人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方解一元二次方程
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1.(2024白云区期末)方程x2=1的根为( C )
A.x=1 B.x=-1 C.x=±1 D.x=0
2.对于一元二次方程(x+2)2=36,下列说法正确的是( D )
A.两边开平方,得x=6 B.两边开平方,得x=±6
C.两边开平方,得x+2=6 D.两边开平方,得x+2=±6
3.若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为 3(答案不唯一) .(写出一个即可)
4.解下列方程:
(1)x2=5; (2)(x-1)2=4.
解:(1)根据平方根的意义,得x=±,即x1=,x2=-.
(2)根据平方根的意义,得x-1=±2,即x-1=2或x-1=-2,
∴x1=1+2=3,x2=1-2=-1.
知识点2 变形后应用开平方法解一元二次方程
5.有下列方程:①4x2=1;②x2+2x-1=0;③3x2-x=0;④-(2x+1)2+4=0.其中能用直接开平方法求解的是( C )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
6.若代数式3x2-6的值为21,则x的值为( B )
A.3 B.±3 C.-3 D.±
7.(易错题)若关于x的方程(ax-1)2-16=0的一个根为x=2,则a的值为 或- .
8.解下列方程:
(1)25x2-36=0; (2)2(x-1)2-8=0.
解:(1)移项,得25x2=36,整理,得x2=,两边开平方,得x=±,
即x1=,x2=-.
(2)移项,得2(x-1)2=8,二次项系数化为1,得(x-1)2=4,
两边开平方,得x-1=±2,即x1=3,x2=-1.
9.如图是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为( C )
A.+1 B.-+1 C.+1或-+1 D.无法确定
10.已知x1,x2是方程3(x-1)2=15的两个根,且x1
A.x1<-1,x2>3 B.x1<-2,x2>3 C.-111.(易错题)已知一元二次方程x2-6x+9=1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为( A )
A.10 B.10或8 C.9 D.8
12.(易错题)如果(a2+b2-1)2=4,那么a2+b2= 3 .
13.用直接开平方法解下列方程:
(1)(x-4)2=(3x+2)2; (2)4(3x-1)2-9(3x+1)2=0.
解:(1)两边开平方,得x-4=±(3x+2),即x-4=3x+2或x-4=-3x-2,
解得x1=-3,x2=.
(2)[2(3x-1)]2=[3(3x+1)]2,两边开平方,得2(3x-1)=±3(3x+1),
即2(3x-1)=3(3x+1)或2(3x-1)=-3(3x+1),解得x1=-,x2=-.
14.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4.
(1)求m的值;(2)求的值.
解:(1)ax2=b,系数化为1,得x2=,解得x=±,
即方程的两根互为相反数.
∵一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4,
∴m+1+2m-4=0,解得m=1.
(2)当m=1时,m+1=2,2m-4=-2.
∵x=±,一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4,
∴=(±2)2=4.
15.(阅读理解)(2023中山期中)阅读下列解一元二次方程的方法,并解决问题:
解方程:x(x-2)=3.
解:原方程可变形,得[(x-1)+1][(x-1)-1]=3,
(x-1)2-12=3,(x-1)2=4,
方程两边同时开平方,得x-1=±2,解得x1=3,x2=-1.
我们叫这种解法为“和差数法”.
应用:用“和差数法”解方程(x+1)(x+5)=12.
解:原方程可变形,得[(x+3)-2][(x+3)+2]=12,
∴(x+3)2-22=12,(x+3)2=16,方程两边同时开平方,得x+3=±4,
解得x1=1,x2=-7.
第2课时 配方法解一元二次方程
知识点1 用配方法解一元二次方程
1.用配方法解一元二次方程x2+3x=1时,方程两边都加上( D )
A. B.- C.9 D.
2.一元二次方程x2-4x-2=0,用配方法变形可得( B )
A.(x+2)2=2 B.(x-2)2=6 C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=6
3.下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中,开始出现错误的是( D )
A.① B.② C.③ D.④
4.用适当的数或式子填空:
(1)x2-4x+ 4 =(x- 2 )2;(2)x2- 8x +16=(x- 4 )2.
5.把一元二次方程2x2-8x-7=0化成(x+m)2=n的形式是 (x-2)2= .
6.用配方法解方程:(1)x2-10x+9=0;(2)2x2-2x=x+3.
解:(1)x2-10x+9=0,x2-10x=-9,x2-10x+25=16,
(x-5)2=16,x=5±4,x1=1,x2=9.
(2)2x2-2x=x+3,x2-x=,x2-x+=+,=,
x-=±,x1=,x2=.
知识点2 用配方法解决问题
7.用配方法将二次三项式a2-4a+3变形,结果是( A )
A.(a-2)2-1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2-3 D.(a-2)2-6
8.对于任意的实数x,代数式x2-5x+10的值是一个( A )
A.正数 B.负数 C.非负数 D.不能确定
9.(荆州中考)一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x-2)2=k,则k的值是 1 .
10.一个一元二次方程的二次项是2x2,它经过配方整理得=1,那么它的一次项和常数项分别是( C )
A.x,- B.2x,- C.2x,- D.x,-
11.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,对于两人的解法,说法正确的是( A )
小思: 2x2+4x=-1, x2+2x=-, x2+2x+1=-+1, (x+1)2= 小博: 2x2+4x=-1, 4x2+8x=-2, 4x2+8x+4=-2+4, (2x+2)2=2
A.两人都正确 B.小思正确,小博不正确
C.小思不正确,小博正确 D.两人都不正确
12.(分类讨论)等腰三角形的两边长分别是方程3x2-7x+4=0的两个根,则此三角形的周长为 或 .
13.规定:a b=(a+b)b.如2 3=(2+3)×3=15.若2 x=3,则x的值为 1或-3 .
14.已知a,b,c是△ABC的三边长,其中a,b满足a2+b2=10a+8b-41,求c的取值范围.
解:∵a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=10a+8b-41,
∴a2+b2-10a-8b=-41,∴+-25-16=-41,
∴+=0,
∴a-5=0,b-4=0,∴a=5,b=4.
∵a-b15.【阅读材料】我们在求代数式x2-2x+3的最大或最小值时,利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2对此式子作如下变形:
x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2,
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+2≥2,
因此(x-1)2+2有最小值2,
所以,当x=1时,x2-2x+3的最小值为2.
【解决问题】(1)已知代数式x2+2x+3,无论x为何实数,该代数式的值一定是( A )
A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定
(2)代数式-x2+4x+9有最 大 值(填“大”或“小”),且最值为 13 .
(3)已知a,b满足等式x=a2-6ab+9b2,y=4a-12b-4,则x,y的大小关系是x ≥ y. 人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方解一元二次方程
基础巩固
知识点1 直接开平方法解一元二次方程
1.(2024白云区期末)方程x2=1的根为( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=±1 D.x=0
2.对于一元二次方程(x+2)2=36,下列说法正确的是( )
A.两边开平方,得x=6 B.两边开平方,得x=±6
C.两边开平方,得x+2=6 D.两边开平方,得x+2=±6
3.若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为 .(写出一个即可)
4.解下列方程:
(1)x2=5; (2)(x-1)2=4.
知识点2 变形后应用开平方法解一元二次方程
5.有下列方程:①4x2=1;②x2+2x-1=0;③3x2-x=0;④-(2x+1)2+4=0.其中能用直接开平方法求解的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
6.若代数式3x2-6的值为21,则x的值为( )
A.3 B.±3 C.-3 D.±
7.(易错题)若关于x的方程(ax-1)2-16=0的一个根为x=2,则a的值为 .
8.解下列方程:
(1)25x2-36=0; (2)2(x-1)2-8=0.
能力提升
9.如图是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为( )
A.+1 B.-+1 C.+1或-+1 D.无法确定
10.已知x1,x2是方程3(x-1)2=15的两个根,且x1A.x1<-1,x2>3 B.x1<-2,x2>3 C.-111.(易错题)已知一元二次方程x2-6x+9=1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为( )
A.10 B.10或8 C.9 D.8
12.(易错题)如果(a2+b2-1)2=4,那么a2+b2= .
13.用直接开平方法解下列方程:
(1)(x-4)2=(3x+2)2; (2)4(3x-1)2-9(3x+1)2=0.
14.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两根分别为m+1与2m-4.
(1)求m的值;(2)求的值.
(2)当m=1时,m+1=2,2m-4=-2.
15.(阅读理解)(2023中山期中)阅读下列解一元二次方程的方法,并解决问题:
解方程:x(x-2)=3.
应用:用“和差数法”解方程(x+1)(x+5)=12.
第2课时 配方法解一元二次方程
基础巩固
知识点1 用配方法解一元二次方程
1.用配方法解一元二次方程x2+3x=1时,方程两边都加上( )
A. B.- C.9 D.
2.一元二次方程x2-4x-2=0,用配方法变形可得( )
A.(x+2)2=2 B.(x-2)2=6 C.(x+3)2=2 D.(x-3)2=6
3.下列用配方法解方程 x2-x-2=0的四个步骤中,开始出现错误的是( )
A.① B.② C.③ D.④
4.用适当的数或式子填空:
(1)x2-4x+ =(x- )2;(2)x2- +16=(x- )2.
5.把一元二次方程2x2-8x-7=0化成(x+m)2=n的形式是 .
6.用配方法解方程:(1)x2-10x+9=0;(2)2x2-2x=x+3.
知识点2 用配方法解决问题
7.用配方法将二次三项式a2-4a+3变形,结果是( )
A.(a-2)2-1 B.(a+2)2-1 C.(a+2)2-3 D.(a-2)2-6
8.对于任意的实数x,代数式x2-5x+10的值是一个( )
A.正数 B.负数 C.非负数 D.不能确定
9.(荆州中考)一元二次方程x2-4x+3=0配方为(x-2)2=k,则k的值是 .
能力提升
10.一个一元二次方程的二次项是2x2,它经过配方整理得=1,那么它的一次项和常数项分别是( )
A.x,- B.2x,- C.2x,- D.x,-
11.在解方程2x2+4x+1=0时,对方程进行配方,对于两人的解法,说法正确的是( )
小思: 2x2+4x=-1, x2+2x=-, x2+2x+1=-+1, (x+1)2= 小博: 2x2+4x=-1, 4x2+8x=-2, 4x2+8x+4=-2+4, (2x+2)2=2
A.两人都正确 B.小思正确,小博不正确
C.小思不正确,小博正确 D.两人都不正确
12.(分类讨论)等腰三角形的两边长分别是方程3x2-7x+4=0的两个根,则此三角形的周长为 .
13.规定:a b=(a+b)b.如2 3=(2+3)×3=15.若2 x=3,则x的值为 .
14.已知a,b,c是△ABC的三边长,其中a,b满足a2+b2=10a+8b-41,求c的取值范围.
15.【阅读材料】我们在求代数式x2-2x+3的最大或最小值时,利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2对此式子作如下变形:
x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2,
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+2≥2,
因此(x-1)2+2有最小值2,
所以,当x=1时,x2-2x+3的最小值为2.
【解决问题】(1)已知代数式x2+2x+3,无论x为何实数,该代数式的值一定是( )
A.正数 B.负数 C.0 D.不能确定
(2)代数式-x2+4x+9有最 值(填“大”或“小”),且最值为 .
(3)已知a,b满足等式x=a2-6ab+9b2,y=4a-12b-4,则x,y的大小关系是x y.