(共33张PPT)
3.1 排列与组合
3.1.1 基本计数原理
第2课时 基本计数原理的应用
探究点一 组数问题
探究点二 抽取（分配）问题
探究点三 涂色问题
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题.
知识点 两个计数原理的联系与区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘
每类办法中的每一种方法都能独 立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事
注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整
探究点一 组数问题
例1 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码
解：可以分为四步：第一步，确定从左数第一个位置上的数字，共有6种方法；
第二步，确定从左数第二个位置上的数字，共有5种方法；第三步，确定从左数
第三个位置上的数字，共有4种方法；第四步，确定从左数第四个位置上的数字，
共有3种方法.
由分步乘法计数原理知，可组成 （个）无重复数字的银行存
折的四位密码.
（2）四位整数
解：可以分为四步：第一步，确定千位上的数字，共有5种方法；
第二步，确定百位上的数字，共有5种方法；
第三步，确定十位上的数字，共有4种方法；
第四步，确定个位上的数字，共有3种方法.
由分步乘法计数原理知，可组成 （个）无重复数字的四位整数.
（3）比2000大的四位偶数
解：用0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数可以分为两类：第一类，个位上
的数字是0，共有 （个）；
第二类，个位上的数字是2或4，共有 （个）.
由分类加法计数原理可知，共有 （个）无重复数字的四位偶数，
其中比2000小，即千位上的数字是1的有 （个），所以符合条件
的四位偶数共有 （个）.
变式（1） [2024·辽宁盘锦辽东湾高中高二期末]用0，1，2，3，4，5这六个数
字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
D
A.40个 B.42个 C.48个 D.52个
[解析] 当个位是0时，共有 （个）符合题意的数；
当个位是2时，共有（个）符合题意的数；
当个位是4时，共有 （个）符合题意的数.
综上，共有 （个）符合题意的数.故选D.
（2）（多选题）[2024·辽宁丹东高二期末] 下列说法正确的是( )
ACD
A.由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数
B.由数字1，2，3，4能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C.由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码
D.由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数
[解析] 由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数的个数为
，故A正确；
若三位数是偶数，则个位可以是2或4，则共有 （个）没有重复数
字的三位偶数，故B错误；
由数字1，2，3，4能够组成三位密码的个数为 ，故C正确；
若百位是4，则有（个）比320大的三位数，若百位是3，则有
（个）比320大的三位数，则比320大的三位数有（个），故D
正确.故选 .
［素养小结］
（1）关于组数问题，一般要遵循特殊优先的原则，即特殊位置优先或特殊元素优
先.特殊位置如首位或末尾，特殊元素如0、奇数、偶数等，两种特殊择其一即可.
（2）解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.
探究点二 抽取（分配）问题
例2 [2023·江西吉安高二期末] 某师范院校为了支持乡村教育振兴计划，拟委
派10名大学生到偏远山区支教，其中有3名研究生.现将这10名大学生分配给5所
乡村小学，每校2人，则不同的研究生分配情况有_____种（用数字作答）.
120
[解析] 3名研究生分成2组有3种分组方法，再把2组分配给5个乡村小学有
（种）分配方法，故3名研究生分配到2所不同的学校，共有
（种）分配情况；
如果3名研究生分配到3所不同的学校，则有（种）分配情况，所
以不同的研究生分配情况有 （种）.
变式（1） 某公司新聘用8名员工,平均分给甲、乙两个部门,其中2名英语翻译
人员不能分给同一个部门,3名电脑编程人员也不能分给同一个部门,则不同的分
配方法共有( )
C
A.18种 B.24种 C.36种 D.72种
[解析] 可以分为两类:第一类，甲部门分2名电脑编程人员,则有3种分配方法，翻
译人员的分配方法有2种，再从剩下的3人中选1人,有3种方法，则共有
（种）不同的分配方法；
第二类，甲部门分1名电脑编程人员,则有3种分配方法，翻译人员的分配方法有
2种，再从剩下的3人中选2人,有3种方法,则共有 （种）不同的分配
方法.由分类加法计数原理可得,不同的分配方法共有 （种）.故选C.
（2）某校文创社团近期设计了两款明信片文创作品“油池春军”和“府学春雨”，
借此展示该校的文化底蕴和春天美景，一经推出，广受欢迎．为了支持慈善事
业，校志愿者社团派出李明和张伟等5人帮助文创社团公益售卖两款明信片，5
人分为两组，每组售卖同一款明信片．若李明和张伟必须售卖同一款明信片，
且每款明信片至少由2名志愿者售卖，则不同的售卖方案的种数为( )
A
A.8 B.10 C.12 D.14
[解析] ①将5人分为3，2的两组，要求李明和张伟在同一组，若李明和张伟两人
一组，则有1种分组方法，若李明和张伟和其他1人组成1组，则有3种分组方法，
则共有 （种）分组方法；
②将分好的2组安排售卖两款明信片，有 （种）不同的售卖方案.故选A.
［素养小结］
求解抽取（分配）问题的方法：
（1）当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法.
（2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法，直接使用分类加法
计数原理或分步乘法计数原理；②间接法，去掉限制条件，计算所有的抽取方
法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
探究点三 涂色问题
［探索］ （1）涂色问题的基本要求是什么
解:涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,一般情况下，不相邻的区域可以同色.
（2）怎样解决涂色问题
解:首先要关注图形的结构特征，如果图形不规则,那么要从某一块出发进行分步
涂色,从而选用分步乘法计数原理,如果图形具有一定的对称性,那么就要先对涂
色方案进行分类,每一类再进行分步;其次要注意前一步的涂色对下一步的涂色方
法数有无影响,无影响直接分步,有影响则要分类.涂色问题往往涉及两个计数原
理的综合应用,因此,要找准分类标准,在兼顾条件的情况下分步涂色.
例3 用四种颜色对图中的区域进行涂色，并保证相邻区
域的颜色不同，则共有____种涂色方法．
72
[解析] 对于区域5，有4种颜色可选，对于区域2，有3种颜
色可选，对于区域1，有2种颜色可选，对于区域3，有2种
颜色可选，若区域3与区域2颜色不同，则区域4只有1种颜
色可选，若区域3与区域2颜色相同，则区域4有2种颜色可
选.共有 （种）涂色方法.
变式（1） [2024·辽宁锦州高二期末]在如图所示的五块土地上种植四种庄稼，
有五种庄稼秧苗可供选择，要求相邻的土地不种同一种，则不同的种植方法共
有( )
A
A.240种 B.300种 C.360种 D.420种
[解析] 根据题意，五块土地上种植四种庄稼，先选出4种庄稼，共有5种选择；1,
5种植相同庄稼或2,4种植相同庄稼，共有 （种）种植方
法.根据分步乘法计数原理，共有 （种）种植方法.故选A.
（2）如图，在四棱锥 中，给5个顶点安装
彩色灯泡，要求相邻顶点的灯泡不能使用同一颜色，
有4种不同颜色的灯泡可供选择，则不同的安装方法共
有____种.
[解析] 若， 使用同一颜色的灯泡，则由分步乘法计
数原理可知有（种）不同的安装方法；
若， 不使用同一颜色的灯泡，则由分步乘法计数原理可知有
（种）不同的安装方法.
由分类加法计数原理可得共有 （种）不同的安装方法.
［素养小结］
涂色与种植问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类
与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，
求解涂色与种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：
（1）按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算.
（2）以颜色（种植作物）为主的分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，
用分类加法计数原理计算.
（3）将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.
（4）对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.
（5）对于相邻不同色的记忆口诀“相邻则递减，不相邻则分类”.
拓展 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的“田”字形的4个小方格内，
每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，那么共有
多少种不同的涂法
解：第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.下面
分为两类：
①当第2，3个小方格涂不同颜色时，有 （种）不同的涂法，第4个小
方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知，有 （种）
不同的涂法.
②当第2，3个小方格涂相同颜色时，有4种不同的涂法，第4个小方格也有4种不
同的涂法，由分步乘法计数原理可知，有 （种）不同的涂法.
由分类加法计数原理可得，共有 （种）不同的涂法.
1.为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生高质量就
业，教育部实施供需对接就业育人项目.现安排甲、乙两所高校与三家用人单位
开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有
( )
B
A.15种 B.16种 C.17种 D.18种
[解析] 当甲高校与两家用人单位对接时有3种对接方案，当甲高校与三家用人单
位对接时有1种对接方案，甲高校与用人单位对接的方案种数为 ，同理，
乙高校与用人单位对接的方案种数为4，故不同的对接方案共有
（种） 故选B.
2.[2024·辽宁辽阳高二期末]某同学有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,2
套不同样式的连衣裙.该同学需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选法有 ( )
D
A.24种 B.10种 C.9种 D.14种
[解析] 第一类：选衬衣加裙子，有 （种）选法；
第二类：选连衣裙，有2种选法.
根据分类加法计数原理，共有 （种）选法.故选D.
3.某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜
鹃四种不同的花可供选择，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案
的种数为( )
C
A.24 B.36 C.48 D.96
[解析] 种区域1有4种选择，区域2有3种选择，区域3有2种选择，区域4有1种选
择，区域5有2种选择，区域6有1种选择，则共有 （种）
不同的种植方案.故选C.
4.（多选题）[2023·长春高二期末] 高二年级安排甲、乙、丙三名学生到 ，
，，， 五个社区进行暑期社会实践活动，每名学生只能选择一个社区，
且多个学生可以选择同一个社区，则下列说法正确的有( )
BC
A.所有可能的安排方法共有 种
B.如果社区 必须有学生选择，则不同的安排方法有61种
C.如果学生甲必须选择社区 ，则不同的安排方法有25种
D.如果甲、乙两名学生必须在同一个社区，则不同的安排方法有20种
[解析] 对于A，所有可能的安排方法共有 （种），故A错误；
对于B，如果社区A必须有学生选择，则不同的安排方法有 （种），
故B正确；
对于C，如果学生甲必须选择社区A，则不同的安排方法有 （种），故C
正确；
对于D，如果甲、乙两名学生必须在同一个社区，则不同的安排方法有
（种），故D错误.故选 .
5.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在三块不同土质的土
地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有____种.
18
[解析] 方法一（直接法）：若将黄瓜种在第一块土地上，则有 （种）
不同的种植方法.同理，将黄瓜种在第二块、第三块土地上均有 （种）
不同的种植方法，故不同的种植方法共有 （种）.
方法二（间接法）：从4种蔬菜中选出3种分别种在三块不同土质的土地上，共
有（种）方法，其中不种黄瓜的有 （种）方法，故
不同的种植方法共有 （种）.
涂色问题：涂色问题可以从能够使用的颜色数量考虑，也可以综合使用两个计
数原理，即遇到不相邻区域要考虑同色和不同色两种情况进行分类讨论.
例1 特种汽车牌照号码一共五个字符，但规定从左到右第二个字符只能从字母
，，中选择，其他四个字符可以从 这十个数字中选择（数字可以重
复），有车主第一个字符（从左到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他字符只
想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码的选法情况有( )
D
A.180种 B.360种 C.720种 D.960种
[解析] 根据题意，车主第一个字符在数字3，5，6，8，9中选择，有5种选法，
第二个字符只能从字母B，C，D中选择，有3种选法，剩下的3个字符在1，3，6，
9中选择，每个字符有4种选法，有 （种）选法，所以共有
（种）选法.故选D.
例2 [2023·广州执信中学高二月考]如图，某城市在中心广场建造一个花圃，花
圃分为6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能
栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有( )
C
A.40种 B.80种 C.120种 D.160种
[解析] 根据图示，区域3和6、区域3和5、区域2和5、区域2和4、区域4和6不相
邻，可以栽种相同颜色的花，要栽种4种不同颜色的花，可分为五类.
第一类：区域3和6同色且区域2和4同色，有 （种）栽种方法；
第二类：区域3和6同色且区域2和5同色，有 （种）栽种方法；
第三类：区域3和5同色且区域2和4同色，有 （种）栽种方法；
第四类：区域4和6同色且区域2和5同色，有 （种）栽种方法；
第五类：区域4和6同色且区域3和5同色，有 （种）栽种方法.
综上，共有 （种）栽种方法.故选C.第2课时 基本计数原理的应用
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)可以分为四步:第一步,确定从左数第一个位置上的数字,共有6种方法;第二步,确定从左数第二个位置上的数字,共有5种方法;第三步,确定从左数第三个位置上的数字,共有4种方法;第四步,确定从左数第四个位置上的数字,共有3种方法.
由分步乘法计数原理知,可组成6×5×4×3=360(个)无重复数字的银行存折的四位密码.
(2)可以分为四步:第一步,确定千位上的数字,共有5种方法;第二步,确定百位上的数字,共有5种方法;第三步,确定十位上的数字,共有4种方法;第四步,确定个位上的数字,共有3种方法.
由分步乘法计数原理知,可组成5×5×4×3=300(个)无重复数字的四位整数.
(3)用0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数可以分为两类:第一类,个位上的数字是0,共有5×4×3=60(个);
第二类,个位上的数字是2或4,共有2×4×4×3=96(个).
由分类加法计数原理可知,共有60+96=156(个)无重复数字的四位偶数,其中比2000小,即千位上的数字是1的有3×4×3=36(个),所以符合条件的四位偶数共有156-36=120(个).
变式 (1)D (2)ACD [解析] (1)当个位是0时,共有5×4=20(个)符合题意的数;当个位是2时,共有4×4=16(个)符合题意的数;当个位是4时,共有4×4=16(个)符合题意的数.综上,共有20+16+16=52(个)符合题意的数.故选D.
(2)由数字1,2,3,4能够组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2=24,故A正确;若三位数是偶数,则个位可以是2或4,则共有2×3×2=12(个)没有重复数字的三位偶数,故B错误;由数字1,2,3,4能够组成三位密码的个数为4×4×4=64,故C正确;若百位是4,则有4×4=16(个)比320大的三位数,若百位是3,则有3×4=12(个)比320大的三位数,则比320大的三位数有16+12=28(个),故D正确.故选ACD.
探究点二
例2 120 [解析] 3名研究生分成2组有3种分组方法,再把2组分配给5个乡村小学有5×4=20(种)分配方法,故3名研究生分配到2所不同的学校,共有3×20=60(种)分配情况;如果3名研究生分配到3所不同的学校,则有5×4×3=60(种)分配情况,所以不同的研究生分配情况有60+60=120(种).
变式 (1)C (2)A [解析] (1)可以分为两类:第一类,甲部门分2名电脑编程人员,则有3种分配方法,翻译人员的分配方法有2种,再从剩下的3人中选1人,有3种方法,则共有3×2×3=18(种)不同的分配方法;第二类,甲部门分1名电脑编程人员,则有3种分配方法,翻译人员的分配方法有2种,再从剩下的3人中选2人,有3种方法,则共有3×2×3=18(种)不同的分配方法.由分类加法计数原理可得,不同的分配方法共有18+18=36(种).故选C.
(2)①将5人分为3,2的两组,要求李明和张伟在同一组,若李明和张伟两人一组,则有1种分组方法,若李明和张伟和其他1人组成1组,则有3种分组方法,则共有1+3=4(种)分组方法;②将分好的2组安排售卖两款明信片,有4×2=8(种)不同的售卖方案.故选A.
探究点三
探索 解:(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,一般情况下,不相邻的区域可以同色.
(2)首先要关注图形的结构特征,如果图形不规则,那么要从某一块出发进行分步涂色,从而选用分步乘法计数原理,如果图形具有一定的对称性,那么就要先对涂色方案进行分类,每一类再进行分步;其次要注意前一步的涂色对下一步的涂色方法数有无影响,无影响直接分步,有影响则要分类.涂色问题往往涉及两个计数原理的综合应用,因此,要找准分类标准,在兼顾条件的情况下分步涂色.
例3 72 [解析] 对于区域5,有4种颜色可选,对于区域2,有3种颜色可选,对于区域1,有2种颜色可选,对于区域3,有2种颜色可选,若区域3与区域2颜色不同,则区域4只有1种颜色可选,若区域3与区域2颜色相同,则区域4有2种颜色可选.共有4×3×2×(1+2)=72(种)涂色方法.
变式 (1)A (2)72 [解析] (1)根据题意,五块土地上种植四种庄稼,先选出4种庄稼,共有5种选择;1,5种植相同庄稼或2,4种植相同庄稼,共有2×(4×3×2×1)=48(种)种植方法.根据分步乘法计数原理,共有5×48=240(种)种植方法.故选A.
(2)若A,C使用同一颜色的灯泡,则由分步乘法计数原理可知有4×3×2×2=48(种)不同的安装方法;若A,C不使用同一颜色的灯泡,则由分步乘法计数原理可知有4×3×2×1×1=24(种)不同的安装方法.由分类加法计数原理可得共有48+24=72(种)不同的安装方法.
拓展 解:第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法.下面分为两类:
①当第2,3个小方格涂不同颜色时,有4×3=12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知,有5×12×3=180(种)不同的涂法.
②当第2,3个小方格涂相同颜色时,有4种不同的涂法,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知,有5×4×4=80(种)不同的涂法.
由分类加法计数原理可得,共有180+80=260(种)不同的涂法.
【课堂评价】
1.B [解析] 当甲高校与两家用人单位对接时有3种对接方案,当甲高校与三家用人单位对接时有1种对接方案,甲高校与用人单位对接的方案种数为3+1=4,同理,乙高校与用人单位对接的方案种数为4,故不同的对接方案共有4×4=16(种).故选B.
2.D [解析] 第一类:选衬衣加裙子,有4×3=12(种)选法;第二类:选连衣裙,有2种选法.根据分类加法计数原理,共有12+2=14(种)选法.故选D.
3.C [解析] 种区域1有4种选择,区域2有3种选择,区域3有2种选择,区域4有1种选择,区域5有2种选择,区域6有1种选择,则共有4×3×2×1×2×1=48(种)不同的种植方案.故选C.
4.BC [解析] 对于A,所有可能的安排方法共有5×5×5=53(种),故A错误;对于B,如果社区A必须有学生选择,则不同的安排方法有53-43=61(种),故B正确;对于C,如果学生甲必须选择社区A,则不同的安排方法有52=25(种),故C正确;对于D,如果甲、乙两名学生必须在同一个社区,则不同的安排方法有5×5=25(种),故D错误.故选BC.
5.18 [解析] 方法一(直接法):若将黄瓜种在第一块土地上,则有3×2=6(种)不同的种植方法.同理,将黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2=6(种)不同的种植方法,故不同的种植方法共有6×3=18(种).
方法二(间接法):从4种蔬菜中选出3种分别种在三块不同土质的土地上,共有4×3×2=24(种)方法,其中不种黄瓜的有3×2×1=6(种)方法,故不同的种植方法共有24-6=18(种).第2课时 基本计数原理的应用
【学习目标】
1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理;
2.能根据具体问题的特征,选择两种计数原理解决一些实际问题.
◆ 知识点 两个计数原理的联系与区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
不同点 分类完成,类类相加 分步完成,步步相乘
每类办法中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事
注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,步骤完整
◆ 探究点一 组数问题
例1 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的:
(1)银行存折的四位密码
(2)四位整数
(3)比2000大的四位偶数
变式 (1)[2024·辽宁盘锦辽东湾高中高二期末] 用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 ( )
A.40个 B.42个
C.48个 D.52个
(2)(多选题)[2024·辽宁丹东高二期末] 下列说法正确的是 ( )
A.由数字1,2,3,4能够组成24个没有重复数字的三位数
B.由数字1,2,3,4能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C.由数字1,2,3,4能够组成64个三位密码
D.由数字1,2,3,4能够组成28个比320大的三位数
[素养小结]
(1)关于组数问题,一般要遵循特殊优先的原则,即特殊位置优先或特殊元素优先.特殊位置如首位或末尾,特殊元素如0、奇数、偶数等,两种特殊择其一即可.
(2)解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.
◆ 探究点二 抽取(分配)问题
例2 [2023·江西吉安高二期末] 某师范院校为了支持乡村教育振兴计划,拟委派10名大学生到偏远山区支教,其中有3名研究生.现将这10名大学生分配给5所乡村小学,每校2人,则不同的研究生分配情况有 种(用数字作答).
变式 (1)某公司新聘用8名员工,平均分给甲、乙两个部门,其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门,3名电脑编程人员也不能分给同一个部门,则不同的分配方法共有 ( )
A.18种 B.24种
C.36种 D.72种
(2)某校文创社团近期设计了两款明信片文创作品“油池春军”和“府学春雨”,借此展示该校的文化底蕴和春天美景,一经推出,广受欢迎.为了支持慈善事业,校志愿者社团派出李明和张伟等5人帮助文创社团公益售卖两款明信片,5人分为两组,每组售卖同一款明信片.若李明和张伟必须售卖同一款明信片,且每款明信片至少由2名志愿者售卖,则不同的售卖方案的种数为 ( )
A.8 B.10 C.12 D.14
[素养小结]
求解抽取(分配)问题的方法:
(1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法.
(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法,直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理;②间接法,去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
◆ 探究点三 涂色问题
[探索] (1)涂色问题的基本要求是什么
(2)怎样解决涂色问题
例3 用四种颜色对图中的区域进行涂色,并保证相邻区域的颜色不同,则共有 种涂色方法.
变式 (1)[2024·辽宁锦州高二期末] 在如图所示的五块土地上种植四种庄稼,有五种庄稼秧苗可供选择,要求相邻的土地不种同一种庄稼,则不同的种植方法共有 ( )
A.240种 B.300种
C.360种 D.420种
(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,给5个顶点安装彩色灯泡,要求相邻顶点的灯泡不能使用同一颜色,有4种不同颜色的灯泡可供选择,则不同的安装方法共有 种.
[素养小结]
涂色与种植问题是考查计数方法的一种常见问题,由于这类问题常常涉及分类与分步,所以在高考题中经常出现,处理这类问题的关键是要找准分类标准,求解涂色与种植问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用的方法有:
(1)按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法计数原理计算.
(2)以颜色(种植作物)为主的分类讨论法,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理计算.
(3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题.
(4)对于不相邻的区域,常分为同色和不同色两类,这是常用的分类标准.
(5)对于相邻不同色的记忆口诀“相邻则递减,不相邻则分类”.
拓展 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,那么共有多少种不同的涂法
1.为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接,促进高校毕业生高质量就业,教育部实施供需对接就业育人项目.现安排甲、乙两所高校与三家用人单位开展项目对接,若每所高校至少对接两家用人单位,则不同的对接方案共有 ( )
A.15种 B.16种
C.17种 D.18种
2.[2024·辽宁辽阳高二期末] 某同学有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,2套不同样式的连衣裙.该同学需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选法有 ( )
A.24种 B.10种
C.9种 D.14种
3.某公园设计了如图所示的观赏花坛,现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供选择,要求相邻区域种不同种类的花,则不同的种植方案的种数为 ( )
A.24 B.36 C.48 D.96
4.(多选题)[2023·长春高二期末] 高二年级安排甲、乙、丙三名学生到A,B,C,D,E五个社区进行暑期社会实践活动,每名学生只能选择一个社区,且多个学生可以选择同一个社区,则下列说法正确的有 ( )
A.所有可能的安排方法共有35种
B.如果社区A必须有学生选择,则不同的安排方法有61种
C.如果学生甲必须选择社区A,则不同的安排方法有25种
D.如果甲、乙两名学生必须在同一个社区,则不同的安排方法有20种
5.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种,分别种在三块不同土质的土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有 种. 第2课时 基本计数原理的应用
1.B [解析] 由题意可知,百位数字为2或3,其他数位在剩余3个数字中选择2个数字排序即可.由分步乘法计数原理可知,比200大的3位数的个数为2×3×2=12.故选B.
2.D [解析] 可按选派的女生人数分为两类:若选派1名女生,则有2×3=6(种)不同的选派方案;若选派2名女生,则有3种不同的选派方案.根据分类加法计数原理,共有6+3=9(种)不同的选派方案.故选D.
3.B [解析] 由分步乘法计数原理知,用0,1,…,9这十个数字组成的三位数共有9×10×10=900(个),其中无重复数字的三位数共有9×9×8=648(个),因此有重复数字的三位数的个数为900-648=252.
4.C [解析] 因为每个字的颜色都有2种选择,即分6步,每步都有2种选法,所以不考虑限制条件有2×2×2×2×2×2=64(种)不同的写法,用同种颜色的笔写字只有2种写法,所以要求不能只用1种颜色的笔,则不同的写法共有 64-2=62(种).故选C.
5.D [解析] ①不含“0”时,取一个奇数两个偶数,共有2×3×2×1=12(种)情况;②含“0”时,另取一个奇数一个偶数,此时“0”不能排首位,共有2×2×2×2=16(种)情况.所以共有12+16=28(种)情况.故选D.
6.C [解析] 将区域标号,如图所示.因为②③④两两相邻,依次用不同的颜色涂色,则有6×5×4=120(种)不同的涂色方法.若①与④的颜色相同,则有1种不同的涂色方法;若①与④的颜色不相同,则有3种不同的涂色方法.所以共有120×(1+3)=480(种)不同的涂色方法.故选C.
7.D [解析] 若选取的是科普类读物和人文类读物,则共有10×10=100(种)取法;若选取的是科普类读物和自然类读物,则共有10×9=90(种)取法;若选取的是人文类读物和自然类读物,则共有10×9=90(种)取法.综上,共有100+90+90=280(种)不同的取法.故选D.
8.ABC [解析] 对于A,分三类,选老师有3种选法,选男同学有8种选法,选女同学有5种选法,故共有3+8+5=16(种)不同的选法,故A正确;对于B,分三步,第一步选老师,第二步选男同学,第三步选女同学,故共有3×8×5=120(种)不同的选法,故B正确;对于C,分两步,第一步选老师,第二步选同学,第二步又分为两类,第一类选男同学,第二类选女同学,故共有3×(8+5)=39(种)不同的选法,故C正确;对于D,若需3名老师和1名同学参加,则有8+5=13(种)不同的选法,故D错误.故选ABC.
9.AB [解析] 对于A,可以组成4×5×5×5=500(个)四位数,故A正确;对于B,可以组成4×4×3×2=96(个)无重复数字的四位数,故B正确;对于C,若个位数为0,则有4×3×2=24(个),若个位数不为0,则有2×3×3×2=36(个),所以可以组成24+36=60(个)无重复数字的四位偶数,故C错误;对于D,可以组成4×2×5×3=120(个)百位是奇数的四位偶数,故D错误.故选AB.
10.120 [解析] 由题意知,阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,第一位数的选法有5种,第二位数的选法有4种,第三位数和第四位数的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6种情况.根据分步乘法计数原理,符合题意的四位数共有5×4×6=120(个).
11.4 [解析] 若选甲、乙两人,包括甲操作A车床,乙操作B车床,或甲操作B车床,乙操作A车床,共有2种选派方法.若选甲、丙二人,则只有甲操作B车床,丙操作A车床这1种选派方法.若选乙、丙二人,则只有乙操作B车床,丙操作A车床这1种选派方法.故共有2+1+1=4(种)不同的选派方法.
12.540 [解析] 如图,给5块不同的区域标上字母,可先在A中布置花卉,有5种不同的布置方案,再在B中布置花卉,有4种不同的布置方案,再在D中布置花卉,有3种不同的布置方案,若区域B,E布置同种花卉,则C有3种不同的布置方案,若区域B,E布置不同的花卉,则E有2种不同的布置方案,C有3种不同的布置方案,故不同的布置方案有5×4×3×(3+2×3)=540(种).
[点拨] 涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析.
13.解:当取a1,a2时,取退烧药有4种方案,此时不同的试验方案有4种;
当不取a1,a2且取a3时,取另一种消炎药有2种方案,
由于a3,b4两种药不能同时使用,所以取退烧药有3种方案,此时不同的试验方案有2×3=6(种);
当取a4,a5时,取退烧药有4种方案,此时不同的试验方案有4种.
综上所述,不同的试验方案共有4+6+4=14(种).
14.解:(1)A区域有3种涂法,B,C,D区域各有2种不同的涂法,由分步乘法计数原理可得,将A,B,C,D四个区域涂色共有3×2×2×2=24(种)不同的涂色方案.
(2)恰好用3种不同的颜色涂四个区域,则A,C区域或A,D区域或B,D区域同色,由分类加法计数原理可得,恰好用3种不同的颜色涂四个区域共有3×2×1+3×2×1+3×2×1=18(种)不同的涂色方案.
(3)若恰好用2种不同的颜色涂四个区域,则A,C区域同色,且B,D区域同色,先从3种不同的颜色中任取2种颜色,共有3种不同的取法,然后用所取的2种颜色涂四个区域,共有2种不同的涂法,
由分步乘法计数原理可得,恰好用2种不同的颜色涂完四个区域共有3×2=6(种)不同的涂色方案.
15.C [解析] 由题意,拨动三枚算珠,有4种拨法:①个位拨动三枚,有2种结果:3,7;②十位拨动一枚,个位拨动两枚,有4种结果:12,16,52,56;③十位拨动两枚,个位拨动一枚,有4种结果:21,25,61,65;④十位拨动三枚,有2种结果:30,70.综上,拨动题图①中算盘的三枚算珠,可以表示不同整数的个数为2+4+4+2=12.故选C.
16.96 [解析] 还原回正方体后,D,B为正方体前、后两个对面,A,E为正方体左、右两个对面,F,C为正方体上、下两个对面.先涂A有4种涂法,当C与F同色时,涂C与F有3种涂法,若D与B同色,则D与B有2种涂法,最后涂E有2种涂法,若D与B不同色,则D与B有2种涂法,最后涂E有1种涂法,则有4×3×(2×2+2×1)=72(种)涂法;当C与F不同色时,涂C有3种涂法,涂F有2种涂法,此时D与B必同色且只有1种涂法,E也只有1种涂法,则有4×3×2×1×1=24(种)涂法.综上,共有72+24=96(种)涂法.第2课时 基本计数原理的应用
一、选择题
1.用数字0,1,2,3组成没有重复数字的3位数,其中比200大的有 ( )
A.24个 B.12个
C.18个 D.6个
2.某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区活动,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有 ( )
A.6种 B.7种
C.8种 D.9种
3.用0,1,…,9这十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )
A.243 B.252 C.261 D.279
4.在校园艺术节才艺展示活动中,小明书写“求真、崇善、唯美”6个字,有2种不同颜色的笔供小明选择,要求每个字是同1种颜色且不能只用1种颜色的笔,则不同的写法共有( )
A.34种 B.30种
C.62种 D.63种
5.[2023·湖南邵阳高二期末] 由0,1,2,3,4这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的种数为 ( )
A.12 B.16
C.20 D.28
6.[2024·辽宁抚顺高二期末] 用6种不同的颜色给如图所示的地图上色,要求相邻两块涂不同的颜色,则不同的涂色方法有 ( )
A.240种 B.360种
C.480种 D.600种
7.[2024·广西河池高二期中] 一个书架上放置了科普类读物10本,人文类读物10本,自然类读物9本,每本书各不相同,从中取出2本不同类别的书,则不同的取法共有 ( )
A.720种 B.29种
C.900种 D.280种
8.(多选题)现有3名老师,8名男同学和5名女同学共16人,有一项活动需派人参加,则下列说法中正确的是 ( )
A.若只需1人参加,则有16种不同的选法
B.若需老师、男同学、女同学各1人参加,则有120种不同的选法
C.若需1名老师和1名同学参加,则有39种不同的选法
D.若需3名老师和1名同学参加,则有56种不同的选法
9.(多选题)已知数字0,1,2,3,4,由它们组成四位数,下列说法正确的有 ( )
A.可以组成500个四位数
B.可以组成96个无重复数字的四位数
C.可以组成66个无重复数字的四位偶数
D.可以组成28个百位是奇数的四位偶数
二、填空题
10.洛书,古称龟书,传说有神龟出于洛水,其甲壳上有如图所示的图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数(图中白圈为阳数,黑点为阴数).现利用阴数和阳数构成一个四位数,规则如下:(从左往右数)第一位数是阳数,第二位数是阴数,第三位数和第四位数一阴一阳和为7,则这样的四位数有 个.
11.现有A,B两种类型的车床各一台,甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上车床,不同的选派方法有 种.
★12.[2023·河北邯郸高二期中] 某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉,要求相邻区域布置的花卉种类不同,且每个区域只布置一种花卉,若有5种不同的花卉可供选择,则不同的布置方案有 种.
三、解答题
13.[2023·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 某药品研究所研制了5种消炎药(a1,a2,a3,a4,a5)、4种退烧药(b1,b2,b3,b4),现从中取出2种消炎药和1种退烧药同时使用进行疗效试验.已知a1,a2两种药必须同时使用,且a3,b4两种药不能同时使用,则不同的试验方案有多少种
14.将如图所示的A,B,C,D区域按照下列要求涂色.
A B C D
(1)用3种不同的颜色填涂图中A,B,C,D四个区域,且使相邻区域不同色,若按从左到右依次涂色,有多少种不同的涂色方案
(2)若恰好用3种不同的颜色给A,B,C,D四个区域涂色,且相邻区域不同色,共有多少种不同的涂色方案
(3)若有3种不同的颜色,恰好用2种不同的颜色涂完四个区域,且相邻区域不同色,共有多少种不同的涂色方案
15.算盘是中国古代的一项重要发明,现有一种算盘(如图①),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下五珠,上拨一珠记作数字1(如图②中算盘表示整数51),如果拨动图①中算盘的三枚算珠,可以表示不同整数的个数为 ( )
A.16 B.15
C.12 D.10
16.[2023·上海七宝中学高二期中] 某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具,现给图中的正方体展开图的六个区域涂色,有红、橙、黄、绿四种颜色可选,要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同,共有 种不同的涂色方法.
