由一道中考题说十字架模型
中考题呈现 （2023·黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P．
（1）求证：△ABN≌△DAM；
（2）求∠APM的度数．
思路点拨：（1）由正方形的性质，利用SAS证明全等即可；（2）根据全等的性质可知∠MAP=∠ADM，由∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP即可求得∠APM的度数．
方法总结：分别连接正方形两组对边上任意两点，若连线互相垂直，则连线相等，此结论称为正方形中的十字架模型，总结如下：
图 示 证 明
十字模型 已知ABCD为正方形，若AF⊥BE（EG⊥FH），则AF＝BE（EG＝FH） 方法一 方法二
分别将FH，EG平移至AM，BN位置（作平行线）,证明△BAN≌△ADM 过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥AB于点N，证明△EMG≌△FHN
E
D
H
B
G
E
D
E D
0
变形
F
B
C
B
G
NE
D
H
M
E
H
N
B
M利用对角线的性质巧计算
一、利用矩形对角线的性质计算
例1 如图1，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若∠OBC＝25°，则∠BOE＝ ．
分析：易知△OBC为等腰三角形，从而可求出∠BOC，进而根据等腰三角形的三线合一可求∠BOE．
解：在矩形ABCD中，BO＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝25°．
所以∠BOC＝130°．
在等腰△OBC中，点E是BC的中点，所以∠BOE＝∠COE＝65°．
二、利用菱形对角线的性质计算
例2 如图2，菱形ABCD中，∠ADC＝140°，CF⊥DB，则∠DFC＝ ．
分析：由菱形的对角线平分一组对角，可求出∠FDC，进而利
用直角三角形中两锐角互余可求∠DFC．
解：在菱形ABCD中，∠ADC＝140°，所以∠FDC＝∠ADC
＝70°．在Rt△DFC中，∠DFC＝90°－∠FDC＝20°．
三、利用正方形对角线的性质计算
例3 如图3，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，BE⊥PC，垂足为E，AP＝3，BE＝4，则△BPC的面积是 ．
分析：根据正方形的对角线相等且互相垂直平分，知PC＝AP＝3，从而
易求△BPC的面积．
解：连接AC，因为四边形ABCD是正方形，所以对角线AC与BD互相垂直平分．所以PC＝AP＝3，所以S△BPC＝PC·BE＝×3×4＝6．
例4 如图4，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F、G.若正方形ABCD的边长是10，则四边形EFBG的周长为 .
分析：由正方形性质，易知△AEF和△ECG都是等腰直角三角形，从而有CG＝EG，又EF＝GB，所以四边形EFBG的周长＝2（EG+EF）＝2（CG+GB）＝2CB.
解：因为EF⊥AB，EG⊥BC，所以∠EFB＝90°，∠EGB＝90°.
又∠B＝90°，所以EF∥GB，EG∥BF，所以四边形EFBG是平行四边形，所以EF＝GB.
因为∠ACB＝45°，所以△AEF和△ECG都是等腰直角三角形，所以CG＝EG.
所以四边形EFBG的周长＝2（EG+EF）＝2（CG+GB）＝2CB＝20.
图1
A
B
D
C
O
E
A
B
C
D
图2
F
C
A
B
C
D
P
图3
E
D
C
B
A
E
G
F
图4矩形折叠问题解法展示
矩形是一种特殊的平行四边形，在中考中，矩形的折叠问题因其知识面覆盖广、操作性强、解法灵活等，深受命题老师的喜爱，下面举例解析，供同学们参考！
例 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．若AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长.
解析：方法一：连接OQ，如图2．
因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠B＝∠C＝∠D＝90°.
由作图，知OB＝OC.
由折叠的性质，得AP＝AB＝3，OP＝OB，∠APO＝∠B＝90°，所以OP＝OC，∠QPO＝∠C＝90°.
又因为OQ＝OQ，所以Rt△QPO≌Rt△QCO（HL）.所以PQ＝CQ.
设PQ＝CQ＝x，则AQ＝3+x，DQ＝3﹣x.
在Rt△ADQ中，由勾股定理，得AD2+DQ2＝AQ2，即52+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得x＝.
所以线段CQ的长为.
方法二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．
因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°.
由旋转的性质，得RC＝AB＝3，∠R＝∠BAO，∠OCR＝∠B＝90°.
所以∠OCR+∠BCD＝180°，即点D，C，R共线.
由折叠的性质，得∠BAO＝∠QAO，所以∠QAO＝∠R.所以QA＝QR.
设CQ＝x，则QA＝QR＝3+x，DQ＝3﹣x.
在Rt△ADQ中，由勾股定理，得AD2+DQ2＝AQ2，即52+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得x＝.
所以线段CQ的长为.
牛刀小试
如图4，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF. 若CD＝4，EF＝5 ，求BC的长为 .
牛刀小试答案：用好性质破解菱形计算
一、求线段的长
例1 如图1，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形
的对角线AC的长是（ ）
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 4 cm
解析：因为四边形ABCD是菱形，AC是对角线，所以AB＝BC＝CD＝AD.
因为∠ABC＝60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB＝BC＝AC.
因为菱形ABCD的周长是4 cm，所以AB＝BC＝AC＝1 cm.
故选A．
点评：解决本题的关键是利用菱形的性质，将问题转化为等腰三角形，结合等腰三角形的性质解决问题.
例2 如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC
于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝ ．
解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，所以BD＝8.
因为S菱形ABCD＝AC·BD＝24，所以AC＝6.
所以OC＝AC＝3，所以BC＝=5.
因为S菱形ABCD＝BC·AH＝24，所以AH＝.
故填．
点评：解决本题的关键是利用菱形的性质，将问题转化为直角三角形，利用直角三角形的性质结合菱形的面积公式解决问题.
二、求面积
例3 把图3-①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图3-②，图3-③所示的正方形，则图3-①中菱形的面积为 ．
图3
解析：因为四边形ABCD是菱形，所以OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.
设OA＝x，OB＝y.
根据题意，得解得
所以AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4.
所以S菱形ABCD＝AC·BD＝×6×4＝12.
故填12．
点评：菱形的对角线将图形分成四个全等的直角三角形.对称助力 轻松解题
菱形、矩形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，在求解与之有关的问题时，应用其对称性，可使问题迎刃而解.
例1 如图1，菱形ABCD的对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（ ）
A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
图1
思路点拨：由菱形的对角线互相垂直且平分可知A，C两点关于原点对称，从而可得点C的坐标．
例2 如图2，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F.若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
图2
思路点拨：由矩形是以对角线交点为对称中心的中心对称图形可知将△BOF旋转可得到△DOE,将△ABC旋转可得到△CDA，从而可知阴影部分的面积为矩形ABCD面积的一半．
例3 如图3，BD是正方形ABCD的对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF.若DE=DC，EF=EC，则∠AFE的度数为 .
图3
思路点拨：如图3，连接AE，由正方形的对称轴为对角线所在直线可得AE=CE=EF，∠DEC=∠DEA，∠BDC=∠ADC=45°，由DE=DC，EF=EC，结合三角形的内角和定理可求得∠AEF的度数，进而可求得∠AFE的度数.
答案：例1 B 例2 6 例3 45°精彩菱形 在变式中绽放
【课本原题】如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH．（北师大九年级上册教材P9习题1.3第3题）
图1
思路分析：先由菱形的性质得出AC⊥BD，OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，再利用勾股定理求出AB＝10，最后根据菱形的面积公式得出S菱形ABCD＝·AC·BD＝AB·DH，即可求得DH＝9.6．
变式1 如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为E，则OE＝ ．
图2
解析：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝4．
在Rt△OBC中，由勾股定理，得BC＝＝5．
因为OE⊥BC，所以OE BC＝OB OC，解得OE＝．
变式2 如图3，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝ ．
图3
解析：因为四边形ABCD是菱形，所以∠OBC＝∠ABC＝70°，OB＝OD.
因为 DE⊥BC，所以∠BED＝90°．
在Rt△BED中，OE为斜边BD上的中线，所以OE＝BD=OB.所以∠OEB＝∠OBE＝70°．
所以∠OED＝∠BED－∠OEB＝90°－70°＝20°．
