【精品解析】浙江省宁波市镇海蛟川书院2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷

浙江省宁波市镇海蛟川书院2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·宁波开学考）如图，一束光线照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角。若∠1=50°，∠3=76°，则∠2的度数为（　　）
A．50° B．55° C．63° D．65°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵光线的反射角等于入射角，
故答案为：C.
【分析】由光线的反射角等于入射角得出由平角的定义和三角形内角和定理求出即可得出结果.
2．（2025八上·宁波开学考）如图，在□ABCD中，AB=2，∠D=45°，∠ACD=90°，M是AD的中点，E是AB延长线上的动点，作∠EMF=90°交AC的延长线于点F.记BE=x，CF=y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CM， 设AF， ME交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵∠D=45°，
∴∠CAD=∠D=45°，
∴CA=CD，
∵AM=MD，
∴CM = AM = MD， CM⊥AD，
∵∠AMC=∠EMF=90°，
∴∠AME=∠CMF，
∵∠EAO=∠FMO=90°， ∠AOE=∠FOBE=2M，
∴∠E=∠F，
∴△AME≌△CMF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE-BE=AB=2，
∴CF-BE=2，
∴y-x=2，
∴x-y=-2的值不变.
故答案为：B.
【分析】证明△AME≌△CMF， 推出AE=CF可得结论.
3．（2025八上·宁波开学考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D.
【分析】三角形有两角和夹边是完整的，根据“角边角”作出三角形即可．
4．（2025八上·宁波开学考）如图，△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC)的所有格点三角形的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图：
图中与 有一条公共边且全等 (不含 的所有格点三角形的个数是5个.
故答案为：A.
【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案.
5．（2025八上·宁波开学考）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作直线 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点 内角平分线相交于点 根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案.
6．（2025八上·宁波开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F.已知AD=3，CD=8.求阴影部分面积为（　　）
A．12 B．24 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为正方形，
设边长为x，
由勾股定理可知，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线性质得到四边形BFDE为正方形，根据正方形的边长和三角形的面积得到关于阴影面积的等式，最后求出阴影部分的面积.
7．（2025八上·宁波开学考）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…….An分别是正方形的中心，则个这样的正方形重登部分（阴影部分）的面积和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含 的两个三角形全等，
进而求得阴影部分面积等于正方形面积的 即是
5个这样的正方形重叠部分 (阴影部分)的面积和为 n个这样的正方形重叠部分 (阴影部分)的面积和为
故答案为：C.
【分析】连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含 的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积，再根据规律即可求得n个这样的正方形重叠部分 (阴影部分)的面积和.
8．（2025八上·宁波开学考）如图，在等腰三角形ABC中，，点为BC的中点，连接AE.以BC为边向左作，且，.连接DE，记和的面积分别为和，则的最大值是（　　）
A．8 B． C． D．6
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示， 取BD的中点F， 连接EF， CF，
∵∠BCD = 90°， F是BD的中点，
∴CF =BF = DF，
∵AB= AC， E为BC的中点，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BD∥AC，
∴∠FBC=∠BCA，
∴∠FBC=∠ABC，
∵ FB= FC， E为BC的中点，
∴FE⊥BC，
∴∠FEB =∠AEB = 90°，
在△FBE与△ABE中，
∴当 时， 取得最大值，即 的最大值是
故答案为：A.
【分析】取BD的中点F，连接EF，CF，得出 进而证明△FBE≌△ABE(ASA)得出 结合已知条件得出 ，进而可得 即可求解.
9．（2025八上·宁波开学考）如图，在△ABC中，∠APC=114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（　　）
A．48° B．52° C．62° D．66°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM， PN=CN，
∴∠MAP=∠MPA， ∠CPN =∠PCN，
∵∠BMN =∠MAP+∠MPA， ∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN = 2∠MPA， ∠BNM =2∠CPN，
又∵∠APC=114°，
∴∠BMN+∠BNM =2
(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)
=132°，
∴∠ABC=180°-(∠BMN+∠BNM)=48°，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA， ∠CPN =∠PCN， 由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN =∠MAP+∠MPA， ∠BNM=∠CPN+∠PCN， 可得∠BMN=2∠MPA， ∠BNM=2∠CPN， 求出∠BMN+∠BNM =132°，根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．（2025八上·宁波开学考）在△ABC中，，D是BC上一动点，连接AD，E是三边垂直平分线的交点.连接AE，DE，若，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵E是 三边垂直平分线的交点.
E是 的外心.
是等腰三角形，
是等腰直角三角形，且
是等腰直角三角形，
作AC的垂直平分线l交AC于点H，则.AC=2AH=6，
∴点E在AC的垂直平分线上运动，
当点D运动到使得点E到达点H时，即， 面积最小，
此时
故答案为：D.
【分析】证明 是等腰直角三角形，且 ，证明 是等腰直角三角形，作AC的垂直平分线l交AC于点H，则AC=2AH=6，则AH=3 由点E在AC的垂直平分线上运动得到当点D运动到使得点E到达点H时，即 面积最小，即可求出答案.
11．（2025八上·宁波开学考）如图，△AOB≌△COD，∠AOB=110°，OB⊥OC.则∠DOB=　 　。
【答案】20
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：
故答案为：20.
【分析】根据 可得 再由 可得结果.
12．（2025八上·宁波开学考）如图，AB=6cm，AC=BD=4cm，∠CAB=∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，点Q在线段BD上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为t（s)，则当点的运动速度为　 　cm/s时，△ACP与△BPO有可能全等.
【答案】1或
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：当AP=BQ，AC=BP时， (SAS)，
∵ P、Q运动的路程和时间相同，
∴Q和P的运动速度相同是1cm/s；
当AP=BP，AC=BQ时， (SAS)，
∴ Q运动的时间是3÷1=3(s)，
∴Q运动的速度是
∴当点Q的运动速度为1或 时， △ACP与△BPQ全等.
故答案为：1或
【分析】当AP=BQ，AC=BP时， (SAS)，得到Q和P的运动速度相同是1cm/s；当AP=BP，AC=BQ时， ，求出Q运动的时间是3s，即可求出Q运动的速度是 于是得到答案.
13．（2025八上·宁波开学考）如图，在△PAB中，∠A=∠B，M、N、K分别是PA.PB.AB上的点·且AM=BK.BN=AK.若∠MKN=40°.则∠P的度数为　 　.
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在△MAK和△KBN中，
∴△MAK≌△KBN(SAS)，
∴∠BKN =∠AMK，
∵∠MKB是△AMK的外角，
∴∠BKN+∠MKN =∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=40°，
∴∠B=∠A =40°，
∴∠P= 180°-40°-40°= 100°，
故答案为： 100°.
【分析】证明△MAK≌△KBN，根据全等三角形的性质得到∠BKN =∠AMK，根据三角形的外角性质求出∠A，根据三角形内角和定理计算，得到答案.
14．（2025八上·宁波开学考）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F.若AD=BD，DE=DC，FC=30.AF=20.则△ABE的面积是　 　.
【答案】500
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠BDE =∠ADC=90°，
在△BDE和△ADC中，
∴△BDE≌△ADC(SAS)，
∴∠DBE =∠DAC， BE= AC，
∴∠DBE+∠C=∠DAC+∠C=90°，
∴∠BFC=90°，
∴AF⊥BE，
∵FC=30， AF=20，
∴BE=AC=FC+AF=30+20=50，
∴△ABE的面积是500，
故答案为： 500.
【分析】由AD⊥BC于D， 得∠BDE =∠ADC=90°， 即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BDE≌△ADC，得∠DBE=∠DAC， BE= AC， 则∠DBE+∠C=∠DAC+∠C=90°， 即可证明AF⊥BE， 因为FC=30， AF=20， 所以BE= AC=FC+AF=50， 即可求得△ABE的面积.
15．（2025八上·宁波开学考）如图，已知△ABC的面积为8cm2.BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为　 　cm2.
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直 的平分线BP于P，
又知BP=BP，
在 与 中，
和 等底同高，
设 的面积为m，
故答案为：4.
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直 的平分线BP于P，即可求出 又知 和 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.
16．（2025八上·宁波开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始AP终保持AP+AQ=AB，连结BQ和CP，当BQ+CP值达到最小时，的值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图： 过点B作BE∥AC， 且BE= AC， 在BA上截取BH= AP， 连接CH，
∵AB=AC， AP+AQ=AB， AB=AP+BP， AC= AQ+CQ，
∴AQ = BP， CQ = AP = BH，
∵AC∥BE，
∴∠A=∠EBH，
在△ACP和△BEH中，
∴△ACP≌△BEH(SAS)，
∵AB=AC，
∴∠ABC =∠ACB，
在△CBQ和△BCH中，
∴△CBQ≌△BCH(SAS)，
∴CH= BQ，
∴BQ+CP=CH+HE，
∴当点C， 点E， 点H三点共线时， BQ+CP有最小值，
此时，∵AC∥BE，
∴∠A=∠EBA， ∠ACH = ∠BEH，
又∵AC=BE，
∴△ACH≌△BEH(ASA)，
∴AH=BH，
∴点H是AB的中点，
∴点P与点H重合，
∴BP = BH = AQ = AP，
故答案为：.
【分析】由“SAS”可证. 可得CP=HE，由“SAS”可证. 可得CH=BQ，则BQ+CP=CH+HE，即当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，由“ASA”可证 可得AH=BH，即可求解.
17．（2025八上·宁波开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN=45，连接MN，若BMN的周长为4，则Rt△ABC的面积为　 　.
【答案】30
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， ∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D， 如图， 过D点作DE⊥AB于E， DF⊥BC于F， DH⊥AC于H， 在FC上截取FP =EM， 连接BD，
∴DE = DH，
同理可得DF=DH，
∴DE= DF，
在Rt△ADE和Rt△ADH中，
∴ Rt△ADE≌Rt△ADH(HL)，
∴AE= AH，
同理可得CF=CH，
在△DEM和△DFP中，
∴△DEM≌△DFP(SAS)，
∴DM = DP， ∠EDM =∠FDP，
∴∠EDM+∠MDF =∠PDF+∠MDF，
∴∠MDP =∠EDF，
∵DE⊥AB， BF⊥AB，
∴DE∥BF，
∵DF⊥BC，
∴DE⊥DF，
∴∠MDP =∠EDF=90°， DF =BE=DE=BF，
∵∠MDN = 45°，
∴∠PDN = 45°，
在△DMN和△DPN中，
∴△DMN≌△DPN(SAS)，
∴MN=NP=NF+FP=NF+EM.
∴△BMN的周长= MN+BM+BN=EM+BM+BN+NF=BE+BF=4，
设AB=a，BC=b，
b-2，
=13，
的面积为30.
故答案为：30.
【分析】过D点作DE⊥AB于E， DF⊥BC于F， DH⊥AC于H， 在FC上截取FP = EM， 连接BD， 根据角平分线的性质得到DE= DH= DF， 证明Rt△ADE Rt△ADH得到AE = AH， 证明Rt△CDF≌Rt△CDH得到CF=CH， 证明△DEM≌△DFP，得到DM = DP， ∠EDM =∠FDP， 再证明△DMN≌△DPN(SAS)， 得到MN = NP = NF+FP=NF+EM.则可求出BE=BF=2，设AB=a， BC=b， 根据 可得 根据AC= AH+CH =AE+CF=a-2+b-2= 13， 可得a+b=17， 据此可得答案.
18．（2025八上·宁波开学考）如图，在△ABC中，DE是线段BC的垂直平分线，点F是线段AC的中点，其中CF=5，AB=8，则△ABE的周长为　 　.
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点F是线段AC的中点，CF=5，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
的周长=AB+AE+EB=AB+AE+EC=AB+AC=8+10=18，
故答案为：18.
【分析】根据中点的性质求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，再根据三角形周长公式计算即可.
19．（2025八上·宁波开学考）如图，在中，，，D，E是斜边BC上两点，且，若，，，求与的面积之和.
【答案】解：在Rt△ABC中， AB=AC， ∠ABC =∠ACB=45°， ∠DAE=45°，
如图， 将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB， 过点A作AH⊥BC于H，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠ABF =∠ACD=45°， ∠BAF=∠CAE， AE= AF，
∴∠FBE =45°+45°= 90°， BF =CE，
∵∠DAE = 45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠BAD+∠BAF=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
在△DAE和△DAF中，
∴△DAE≌△DAF(SAS)，
∴DE=DF，
∵BD=3， CE=4，
∴DE=5，
∴BC =BD+DE+CE=12，
∵AB=AC， ∠BAC = 90°， AH⊥BC，
∴△ABD与△AEC的面积之和
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 顺时针方向旋转 得到过点A作 于H，得出 ，由“SAS”可证 由全等三角形的判定与性质得出DE=DF，由勾股定理求出DE的长，根据三角形的面积可求出答案.
20．（2025八上·宁波开学考）已知△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°
（1）如图1，求证：BE=CD：
（2）如图2，在图1的基础上延长BE和DC相交于点G，过点A作AF⊥BG于点F，若CG=2，BG=7，求BF的长：
（3）如图3，点D，E分别在AC，AB上，连接CE，过点D作DH⊥CE于点H，过点A作AGIIBC交HD的延长线于点G，连接CG，求证：CG+DG=CE.
【答案】（1）证明： ∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴BE =CD；
（2）解：
连接AG， 作AN⊥DG于点N，
由 (1) 知，△BAE≌△CAD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵AE= AD， ∠AFE =∠AND=90°，
∴△AEF≌△ADN(AAS)，
∴AF=AN， EF= DN， ∠EAF =∠NAC，
∴∠FAN =∠DAE= 90°，
∴四边形AFGN为正方形，
∴FG=GN，
同理△ABF≌△ACN(AAS)，
∴BF=CN，
设BF=x， 则CN=x，
∴ FG =GN =CG +CN =2+x，
∴x+2+x=7，
∴x=2.5，
∴BF=2.5；
（3）证明：
证明： 在CE上取点M， 使得EM = DG， 连接AM，
∵DH⊥CE，
∴∠DHE= 90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADH +∠AEH = 180°，∵∠ADH+∠ADG = 180°，
∴∠ADG=∠AEM，
在△ADG与△AEM中，
∴△ADG≌△AEM(SAS)，
∴AG = AM， ∠GAD=∠MAE，
∵AG∥BC，
∴∠GAD=∠ACB=45°，
∴∠GAD=∠DAM，
在△ACG与△ACM中，
∴△ACG≌△ACM(SAS)，
∴CG=CM，
∴CG+DG=CM+EM =CE.
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)证明△ABE=△ACD(SAS)， 得出BE=CD；
(2)连接AG， 作AN⊥CD于点N.由 (1) 知，△BAE≌△CAD，证明△AEF≌△ADN(AAS)，得AF=AN， EF = DN， ∠EAF =∠NAC， 证出FQ= FN， 证明四边形AFGN为正方形， 得FG=GN， 同理△ABF≌△ACN(AAS)， 得BF=CN，则可得出答案；
(3)在CE上取点M，使得EM = DG， 连接AM，证明△ADG≌△AEM(SAS)，得出AG=AM， ∠GAD=∠MAE， 证明△ACG=△ACM(SAS)，得出CG=CM，则可得出结论.
1 / 1浙江省宁波市镇海蛟川书院2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷
1．（2025八上·宁波开学考）如图，一束光线照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角。若∠1=50°，∠3=76°，则∠2的度数为（　　）
A．50° B．55° C．63° D．65°
2．（2025八上·宁波开学考）如图，在□ABCD中，AB=2，∠D=45°，∠ACD=90°，M是AD的中点，E是AB延长线上的动点，作∠EMF=90°交AC的延长线于点F.记BE=x，CF=y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C．xy D．
3．（2025八上·宁波开学考）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是(　　)
A． B． C． D．
4．（2025八上·宁波开学考）如图，△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC)的所有格点三角形的个数是（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（2025八上·宁波开学考）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
6．（2025八上·宁波开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F.已知AD=3，CD=8.求阴影部分面积为（　　）
A．12 B．24 C．18 D．20
7．（2025八上·宁波开学考）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…….An分别是正方形的中心，则个这样的正方形重登部分（阴影部分）的面积和为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八上·宁波开学考）如图，在等腰三角形ABC中，，点为BC的中点，连接AE.以BC为边向左作，且，.连接DE，记和的面积分别为和，则的最大值是（　　）
A．8 B． C． D．6
9．（2025八上·宁波开学考）如图，在△ABC中，∠APC=114°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠ABC的度数为（　　）
A．48° B．52° C．62° D．66°
10．（2025八上·宁波开学考）在△ABC中，，D是BC上一动点，连接AD，E是三边垂直平分线的交点.连接AE，DE，若，则的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．
11．（2025八上·宁波开学考）如图，△AOB≌△COD，∠AOB=110°，OB⊥OC.则∠DOB=　 　。
12．（2025八上·宁波开学考）如图，AB=6cm，AC=BD=4cm，∠CAB=∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，点Q在线段BD上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为t（s)，则当点的运动速度为　 　cm/s时，△ACP与△BPO有可能全等.
13．（2025八上·宁波开学考）如图，在△PAB中，∠A=∠B，M、N、K分别是PA.PB.AB上的点·且AM=BK.BN=AK.若∠MKN=40°.则∠P的度数为　 　.
14．（2025八上·宁波开学考）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F.若AD=BD，DE=DC，FC=30.AF=20.则△ABE的面积是　 　.
15．（2025八上·宁波开学考）如图，已知△ABC的面积为8cm2.BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为　 　cm2.
16．（2025八上·宁波开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始AP终保持AP+AQ=AB，连结BQ和CP，当BQ+CP值达到最小时，的值为　 　.
17．（2025八上·宁波开学考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN=45，连接MN，若BMN的周长为4，则Rt△ABC的面积为　 　.
18．（2025八上·宁波开学考）如图，在△ABC中，DE是线段BC的垂直平分线，点F是线段AC的中点，其中CF=5，AB=8，则△ABE的周长为　 　.
19．（2025八上·宁波开学考）如图，在中，，，D，E是斜边BC上两点，且，若，，，求与的面积之和.
20．（2025八上·宁波开学考）已知△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°
（1）如图1，求证：BE=CD：
（2）如图2，在图1的基础上延长BE和DC相交于点G，过点A作AF⊥BG于点F，若CG=2，BG=7，求BF的长：
（3）如图3，点D，E分别在AC，AB上，连接CE，过点D作DH⊥CE于点H，过点A作AGIIBC交HD的延长线于点G，连接CG，求证：CG+DG=CE.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵光线的反射角等于入射角，
故答案为：C.
【分析】由光线的反射角等于入射角得出由平角的定义和三角形内角和定理求出即可得出结果.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CM， 设AF， ME交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵∠D=45°，
∴∠CAD=∠D=45°，
∴CA=CD，
∵AM=MD，
∴CM = AM = MD， CM⊥AD，
∵∠AMC=∠EMF=90°，
∴∠AME=∠CMF，
∵∠EAO=∠FMO=90°， ∠AOE=∠FOBE=2M，
∴∠E=∠F，
∴△AME≌△CMF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE-BE=AB=2，
∴CF-BE=2，
∴y-x=2，
∴x-y=-2的值不变.
故答案为：B.
【分析】证明△AME≌△CMF， 推出AE=CF可得结论.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D.
【分析】三角形有两角和夹边是完整的，根据“角边角”作出三角形即可．
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图：
图中与 有一条公共边且全等 (不含 的所有格点三角形的个数是5个.
故答案为：A.
【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作直线 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点 内角平分线相交于点 根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为正方形，
设边长为x，
由勾股定理可知，
故答案为：A.
【分析】根据角平分线性质得到四边形BFDE为正方形，根据正方形的边长和三角形的面积得到关于阴影面积的等式，最后求出阴影部分的面积.
7．【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含 的两个三角形全等，
进而求得阴影部分面积等于正方形面积的 即是
5个这样的正方形重叠部分 (阴影部分)的面积和为 n个这样的正方形重叠部分 (阴影部分)的面积和为
故答案为：C.
【分析】连接正方形的中心和其余两个顶点可证得含 的两个三角形全等，进而求得阴影部分面积，再根据规律即可求得n个这样的正方形重叠部分 (阴影部分)的面积和.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示， 取BD的中点F， 连接EF， CF，
∵∠BCD = 90°， F是BD的中点，
∴CF =BF = DF，
∵AB= AC， E为BC的中点，
∴∠ACB=∠ABC，
∵BD∥AC，
∴∠FBC=∠BCA，
∴∠FBC=∠ABC，
∵ FB= FC， E为BC的中点，
∴FE⊥BC，
∴∠FEB =∠AEB = 90°，
在△FBE与△ABE中，
∴当 时， 取得最大值，即 的最大值是
故答案为：A.
【分析】取BD的中点F，连接EF，CF，得出 进而证明△FBE≌△ABE(ASA)得出 结合已知条件得出 ，进而可得 即可求解.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM， PN=CN，
∴∠MAP=∠MPA， ∠CPN =∠PCN，
∵∠BMN =∠MAP+∠MPA， ∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN = 2∠MPA， ∠BNM =2∠CPN，
又∵∠APC=114°，
∴∠BMN+∠BNM =2
(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)
=132°，
∴∠ABC=180°-(∠BMN+∠BNM)=48°，
故答案为：A.
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到∠MAP=∠MPA， ∠CPN =∠PCN， 由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN =∠MAP+∠MPA， ∠BNM=∠CPN+∠PCN， 可得∠BMN=2∠MPA， ∠BNM=2∠CPN， 求出∠BMN+∠BNM =132°，根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵E是 三边垂直平分线的交点.
E是 的外心.
是等腰三角形，
是等腰直角三角形，且
是等腰直角三角形，
作AC的垂直平分线l交AC于点H，则.AC=2AH=6，
∴点E在AC的垂直平分线上运动，
当点D运动到使得点E到达点H时，即， 面积最小，
此时
故答案为：D.
【分析】证明 是等腰直角三角形，且 ，证明 是等腰直角三角形，作AC的垂直平分线l交AC于点H，则AC=2AH=6，则AH=3 由点E在AC的垂直平分线上运动得到当点D运动到使得点E到达点H时，即 面积最小，即可求出答案.
11．【答案】20
【知识点】全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：
故答案为：20.
【分析】根据 可得 再由 可得结果.
12．【答案】1或
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：当AP=BQ，AC=BP时， (SAS)，
∵ P、Q运动的路程和时间相同，
∴Q和P的运动速度相同是1cm/s；
当AP=BP，AC=BQ时， (SAS)，
∴ Q运动的时间是3÷1=3(s)，
∴Q运动的速度是
∴当点Q的运动速度为1或 时， △ACP与△BPQ全等.
故答案为：1或
【分析】当AP=BQ，AC=BP时， (SAS)，得到Q和P的运动速度相同是1cm/s；当AP=BP，AC=BQ时， ，求出Q运动的时间是3s，即可求出Q运动的速度是 于是得到答案.
13．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：在△MAK和△KBN中，
∴△MAK≌△KBN(SAS)，
∴∠BKN =∠AMK，
∵∠MKB是△AMK的外角，
∴∠BKN+∠MKN =∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=40°，
∴∠B=∠A =40°，
∴∠P= 180°-40°-40°= 100°，
故答案为： 100°.
【分析】证明△MAK≌△KBN，根据全等三角形的性质得到∠BKN =∠AMK，根据三角形的外角性质求出∠A，根据三角形内角和定理计算，得到答案.
14．【答案】500
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠BDE =∠ADC=90°，
在△BDE和△ADC中，
∴△BDE≌△ADC(SAS)，
∴∠DBE =∠DAC， BE= AC，
∴∠DBE+∠C=∠DAC+∠C=90°，
∴∠BFC=90°，
∴AF⊥BE，
∵FC=30， AF=20，
∴BE=AC=FC+AF=30+20=50，
∴△ABE的面积是500，
故答案为： 500.
【分析】由AD⊥BC于D， 得∠BDE =∠ADC=90°， 即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BDE≌△ADC，得∠DBE=∠DAC， BE= AC， 则∠DBE+∠C=∠DAC+∠C=90°， 即可证明AF⊥BE， 因为FC=30， AF=20， 所以BE= AC=FC+AF=50， 即可求得△ABE的面积.
15．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直 的平分线BP于P，
又知BP=BP，
在 与 中，
和 等底同高，
设 的面积为m，
故答案为：4.
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直 的平分线BP于P，即可求出 又知 和 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图： 过点B作BE∥AC， 且BE= AC， 在BA上截取BH= AP， 连接CH，
∵AB=AC， AP+AQ=AB， AB=AP+BP， AC= AQ+CQ，
∴AQ = BP， CQ = AP = BH，
∵AC∥BE，
∴∠A=∠EBH，
在△ACP和△BEH中，
∴△ACP≌△BEH(SAS)，
∵AB=AC，
∴∠ABC =∠ACB，
在△CBQ和△BCH中，
∴△CBQ≌△BCH(SAS)，
∴CH= BQ，
∴BQ+CP=CH+HE，
∴当点C， 点E， 点H三点共线时， BQ+CP有最小值，
此时，∵AC∥BE，
∴∠A=∠EBA， ∠ACH = ∠BEH，
又∵AC=BE，
∴△ACH≌△BEH(ASA)，
∴AH=BH，
∴点H是AB的中点，
∴点P与点H重合，
∴BP = BH = AQ = AP，
故答案为：.
【分析】由“SAS”可证. 可得CP=HE，由“SAS”可证. 可得CH=BQ，则BQ+CP=CH+HE，即当点C，点E，点H三点共线时，BQ+CP有最小值，由“ASA”可证 可得AH=BH，即可求解.
17．【答案】30
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， ∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D， 如图， 过D点作DE⊥AB于E， DF⊥BC于F， DH⊥AC于H， 在FC上截取FP =EM， 连接BD，
∴DE = DH，
同理可得DF=DH，
∴DE= DF，
在Rt△ADE和Rt△ADH中，
∴ Rt△ADE≌Rt△ADH(HL)，
∴AE= AH，
同理可得CF=CH，
在△DEM和△DFP中，
∴△DEM≌△DFP(SAS)，
∴DM = DP， ∠EDM =∠FDP，
∴∠EDM+∠MDF =∠PDF+∠MDF，
∴∠MDP =∠EDF，
∵DE⊥AB， BF⊥AB，
∴DE∥BF，
∵DF⊥BC，
∴DE⊥DF，
∴∠MDP =∠EDF=90°， DF =BE=DE=BF，
∵∠MDN = 45°，
∴∠PDN = 45°，
在△DMN和△DPN中，
∴△DMN≌△DPN(SAS)，
∴MN=NP=NF+FP=NF+EM.
∴△BMN的周长= MN+BM+BN=EM+BM+BN+NF=BE+BF=4，
设AB=a，BC=b，
b-2，
=13，
的面积为30.
故答案为：30.
【分析】过D点作DE⊥AB于E， DF⊥BC于F， DH⊥AC于H， 在FC上截取FP = EM， 连接BD， 根据角平分线的性质得到DE= DH= DF， 证明Rt△ADE Rt△ADH得到AE = AH， 证明Rt△CDF≌Rt△CDH得到CF=CH， 证明△DEM≌△DFP，得到DM = DP， ∠EDM =∠FDP， 再证明△DMN≌△DPN(SAS)， 得到MN = NP = NF+FP=NF+EM.则可求出BE=BF=2，设AB=a， BC=b， 根据 可得 根据AC= AH+CH =AE+CF=a-2+b-2= 13， 可得a+b=17， 据此可得答案.
18．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点F是线段AC的中点，CF=5，
∵DE是线段BC的垂直平分线，
的周长=AB+AE+EB=AB+AE+EC=AB+AC=8+10=18，
故答案为：18.
【分析】根据中点的性质求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，再根据三角形周长公式计算即可.
19．【答案】解：在Rt△ABC中， AB=AC， ∠ABC =∠ACB=45°， ∠DAE=45°，
如图， 将△AEC顺时针方向旋转90°至△AFB， 过点A作AH⊥BC于H，
∴△AEC≌△ABF，
∴∠ABF =∠ACD=45°， ∠BAF=∠CAE， AE= AF，
∴∠FBE =45°+45°= 90°， BF =CE，
∵∠DAE = 45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠BAD+∠BAF=45°，
∴∠DAE=∠DAF，
在△DAE和△DAF中，
∴△DAE≌△DAF(SAS)，
∴DE=DF，
∵BD=3， CE=4，
∴DE=5，
∴BC =BD+DE+CE=12，
∵AB=AC， ∠BAC = 90°， AH⊥BC，
∴△ABD与△AEC的面积之和
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】 顺时针方向旋转 得到过点A作 于H，得出 ，由“SAS”可证 由全等三角形的判定与性质得出DE=DF，由勾股定理求出DE的长，根据三角形的面积可求出答案.
20．【答案】（1）证明： ∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴BE =CD；
（2）解：
连接AG， 作AN⊥DG于点N，
由 (1) 知，△BAE≌△CAD，
∴∠AEB=∠ADC，
∵AE= AD， ∠AFE =∠AND=90°，
∴△AEF≌△ADN(AAS)，
∴AF=AN， EF= DN， ∠EAF =∠NAC，
∴∠FAN =∠DAE= 90°，
∴四边形AFGN为正方形，
∴FG=GN，
同理△ABF≌△ACN(AAS)，
∴BF=CN，
设BF=x， 则CN=x，
∴ FG =GN =CG +CN =2+x，
∴x+2+x=7，
∴x=2.5，
∴BF=2.5；
（3）证明：
证明： 在CE上取点M， 使得EM = DG， 连接AM，
∵DH⊥CE，
∴∠DHE= 90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADH +∠AEH = 180°，∵∠ADH+∠ADG = 180°，
∴∠ADG=∠AEM，
在△ADG与△AEM中，
∴△ADG≌△AEM(SAS)，
∴AG = AM， ∠GAD=∠MAE，
∵AG∥BC，
∴∠GAD=∠ACB=45°，
∴∠GAD=∠DAM，
在△ACG与△ACM中，
∴△ACG≌△ACM(SAS)，
∴CG=CM，
∴CG+DG=CM+EM =CE.
【知识点】三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)证明△ABE=△ACD(SAS)， 得出BE=CD；
(2)连接AG， 作AN⊥CD于点N.由 (1) 知，△BAE≌△CAD，证明△AEF≌△ADN(AAS)，得AF=AN， EF = DN， ∠EAF =∠NAC， 证出FQ= FN， 证明四边形AFGN为正方形， 得FG=GN， 同理△ABF≌△ACN(AAS)， 得BF=CN，则可得出答案；
(3)在CE上取点M，使得EM = DG， 连接AM，证明△ADG≌△AEM(SAS)，得出AG=AM， ∠GAD=∠MAE， 证明△ACG=△ACM(SAS)，得出CG=CM，则可得出结论.
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