列表和画树状图二选一
利用列表和画树状图的方法可以清楚地表示某些随机事件的所有可能出现的结果.当一次试验中只涉及两次操作，且可能出现的结果较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；当一次试验中要涉及两次或两次以上操作，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法.
【课本原题】有三张大小一样而画面不同的画片，先将每一张从中间剪开，分成上下两部分；然后把三张画片的上半部分都放在第一个盒子中，把下半部分都放在第二个盒子中．分别摇匀后，从每个盒子中各随机地摸出一张，求这两张恰好能拼成原来的一幅画的概率.
（九年级上册教材P64随堂练习）
思路分析：这是一道典型的两次操作事件，涉及两步试验的随机事件发生的概率的计算方法---画树状图和列表法.以概率事件中操作次数为依据，选择适当的方法求概率.
解答展示：用A、a表示第1张的上下部分，用B、b表示第2张的上下部分，用C、c表示第3张的上下部分，列表如下：
a b c
A ( A, a ) ( A, b ) ( A,c )
B ( B, a ) ( B,b ) ( B,c )
C ( C, a ) ( C,b ) ( C, c )
由表格知，共有9种的结果，每种结果出现的可能性相同.其中这两张恰好能拼成原来的一幅画的结果有3种，所以P（这两张恰好能拼成原来的一幅画）=＝．
变式 小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中，轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
解析：分析题意，可知摸球涉及三次操作，故应采用树状图法求概率.
画树状图如下：
由树状图知，总共有27种结果，每种结果出现的可能性相同，其中三人摸到球的颜色都不相同的结果有6种，所以P（三人摸到球的颜色都不相同）=＝．
故选D．
牛刀小试
1.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场．由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为 ．
牛刀小试参考答案：1. A 2.看看概率的“朋友圈”
一、概率与坐标系水乳交融
例1 一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字－2，－1，0，1，它们除了数字不同外，其他完全相同．
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ；
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．如图1，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），D（0，1），请用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率．
图1
解析：（1）
（2）列表如下：
－2 －1 0 1
－2 （－2，－2） （－2，－1） （-2，0） （-2，1）
－1 （－1，－2） （－1，－1） （－1，0） （－1，1）
0 （0，－2） （0，－1） （0，0） （0，1）
1 （1，-2） （1，－1） （1，0） （1，1）
由表格知，总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的结果有（－2，0），（－1，－1），（－1，0），（0，－2），（0，－1），（0，0），（0，1），（1，0）共8种，所以P（点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界））=＝．
概率与一元二次方程如影相随
例2 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜，则乙获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
解析：因为a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，所以＝b2－4a>0.
画树状图如下：
由树状图知，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中满足b2－4a>0的结果有（，2），（，3），（，2），（，3），（1，3）共5种，所以P（甲获胜）=.
所以P（乙获胜）=.
故选C．
三、概率与函数脉脉相通
例3 现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字－2，－1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率；
（2）先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y＝2x上的概率．
解析：（1）．
画树状图如下：
由树状图知，总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中点A在直线y＝2x上的结果有（-1，-2），（0，0）共2种，所以P（点A在直线y＝2x上）=＝．
四、与几何图形心心相印
例4 将图2中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
图2
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
解析：（1）
画树状图如下：
由树状图知，总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中拼成的图形是轴对称图形的结果有（A，C）,（C，A）共2种，所以P（拼成的图形是轴对称图形）=＝．方法选对 事半功倍
《孙子·谋攻篇》中说：“知己知彼，百战不殆．”意思是：“如果对敌我双方的情况都能了解透彻，打起仗来就可以立于不败之地”．在求某些事件发生的概率问题时，我们也应如此，既要从“次数”着眼，也要从“结果数”入手，合理选择计算概率的方法.
一、列表法的优势与应用
列表法指用列表格的方式列出等可能事件所有可能出现的结果，从而求事件发生的概率的一种方法，较之于画树状图而言它的优势是操作简便、快速高效．当某一试验中涉及两次操作，且可能出现的结果数目较多时，通常使用列表法.
例1 一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为 ．
分析：这是一个两次操作事件，涉及的结果数较多，用列表法列出所有等可能的结果数，找出所得两位数能被3整除的结果数，用概率公式求解即可．
解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 11 12 13 14 15 16
2 21 22 23 24 25 26
3 31 32 33 34 35 36
4 41 42 43 44 45 46
5 51 52 53 54 55 56
6 61 62 63 64 65 66
由表格知，总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所得两位数能被3整除的结果有12种，所以P（所得两位数能被3整除）＝＝．故填．
二、画树状图法的优势与应用
对于一个等可能事件，在分析可能出现的结果的过程中，采用画图的方法把所有可能的结果一一列出，这幅图好像一棵倒立的树，称为树状图.树状图的优势是既直观又条理分明，还可以避免重复和遗漏．当某一试验中涉及两次操作，且“抽取后不放回或一次抽取两个”时，优先考虑画树状图法.特别地，当一次试验中涉及三次及以上操作时，列表法就显得无能为力，此时要用画树状图法.
例2 “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
分析：“一次抽取两张”与“第一次抽取一张后不放回，第二次再抽取一张”是相同类型的事件，优先考虑画树状图法.
解：立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下：
由树状图知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，所以P（小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”）=＝.故选C．
例3 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
分析：本题属于三次操作试验，对于两次以上随机事件发生的概率问题，应选用画树状图法得出所有等可能的结果数，再根据概率公式求解．
解：画树状图如下：
由树状图知，总共有8种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果有3种，所以P（恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形）=.故选B．
十位数
个位数概率中的数学思想
一、转化思想
例1 如图1，在两个同心圆中，四条直径把大、小圆都分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 .
解析：解题关键在于求出黑色区域部分占大圆面积的百分比．由于黑色区域比较分散，不便求解，于是可将小圆绕圆心旋转45°而圆环部分不动，转化成图2所示的图形，这样容易求出黑色区域部分的面积占大圆面积的，即P（飞镖落在黑色区域）＝．
点评：本题通过转化，使小圆和大圆中的黑色小块集中在一起，从而方便求出黑色区域部分占大圆面积的百分比.
二、方程思想
例2 在一个不透明的袋子里装有3个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸岀1个乒乓球，恰好是黄色的概率为，则袋子里共有 个乒乓球.
解析：设袋子里有x个黄色乒乓球.
根据题意，得.
解得x=7.
经检验，x=7是原分式方程的解.
所以7+3=10（个）.
所以袋子里共有10个乒乓球.
例3 一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的9个红球，3个白球和若干个绿球，每次摇匀后随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋子中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋子中约有绿球 个.
解析：设袋子中有x个绿球.
因为摸到绿球的频率稳定在0.2，所以摸到绿球的概率约为0.2.
根据题意，得=0.2.
解得x=3.
经检验，x=3是原分式方程的解.
所以袋子中约有绿球3个.
点评：当问题不易直接求解时，可以设出合适的未知数列方程求解.剖析错因 远离错误
混淆频率与概率致错
例1 小明在做投掷硬币的试验时，投掷10次，正面朝上有2次，则正面朝上的频率是 ，正面朝上的概率是 .
错解：0.2
剖析：频率不等于概率，但试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，因此可以用此时的频率值估计概率，错解在于试验的次数不够多，只通过10次试验就用频率估计概率.
正解： .
混淆放回与不放回致错
例2 不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是___________．
错解：列表如下：
红 白 蓝 黄
红 （红，红） （红，白） （红，蓝） （红，黄）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝） （白，黄）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） （蓝，黄）
黄 （黄，红） （黄，白） （黄，蓝） （黄，黄）
由表格可知，所有等可能出现的结果共有16种，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的结果有2种，所以P（取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝）==．
剖析：错解没有注意到是一次性摸出2个小球，也就是摸出一个后“不放回”再摸出一个，所以在列表时，两种颜色的球重复的一栏是不符合题意的.
正解：
参考答案：例1 0.2 例2“放回”“不放回” 结果大不同
例1 不透明的布袋中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为 ．
解析：本题第一次摸笔后放回布袋并搅匀，第二次摸笔时的待摸笔数量及颜色同第一次是一样的．列表如下：
红 黄 蓝
红 （红，红） （红，黄） （红，蓝）
黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝）
由表格知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中这两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有2种，所以P（那么这两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支）=．故填.
例2 盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5．从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
解析：本题第一次随机抽出1张后不放回，第二次只能从剩余数字中抽取，因为待抽取的数字各不相同，所以在画树状图时，不会出现两次数字相同的情况．画树状图如下：
由树状图知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，所以P（两次抽出的卡片上的数字之和为偶数）＝＝．故填.
例3 江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 ；（填“相同”或“不同”）
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
解析：（1）第一种先抽取1张不放回，再抽取1张与第二种一次性抽取2张结果是一样的，都属于不放回抽取，故填相同.
把“泰宝”和“凤娃”两种吉祥物分别记为A，B．列表如下：
由表格知，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中抽到不同图案卡片的结果有8种，所以P（抽到不同图案卡片）＝＝．
