1.2.2 全称量词与存在量词 同步练（含解析） 高一数学北师大版必修第一册

2.2　全称量词与存在量词
基础练
1.(探究点一)下列命题中,全称量词命题的个数为(　　)
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(探究点三)(2025湖南岳阳高一期末)命题“ x>0,ax2+ax-3≥0”的否定是(　　)
A. x>0,ax2+ax-3<0
B. x≤0,ax2+ax-3<0
C. x>0,ax2+ax-3<0
D. x≤0,ax2+ax-3≥0
3.(探究点二)下列四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x3>0
C.任一无理数的平方必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
4.(探究点四)若“ x∈R,x2=m”是真命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|m≥0} B.{m|m>0}
C.{m|m≤0} D.{m|m<0}
5.(探究点一)(多选题)下列命题是“ x∈R,x2>3”的表述方法的有(　　)
A.有一个x∈R,使得x2>3成立
B.对有些x∈R,使得x2>3成立
C.任选一个x∈R,都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立
6.(探究点四)已知命题p“ x≥3,使2x-17.(探究点二、三)写出下列命题的否定,并判断其否定的真假:
(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;
(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;
(3)某些梯形的对角线互相平分;
(4)被8整除的数能被4整除.
提升练
8.(2025江苏苏州开学考试)若命题“ x∈R,x2-2ax+6a>0”是假命题,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,6) B.(-∞,0)∪(6,+∞)
C.[0,6] D.(-∞,0]∪[6,+∞)
9.已知函数y1=m(x-2m)(x+m+3),y2=x-1,若它们同时满足下面两个条件:① x∈R,y1和y2中至少有一个小于0;② x<-4,y1y2>0,则实数m的取值范围是　　　　　　.
10.用符号“ ”或“ ”表示下面的命题,并判断真假:
(1)实数的平方大于或等于0;
(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.
创新练
11.设命题p: x∈{x|-2≤x≤-1},x2-a≥0;命题q: x∈R,使x2+2ax-(a-2)=0.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p,q一真一假,求实数a的取值范围.
参考答案
1.C　2.A
3.B　选项A,C中的命题是全称量词命题,选项D中的命题是存在量词命题,但是假命题.只有B既是存在量词命题又是真命题.
4.A　由于“ x∈R,x2=m”是真命题,则实数m的取值范围就是函数y=x2的值域,即{m|m≥0}.
5.ABD　C选项是全称量词命题,A,B,D选项符合题意.故选ABD.
6.5　因为命题p“ x≥3,使2x-1所以“ x≥3,使2x-1≥m”是真命题,故≤3,即m≤5.
7.解 (1)这一命题可以表述为p:对所有的实数m,方程x2+x-m=0都有实数根,其否定是 p:存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根,注意到当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实根,因此 p是真命题.
(2)命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.
(3)命题的否定:任一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.
(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.
8.D　∵命题“ x∈R,x2-2ax+6a>0”是假命题,
∴“ x∈R,x2-2ax+6a≤0”是真命题,
∴Δ=4a2-24a≥0,解得a≥6或a≤0,
即a的取值范围是(-∞,0]∪[6,+∞).故选D.
9.{m|-40.当m>0时,符合题意;当m<0时,若2m<-m-3,即m<-1,则2m<-4,解得m<-2;若2m=-m-3,即m=-1,则y1<0,不符合题意;若2m>-m-3,即-10或m<-2,故参数m的取值范围为{m|-410.解(1)这是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.
改写后命题为: x∈R,有x2≥0,是真命题.
(2)改写后命题为: (x,y),x∈R,y∈R,使2x-y+1<0,是真命题.
如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.
11.解 (1)令y=x2-a,x∈{x|-2≤x≤-1},
根据题意,“命题p为真命题”等价于“当x∈{x|-2≤x≤-1}时,ymin≥0”.
∵ymin=1-a,∴1-a≥0,解得a≤1,
∴实数a的取值范围为{a|a≤1}.
(2)由(1)可知,当命题p为真命题时,实数a满足a≤1,
∴当命题p为假命题时,a>1.
当命题q为真命题,即方程有实数根时,Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1,
∴当命题为假命题时,-2①当命题p为真命题,命题q为假命题时,得
解得-2②当命题p为假命题,命题q为真命题时,得
解得a>1.
综上可得-21,
∴实数a的取值范围为{a|-21}.