新人教版第十一章 三角形章末复习学案(附答案)

第十一章
三角形
识记
1.由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相
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三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”.
2.三角形按边的关系分类如下：
不等边三角形
三角形
底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形
锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形.
3.（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4.（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线
。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
5.三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。如:屋顶钢架.而四边形没有稳定性。如：伸缩门.
6.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②有两个角互余的三角形是直角三角形.
7.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
8.在平面内,由三条或三条以上的线段首位顺
( http: / / www.21cnjy.com )次连接所组成的封闭图形叫做多边形。组成多边形的各条线段叫做多边形的边。每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。一个n边形有n个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
如果整个多边形在它的任一条边所在直线的同一侧,那么这个多边形叫做凸多边形.如图1。本章所讲的多边形都是指凸多边形.反之就不是，如图2.
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图1
图2
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.
9.
n边形的内角和等于（n-2）×180°.
(凸)多边形的外角和等于360°.
n边形的对角线条数等于
.
10.用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部
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　　实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。
只用一种正多边形可以进行镶嵌的有等边三角形、正方形、正六边形.
只用一种非正多边形(全等)可以进行镶嵌的是三角形、四边形.
典例
【例1】
已知等腰三角形的两边长分别为10
和5
，则三角形的周长是25
．
【解】若腰为10，底为5.满足5+10＞10，则周长为10+10+5=25
若腰为5，底为10.不满足三角形三边关系定理，三角形不存在
故其周长为25
【例2】三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形的个数为（
）
A、1
B、3
C、5
D
、无数
【解】根据三角形三边关系定理可得：
c的范围是：5-3则满足条件的c的整数值有5个，故以a,b,c为边组成三角形的个数是5.
故答案是：C
【例3】如图ABC中，AD是BC上的中线，BE是ABD中AD边上的中线，若ABC的面积是24，则ABE的面积是
6
。
【解】
∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE=S△BED=S△ABD，
∴S△ABE=S△ABC，
∵△ABC的面积是24，
∴S△ABE=×24=6．
故答案为：6．
【例4】在△ABC中，∠A﹣∠B=10°，，则∠C=
150°
．
【解】在△ABC中，
∵∠A﹣∠B=10°，，
∴∠A﹣∠A=10°，
∴∠A=20°，∠B=10°，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣10°=150°．
【例5】已知在△ABC中，∠A=400，∠B-∠C=400，则∠B=90°，∠C=50°
.
【解】
∵在△ABC中，∠A=40°，
∴∠B+∠C=140°①，
∵∠B﹣∠C=40°②，
∴①﹣②得，2∠C=100°，解得∠C=50°．
∴∠B=90°
故答案为：∠B=90°,
∠C=50°．
【例6】若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|．
【解】：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴原式=|a﹣（b+c）|+|b﹣（c+a）|+|（c+b）﹣a|
=b+c﹣a+a+c﹣b+c+b﹣a
=﹣a+b+3c．
【例7】将长度为24的一根
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【解】：∵a+b+c=24，且a+b＞c，a≤b≤c，
∴8≤c≤11，即c=8，9，10，11，
故可得（a，b，c）共12组：
A（2，11，11），B（3，10，11），C（4，9，11），D（5，8，11），E（6，7，11），
F（4，10，10），G（5，9，10），H（6，8，10），I（7，7，10），J（6，9，9），
K（7，8，9），L（8，8，8）．
【例8】正多边形的一个内角等于1440，则该多边形是正（
）边形。
A、8
B、9
C、10
D、11
【解】∵正多边形的一个内角为144°，
∴外角是180﹣144=36°，
∵360÷36=10，
则这个多边形是正十边形，
故选C．
【例9】一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的,这个正多边形是几边形？
【解】设正多边形的边数为n，得:
180(n－2)＝360×3
解得n＝8.
答：这个正多边形是八边形．
【例10】如图所示，在△ABC中，∠A
( http: / / www.21cnjy.com )：∠ABC：∠ACB=3：4：5，BD、CE分别是AC、AB上的高，BD、CE相交于H，求△ABC各内角的度数及∠BHC的度数。
【解】
∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，
故设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x．
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴3x+4x+5x=180°，
解得x=15°，
∴∠A=3x=45°,
∠ABC=4x=60°，∠ACB=5x=75°．
∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，
∴在△ABD中，∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°．
【例11】如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的。
（1）用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面？
（2）像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？为什么？
（3）你能不能另外想出一种用多边形（不一定是正多边形）的材料铺地面的方案？把你想到的方案画成草图。
【解】
（1）每个顶点周围有6个正三角形的内角，恰好组成一个周角；
（2）不能，因为正十边形的内角不能组成360°；
（3）能，如图所示：
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【例12】如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线．求∠EAD的度数．
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【解】
∵∠B=60°，∠C=20°，
∴∠BAC=180°﹣60°﹣20°=100°，
∵AE为角平分线，
∴∠BAE=100°÷2=50°，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣60°=30°，
∴∠EAD=∠BAE﹣∠BAD=50°﹣30°=20°，
即∠EAD的度数是20°．
【例13】如图，P是△ABC内一点，连结PB、PC．
探究一：当∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠P=90°+∠A是否成立？并说明理由．
探究二：当∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，∠P与∠A的关系如何？请说明理由．
探究三：当∠1=∠ABC，∠2=∠ACB时，请直接写出∠P与∠A的关系式是：
【解】（1）成立，理由如下：
∠1+∠2=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∠P=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A；
（2）∠P=120°+∠A，
理由如下：
∠1=ABC，∠2=∠ACB，
∠1+∠2=（180°﹣∠A）=60°﹣∠A，
∠P=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（60°﹣∠A）=120°+∠A，
（3）∠P=，
理由如下：
∠1=ABC，∠2=∠ACB，
∠1+∠2=（180°﹣∠A），
∠P=180°﹣（∠1+∠2）=.
【例14】如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度数；
（2）△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系，并说明理由．
【解】
（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣70°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=80°÷2=40°，
∵∠AED=∠B+∠BAE=30°+40°=70°，
∴∠DAE=90°﹣70°=20°．
（2）根据（1）问的结果，猜想∠DAE与α，β间的等量关系为：，
证明:∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°﹣α﹣β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=（180°﹣α﹣β）÷2=90°﹣，
∵∠AED=∠B+∠BAE=α+（90°﹣）=90°+，
∴∠DAE=90°﹣（90°+）=．
【例15】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC=32°，∠AEB=70°．
（1）求证：∠BAD：∠CAD=1：2；
（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
【解】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=64°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD=90°﹣64°=26°，
∵∠C=∠AEB﹣∠EBC=70°﹣32°=38°，
∴∠CAD=90°﹣38°=52°，
∴∠BAD：∠CAD=1：2；
（2）解：分两种情况：
①当∠EFC=90°时，如图1所示：
则∠BFE=90°，
∴∠BEF=90°﹣∠EBC=90°﹣32°=58°；
②当∠FEC=90°时，如图2所示：
则∠EFC=90°﹣38°=52°，
∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=52°﹣32°=20°；
综上所述：∠BEF的度数为58°或20°．
选练
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　D　)．
A．1cm,
2cm,
3cm
B．2cm,
5
cm,
8cm
C．4
cm,
5
cm,
10
cm
D．3
cm,4
cm,
5
cm
2．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是
（
C
）.
3．下列说法错误的是(　C　)．
A．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
B．钝角三角形有两条高线在三角形外部
C．直角三角形只有一条高线
D．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
4．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是(　C　)．
A．四边形的边长
B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小
D．四边形的内角和
一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是几边形？
(　A　)．
A．三角形
B．四边形C．五边形
D．六边形
6．在下列条件中①∠A＋∠B＝∠C
( http: / / www.21cnjy.com )，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A＝90°－∠B，④∠A＝∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有(　D　)．
A．1个
B．2个C．3个
D．4个
7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为(　A　)．
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．以上都不对
8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(　B　)．
A．∠A＝∠1＋∠2
B．2∠A＝∠1＋∠2
C．3∠A＝2∠1＋∠2
D．3∠A＝2(∠1＋∠2)
9．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是(　C　)．
A．相等
B．互补C．相等或互补
D．无法确定
10.等腰三角形的两边长分别为5
cm和10
cm，则此三角形的周长是（
C
）
A．15
cm
B．20
cm
C．25
cm
D．20
cm或25
cm
11.如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，
这里所运用的几何原理是（　A
）
Ａ．三角形的稳定性
Ｂ．两点之间线段最短
Ｃ．两点确定一条直线　　　
Ｄ．垂线段最短
12.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（C　）
A.小于直角　　B.等于直角　　C.大于直角　　D.不能确定
13.下列说法中正确的是（　D
）
A．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形
B．等腰三角形任何一个内角都有可能是钝角或直角
C．三角形外角一定是钝角
D．在△ABC中，如果∠AB∠C，那么∠A60°，∠C60°
14.五边形的内角和是（
C
）
A．180°
B．360°
C．540°
D．600°
15.不一定在三角形内部的线段是（
C
）
A.三角形的角平分线
B.三角形的中线
C.三角形的高
D.以上皆不对
16.现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是（　A　）
A．正方形和正六边形B．正三角形和正方形
C．正三角形和正六边形D．正三角形、正方形和正六边形
17.如图，已知：D，E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE，AD，若S△ABC=24cm2，则△DEC的面积的面积为（　B　）
A．4cm2
B．6cm2
C．8cm2
D．12cm2
18.直角三角形的两锐角平分线相交成的角的度数是（
C
）
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．以上答案均不对
19.三角形的三边分别为3，1﹣2a，8，则a的取值范围是（　B　）
A．﹣6＜a＜﹣3
B．﹣5＜a＜﹣2
C．2＜a＜5
D．a＜﹣5或a＞﹣2
20.在△ABC中，若∠A：∠B=5：7，且∠C比∠A大10°，那么∠C的度数为（　B　）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
21.一个正多边形形的内角和是1440°，则它的每个内角的度数是（　B　）
A．30°
B．36°
C．45°
D．60°
22.如果一个三角形的三个外角之比
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C
）
A、4：3：2
B、3：2：4
C、5：3：1
D、4：2：3
23.一个五边形有三个角是直角，另两个角都等于n，则n的值为（
C
）
A、1080
B、1250
C、1350
D、1500
24.将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下的角的个数是（
D
）
A、3
B、4
C、5
D、3或4或5
25.
下列图中不是凸多边形的是（　A　）
A．
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B．
C．
D．
26.
下列属于正多边形的特征的有（　B　）
①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各条对角线相等；⑤从一个顶点引出的对角线将n边形分成面积相等的（n﹣2）个三角形．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
27.
马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830°，则该多边形的边数是（　C　）
A．7
B．8
C．7或8
D．无法确定
28.
如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（　C　）
A．2πR2
B．4πR2
C．πR2
D．不能确定
29.
已知一个正n边形的一个内角是它外角的5倍，则n等于（　C　）
A．8
B．10
C．12
D．14
30.
如图所示，小华从A点出发，沿直线前进
( http: / / www.21cnjy.com )10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　B　）
A．140米
B．150米
C．160米
D．240米
31.
在下列条件中：①∠
( http: / / www.21cnjy.com )A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④3∠A=2∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　C　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
32.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°，则∠A的度数是（　A　）
A．50°
B．57.5°
C．60°
D．65°
33.如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（　B　）
A．180°
B．360°
C．540°
D．720°
34.
将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（　B　）
A．120°
B．105°
C．90°
D．75°
35.
如图，把△ABC
( http: / / www.21cnjy.com )纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　B　）
A．∠A=∠1+∠2
B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2
D．3∠A=2（∠1+∠2）
36.
如图，用四个螺丝将四条不可弯曲
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A．6
B．7
C．8
D．10
37.
若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|=（　B　）
A．a+b+c
B．﹣a+3b﹣c
C．a+b﹣c
D．2b﹣2c
38.
若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+=0，则c的值可以为（　A　）
A．5
B．6
C．7
D．8
39.
长度为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（　B　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
40.
如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，则所得任一多边形内角和度数不可能是（　A　）
A．720°
B．540°
C．360°
D．180°
第2题图
A
O
B
第11题图