滚动习题(四)
1.A [解析] 空间四个点中,有三个点共线,根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面,即充分性成立;反之,当四个点共面时,不一定有三点共线,即必要性不成立.所以空间四个点中,三点共线是这四个点共面的充分不必要条件.故选A.
2.B [解析] 连接PB,QB,如图,由P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,易得D1P=D1Q=QB=BP,所以四边形D1PBQ是菱形,所以D1,P,B,Q四点共面,即B∈平面D1PBQ.又B∈平面ABCD,所以B∈l,故A中结论正确,B中结论错误.延长D1P与DA的延长线交于点F,延长D1Q与DC的延长线交于点E.因为D1F 平面D1PBQ,所以F∈平面D1PBQ,因为DF 平面ABCD,所以F∈平面ABCD,所以F∈l,同理E∈l,故C,D中结论正确.故选B.
3.B [解析] 取D1C1的中点F,连接DF,EF,BE,BD,则等腰梯形BEFD即为所求截面.设梯形BEFD的高为h,由平面几何知识可得h===,所以截面面积S=·h=×=.故选B.
4.D [解析] 对于A,若α∥β,a α,b β,则a∥b或a与b异面,故A错误;对于B,若a∥b,a∥α,b∥β,则α∥β或α,β相交,故B错误;对于C,若a∥b,b∥α,则a∥α或a α,故C错误;对于D,若a∥α,b α,则a∥b或a与b异面,故D正确.故选D.
5.C [解析] MN和AP是异面直线,故A中结论不正确;MN和BD1是异面直线,故B中结论不正确;连接AC,与BD交于点O,连接OD1,ON,∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,BC的中点,∴ON∥CD∥D1M,ON=CD=D1M,∴四边形MNOD1为平行四边形,∴MN∥OD1,∵MN 平面BB1D1D,OD1 平面BB1D1D,∴MN∥平面BB1D1D,故C中结论正确;由选项C知MN∥平面BB1D1D,而平面BB1D1D和平面BDP相交,故D中结论不正确.故选C.
6.B [解析] 对于A,由题意知B,F,D1,E四点共面,∵平面BFD1E∩平面ABB1A1=BF,平面BFD1E∩平面CDD1C1=D1E,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,∴BF∥D1E,同理可证BE∥D1F,即四边形BFD1E为平行四边形,故当F为AA1的中点时,由BF===D1E,可得AF=AA1=C1E=CC1,则E为CC1的中点,连接EF,如图,∵A1F∥C1E,A1F=C1E,∴四边形A1FEC1为平行四边形,∴EF∥A1C1,又EF 平面BED1F,A1C1 平面BED1F,∴A1C1∥平面BED1F,A中说法正确;对于B,连接BD1,∵BD1 平面BED1F,B1D与BD1相交,因此B1D∥平面BED1F不成立,B中说法错误;对于C,由A中的分析知,四边形BED1F一定为平行四边形,故C中说法正确;对于D,∵AA1∥BB1,AA1 平面BB1D1,BB1 平面BB1D1,∴AA1∥平面BB1D1,∴点F到平面BB1D1的距离为定值,而△BB1D1的面积为定值,∴三棱锥F-BB1D1的体积为定值,即对于任意点F,三棱锥F-BB1D1的体积均不变,故D中说法正确.故选B.
7.ABD [解析] 在A中,易知AB∥A1B1∥MN,因为MN 平面MNP,AB 平面MNP,所以AB∥平面MNP;在B中,易知AB∥A1B1∥MN,因为MN 平面MNP,AB 平面MNP,所以AB∥平面MNP;在C中,因为AB∥A1B1,A1B1与平面MNP相交,所以AB与平面MNP相交;在D中,易知AB∥PN,因为PN 平面MNP,AB 平面MNP,所以AB∥平面MNP.故选ABD.
8.BD [解析] 连接AC.①当点P在BA的延长线上,即P在平面α(β在α的下方)上方时,∵α∥β,平面PBD∩平面α=AC,平面PBD∩平面β=BD,∴AC∥BD,∴=,∵PA=6,AB=2,BD=12,∴=,解得AC=9.
②当点P在AB的延长线上,即P在平面β(α在β的下方)的上方时,类似①中的方法,可得=,∵PA=6,AB=2,BD=12,∴=,解得AC=18.综上可得,AC=9或18.故选BD.
9.平行 [解析] 过N作NG∥AD,交AB于G,连接MG,可得=.由已知条件=得=,所以MG∥SB,因为MG 平面SBC,SB 平面SBC,所以MG∥平面SBC.因为AD∥BC,所以NG∥BC,又NG 平面SBC,BC 平面SBC,所以NG∥平面SBC.因为MG∩NG=G,所以平面SBC∥平面MNG,因为MN 平面MNG,所以MN∥平面SBC.
10.G在B'C'的中点与C'D'的中点的连线上 [解析] 设BB',B'C',C'D',DD'的中点分别为Q,M,N,P,连接BD,B'D',FQ,QM,MN,NP,PE.因为E,F分别为AD,AB的中点,所以EF∥BD,同理可得MN∥B'D'.因为BB'∥DD',BB'=DD',所以四边形BB'D'D是平行四边形,所以B'D'∥BD,所以EF∥MN.同理可证PE∥QM,PN∥FQ,所以E,F,Q,M,N,P共面.因为BC'∥QM,BC' 平面EFQMNP,QM 平面EFQMNP,所以BC'∥平面EFQMNP.若BC'∥平面EFG,则点G在平面EFQMNP内,又因为点G在上底面A'B'C'D'(含边界)上,所以点G在线段MN上,即点G在B'C'的中点与C'D'的中点的连线上.
11. [解析] 如图,在棱CD上取一点E,使得CE=CD,在棱DD1上取一点F,使得D1F=DD1,连接ME,EF,CD1,MF,因为===,所以ME∥BD,EF∥CD1,又A1B∥CD1,所以EF∥A1B.因为ME 平面A1BD,BD 平面A1BD,所以ME∥平面A1BD,同理,因为EF 平面A1BD,A1B 平面A1BD,所以EF∥平面A1BD,又ME∩EF=E,ME,EF 平面MEF,所以平面MEF∥平面A1BD,因此,N在线段EF上.因为ME==,MF==,所以线段MN的最大值为.
12.解:(1)如图所示,延长DM交D1A1的延长线于E,连接NE,则直线NE即为直线l.
∵E∈DM∩D1A1,∴E∈平面DMN,E∈平面A1B1C1D1,平面DMN∩平面A1B1C1D1=l,∴E∈l,
又N∈平面DMN,N∈平面A1B1C1D1,∴N∈l,
∴直线NE即为直线l.
(2)由题得VD-MNA=VN-DAM=×ND1×S△DAM=×a××a×a=.
13.证明:(1)如图,取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,
∵ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,∴A1O1平行且等于OC,
∴四边形A1OCO1为平行四边形,∴A1O∥O1C,
又O1C 平面B1CD1,A1O 平面B1CD1,
∴A1O∥平面B1CD1.
(2)∵BB1平行且等于AA1,AA1平行且等于DD1,
∴BB1平行且等于DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴BD∥B1D1,
∵BD 平面B1CD1,B1D1 平面B1CD1,
∴BD∥平面B1CD1,
由(1)得A1O∥平面B1CD1且BD∩A1O=O,BD,A1O 平面A1BD,∴平面A1BD∥平面B1CD1.
(3)由(2)得BD∥平面B1CD1,
又BD 平面ABCD,平面B1CD1∩平面ABCD=l,∴BD∥l.
14.解:(1)因为在正四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD=4,AB=2,所以侧面的高h=,
所以正四棱锥S-ABCD的表面积S=2×2+4×××2=8+8.
(2)在侧棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC,且满足=2,理由如下:
取SD的中点Q,因为SP=3PD,所以PQ=PD.
过Q作PC的平行线交SC于E,连接BQ,BE,BD,设AC与BD交于点O,连接PO.
在△BDQ中有BQ∥PO,又PO 平面PAC,BQ 平面PAC,所以BQ∥平面PAC.
由==2,得QE∥PC,
又PC 平面PAC,QE 平面PAC,所以QE∥平面PAC,
又BQ∩QE=Q,所以平面BEQ∥平面PAC,
又BE 平面BEQ,所以BE∥平面PAC,此时=2.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.空间四个点中,三点共线是这四个点共面的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2024·河南洛阳二中高一月考] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,平面D1PQ∩平面ABCD=l,则下列结论错误的是 ( )
A.l过点B
B.l不一定过点B
C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上
D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为B1C1的中点,则过B,D,E三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面面积为 ( )
A. B.
C.3 D.2
4.[2024·浙江宁波五校联盟高一期中] a,b为不重合的两条直线,α,β为互不相同的两个平面,则下列说法正确的是 ( )
A.若α∥β,a α,b β,则a∥b
B.若a∥b,a∥α,b∥β,则α∥β
C.若a∥b,b∥α,则a∥α
D.若a∥α,b α,则a∥b或a与b异面
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论中正确的是 ( )
A.MN∥AP
B.MN∥BD1
C.MN∥平面BB1D1D
D.MN∥平面BDP
6.[2024·昆明云南师大附中高一期末] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是棱AA1上的一个动点,平面BFD1交棱CC1于点E,则下列说法中不正确的是 ( )
A.存在点F,使得A1C1∥平面BED1F
B.存在点F,使得B1D∥平面BED1F
C.对于任意点F,四边形BED1F均为平行四边形
D.三棱锥F-BB1D1的体积为定值
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2023·山东菏泽曹县三中高一期中] 下列正三棱柱ABC-A1B1C1中,若M,N,P为所在棱的中点,则可以得出AB∥平面MNP的是 ( )
A B C D
8.已知平面α∥平面β,P α,P β,过点P的两条直线分别交α,β于A,B和C,D四点,A,C∈α,B,D∈β,且PA=6,AB=2,BD=12,则AC= ( )
A.6 B.9
C.10 D.18
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.如图,已知S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=,则MN与平面SBC的位置关系为 .
10.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为AD,AB的中点,点G在上底面A'B'C'D'(含边界)上运动.请补充一个恰当条件,当点G满足 时,有BC'∥平面EFG.
11.[2024·河北沧州沧衡学校高一期中] 如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M在棱BC上,且CM=BC,N是侧面CDD1C1上一点,且MN∥平面A1BD,则线段MN的最大值为 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,C1D1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
(1)画出直线l的位置,保留作图痕迹;
(2)求三棱锥D-MNA的体积.
13.(15分)[2024·广州一一三中高一期中] 由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为平行四边形,O为AC与BD的交点.
(1)求证:A1O∥平面B1CD1;
(2)求证:平面A1BD∥平面B1CD1;
(3)设平面B1CD1与底面ABCD的交线为l,求证:BD∥l.
14.(15分)如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,SA=SB=SC=SD=4,AB=2,P为侧棱SD上的点,且SP=3PD.
(1)求正四棱锥S-ABCD的表面积.
(2)侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC 若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
