揭秘 “一元二次方程”新题型
一、开放型问题
例1 请填写一个常数，使得关于x的方程x2-2x+_______=0有两个不相等的实数根.
解析：由题中条件可知，a=1，b=-2，Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1·c＞0，解得 c＜1，即所填写的常数小于1即可，故答案不唯一，如0.
二、定义型问题
例2 对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2-b，若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A. k＞- B. k＜- C. k＞-且k≠0 D. k≥-且k≠0
解析：根据定义的新运算，得x2-x=k，即x2-x-k=0.因为关于x的方程x2-x-k=0有两个不相等的实数根，所以Δ=(-1)2-4×1·(-k)＞0，解得k＞-，故选A.
三、与函数综合型问题
例3 若实数k，b是一元二次方程（x+3）（x-1）=0的两个根，且k＜b，则一次函数y=kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：解方程（x+3）（x-1）=0，得x1=-3，x2=1.因为k＜b，所以k=-3，b=1.
所以函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选C．
四、与几何图形综合型问题
例4 若菱形两条对角线的长度是方程x2-6x+8=0的两根，则该菱形的边长为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
解析：解方程x2-6x+8=0，得x1=4，x2=2.
如图所示，即AC=4，BD=2.
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO=OC=AC=2，BO=DO=BD=1.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD===.
所以该菱形的边长为，故选A．数学魅力
—— 一元二次方程应用展示
一、平均变化率问题
例1 （2023·郴州）随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
解析：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x.
根据题意，得1.6（1+x）2=2.5，解得x1=25%，x2=-2.25（不合题意，舍去）.
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人.
根据题意，得2.125+10a≤2.5×（1+25%），解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
二、几何图形问题
例2 为了贯彻落实国家关于体质健康教育的指示与精神，我市全力推进校园体育运动蓬勃开展．外国语中学体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，要求每块跳绳场地的长是宽的2倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米.根据以上信息，比赛区域的长和宽分别是多少米？
解析：本题中数量关系：每块跳绳场地的长是宽的2倍；大长方形的长×宽=144；大长方形的长=2×每个跳绳场地小长方形的长+4；大长方形的宽=3×每个跳绳场地小长方形的宽.
设每个跳绳场地的宽为x米，则每个跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x=（4x+4）米，宽为3x米.
根据题意，得（4x+4）·3x=144.整理，得x2+x-12=0，解得x1=3，x2=-4（不合题意，舍去）.
所以4×3+4=16（米），3×3=9（米）.
答：比赛区域的长是16米，宽是9米.
三、商品销售问题
例3 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品的售价为360元时，每月可售出60件.为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件.
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场1月份的销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x.若前三个月的总销售量为285件，求该季度的总利润．
解析：解决“每下降，就每增加”或“每增长，就每减少”这类问题的关键是表示出单价提高或降低后的销售量，再根据“商品销售利润=每件商品利润×销售量”列方程求解.
（1）根据题意，得（360-280）×60=80×60=4800（元）.
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元.
（2）设每件商品降价m元，则每件商品的销售利润为（360-m-280）元，每月可售出（60+5m）件.
根据题意，得（360-m-280）（60+5m）=7200.整理，得m2-68m+480=0，解得m1=8，m2=60.
因为要有利于减少库存，所以m=60.
答：每件商品应降价60元.
（3）根据题意，得60+60（1+x）+60（1+x）2=285.
整理，得4x2+12x-7=0，解得x1=0.5=50%，x2=-3.5（不合题意，舍去）.
所以60（1+x）=60×（1+50%）=90（件），60（1+x）2=60×（1+50%）2=135（件）.
所以2月份这种商品的售价为360-=354（元），3月份这种商品的售价为360-=345（元）.
所以该季度的总利润为4800+（354-280）×90+（345-280）×135=20 235（元）.
答：该季度的总利润为20 235元.一元二次方程根的判别式的妙用
原题呈现：（九年级上册教材P45习题2.6第4题）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25 m），另三边用木栏围成，木栏长40 m．
鸡场的面积能达到180 m2吗？能达到200 m2吗？
鸡场的面积能达到250 m2吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
帮你分析：本题可设出养鸡场的一边，然后根据长方形的面积公式，表示出养鸡场的面积，题中求养鸡场的面积能否达到180 m2，只需让养鸡场的面积等于180 m2，然后看所列方程有没有实数根，如果有，则养鸡场的面积就能达到180 m2，否则就不能.其他的两种情况类似．
解答展示：（1）设平行于墙的木栏长为x m，则垂直于墙的木栏长为（40﹣x）m.
假设养鸡场的面积能达到180 m2，则根据题意，得x（40﹣x）＝180，整理，得x2﹣40x+360＝0，则a＝1，b＝﹣40，c＝360.
因为 =b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×360＝160＞0，所以养鸡场的面积能达到能达到180 m2，
所以x＝=20±2.
即x1=20+2>25（舍去），x2=20-2.
（40﹣x）=10+.
所以养鸡场的面积能达到180 m2，只要使平行于墙的木栏长为（20-2）m，垂直于墙的木栏长为（10+）m.
其他两种情况解法类似，请同学们自己完成.
变式 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
解析：因为有实数根，所以 =b2-4ac=（-2）2-4×1×（2m-1）=4-8m+4=8-8m≥0.
所以.
因为m为正整数，所以m=1，此时方程为，解得.
所以m的值为1，此时方程的根为1.
方法总结：在解与一元二次方程根的判别式有关的问题时，一般分两种情况：一种是直接利用判别式判断方程根的情况；另一种是根据方程根的情况，求方程中未知系数的取值范围．前者可由判别式的正负确定根的情况；后者根据根的情况，列出不等式求取值范围（需注意二次项系数不能为零这一隐含条件）．立足方程特点 选择最优解法
一、直接开平方法
如果方程是或型时，选用直接开平方法.
例1 解方程：（x－1）2＝4．
分析：方程结构符合的形式，可以采用直接开平方法去解．
解：两边直接开平方，得x－1＝±2，则x－1＝2或x－1＝－2，解得x1＝3，x2＝－1．
二、因式分解法
若方程的常数项为0或直接能提公因式或应用乘法公式来分解因式时，选择因式分解法.
例2 一元二次方程x（x－2）＝x－2的根是 ．
分析：方程的两边都有因式x－2，可以考虑应用因式分解法求解．
解：移项，得x（x－2）－（x－2）＝0．
因式分解，得（x－2）（x－1）＝0，则x－2＝0或x－1＝0，解得x1＝2，x2＝1．
三、配方法
对于二次项系数和一次项系数较小，而常数项较大时，特别是二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程，用配方法较简单.
例3 解方程：x2+6x＝－7．
分析：注意到题中的结构x2+6x，考虑运用配方法比较简洁．
解：配方，得x2+6x+9＝－7+9，即（x+3）2＝2．
则x+3＝-或x+3＝，解得x1＝－3－，x2＝－3+．
四、公式法
公式法是解一元二次方程的通法，适合所有的一元二次方程.
例4 一元二次方程3x2＝4－2x的解是 ．
分析：先将方程进行变形，整理成一元二次方程的一般形式，再选取适当的方法解方程．
解：整理，得3x2+2x－4＝0．
因为a＝3，b＝2，c＝－4，所以 =b2－4ac＝22－4×3×（－4）＝52＞0．
故该方程有两个不相等的实数根，则x＝＝．
所以x1＝，x2＝．“移一移”解题so easy
列一元二方程解决面积问题是一元二次方程的实际应用中一个重点，也是中考的一个热点. 解题的关键是结合图形列出一元二次方程，从而解决问题.
【课本原题】如图1，在一块长92 m、宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为855的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
（北师大九年级上册教材P57复习题第15题）
思路分析：设水渠的宽度为x m，借助平移将水平的水渠移到矩形的上面，竖直的两条水渠平移到矩形的右边（如图2），可得空白部分为一个矩形，面积为6个原矩形小块的面积和，据此列方程求解.
解答展示：设水渠的宽度为x m.
根据题意，得（92-2x）（60-x）=885×6.
解得x1=105（不合题意，舍去），x2=1.
答：水渠的宽度为1 m.
变式1 如图3，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，则小路的宽x满足的方程为（ ）
A.（32+x）（20+x）＝540
B．（32﹣x）（20﹣x）＝540
C．（32+x）（20﹣x）＝540
D．（32﹣x）（20+x）＝540
解析：仿照上面的课本原题，通过平移后可知草坪的长为（32﹣x） m，宽为（20﹣x） m，进而可知答案为B.
变式2 如图4，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为a米)区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽度为x米，则a＝________(用含x的代数式表示)；
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米，则通道的宽度为
多少米？
解析：（1）根据通道的宽度为x米，由图可表示出a＝.
（2）利用平移，将所有通道集中在一起，根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程.
根据题意，得(50－2x)(60－3x)－x·＝2430，
解得x1＝2，x2＝38(不合题意，舍去)．
答：通道的宽度为2米．
方法引荐：这类问题的解题思路在于：将不规则图形通过平移变换，组合成规则图形，找出各部分之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程求解.给一元二次方程“把把脉”
一、对一元二次方程的概念不清楚
例1 关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0有一个根是零，求m的值．
错解：因为方程的根能使方程左右两边相等，所以把x=0代入方程，得m2-4=0，解得m=±2.
剖析：此方程为一元二次方程，二次项系数m-2≠0，即m≠2.
正解： .
二、用公式法时，将方程的系数弄错
例2 解方程：5x+4=3x2 .
错解：因为a=3，b=5，c=4，所以Δ=b2-4ac=（5）2-4×3×4=-23<0.所以此方程无实数根.
剖析：错解中没有将方程化成一般形式，造成b和c的值出错.应该先移项得3x2-5x-4=0，则a=3，b=-5，c=-4.
正解： .
点拨：用公式法解一元二次方程时，先要将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值（有负号的不要漏下）.
三、乱用等式性质造成漏解
例3 解方程：4x（2x-1）=1-2x.
错解：方程两边同除以（2x-1），得4x=-1，解得x=.
剖析：方程两边同除以（2x-1），忽视了因式2x-1=0的情况，不属于同解变形，违背了等式的性质，造成漏解.方程4x（2x-1）=1-2x是一元二次方程，若有解，则有两个解.
正解： .
点拨：若方程两边有公因式，只有当公因式不为零时，才能约去公因式，否则就会违背等式的性质，造成方程漏根.
四、忽视隐含条件
例4 已知x为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）﹣15＝0，则2x2+3的值为 ．
错解：将2x2+3看做整体，设2x2+3=t，则原式变形为t2+2t﹣15＝0，解得t1=3，t2=-5，即2x2+3的值为3或-5.
剖析：用整体思想来解一元二次方程是正确的，但忽略了2x2+3≥3这个隐含条件，故而出错.
正解： .
答案：例1 -2. 例2 x1=，x2=. 例3 x1=, x2=. 例4 3
