滚动习题(六)
1.D [解析] 在△ABC中,因为=,所以DE∥BC,又BC 平面α,DE 平面α,所以BC∥平面α,故选D.
2.A [解析] 若l⊥β,则由l⊥α,得α∥β,又m α,所以m∥β,充分性成立;如图,满足m∥β,m α,l⊥α,但l⊥β不成立,必要性不成立.故选A.
3.D [解析] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,令平面ABCD是平面α.对于A,若平面A1B1C1D1为平面β,直线BC为直线a,直线A1B1为直线b,显然α∥β,a α,b β,此时直线a,b是异面直线,a,b不平行,故A错误;对于B,若平面CDD1C1为平面β,则α∩β=DC,直线DC为直线a,直线AB为直线b,显然a∥b,但b α,此时直线b不与平面α平行,故B错误;对于C,若平面CDD1C1为平面β,直线AB为直线a,直线DC为直线b,显然α⊥β,a α,b β,此时直线a,b平行,a,b不垂直,故C错误;对于D,若a⊥α,α∥β,则a⊥β,又b β,所以a⊥b,故D正确.故选D.
4.A [解析] 在直线m上取一点A,过直线n和直线外的一点A确定一个平面β,设α∩β=a,因为n∥α,且n β,所以n∥a,因为l⊥n,所以l⊥a,又因为l⊥m,且a∩m=A,a,m 平面α,所以l⊥α.故选A.
5.B [解析] 取AB的中点N,连接MN,CN,如图所示,设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,则BC=CC1=a,易知MN⊥平面ABC,所以∠MCN即为直线CM与平面ABC所成的角,易知CN=a,又CM==a,所以sin∠MCN===,所以直线CM与平面ABC所成角的正弦值为.故选B.
6.D [解析] 取BC的中点M,DE的中点N,连接AM,FM,MN,AN,如图,因为正三棱锥A-BCF和正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为2,所以BC⊥FM,BC⊥AM,AN⊥DE,又FM∩AM=M,所以BC⊥平面AMF,因为BC∥DE,所以BC⊥AN,因为AM∩AN=A,所以BC⊥平面AMN,所以平面AMF与平面AMN重合,因为AF=MN=2,FM=AN=,所以四边形AFMN为平行四边形,所以AF∥MN,又MN∥CD,所以AF∥CD,故A中说法正确;因为CD⊥DE,所以AF⊥DE,故B中说法正确;因为AF∥CD,AF=CD,所以四边形AFCD为平行四边形,同理可得,四边形AFBE也为平行四边形,所以CF∥AD,因为CF 平面ADE,AD 平面ADE,所以CF∥平面ADE,同理可得,BF∥平面ADE,因为CF∩BF=F,所以平面BCF∥平面ADE,又AF∥CD∥BE,所以新几何体为三棱柱,故C中说法正确;设正四棱锥A-BCDE的内切球半径为R,易知正四棱锥A-BCDE的高为=,由××22=R,得R=,故D中说法不正确.故选D.
7.ACD [解析] 对于A,若两条直线为异面直线,则两条直线无公共点,故A中说法错误;对于B,三个平面,最多把空间分成8个部分,故B中说法正确;对于C,若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α或l与α相交,故C中说法错误;对于D,如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条直线可能在这个平面内或与这个平面平行,故D中说法错误.故选ACD.
8.ABD [解析] 分别取CC1,C1D1,A1D1,AA1的中点H,I,J,K,连接FH,HI,IJ,JK,KE,A1C1,如图①,易知EF∥AC,IJ∥A1C1,因为AC∥A1C1,所以EF∥IJ,同理可得KE∥IH,JK∥HF,故E,F,H,I,J,K六点共面.因为EF∥AC,EF 平面ACD1,AC 平面ACD1,所以EF∥平面ACD1,同理HF∥平面ACD1,又EF∩HF=F,EF,HF 平面EFHIJK,所以平面EFHIJK∥平面ACD1,又因为点G在正方形A1B1C1D1内(含边界),且平面EFG∥平面ACD1,所以G∈IJ.对于A,若存在实数λ使得=λ,则A1,G,D1三点共线,且G为A1D1的中点,所以点J即为点G,所以λ=1,故A正确;对于B,若G∈C1D1,则点G即为点I,因为平面EFG∥平面ACD1,且平面EFG∩平面ABC1D1=IE,平面ACD1∩平面ABC1D1=AD1,所以IE∥AD1,又IE 平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,所以IE∥平面ADD1A1,即EG∥平面ADD1A1,故B正确;对于C,如图②,因为AA1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以AA1⊥BD,又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,又AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,所以BD⊥平面ACC1A1,由A1C 平面ACC1A1,可得BD⊥A1C,同理BC1⊥A1C,又BD∩BC1=B,BD,BC1 平面BC1D,所以A1C⊥平面BC1D,则在正方体内,以△BC1D为底面的三棱锥的体积的最大值为=33-3×××3×3×3=,又G∈IJ,所以三棱锥G-BC1D的体积的最大值不为,故C错误;对于D,设AC∩BD=O,连接D1O,如图③,因为平面EFG∥平面ACD1,所以二面角D-EF-G等于二面角D1-AC-D,因为AD1=CD1,AD=CD,且O为AC的中点,所以D1O⊥AC,DO⊥AC,所以二面角D1-AC-D的平面角为∠D1OD,因为D1D=3,DO=,所以tan∠D1OD==,所以二面角D-EF-G的正切值为,故D正确.故选ABD.
9. [解析] 因为AB⊥平面ADD1A1,AD1 平面ADD1A1,所以AB⊥AD1,又DA⊥AB,所以∠D1AD即为二面角D1-AB-C的平面角,由AA1=,AD=1,可得AD1=,所以cos∠D1AD===.
10.4(+1)π [解析] 如图,设底面圆心为O,则O为CD的中点,过点E作EF⊥底面于F,连接OE,OF,DF,CF,∵BC∥EF,∴∠DEF为异面直线DE与BC所成的角,∴∠DEF=,∵点E为上底面弧的中点,∴点F为下底面弧的中点,∴CD⊥OF,又∵EF⊥平面CDF,DF 平面CDF,∴EF⊥DF,又∠DEF=,∴EF=DF,由题知OD=,∴DF=2,则EF=2,故圆柱的表面积S=2πr·EF+2πr2=4(+1)π.
11.3 [解析] 如图,连接A1B,BC1,A1C1,因为AB∥C1D1且AB=C1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以AD1∥BC1,同理A1B∥D1C,又AD1 平面A1BC1,BC1 平面A1BC1,所以AD1∥平面A1BC1,因为D1C 平面A1BC1,A1B 平面A1BC1,所以D1C∥平面A1BC1,又AD1∩D1C=D1,AD1,D1C 平面AD1C,所以平面A1BC1∥平面AD1C,所以动点M的轨迹为△A1BC1的三等边(除点B外).因为A1B=BC1=A1C1=,所以动点M的轨迹的长度是3.
12.解:(1)证明:如图,过点D作DF⊥PA,垂足为点F.
∵平面ADP⊥平面APC,平面ADP∩平面APC=AP,DF 平面ADP,∴DF⊥平面APC,
∵PC 平面APC,∴DF⊥PC.
∵AD⊥平面PCD,PC 平面PCD,∴PC⊥AD,
又AD∩DF=D,∴PC⊥平面ADP,
又PD 平面ADP,∴PC⊥PD.
(2)如图,过点P作PN⊥DM,垂足为点N,连接CN.
由(1)知PC⊥平面ADP,
∵DM 平面ADP,∴DM⊥PC.
∵DM⊥PN,PN∩PC=P,
∴DM⊥平面PNC,
又CN 平面PCN,∴CN⊥DM,
∴∠PNC为二面角C-DM-P的平面角.
∵AD⊥平面PCD,PD 平面PCD,∴AD⊥PD,
∵AD=4,PD=2,∴PA==2,
∵M为PA的中点,∴DM=PA=,
∵S△PDM=PD·AD=MD·PN,∴4=·PN,∴PN=,
∴在Rt△PNC中,tan∠CNP===.
故二面角C-DM-P的正切值为.
13.解:(1)证明:如图,连接OB,∵AB=BC=,AC=2,
∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC,∴△ABC是等腰直角三角形.
∵O为AC的中点,∴OA=OB=OC=1,又PA=PB=PC=AC=2,
∴PO⊥AC,PO=,∴PO2+OB2=PB2,∴PO⊥OB.
又OB∩AC=O,OB,AC 平面ABC,∴PO⊥平面ABC,
又PO 平面POM,∴平面POM⊥平面ABC.
(2)由(1)得PO⊥平面ABC,PO=,
在△COM中,∠OCM=45°,CM=BC=,OC=1,
由余弦定理可得OM==,
∴S△POM=×PO×OM=××=,
S△COM=××S△ABC=×××2×1=.
设点C到平面POM的距离为d,
由VP-OMC=VC-POM,可得×S△OCM×PO=×S△POM·d,解得d=,
∴点C到平面POM的距离为.
14.解:(1)点E是PC的中点,理由如下:
如图a,连接AC,交BD于点O,连接OE,由底面ABCD是正方形,得O是AC的中点,
因为PA∥平面EBD,PA 平面PAC,平面PAC∩平面BDE=OE,
所以PA∥OE,又O是AC的中点,
所以E是PC的中点.
(2)证明:如图b,取PD的中点F,连接AF,EF,因为点E是PC的中点,
所以EF∥CD,EF=CD,又AB∥CD,AB=CD,
所以EF∥AB,且EF=AB,
所以四边形ABEF是平行四边形,
所以BE∥AF,又AF 平面PAD,BE 平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
A b
(3)由(1)知,E为PC的中点,则VE-BPD=VC-BPD=VP-DBC,若VE-BPD=,则VP-DBC=.
因为PD⊥底面ABCD,PD=λCD=2λ,S△BCD=×2×2=2,
所以VP-DBC=·S△BCD·2λ=×2×2λ=,解得λ=2,
所以存在实数λ=2,使三棱锥E-BPD的体积为.(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.如图所示,平面α与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,且AD∶DB=AE∶EC,则BC与α的位置关系是 ( )
A.异面 B.相交
C.平行或相交 D.平行
2.设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且m α,l⊥α,则“l⊥β”是“m∥β”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2024·江西宜春丰城中学高一期中] 设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列结论正确的是 ( )
A.若α∥β,a α,b β,则a∥b
B.若α∩β=a,b∥a,则b∥α
C.若α⊥β,a α,b β,则a⊥b
D.若a⊥α,b β,α∥β,则a⊥b
4.[2024·福建厦门杏南中学高一月考] 已知m,n是异面直线,m α,n∥α,直线l⊥m,l⊥n,则( )
A.l⊥α B.l∥α
C.l与α斜交 D.l α
5.[2024·沈阳一中高一期末] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,M是A1B1的中点,则直线CM与平面ABC所成角的正弦值为 ( )
A. B.
C. D.
6.已知正三棱锥A-BCF和正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为2,如图所示,将正三棱锥A-BCF的一个面和正四棱锥A-BCDE的一个侧面重合在一起,得到一个新几何体,则下列关于新几何体的说法不正确的是 ( )
A.AF∥CD
B.AF⊥DE
C.新几何体为三棱柱
D.正四棱锥A-BCDE的内切球半径为2-
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.下列说法中错误的有 ( )
A.若两条直线无公共点,则这两条直线平行
B.三个平面,最多把空间分成8个部分
C.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
D.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
8.[2024·河南漯河高一期末] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,AB,BC的中点分别为E,F,点G在正方形A1B1C1D1内(含边界),且平面EFG∥平面ACD1,则下列说法正确的是 ( )
A.若存在实数λ使得=λ,则λ=1
B.若G∈C1D1,则EG∥平面ADD1A1
C.三棱锥G-BC1D的体积的最大值为
D.二面角D-EF-G的正切值为
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=,AD=1,则二面角D1-AB-C的余弦值为 .
10.[2024·福建晋江二中高一期末] 已知圆柱底面的半径r=,四边形ABCD为其轴截面,若点E为上底面弧的中点,异面直线DE与BC所成的角为,则圆柱的表面积为 .
11.[2024·浙江金华一中高一期中] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是该正方体表面上一个动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹的长度是 .
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AD⊥平面PCD,平面ADP⊥平面APC,PC=PD=2,AD=4,M为PA的中点.
(1)求证:PC⊥PD;
(2)求二面角C-MD-P的正切值.
13.(15分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=,PA=PB=PC=AC=2,O为AC的中点,点M在棱BC上.
(1)证明:平面POM⊥平面ABC;
(2)若MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
14.(15分)[2024·广东广州育才中学高一期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,PD=λCD,点E在棱PC上.
(1)若底面ABCD是边长为2的正方形,PA∥平面EBD,试确定点E的位置(如图①),并说明理由.
(2)若底面ABCD是梯形,且AB∥CD,AB=CD,点E是PC的中点(如图②),证明:BE∥平面PAD.
(3)在(1)的条件下是否存在实数λ,使三棱锥E-BPD的体积为 若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.
