24.1.2垂直于弦的直径课后培优提升训练（含答案）人教版2025—2026学年九年级数学上册

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24.1.2垂直于弦的直径课后培优提升训练人教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．已知圆的直径，为圆的弦，，且，垂足为点，且满足，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且，已知，，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，为互相垂直的两条弦，是上的点，且，则矩形的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
5．如图，的半径为5，四边形内接于，且于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（　　）
A．8 B．16 C．32 D．
7．下列说法中，不正确的是（　　）
A．圆的对称轴有无数条
B．把一个圆绕圆心旋转任意一个角度，仍会与原来的圆重合
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
D．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
8．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，是的一条弦，于点C，交于点D，连接．若，，则的半径为 ．
10．如图，的半径为10，圆心O到弦的距离为6，则的长为 ．
11．如图1，把圆形井盖卡在角尺（角的两边互相垂直，一边有刻度）之间即圆与两条直角边相切，现将角尺向右平移，如图2，边与圆的两个交点对应的长为，则可知井盖的半径是 ．
12．如图，内接于，若，，则的半径是 ．
三、解答题
13．如图，在中，，连接．
(1)求证：；
(2)过点作交的延长线于点，若，求的长．
14．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求直径的长．
15．如图，在中，已知是垂直平分半径的弦．
(1)求的度数；
(2)若弦，求的半径．
16．如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路，与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等．现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点，与外围栅栏交于点．
(1)试说明；
(2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径．
17．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．
(1)求证：；
(2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值．
18．如图，已知平行四边形中，以O为圆心的经过两点，，半径
于点D，．
(1)求的半径；
(2)E是上一点，连接交于点F，当时，求的长．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．A
4．D
5．A
6．B
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）证明：如图，连接、，
∵，
∴所在的直线是的垂直平分线，
延长交于点E，
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
14．【解】（1）证明：∵，且过圆心O
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，设的半径是r，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴或（舍去），
∴的直径是．
15．【解】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴在中，（），
由勾股定理，得，
解得：（舍去），
∴的半径为．
16．【解】（1）证明：在中，，，
∴，，
∴，即；
（2）解：连接，
设的半径为r，则米，米，
∵，
∴米，
在中，，
解得，即花园的半径为50米．
17．【解】（1）证明：如图：作于E，
由垂径定理，得：
即；
（2）解：如图，连接，
，
，
在和中，由勾股定理，得：
，
，
即，
解得：
大圆的半径为．
18．【解】（1）解：∵，，
∴，，
设圆的半径为r，
∵，
∴由勾股定理得：，
解得：，
∴的半径为；
（2）解：过作，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
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