　　　.
9.已知集合M有2个元素x,2-x,若-1 M,则下列说法一定错误的是　　　　　.(填序号)
①2∈M;②1∈M;③x≠3.
10.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
创新练
11.设A是由一些实数组成的集合,若a∈A,则∈A,且1 A.
(1)若3∈A,求集合A中一定有的元素.
(2)证明:若a∈A,则1-∈A.
(3)集合A中能否只有一个元素 若能,求出集合A;若不能,说明理由.
第2课时　集合的表示
基础练
1.(探究点一)已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是(　　)
A.0∈A B.-4 A
C.4∈A D.2∈A
2.(探究点三)(2025广西玉林高一期末)若3∈{1,2,a2},则a的值为(　　)
A.- B.
C.- D.0
3.(探究点二)(多选题)下列选项中是集合A=(x,y)x=,y=,k∈Z中的元素的是(　　)
A. B.
C.(3,4) D.(4,3)
4.(探究点一、三)设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a=　　　　　,此时集合A用列举法表示为　　　　　.
5.(探究点三)已知集合A={x|2x+a>0},且1 A,则实数a的取值范围是　　　　　.
6.(探究点二)用适当的方法表示下列集合:
(1)一年中有31天的月份的全体;
(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;
(3)梯形的全体构成的集合;
(4)所有能被3整除的数的集合;
(5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;
(6)不等式2x-1>5的解集.
提升练
7.定义集合运算:A·B={z|z=x2(y-1),x∈A,y∈B}.设A={-1,1},B={0,2},则集合A·B中的所有元素之和为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
8.(多选题)下列关于集合的概念及表示正确的是(　　)
A.集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合
B.1,2,,0.5,这些数组成的集合有5个元素
C.集合M={(3,1)}与集合P={(1,3)}不是同一个集合
D.{x|x<-2且x>2}表示的是空集
9.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= 　 .
10.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或都为正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是　　　　　.
创新练
11.(2025陕西宝鸡高一期中)对于数集A,B,定义A+B={x|x=a+b,a∈A,b∈B},A÷B={x|x=,a∈A,b∈B},若集合A={1,2},求集合(A+A)÷A中所有元素之和.
参考答案
1.ABD　“一个平面内的所有点”的标准确定,能组成集合;“所有小于零的实数”的标准确定,能组成集合;“某校高一(1)班有个性的学生”中“有个性”的标准不确定,因而不能组成集合;“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定,能组成集合.故选ABD.
2.B　由题意,可知y可取的值为1,2,3,4,6,12,共6个.故选B.
3.A　N中最小的数为0,所以①错;由-(-2)∈N而-2 N可知②错;若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为0,所以③错;“小”没有明确的标准,所以④错.故选A.
4.C　当k=0时,3k-1=-1,故-1∈A,选项A错误;若-11∈A,则-11=3k-1,解得k=- Z,选项B错误;令3k2-1=3k-1,得k=0,或k=1,即3k2-1∈A,选项C正确;当k=-11时,3k-1=-34,故-34∈A,选项D错误.
5.②④　因为集合N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确.
6.8　若a∈A,b∈B,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则集合C中有8个元素.
7.BCD　因为集合N中最小的数是0,所以A说法正确;因为N表示自然数集,-0.5 N,0.5 N,所以B说法不正确;当a=0,b=1时,a+b=1<2,所以C说法不正确;根据集合中元素的互异性知D说法不正确.
8.-1,3　①当x,y均为正数时,代数式的值为3;②当x,y为一正一负时,代数式的值为-1;③当x,y均为负数时,代数式的值为-1.所以集合M的元素为-1,3.
9.②　依题意解得x≠-1,x≠1且x≠3,当x=2或2-x=2,即x=2或0时,M中的元素为0,2,故①可能正确;当x=1或2-x=1,即x=1时,M中两元素都为1,不满足互异性,故②不正确;③显然正确.
10.解(1)因为-3是集合A中的元素,
所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;
若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)不能.理由如下:若-5为集合A中的元素,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
11.(1)解 ∵3∈A,∴=-∈A,
∴∈A,∴=3∈A,
∴集合A中一定有3,-.
(2)证明 ∵a∈A,∴∈A,
∴=1-∈A.
(3)解 不能.理由如下:
假设集合A只有一个元素a,则a=,
即a2-a+1=0有且只有一个实数解.
∵Δ=(-1)2-4=-3<0,
∴a2-a+1=0无实数解.
故假设不成立,即集合A中不能只有一个元素.
参考答案
1.A　∵A={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.
2.C　因为3∈{1,2,a2},所以a2=3,所以a=±.
故选C.
3.AD　由x=,y=,得k=3x=4y,将各个选项中的数对代入验证,得A,D符合.故选AD.
4.-4　{-1,4}　∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,
∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
5.{a|a≤-2}　∵1 {x|2x+a>0},
∴2×1+a≤0,即a≤-2.
6.解 (1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.
(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.
(3){a|a是梯形}或{梯形}.
(4){x|x=3n,n∈Z}.
(5){1,2}.
(6){x|x>3}.
7.A　当x=-1,y=0时,z=(-1)2×(0-1)=-1;当x=-1,y=2时,z=(-1)2×(2-1)=1;当x=1,y=0时,z=12×(0-1)=-1;当x=1,y=2时,z=12×(2-1)=1.所以A·B={-1,1},所以A·B中所有元素之和为0.故选A.
8.CD　对于选项A,集合{y|y=2x2+1}是数集,集合{(x,y)|y=2x2+1}是点集,不是同一个集合,所以A错误;对于选项B,因为=0.5,所以1,2,,0.5,这些数组成的集合有3个元素,所以B错误;对于选项C,M={(3,1)},P={(1,3)}表示的不是同一个点,故集合M与集合P不是同一个集合,所以C正确;选项D显然正确.故选CD.
9.(x,y)xy≥0,-2≤x≤,-1≤y≤
10.17　因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,8+8=16,9+7=16,10+6=16,11+5=16,12+4=16,13+3=16,14+2=16,15+1=16,1×16=16,16×1=16,所以集合M中的元素共有17个.
11.解 集合A={1,2},则由定义可得A+A={2,3,4},所以(A+A)÷A=1,2,3,4,,
则可知所有元素的和为1+2+3+4+.