24.1.3弧、弦、圆心角课后培优提升训练（含答案）人教版2025—2026学年九年级数学上册

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24.1.3弧、弦、圆心角课后培优提升训练人教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
B．优弧一定比劣弧长；
C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等；
D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
2．如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形内接于，．若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．5
4．如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知中，，则弦和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
8．如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
二、填空题
9．如图，在中，若，，则的度数为 ．
10．如图，是的直径，，，则 ．
11．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ．
12．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ．
三、解答题
13．如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
14．如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证：
(1)
(2)．
15．如图，是的直径，为的一条弦（不为直径），点是与的交点，，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求的半径．
16．如图，在中，弦，于，于．
(1)求证：．
(2)若的半径为5，，求的长．
17．如图，正方形内接于，为弧中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求点到的距离．
18．如图，是的弦，是弧的中点．
(1)连接，求证：垂直平分；
(2)若，，求的半径．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．A
4．B
5．C
6．B
7．B
8．C
二、填空题
9．
10．/42度
11．
12．3
三、解答题
13．【解】（1）证明：过O作于M，连接、，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
．
14．【解】（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，即．
15．【解】（1）解：，理由如下：
如图所示，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，是的直径，
∴，
设的半径为，则，
∴在中，，
∴，
∴，
∴的半径为10．
16．【解】（1）证明：，
，
∴，
即，
；
（2）解：连接，
，，
．
．
17．【解】（1）解： 四边形是正方形，
，
为弧的中点，
，
∴，
，
是等腰三角形．
（2）解：如图，连接，连接并延长交于点，
，，
是线段的垂直平分线，
四边形是正方形，
，
∵，
，
∴，
则，
∴，
，
，
即点到的距离为．
18．【解】（1）证明：∵是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：设与交于点，如图，
由（）知，垂直平分，
∴， ，
∵，
∴，
设的半径为，则，，
在中由勾股定理得，即，
解得：，
∴的半径为．
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