1.3.2 基本不等式 同步练（含解析） 高一数学北师大版必修第一册

1.3.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
基础练
1.(探究点二)已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.4
2.(探究点二)已知0A. B.
C. D.
3.(探究点一)(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式一定成立的是(　　)
A.0<
B.<2
C.≥1
D.
4.(探究点二)设x>0,y>0,且xy=4,则的最小值是(　　)
A.1 B.2 C.-1 D.-2
5.(探究点二)(2025江西新余高一开学考试)已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值为(　　)
A.4 B.6 C.16 D.25
6.(探究点二)(多选题)(2025安徽蚌埠高一期末)已知a,b∈(0,+∞),a+b=2,则以下结论正确的是 (　　)
A.(a-1)(b-1)<0
B.|a-2|+|b-2|=2
C.a+b≥2
D.2a+2b≥4
7.(探究点二)已知4x+(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=　　　　　.
8.(探究点三)已知a>0,b>0,求证:≥a+b.
提升练
9.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(　　)
A.9 B.12 C.16 D.10
10.1557年,英国数学家列科尔德在其论文《智慧的磨刀石》中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“>”和“<”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数x+3y=3x>1,y>,则的最小值为(　　)
A.6 B.4 C.3 D.2
11.已知a,b>0,且a2+4b2=8,则a+2b的最大值为　　　　;的最小值为　　　　.
创新练
12.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=的最小值是　　　　.
1.3.2　基本不等式
第2课时　习题课　基本不等式的应用
基础练
1.(探究点一)(-6≤a≤3)的最大值为(　　)
A.9 B. C.3 D.
2.(探究点一)(2025山西晋城期末)设max{a,b,c,d}表示a,b,c,d中最大的数.已知x,y均为正数,则max4x,y,的最小值为(　　)
A. B.2 C. D.3
3.(探究点二)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站(　　)
A.5千米处 B.4千米处
C.3千米处 D.2千米处
4.(探究点一)若对任意x>0,≤a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
5.(探究点二)某人准备雇司机开车去某地,已知从出发点到目的地的距离为100 km,按交通法规定:这段公路车速限制在40~100(单位:km/h)之间.假设目前油价为7.2元/L,汽车的耗油率为3+L/h,其中x(单位:km/h)为汽车的行驶速度,耗油率指汽车每小时的耗油量.司机每小时的工资为76.4元,不考虑其他费用,此次出行的总费用最少是多少 此时的车速是多少 (注:总费用=耗油费+司机的工资)
提升练
6.(2025北京,6)已知a>0,b>0,则(　　)
A.a2+b2>2ab
B.
C.a+b>
D.
7.已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是　　　　　,a+b的最小值是　　　　　.
创新练
8.某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
参考答案
1.D　∵ab=a+b≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4.
2.B　∵01-x>0.∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.
3.CD　=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故B错误;∵04.A　因为x>0,y>0,且xy=4,所以>0,>0,≥2=2=2×=1,当且仅当,即x=y=2时,等号成立.故选A.
5.C　因为,a+b=1,
所以()×1=()(a+b)=+10,
因为a,b均为正数,所以也为正数,
则+10≥2+10=16,
当且仅当,即a=,b=时,等号成立,此时的最小值为16.
故选C.
6.BCD　对于A,a,b∈(0,+∞),a+b=2,由基本不等式得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=ab-1≤0,故A错误;
对于B,因为a,b∈(0,+∞),a+b=2,所以a,b∈(0,2),
|a-2|+|b-2|=2-a+2-b=4-(a+b)=4-2=2,故B正确;
对于C,a+b=2,故a+b≥2,故C正确;
对于D,2a+2b≥2=2=4,
当且仅当2a=2b,即a=b=1时,等号成立,故D正确.
故选BCD.
7.36　由基本不等式,得4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,即a=36.
8.证明∵a>0,b>0,
∴+b≥2=2a,+a≥2=2b,
∴+b++a≥2a+2b,
∴≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立.
9.C　由已知a>0,b>0,不等式恒成立,所以m≤(a+4b)恒成立,(a+4b)=8+≥16,当且仅当,即a=4b时等号成立,所以m≤16.故选C.
10.A　=2+.因为x+3y=3(x>1,y>),所以x-1+3y-1=1,且x-1>0,3y-1>0,所以=(x-1+3y-1)·()=2+≥2+2=4,当且仅当,即x=,y=时,等号成立,故的最小值为6.故选A.
11.4　　∵a,b>0,16=2(a2+4b2)≥(a+2b)2,∴012.8　∵点(a,b)在反比例函数y=的图象上,∴b=,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴=a+b+≥8,当且仅当a+b=时,等号成立,故的最小值是8.
第2课时　习题课　基本不等式的应用
参考答案
1.B　∵-6≤a≤3,∴3-a≥0,a+6≥0,由基本不等式,得,当且仅当a=-时取得等号.
2.D　设max4x,y,=M.
因为x为正数,所以4x+≥2=4,
当且仅当4x=,即x=时,等号成立,则M≥=2.
因为y为正数,所以y+≥2=6,当且仅当y=,即y=3时,等号成立,则M≥=3.所以M≥3,
则max4x,y,的最小值为3.
故选D.
3.A　设仓库与车站的距离为d(d>0),y1=,y2=k2d,由题意知2=,8=10k2,∴k1=20,k2=0.8,
∴y1+y2=+0.8d≥2=8,
当且仅当=0.8d,即d=5时,等号成立.故选A.
4.{a|a≥}　由题可知,a大于等于的最大值.因为x>0,所以.当且仅当x=1时,等号成立,所以的最大值为,所以a≥.
5.解 设总费用为y元,由题意得y=76.4×+7.2××(3+)=+2x(40≤x≤100).
因为y=+2x≥2=280,
当且仅当=2x,即x=70时取等号,所以这次租车的总费用最少是280元,此时的车速为70 km/h.
6.C　当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误;
取a=b=,则=6,=9,
所以,故B错误;
∵a>0,b>0,∴a+b≥2,故C正确;
∵a>0,b>0,
∴>0,>0,
∴≥2,故D错误.
故选C.
7.　1+　由a+2b-3ab=0,有3ab=a+2b≥2.即3≥2,所以ab≥(当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号),所以ab的最小值为.由a+2b-3ab=0,可知=3,所以a+b=·()=(3+)≥(3+2)=1+.当且仅当,即a=,b=时取等号,所以a+b的最小值为1+.
8.解(1)设甲工程队的总造价为y元,则y=3(150×2x+400×)+7 200=900(x+)+7 200(2≤x≤6),900(x+)+7 200≥900×2×+7 200=14 400.
当且仅当x=,即x=4时,等号成立.即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.
(2)由题意可得,900(x+)+7 200>对任意的x∈[2,6]恒成立,即,∴a<=(x+1)++6,又x+1++6≥2+6=12,当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立,∴a的取值范围为(0,12).