北师大版数学九年级下册第2章 二次函数 单元测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版数学九年级下册第2章 二次函数 单元测试（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 71.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-18 15:17:40 | ||
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文档简介
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列各式中，y是x的二次函数是（ ）
A．y=3x-1 B．
C．y=x2+x D．y=3（x-1）（x+1）-3x2
2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=x（15-4x） B．y=x（16-2x） C．y=x（17-2x） D．y=x（18-4x）
3．二次函数y=x2-x+2的图象与x轴的交点情况为（ ）
A．没有公共点 B．有一个公共点
C．有两个公共点 D．无法确定
4．二次函数y=x2-2x-m的最小值是5，那么m的值是（ ）
A．5 B．-6 C．4 D．-4
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点A（4，m），当x≤2时，y≥m+1，当x＞2时，y≥m,则当x=6时，y的值为（ ）
A．2 B．4 C．m D．m+1
6．将抛物线y=x2向右平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A．y=（x+3）2 B．y=（x-3）2 C．y=x2+3 D．y=x2-3
7．已知点（-3，y1），（-2，y2），（-1，y3）都在函数y=x2-2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式y＜0的解集是（ ）
A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．0＜x＜5 D．x＜-1或x＞5
9．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … -2 0 1 3 …
y … 6 -4 -6 -4 …
下列结论：
①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=1；③当时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
10．如图，点A，B的坐标分别为（2，-3）和（5，-3），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-1，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
11．已知二次函数y=ax2+bx+c,当y＞n时，x的取值范围是m-3＜x＜1-m,且该二次函数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d,4t）两点，则d的值可能是（ ）
A．0 B．-1 C．-4 D．-6
12．二次函数y=ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为（-2，-9a）下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a-b+c=0；④若方程a（x+5）（x-1）=-1有两根为x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
二．填空题（共5小题）
13．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x=4，则另一个根为 ______．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中x,y的部分对应值如表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 -4 -6 -6 -4 …
则该二次函数图象的对称轴为 ______．
15．一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间x（秒）与滑下的路程y（米）之间的函数关系式是y=5x2+10x,当运动员滑下的时间x=2秒时，他滑下的路程y为 ______米．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图，以下结论：
①abc＞0；
②当x=-1时，函数有最大值；
③方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3；
④2a+b=0．
其中正确的有 ______个．
17．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a＜0）经过（-1，1），（m,0）两点，且2＜m＜3，下列结论：
①c＞1；
②当x＞时，y随x的增大而减小；
③关于x的不等式ax2+bx＜（c-1）x的解集为x＞0或x＜-1；
④2a+c＞．
其中正确的结论是 ______.（填写序号）
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=x2-2x-3．
（1）将二次函数化成y=a（x-h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出y=x2-2x-3的大致图象，并根据图象直接写出y＜0时，x的取值范围．
19．已知抛物线y=ax2-bx+3经过点A（1，2），B（3，3）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点C（-2，-1）是否在此抛物线上．
20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元，每天可以销售80件，为尽快减少库存，商场决定降价促销，经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．
（1）每天要想获得1672元的利润，每件应降价多少元？
（2）每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
21．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m,水流的最高点到高楼的水平距离为4m,建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系．
（1）直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员从点C前进tm到点T（水流从T点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，求请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作 CPBD，点P的横坐标为m.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当 CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为 ______；
（3）当 CPBD是菱形时，求m的值．
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、D 3、A 4、B 5、D 6、B 7、C 8、D 9、B 10、C 11、D 12、D
二．填空题（共5小题）
13、x=-2； 14、x=； 15、40； 16、3； 17、③④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=（x-1）2-4．
（2）图象如图所示：
由图象可知抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
∴y＜0时x的取值范围是-1＜x＜3．
19、解：（1）将点A（1，2），B（3，3）代入y=ax2-bx+3
得a-b+3=2，9a-3b+3=3，
解得
∴抛物线的函数解析式为，
（2）当x=-2时，y=2+3+3=8≠-1，
∴点C（-2，-1）不在此抛物线上．
20、解：（1）设每天要想获得1672元的利润，则每件商品应降价x元．
由题意，得（50-30-x）（80+8x）=1672．
整理得，x2-10x+9=0，
解得：x1=1，x2=9．
∵要有利于减少库存，
∴取x=9．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到1672元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价9元．
（2）每件商品的售价为y元，获得利润为w元，由题意得，w=（y-30）[80+8（50-y）]
∴w=-8（y-45）2+1800．
∴w是关于y的二次函数，且开口向下．
∴当y=45时，每天可获得最大利润，最大利润是1800元．
答：每件商品的售价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润是1800元．
21、解：（1）依题意顶点坐标为（4，16），
∴设抛物线解析式为y=a（x-4）2+16，将点A（0，10）代入得，
10=a（0-4）2+16，
解得：a=-，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为：y=-（x-4）2+16=-x2+3x+10；
故答案为：y=-x2+3x+10；
（2）不能，理由如下，
依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为：y=-（x-4+2）2+16=-（x-2）2+16，
令x=0，解得：y=-+16=14.5≠15，
即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过B（0，15），
∴水流不能到达点B（0，15）处，
（3）依题意，消防员从点C前进tm到点T（水流从工点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移t个单位得到，
∴消防员到点T处时水流所在抛物线的解析式为：y=-（x-4+t）2+16，
∵水流未达到最高点且恰好到达点A处，
∴y=- （x-4+t）+16过点A（0，10），且对称轴x=4-t＜0，
∴t＞4，
将点A（0，10）代入得，
10=-（0-4+t）2+16，
解得t=8或t=0，
∴t=8．
22、解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3），
即y=x2-2x-3；
（2）∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
∵ CPBD有两个顶点在x轴上，
∴点D在x轴上，
而BD∥PC，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
而抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴点P的坐标为（2，-3），
故答案为：（2，-3）；
（3）∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，点P的横坐标为m.
∴P（m,m2-2m-3），
∵ CPBD是菱形，
∴PB=PC，
∴m2+（m2-2m-3+3）2=（3-m）2+（m2-2m-3）2，
整理得m2-m-3=0，解得m=，
∵点P是抛物线在第四象限上一个动点，
∴m＞0，
∴m的值．
一．选择题（共12小题）
1．下列各式中，y是x的二次函数是（ ）
A．y=3x-1 B．
C．y=x2+x D．y=3（x-1）（x+1）-3x2
2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y=x（15-4x） B．y=x（16-2x） C．y=x（17-2x） D．y=x（18-4x）
3．二次函数y=x2-x+2的图象与x轴的交点情况为（ ）
A．没有公共点 B．有一个公共点
C．有两个公共点 D．无法确定
4．二次函数y=x2-2x-m的最小值是5，那么m的值是（ ）
A．5 B．-6 C．4 D．-4
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象过点A（4，m），当x≤2时，y≥m+1，当x＞2时，y≥m,则当x=6时，y的值为（ ）
A．2 B．4 C．m D．m+1
6．将抛物线y=x2向右平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A．y=（x+3）2 B．y=（x-3）2 C．y=x2+3 D．y=x2-3
7．已知点（-3，y1），（-2，y2），（-1，y3）都在函数y=x2-2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式y＜0的解集是（ ）
A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．0＜x＜5 D．x＜-1或x＞5
9．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … -2 0 1 3 …
y … 6 -4 -6 -4 …
下列结论：
①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=1；③当时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
10．如图，点A，B的坐标分别为（2，-3）和（5，-3），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-1，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
11．已知二次函数y=ax2+bx+c,当y＞n时，x的取值范围是m-3＜x＜1-m,且该二次函数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d,4t）两点，则d的值可能是（ ）
A．0 B．-1 C．-4 D．-6
12．二次函数y=ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为（-2，-9a）下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a-b+c=0；④若方程a（x+5）（x-1）=-1有两根为x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
二．填空题（共5小题）
13．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x=4，则另一个根为 ______．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中x,y的部分对应值如表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 -4 -6 -6 -4 …
则该二次函数图象的对称轴为 ______．
15．一雪橇运动员沿着一斜坡滑下，滑下的时间x（秒）与滑下的路程y（米）之间的函数关系式是y=5x2+10x,当运动员滑下的时间x=2秒时，他滑下的路程y为 ______米．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图，以下结论：
①abc＞0；
②当x=-1时，函数有最大值；
③方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3；
④2a+b=0．
其中正确的有 ______个．
17．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a＜0）经过（-1，1），（m,0）两点，且2＜m＜3，下列结论：
①c＞1；
②当x＞时，y随x的增大而减小；
③关于x的不等式ax2+bx＜（c-1）x的解集为x＞0或x＜-1；
④2a+c＞．
其中正确的结论是 ______.（填写序号）
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=x2-2x-3．
（1）将二次函数化成y=a（x-h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出y=x2-2x-3的大致图象，并根据图象直接写出y＜0时，x的取值范围．
19．已知抛物线y=ax2-bx+3经过点A（1，2），B（3，3）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）判断点C（-2，-1）是否在此抛物线上．
20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元，每天可以销售80件，为尽快减少库存，商场决定降价促销，经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．
（1）每天要想获得1672元的利润，每件应降价多少元？
（2）每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
21．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面10m的点A和15m的点B处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从C点射出恰好到达点A处，且水流的最大高度为16m,水流的最高点到高楼的水平距离为4m,建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系．
（1）直接写出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式：______；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点B处，并说明理由；
（3）若消防员从点C前进tm到点T（水流从T点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，求请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作 CPBD，点P的横坐标为m.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）当 CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为 ______；
（3）当 CPBD是菱形时，求m的值．
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、D 3、A 4、B 5、D 6、B 7、C 8、D 9、B 10、C 11、D 12、D
二．填空题（共5小题）
13、x=-2； 14、x=； 15、40； 16、3； 17、③④；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）y=x2-2x-3=x2-2x+1-4=（x-1）2-4．
（2）图象如图所示：
由图象可知抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
∴y＜0时x的取值范围是-1＜x＜3．
19、解：（1）将点A（1，2），B（3，3）代入y=ax2-bx+3
得a-b+3=2，9a-3b+3=3，
解得
∴抛物线的函数解析式为，
（2）当x=-2时，y=2+3+3=8≠-1，
∴点C（-2，-1）不在此抛物线上．
20、解：（1）设每天要想获得1672元的利润，则每件商品应降价x元．
由题意，得（50-30-x）（80+8x）=1672．
整理得，x2-10x+9=0，
解得：x1=1，x2=9．
∵要有利于减少库存，
∴取x=9．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到1672元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价9元．
（2）每件商品的售价为y元，获得利润为w元，由题意得，w=（y-30）[80+8（50-y）]
∴w=-8（y-45）2+1800．
∴w是关于y的二次函数，且开口向下．
∴当y=45时，每天可获得最大利润，最大利润是1800元．
答：每件商品的售价为45元时，每天可获得最大利润，最大利润是1800元．
21、解：（1）依题意顶点坐标为（4，16），
∴设抛物线解析式为y=a（x-4）2+16，将点A（0，10）代入得，
10=a（0-4）2+16，
解得：a=-，
∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为：y=-（x-4）2+16=-x2+3x+10；
故答案为：y=-x2+3x+10；
（2）不能，理由如下，
依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移2个单位得到，
∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为：y=-（x-4+2）2+16=-（x-2）2+16，
令x=0，解得：y=-+16=14.5≠15，
即消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过B（0，15），
∴水流不能到达点B（0，15）处，
（3）依题意，消防员从点C前进tm到点T（水流从工点射出）处，可以看成把第一次抛物线向左平移t个单位得到，
∴消防员到点T处时水流所在抛物线的解析式为：y=-（x-4+t）2+16，
∵水流未达到最高点且恰好到达点A处，
∴y=- （x-4+t）+16过点A（0，10），且对称轴x=4-t＜0，
∴t＞4，
将点A（0，10）代入得，
10=-（0-4+t）2+16，
解得t=8或t=0，
∴t=8．
22、解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3），
即y=x2-2x-3；
（2）∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，
令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
∵ CPBD有两个顶点在x轴上，
∴点D在x轴上，
而BD∥PC，
∴点P和点C为抛物线上的对称点，
而抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴点P的坐标为（2，-3），
故答案为：（2，-3）；
（3）∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，点P的横坐标为m.
∴P（m,m2-2m-3），
∵ CPBD是菱形，
∴PB=PC，
∴m2+（m2-2m-3+3）2=（3-m）2+（m2-2m-3）2，
整理得m2-m-3=0，解得m=，
∵点P是抛物线在第四象限上一个动点，
∴m＞0，
∴m的值．