位似变换中点的坐标的确定
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，变换后的图形与变换前图形的相似比为k，那么原图上点（x，y）的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）；对于位似中心非原点的位似变换，解题时要充分发挥位似图形的定义和相似三角形的性质的作用.
一、已知原坐标及相似比
例1 在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
解析：根据题意，得线段CD与线段AB是以原点O为位似中心，相似比为的位似图形.因为线段CD在第一象限，所以点C的横坐标和纵坐标均为对应点A的横坐标和纵坐标的一半.所以端点C的坐标为（3，4）.故选C.
点评：在位似变换中，已知原图形的坐标及相似比，可以直接利用位似变换规律求对应点的坐标.解题时要注意位似图形位于位似中心的同侧还是异侧，确定所乘相似比的正负.
二、已知原坐标，不知相似比
例2 在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若点B的对应点B′的坐标为（0，-6），则点A的对应点A′的坐标为（ ）
A．（-2，-4） B．（-4，-2） C．（-1，-4） D．（1，-4）
解析：因为点B（0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），点O为位似中心，所以△OA′B′与△OAB的相似比为2，且△OA′B′与△OAB位于位似中心的两侧，所以点A（1，2）的对应点A'的坐标为（-2，-4）.故选A.
点评：在位似变换中，已知原图形的坐标，但没有给出相似比，要先通过一组对应点的坐标求出相似比，再按照位似变换的规律求解.
三、已知原坐标及相似比，同异侧不确定
例3 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，若点P（m，n）是线段AB上一点，则点P的对应点P′的坐标为（ ）
A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（-2m，-2n）
C．（m，n） D．（m，n）或（-m，-n）
解析：以原点O为位似中心，把△AOB放大到原来的2倍，所以变换后的图形与原图形的相似比为2.把△AOB放大可以在位似中心的同侧放大，也可以在异侧放大，所以点P的对应点P′的坐标为（2m，2n）或（-2m，-2n）.故选B.
点评：在位似变换中，当题中没有给出明确的限定条件时，需要分位似图形在位似中心的同侧和异侧两种情况进行讨论，变换后与变化前的对应点坐标的比等于k或-k.
四、位似中心非原点
例4 如图，在△ABC中，B，C两个顶点在x轴的上方，点A的坐标是（1，0），以点A为位似中心，把△ABC的边长缩小为原来的，记所得图形为△ADE.设点C的对应点E的横坐标为a，则点C的横坐标为 .
解析：分△ABC与△ADE在点A的同侧和异侧两种情况进行讨论.
①如图，当△ABC与△ADE在点A的同侧时，过点E作EM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N.
因为点A的坐标是（1，0），点E的横坐标为a，所以AM=1-a.
因为△ADE与△ABC的相似比为，所以.
因为ME∥CN，所以，即.解得AN=2-2a.
所以点C的横坐标为-（2-2a-1）=2a-1.
②如图，当△ABC与△ADE在点A的异侧时，过点E'作E'F⊥x轴于点F.
因为点A的坐标是（1，0），点E'的横坐标为a，所以AF=a-1.
同理，得AN=2a-2.
所以点C的横坐标为-（2a-2-1）=3-2a.
综上，点C的横坐标为2a-1或3-2a.
点评：在位似变换中，若位似中心不是原点，首先要确定位似图形的位置，再在图中寻找或构造相似三角形，利用其性质解题.分析已知条件 确定证明方法
类型1 已知条件只涉及角
例1 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长.
图1
解析：（1）因为AB=AC，AD为BC边上的中线，所以AD⊥BC，∠B=∠C.
因为DE⊥AB，所以∠DEB=∠ADC=90°.所以△BDE∽△CAD.
（2）因为AD为BC边上的中线，所以BD=BC=5.
在Rt△ADB中，AD===12.
由（1）得△BDE∽△CAD，所以.所以DE==.
温馨提示：当已知条件只涉及角时，可用判定定理1来证明两个三角形相似.解决这类题时，要注意图中公共角、对顶角等隐含条件.
类型2 已知条件只涉及边
例2 如图2，在正方形网格中有6个钝角三角形：①△ABC，②△CDB，③△DBE，
④△FBG，⑤△HGF，⑥△EFK.在②～⑥中，与①相似的三角形的序号是（ ）
A．② B．③④⑤ C．④ D．②③④⑤⑥
图2
解析：设网格中每个小正方形的边长都为1.
①△ABC的三边分别为1，，；②△CDB的三边分别为1，，2；③△DBE的三边分别为2，2，2；④△FBG的三边分别为，，5；⑤△HGF的三边分别为，2，；⑥△EFK的三边分别为，，3.
其中②、⑥两个三角形的三边与三角形①对应边不成比例，所以与①相似的三角形的序号是③④⑤.故选B.
温馨提示：在网格中找相似三角形，判定定理3是常用方法.判断三边是否成比例时，可先将三角形的边按大小顺序排列.
类型3 已知条件既有角又有边
例3 如图3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，∠BAC的平分线AG分别交DE，BC于点F，G.
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）连接DG，若∠AGD=∠B，AB=12，AD=4，AE=6，求AG与AF的长.
图3
解析：（1）证明：因为，∠EAD=∠BAC，所以△ADE∽△ACB.所以∠ADE=∠C.
因为AG是∠BAC的平分线，所以∠DAF=∠CAG.所以△ADF∽△ACG.
（2）因为∠AGD=∠B，∠DAG=∠GAB，
所以△ADG∽△AGB.所以.所以.
因为，即，所以AC=8.
由（1）得△ADF∽△ACG，所以，即.所以AF=.
温馨提示：当已知两个三角形的两边对应成比例时，要考虑其夹角是否相等，利用判定定理2来证明三角形相似.本题中给出的比例式与要证明的△ADF∽△ACG并不直接相关，可先根据已知条件证明一组三角形相似（△ADE∽△ACB），再利用相似图形的性质得出对最终结果有利的条件（∠ADE=∠C）.
类型4 已知条件涉及平行线
例4 如图4，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R是DE的中点，连接BR分别与AC，CD交于点P，Q.
（1）求证：△ABP∽△DQR；
（2）求的值.
图4
解析：（1）因为四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
所以AB∥CD，AC∥DE.所以∠ABP=∠DQR，∠APB=∠DRQ.所以△ABP∽△DQR.
（2）因为四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，所以AD=BC，AD=CE.所以BC=CE.
因为PC∥DE，所以△BCP∽△BER，△CQP∽△DQR.
所以，.
因为R是DE的中点，所以RD=RE.所以.
设PQ=k，则RQ=2k，BP=PR=3k.所以==.
温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可以直接证得两个三角形相似，也可以得出两角相等的条件，利用判定定理1来证明两个三角形相似.灵活运用平行线分线段成比例
一、直接用
例1 如图1，直线l1∥l2∥l3，直线AC，DF与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，AC与DF相交于点H，且AH=2HB，BC=5HB，则的值为 .
解析：因为l1∥l2∥l3，所以=.
因为AB=AH+HB=3HB，BC=5HB，所以===.故填.
二、连续用
例2 如图2，F是□ABCD的边CD上一点，连接BF并延长交AD的延长线于点E.若AD=6，AE=10，FC=8，则DF的长为 .
图2
解析：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以DC∥AB，AD∥BC.
所以，.所以.
因为AD=6，AE=10，FC=8，所以DE=AE-AD=4.
所以，解得DF=.故填.
三、添加辅助线后再用
例3 如图3，D，E分别在△ABC的边AB，AC上，若AD:BD=2:1，点G在DE上，DG:GE=1:2，连接BG并延长交AC于点F，则AF:EF等于（ ）
A．1:1 B．4:3 C．3:2 D．2:3
图3
解析：如图3，过点D作DH∥BF交AC于点H.
因为DH∥BF，所以=2，.
设HF=a，则AH=2a，EF=2a.所以AF=AH+HF=3a.所以AF:EF=3a:2a=3:2.
故选C.
例4 如图4，在四边形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点E，F，则的值为（ ）
A．-1 B．2+ C．1+ D．
解析：如图4，过点F作FG⊥AB于点G.
因为∠DAB=90°，所以AE∥FG.所以=.
因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°.
又因为BE是∠ABC的平分线，所以∠GBF=∠CBF，FG=FC.所以△BGF≌△BCF.所以BG=BC.
因为AC=BC，所以AB=BC.
所以====1+.故选C.相似三角形的应用
例1 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”
用今天的话说，大意是：如图1，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为______步.
解析：因为AH∥DK，所以∠CDK=∠A.
又∠CKD=∠DHA.所以△CDK∽△DAH.
所以，即，解得CK=.
所以KC的长为步.
图1
例2 周末小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.已知CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m，测量示意图如图2所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.
图2
解析：由题意可知BC∥DE，所以△ABC∽△ADE.
所以，即，解得AB=17.
答：河宽AB为17 m．相似三角形诊疗室
一、对应关系不清楚
例1 如图1，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BE与CD相交于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC于点F.若AD=4，BD=5，GE=2，则FC的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
错解：因为DE∥BC，所以，△AGE∽△AFC.
所以.所以，即.解得FC=.故选A.
剖析：错解在由△AGE∽△AFC得对应边成比例的过程中找错了对应关系.
正解：
例2 如图2，不等长的两条对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD，则对这四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲丙相似，乙丁相似 B．甲丙相似，乙丁不相似
C．甲丙不相似，乙丁相似 D．甲丙不相似，乙丁不相似
图2
错解：选A或选C.
剖析：在△OAB和△OCD中，OA∶OC=OB∶OD，又因为∠AOB=∠COD，所以△OAB∽△OCD，即甲丙相似，而题中的条件无法证明△OAD与△OCB相似.本题意在判定两个三角形相似，题中隐含了“对顶角相等”这个条件，只需弄清两边对应成比例是在哪两个三角形中成立的即可.若同学们仍无法直观判断，可尝试写出要证乙丁相似所需的条件，对比题中的条件来判断.
正解：
二、性质运用不合理
例3 如图3，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S四边形BCED=1∶4，求AD∶DB的值.
图3
错解一：因为S△ADE∶S四边形BCED=1∶4，所以AD∶DB的值为.
错解二：因为S△ADE∶S四边形BCED=1∶4，所以S△ADE∶S△ABC=1∶5.
所以AD∶AB=1∶25.所以AD∶DB的值为.
剖析：错解一是只考虑到面积比等于相似比的平方，而忽略了其所适用的范围必须是相似图形；错解二是在已知面积比求相似比时，将面积比平方，正确的运算应是开方.同学们要注意，解题时要先利用“DE∥BC”证得△ADE∽△ABC，然后才可以利用相似三角形的性质.
正解：
参考答案：
例1 D 例2 B 例3 .遇比设k 巧妙解题
【课本原题】已知且a+b﹣2c＝3，求a的值．
（九年级上册教材P119复习题第2（2）题）
思路分析：设用含k 的式子表示出a，b，c，代入a+b﹣2c＝3，即可求出k的值，进而可求得a的值．
解答展示：设则a＝6k，b＝5k，c＝4k，代入a+b﹣2c＝3，得6k+5k﹣8k＝3，解得k＝1.所以a＝6k＝6．
方法引荐：在解决有关比例的求值问题时，利用设定系数的方法，可以化难为易，轻松解决比例求值中的难关.
变式训练：
1. 若，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2. 若，则的值是（ ）
A． B． C． D．4
3. 已知a，b，c是△ABC的三边，满足，且a+b+c=12，请你判断△ABC的形状.
变式训练参考答案：
1. D 2. C
3. 解：设=k（k≠0），则a=3k-4，b=2k-3，c=4k-8.
将a，b，c代入a+b+c=12，得9k-15=12，解得k=3.
所以a=5，b=3，c=4.
因为b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形.
