人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播、循环问题
基础巩固
知识点1 列一元二次方程解决传播问题
1.有一个人患流感,经过两轮传染后共有81个人患流感,每轮传染中平均一个人传染几个人 设每轮传染中平均一个人传染x个人,可列方程为( D )
A.1+2x=81 B.1+x2=81
C.1+x+x2=81 D.1+x+x(1+x)=81
2.(2024昭通期中)化学是一门以实验为基础的学科,小华在化学老师的帮助下,学会了用高锰酸钾制取氧气的实验,回到班上后,第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验,第二节课小华因家中有事请假了,班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学,这样全班43名同学恰好都会做这个实验了.求x的值.
解:由题意,得1+x+x2=43,
解得x1=6,x2=-7(不符合题意,舍去).
∴x的值为6.
知识点2 列一元二次方程解决循环问题
3.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有飞机场( B )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
4.为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,某市开展了足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛 设邀请x个球队参赛,根据题意,可列方程为 x(x-1)=21 .
5.(易错题)中秋节期间,某校数学兴趣小组的同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信,据统计,共发了210条祝福语,问这个数学兴趣小组有多少名学生
解:设这个数学兴趣小组有x名学生,
根据题意,得x(x-1)=210,
解得x1=15,x2=-14(舍去).
答:这个数学兴趣小组有15名学生.
能力提升
6.某同学参加了学校统一组织的实验培训,回到教室后,第一节课他教会了若干同学,第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学,这样全班共有36人会做此实验.设每节课每名同学教会x名同学做此实验,则x的值为( A )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.某公司举办产品鉴定会,参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家,在专家到会时,林经理和每位专家握一次手表示欢迎;在专家离会时,林经理又和他们每人握一次手表示道别,且参加会议的每两位专家都握了一次手,所有参加会议的人共握手14次.问参加这次会议的专家有多少人
解:设参加会议的专家有x人,依题意,得
2x+x(x-1)=14,
即x2+3x-28=0,
∴(x+7)(x-4)=0,
解得x1=-7(不合题意,舍去),x2=4.
答:参加这次会议的专家有4人.
8.观察下列图形规律,回答以下问题:
……
(1)第n个图形中“”的个数是 ;(用含n的代数式表示)
(2)第n个图形中小“”的个数是 ;(用含n的代数式表示)
(3)当n为多少时,图形中“”的个数和小“”的个数相等
解:(1)3n (2)
(3)根据题意,得3n=,
解得n=5或n=0(舍去),
∴当n=5时,图形中“”的个数和小“”的个数相等.
第2课时 平均变化率问题
基础巩固
知识点 列一元二次方程解决平均变化率问题
1.(2024眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区,该村的“智慧春耕”让生产更高效,提升了水稻亩产量,水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克.该村水稻亩产量年平均增长率为x,则可列方程为( B )
A.670×(1+2x)=780 B.670×(1+x)2=780
C.670×(1+x2)=780 D.670×(1+x)=780
2.某商店销售富硒农产品,今年1月份开始盈利,2月份盈利240 000元,4月份盈利290 400元,且从2月份到4月份,每月盈利的平均增长率相同,则每月盈利的平均增长率是( C )
A.8% B.9% C.10% D.11%
3.某种过季绿茶的价格两次大幅下降,原来每袋250元,现在每袋90元,则平均每次下调的百分率是 40% .
4.随着人们对身心健康的关注度越来越高,某市参加健身运动的人数逐年增多,从2022年的32万人增加到2024年的50万人,求该市2022年至2024年参加健身运动人数的年平均增长率.
解:设该市2022年至2024年参加健身运动人数的年平均增长率为x.
由题意,得32(1+x)2=50,
解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意,舍去).
答:该市2022年至2024年参加健身运动人数的年平均增长率为25%.
能力提升
5.某省加快新旧动能转换,促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1 000万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额是3 990万元.若设月平均增长率是x,则可列出的方程是( B )
A.1 000(1+x)2=3 990
B.1 000+1 000(1+x)+1 000(1+x)2=3 990
C.1 000(1+2x)=3 990
D.1 000+1 000(1+x)+1 000(1+2x)=3 990
6.为了践行“绿水青山就是金山银山”,蜀山计划利用两年时间,使绿地面积增加44%,则这两年绿地面积平均每年的增长率是 20% .
7.在乡村振兴工作中,某养殖场今年起采用“场内+农户”的养殖模式,同时加强对蛋鸡的科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克,现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率相同.
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率.
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去,且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务,那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点
解:(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x.
根据题意,得2.5(1+x)2=3.6,
解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去).
0.2×100%=20%.
答:该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%.
(2)3.6×(1+20%)=4.32(万千克),
4.32÷0.32=13.5(个),
即六月份销售点为14个,
3.6÷0.32=11.25(个),
即五月份销售点应为12个,
则需增加14-12=2(个),
故至少再增加2个销售点.
8.某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3 120元,第一次降价后至少要售出该种商品多少件
解:(1)设该种商品每次降价的百分率为x,根据题意,得400(1-x)2
=324.
解得x1=0.1,0.1×100%=10%,
x2=1.9(不合题意,舍去).
∴该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品y件,根据题意,得
[400(1-10%)-300]y+(324-300)(100-y)≥3 120,
解得y≥20.∴第一次降价后至少要售出该种商品20件.
第3课时 利润、几何图形(面积)问题
基础巩固
知识点1 列一元二次方程解决面积问题
1.(2024西宁)如图,小区物业规划在一个长60 m,宽22 m的矩形场地ABCD上修建一个小型停车场,阴影部分为停车位所在区域,两侧是宽x m的道路,中间是宽2x m的道路.如果阴影部分的总面积是600 m2,那么x满足的方程是( A )
A.x2-41x+180=0 B.x2-41x+225=0
C.x2-41x+30=0 D.x2-41x-270=0
2.小强用一根10 m长的铁丝围成了一个面积为6 m2的矩形,则这个矩形较长边的长是 3 m.
3.如图,某小区想借助互相垂直的两面墙(墙体足够长),在墙角区域用40 m长的篱笆围成一个面积为384 m2的矩形花园.设宽AB=x m,且AB知识点2 列一元二次方程解决利润问题
4.某商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元,调查发现:当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润达到平均每天5 000元,每台冰箱的定价应为多少元 设每台冰箱定价x元,根据题意,可列方程为( C )
A.(x-2 500)=5 000
B.(2 900-x-2 500)=5 000
C.(x-2 500)=5 000
D.(x-2 500)=5 000
5.某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施.经调查,如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1 200元,则每件童装应降价 10或20 元.
6.某商场经销的某种商品,每件成本为40元,经市场调研,当售价为50元时,平均每周可销售200件;售价每增加1元,平均每周销售量将减少10件.如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利2 250元,那么每件商品的售价为多少元
解:设每件商品的售价为x元,则每件的利润为元,销售量为200-10=(件).
依题意,得=2 250,
解得x1=x2=55.
答:每件商品的售价为55元.
能力提升
7.某菜农在去年11月底投资1 600元种植大棚黄瓜,春节期间,共采摘黄瓜400千克,当天就可以按6元/千克的价格售出.若将所采摘的黄瓜先储藏起来,其质量每天损失10千克,且每天需支付各种费用共40元,但每天每千克的价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天).若该菜农想获得1 175元的利润,则需要将采摘的黄瓜储藏 5 天.
8.如图,用长为22 m的篱笆一面利用墙(墙的最大可用长度为14 m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,为了方便出入,在建造花圃时,在BC上用其他材料做了宽为1 m的两扇小门.
(1)设花圃的一边AB长为x m,请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 m.
(2)若此时花圃的面积刚好为45 m2,求此时花圃的长与宽.
(3)在不增加篱笆总长度的情况下,这个花圃的面积能否达到60 m2 请说明理由.
解:(1)
(2)由题意,得x=45,∴x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5.
当AB=3 m时,AD=24-3×3=15(m),15 m>14 m,不符合题意,故舍去;
当AB=5 m时,AD=24-3×5=9(m),符合题意.
答:此时花圃的长为9 m,宽为5 m.
(3)不能.理由如下:
当x=60时,x2-8x+20=0,∴Δ=-4×1×20=-16<0,
∴此时原方程无解,∴这个花圃的面积不能达到60 m2.
9.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,当其中一点达到终点后,另外一点也随之停止运动.
(1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4 cm2
(2)在(1)中,△PQB的面积能否等于7 cm2 并说明理由.
解:设点P,Q同时运动t s,则AP=t cm,BP=(5-t)cm,BQ=2t cm.
(1)∵S△PBQ=BP·BQ,∴4=×(5-t)×2t,解得t1=1,t2=4(舍去).
故1 s后,△PBQ的面积等于4 cm2.
(2)不能.理由如下:令S△PQB=7 cm2,则BP·BQ=7,
即×(5-t)×2t=7,整理,得t2-5t+7=0.
∵b2-4ac=25-28=-3<0,
∴方程没有实数根.∴在(1)中,△PQB的面积不能等于7 cm2.人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播、循环问题
基础巩固
知识点1 列一元二次方程解决传播问题
1.有一个人患流感,经过两轮传染后共有81个人患流感,每轮传染中平均一个人传染几个人 设每轮传染中平均一个人传染x个人,可列方程为( )
A.1+2x=81 B.1+x2=81
C.1+x+x2=81 D.1+x+x(1+x)=81
2.(2024昭通期中)化学是一门以实验为基础的学科,小华在化学老师的帮助下,学会了用高锰酸钾制取氧气的实验,回到班上后,第一节课手把手教会了同一个学习小组的x名同学做该实验,第二节课小华因家中有事请假了,班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了x名同学,这样全班43名同学恰好都会做这个实验了.求x的值.
知识点2 列一元二次方程解决循环问题
3.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有飞机场( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
4.为增强学生身体素质,提高学生足球运动竞技水平,某市开展了足球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛 设邀请x个球队参赛,根据题意,可列方程为 .
5.(易错题)中秋节期间,某校数学兴趣小组的同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信,据统计,共发了210条祝福语,问这个数学兴趣小组有多少名学生
能力提升
6.某同学参加了学校统一组织的实验培训,回到教室后,第一节课他教会了若干同学,第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学,这样全班共有36人会做此实验.设每节课每名同学教会x名同学做此实验,则x的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.某公司举办产品鉴定会,参加会议的是该公司的林经理和邀请的专家,在专家到会时,林经理和每位专家握一次手表示欢迎;在专家离会时,林经理又和他们每人握一次手表示道别,且参加会议的每两位专家都握了一次手,所有参加会议的人共握手14次.问参加这次会议的专家有多少人
8.观察下列图形规律,回答以下问题:
……
(1)第n个图形中“”的个数是 ;(用含n的代数式表示)
(2)第n个图形中小“”的个数是 ;(用含n的代数式表示)
(3)当n为多少时,图形中“”的个数和小“”的个数相等
第2课时 平均变化率问题
基础巩固
知识点 列一元二次方程解决平均变化率问题
1.(2024眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区,该村的“智慧春耕”让生产更高效,提升了水稻亩产量,水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克.该村水稻亩产量年平均增长率为x,则可列方程为( )
A.670×(1+2x)=780 B.670×(1+x)2=780
C.670×(1+x2)=780 D.670×(1+x)=780
2.某商店销售富硒农产品,今年1月份开始盈利,2月份盈利240 000元,4月份盈利290 400元,且从2月份到4月份,每月盈利的平均增长率相同,则每月盈利的平均增长率是( )
A.8% B.9% C.10% D.11%
3.某种过季绿茶的价格两次大幅下降,原来每袋250元,现在每袋90元,则平均每次下调的百分率是 .
4.随着人们对身心健康的关注度越来越高,某市参加健身运动的人数逐年增多,从2022年的32万人增加到2024年的50万人,求该市2022年至2024年参加健身运动人数的年平均增长率.
能力提升
5.某省加快新旧动能转换,促进企业创新发展.某企业一月份的营业额是1 000万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额是3 990万元.若设月平均增长率是x,则可列出的方程是( )
A.1 000(1+x)2=3 990
B.1 000+1 000(1+x)+1 000(1+x)2=3 990
C.1 000(1+2x)=3 990
D.1 000+1 000(1+x)+1 000(1+2x)=3 990
6.为了践行“绿水青山就是金山银山”,蜀山计划利用两年时间,使绿地面积增加44%,则这两年绿地面积平均每年的增长率是 .
7.在乡村振兴工作中,某养殖场今年起采用“场内+农户”的养殖模式,同时加强对蛋鸡的科学管理,蛋鸡的产蛋率不断提高,三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克,现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率相同.
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率.
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去,且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务,那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点
8.某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3 120元,第一次降价后至少要售出该种商品多少件
第3课时 利润、几何图形(面积)问题
基础巩固
知识点1 列一元二次方程解决面积问题
1.(2024西宁)如图,小区物业规划在一个长60 m,宽22 m的矩形场地ABCD上修建一个小型停车场,阴影部分为停车位所在区域,两侧是宽x m的道路,中间是宽2x m的道路.如果阴影部分的总面积是600 m2,那么x满足的方程是( )
A.x2-41x+180=0 B.x2-41x+225=0
C.x2-41x+30=0 D.x2-41x-270=0
2.小强用一根10 m长的铁丝围成了一个面积为6 m2的矩形,则这个矩形较长边的长是 m.
3.如图,某小区想借助互相垂直的两面墙(墙体足够长),在墙角区域用40 m长的篱笆围成一个面积为384 m2的矩形花园.设宽AB=x m,且AB知识点2 列一元二次方程解决利润问题
4.某商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元,调查发现:当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润达到平均每天5 000元,每台冰箱的定价应为多少元 设每台冰箱定价x元,根据题意,可列方程为( )
A.(x-2 500)=5 000
B.(2 900-x-2 500)=5 000
C.(x-2 500)=5 000
D.(x-2 500)=5 000
5.某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施.经调查,如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1 200元,则每件童装应降价 元.
6.某商场经销的某种商品,每件成本为40元,经市场调研,当售价为50元时,平均每周可销售200件;售价每增加1元,平均每周销售量将减少10件.如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利2 250元,那么每件商品的售价为多少元
能力提升
7.某菜农在去年11月底投资1 600元种植大棚黄瓜,春节期间,共采摘黄瓜400千克,当天就可以按6元/千克的价格售出.若将所采摘的黄瓜先储藏起来,其质量每天损失10千克,且每天需支付各种费用共40元,但每天每千克的价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天).若该菜农想获得1 175元的利润,则需要将采摘的黄瓜储藏 天.
8.如图,用长为22 m的篱笆一面利用墙(墙的最大可用长度为14 m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,为了方便出入,在建造花圃时,在BC上用其他材料做了宽为1 m的两扇小门.
(1)设花圃的一边AB长为x m,请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 m.
(2)若此时花圃的面积刚好为45 m2,求此时花圃的长与宽.
(3)在不增加篱笆总长度的情况下,这个花圃的面积能否达到60 m2 请说明理由.
9.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,当其中一点达到终点后,另外一点也随之停止运动.
(1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4 cm2
(2)在(1)中,△PQB的面积能否等于7 cm2 并说明理由.
