人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
基础巩固
知识点1 利用根与系数的关系求有关代数式的值
1.若x1,x2是一元二次方程2x2-3x-5=0的两根,则x1·x2的值是( D )
A.- B. C. D.-
2.已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a+b+2 022的值是( D )
A.2 024 B.2 023 C.2 022 D.2 021
3.已知一元二次方程x2+2x+6=10x+2的两实数根分别为x1,x2,则的值为( B )
A.-2 B.2 C. D.-
4.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1,x2=n,则(m+n)2 023的值为 -1 .
5.已知x1和x2是方程x2+3x=1的两根,不解方程,求下列代数式的值.
(1)+; (2)+.
解:由x2+3x=1,得x2+3x-1=0,∴x1+x2=-3,x1x2=-1.
(1)+===3.
(2)+====-11.
知识点2 利用根与系数的关系求未知数或方程的根
6.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根,且x1x2=
-3,则k的值为( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是-1,3,则( C )
A.b=2,c=-3 B.b=-2,c=3
C.b=-2,c=-3 D.b=2,c=3
8.(易错题)若方程x2+(m2-1)x+1+m=0的两根互为相反数,则m=
-1 .
9.关于x的方程x2-2mx+m2-m=0有两个实数根α,β,且+=1,则m= 3 .
能力提升
10.已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别为x1,x2,若x1=-1,则a--的值为( B )
A.7 B.-7 C.6 D.-6
11.已知a,b是方程x2-3x-5=0的两根,则代数式2a3-6a2+b2+7b+1的值是( D )
A.-25 B.-24 C.35 D.36
12.(2023乐山)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根分别为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为( C )
A.4 B.8
C.12 D.16
13.(2024成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n-2)2的值为 7 .
14.已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0.
(1)求证:无论m为何值,该方程总有两个实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
(1)证明:∵Δ=(m+2)2-4×2m=(m-2)2≥0,
∴无论m为何值,该方程总有两个实数根.
(2)解:设方程的另一个根为t.根据根与系数的关系,得1+t=m+2①,
1×t=2m②,
②-①,得-1=m-2,解得m=1,
把m=1代入②,得t=2,
∴m的值为1,方程的另一个根为2.
15.阅读材料:
材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=.
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解:∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,
∴m+n=1,mn=-1,
∴m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)材料理解:若一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2= ,
x1x2= - .
(2)类比应用:已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m,n,则+= - .
(3)思维拓展:已知实数s,t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,则-= ± . 人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
基础巩固
知识点1 利用根与系数的关系求有关代数式的值
1.若x1,x2是一元二次方程2x2-3x-5=0的两根,则x1·x2的值是( )
A.- B. C. D.-
2.已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a+b+2 022的值是( )
A.2 024 B.2 023 C.2 022 D.2 021
3.已知一元二次方程x2+2x+6=10x+2的两实数根分别为x1,x2,则的值为( )
A.-2 B.2 C. D.-
4.已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1,x2=n,则(m+n)2 023的值为 .
5.已知x1和x2是方程x2+3x=1的两根,不解方程,求下列代数式的值.
(1)+; (2)+.
知识点2 利用根与系数的关系求未知数或方程的根
6.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根,且x1x2=
-3,则k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别是-1,3,则( )
A.b=2,c=-3 B.b=-2,c=3
C.b=-2,c=-3 D.b=2,c=3
8.(易错题)若方程x2+(m2-1)x+1+m=0的两根互为相反数,则m=
.
9.关于x的方程x2-2mx+m2-m=0有两个实数根α,β,且+=1,则m= .
能力提升
10.已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别为x1,x2,若x1=-1,则a--的值为( )
A.7 B.-7 C.6 D.-6
11.已知a,b是方程x2-3x-5=0的两根,则代数式2a3-6a2+b2+7b+1的值是( )
A.-25 B.-24 C.35 D.36
12.(2023乐山)若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根分别为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
13.(2024成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n-2)2的值为 .
14.已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m=0.
(1)求证:无论m为何值,该方程总有两个实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
15.阅读材料:
材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=-,x1x2=.
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
