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3.3 二项式定理与杨辉三角
第1课时 二项式定理
探究点一 二项式定理的正用、逆用
探究点二 二项展开式的通项公式的应用
探究点三 求两个多项式积的特定项
探究点四 求三项展开式的问题
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；
2.能解决与二项式定理及二项展开式的通项公式有关的问题.
知识点一 二项式定理
二项式定理: .
（1）项数: 次二项展开式共有______项.
（2）次数:字母的次数从逐项递减到0,是__________;字母 的次数从0逐项
递增到,是__________;各项次数的和均为二项式的次数 .
（3）二项式系数:称为第 项的二项式系数.
降幂排列
升幂排列
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的展开式中有 项.( )
×
（2）与 的展开式的二项式系数相同.( )
√
（3）的展开式中某一项的二项式系数与， 无关.( )
√
（4） 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，
与该项的二项式系数不同.( )
√
知识点二 二项展开式的通项公式
展开式的第______项称为二项展开式的通项公式,记作 __________.
在二项式定理中,令, ,则有
.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）是的展开式中的第 项.( )
×
[解析] 是的展开式中的第 项.
（2）在的展开式中，含的项为 .( )
√
[解析] 的展开式的通项为 ，令
，得 .
（3）在的展开式中各项系数的和为 .( )
√
[解析] 由展开式特点，令，可得展开式中各项系数的和为 .
探究点一 二项式定理的正用、逆用
例1（1） 的展开式为_______________________________.
[解析] .
（2）已知 ,则
____.
[解析] ，， ，
,， .
（3）化简:
_______.
[解析] 原式
.
变式（1） 求 的展开式.
解：方法一：
.
方法二： .
（2）化简： .
解：，， ，
原式
.
［素养小结］
二项式定理应用策略：
（1）正用：二项展开式的特点是第一项的指数从 次降到0次，第二项从0次升
到次，过程中两项的次数和为 ，因此应用正向展开式一定要分清第一项和第
二项，而且要注意两项的次数间的关系.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会
更简便.
（2）逆用：逆向应用的条件首先要观察是否满足两项的幂指数和是否为 ，然
后确定第一项、第二项，一些问题中涉及全部展开式问题，要注意是否缺项.
探究点二 二项展开式的通项公式的应用
例2（1） [2023·江苏盐城高二期末] 在的展开式中，含 的项的系
数为____.
10
[解析] 的展开式的通项为 ，
令,解得,故展开式中含的项的系数为 .
（2）[2024·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 已知 的展开式的第7项
与倒数第7项的比是 ，则展开式中的第7项为___.
[解析] 根据题意可知 ，
，由
，可得 ，所以
，解得，所以 .
变式（1） [2024·辽宁锦州高二期末]已知
，则 ( )
D
A. B. C.30 D.60
[解析] 设，则 ，所以
的展开式的通项
为，令，解得 ，则
.故选D.
（2）[2023·甘肃白银靖远一中高二期末] 的展开式中，有理项的
个数为___.
[解析] 的展开式的通项为
，若 为整
数，则 可取0,3,6，所以共有3个有理项.
［素养小结］
求二项展开式的待定项的常用方法：
（1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）.
（2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整
数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其
属于整数集，再根据数的整除性来求解.
（3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，
求解方式与求有理项一致.
探究点三 求两个多项式积的特定项
例3（1） [2023·西宁湟川中学高二期末] 的展开式中的常数
项是( )
B
A. B. C. D.20
[解析] 的展开式的通项为，令 ，
得，令，得，所以 的展开式中的常数
项是 .故选B.
（2）的展开式中含 的项的系数为_____.
[解析] ，的展开式中含 的
项为，的展开式中没有含 的项，故
的展开式中含的项的系数为 .
变式（1） [2023·成都金牛中学高二月考] 的展开式中含
的项的系数为( )
B
A.120 B.135 C.140 D.100
[解析] 的展开式的通项为 ，其中
，， ，所以
的展开式中含的项的系数为 .故选B.
（2）已知的展开式中的常数项为121，则 _____.
[解析] 的展开式的通项为，令，得 ；
令，得，所以 的展开式中的
常数项为，解得 .
［素养小结］
求解两个多项式积的特定项的策略：
（1）先化简.若其中一项可以展开为几个简单项的和与差的形式，则先展开再
根据多项式乘法进行求解；
（2）合理凑项.根据所求指数要求，结合多项乘法法则和二项式定理进行相关计算.
探究点四 求三项展开式的问题
例4（1） 的展开式中含 的项的系数为( )
B
A.10 B.15 C.20 D.30
[解析] 的展开式中含的项为 ，
所以展开式中含 的项的系数为15.故选B.
（2）在的展开式中含 的项的系数为______.
[解析] 由题意得，其展开式中含 的项为
，再将展开可得含的项为 ，所以展
开式中含的项的系数为 .
变式（1） [2023·沈阳二中高二月考] 的展开式的项数为( )
A
A.45 B.36 C.28 D.21
[解析] 当 的展开式中的项只含有1个字母时，有3项；
当的展开式中的项只含有2个字母时，有 （项）；
当的展开式中的项含有3个字母时，有 （项）.
所以的展开式共有 （项）.故选A.
（2）已知，若的展开式中含的项的系数为56，则 ( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ,
故的展开式中含 的项的系数为
,则，由，可得 .
故选B.
［素养小结］
求解三项展开式中的特定项问题的策略为:
（1）将三项式转化为两个二项式，进而应用两个通项公式进行求解，注意参数
的范围；
（2）应用组合的知识和多项式的乘法法则，进行合理组项求解.
1. ( )
C
A.1 B. C. D.
[解析] 逆用二项式定理,将1看成公式中的,看成公式中的 ,可得原式
.故选C.
2.[2023·兰州西北中学高二期末]的展开式中含 的项的系数是 ( )
C
A. B.45 C. D.120
[解析] 的展开式的通项为
，令，得 ，故展开
式中含的项的系数是 .故选C.
3.将的展开式按的降幂排列，若第三项的系数是40，则 ( )
B
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] 将的展开式按 的降幂排列，第三项的系数为
，即，整理得，由 ，可
得 .故选B.
4. 的展开式中的常数项为( )
D
A.80 B.160 C.240 D.320
[解析] 的展开式的通项为 ,令
,可得,令,可得，所以 的展
开式中的常数项为 .故选D.
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅指，， ， ，
而后者指的是除字母以外的所有系数（包括符号）.
1.求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项公式 的特点,一
般需要建立方程求,再将的值代回通项公式求解,注意 的取值范围
.
例1 已知 的展开式中第6项为常数项.
（1）求 的值;
解: 的展开式的通项为 ,
因为第6项为常数项,所以当时, ,
解得 .
（2）求含 的项的系数;
解:令,得 ,
故含的项的系数是 .
（3）求展开式中所有的有理项.
解:由题意得
令,则,即 .
因为,所以 应为偶数,
所以可取2,0,,即 可取2,5,8,
所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为, ,
，即，， .
例2 已知的展开式中的系数为10，则实数 的值为( )
B
A. B. C. D.2
[解析] 的展开式的通项公式为 ，
,1,2,3,4,5， ，
，解得 ，故选B.
例3 [2023·广东梅州兴宁一中高二月考] 若
，则
_____.
[解析] 因为
,所以 .
2.求三项展开式问题,可以转化为二项展开式来处理，也可以利用组合数的意义
来处理.
例4 已知, .
（1）记其展开式中的常数项为，当时，求 的值；
解：
，
则 .
（2）证明:在的展开式中，对任意的，含与 的项的系
数相同.
证明：由二项式定理可知，
.
当时，的展开式中没有含与 的项.
当时， .
若为奇数，则 ，
即的展开式中没有含与 的项；
若为偶数，设，则的展开式中含 的项的系数为
，
含的项的系数为 ，
即含与 的项的系数相同.
所以在的展开式中，含与 的项的系数相同.3.3 二项式定理与杨辉三角
第1课时 二项式定理
【课前预习】
知识点一
(1)n+1 (2)降幂排列 升幂排列
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√
知识点二
k+1 an-kbk
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r+1项.
(2)(3-x)7的展开式的通项为Tr+1=37-r(-x)r=37-r(-1)rxr,令r=3,得T4=34(-1)3x3=-2835x3.
(3)由展开式特点,令x=1,可得展开式中各项系数的和为(3-1)7=27.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)x10-5x7+10x4-10x+- (2)-8 (3)x5-1
[解析] (1)=(x2)5+(x2)4+(x2)3+(x2)2+x2+=x10-5x7+10x4-10x+-.
(2)∵(1+2x)4=1+8x+24x2+32x3+16x4,∴a1=8,a2=24,a3=32,a4=16,∴a1-2a2+3a3-4a4=-8.
(3)原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
变式 解:(1)方法一:=(3)4+(3)3·+(3)2·+(3)·+
=81x2+108x+54++.
方法二:==[(3x)4+(3x)3+(3x)2+(3x)+]=(81x4
+108x3+54x2+12x+1)=81x2+108x+54++.
(2)∵1==,4==,6=,
∴原式=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x4.
探究点二
例2 (1)10 (2) [解析] (1)的展开式的通项为Tr+1=(-x)r=25-r(-1)rx2r-5,令2r-5=3,解得r=4,故展开式中含x3的项的系数为×21×(-1)4=10.
(2)根据题意可知T7=()n-6,Tn+1-6=Tn-5=()6,由∶=1∶6,可得=6-1,所以-4=-1,解得n=9,所以T7=()9-6=84×2×=.
变式 (1)D (2)3 [解析] (1)设t=x-1,则x=t+1,所以(2x-1)6=(2t+1)6=a0+a1t+a2t2+…+a6t6.(2t+1)6的展开式的通项为Tr+1=(2t)6-r×1r=26-rt6-r,令6-r=2,解得r=4,则a2=×22=60.故选D.
(2)(2x-)6的展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r(-)r=(-1)r26-r(r=0,1,2,…,6),若6-r为整数,则r可取0,3,6,所以共有3个有理项.
探究点三
例3 (1)B (2)-12 [解析] (1)的展开式的通项为Tk+1=(-1)k26-kx3-k,令3-k=0,得k=3,令3-k=-1,得k=4,所以(1+x)的展开式中的常数项是-8+4=-100.故选B.
(2)(y-2)(x-3)4=y(x-3)4-2(x-3)4,y(x-3)4的展开式中含x3y的项为y·x3·(-3)=-12x3y,-2(x-3)4的展开式中没有含x3y的项,故(y-2)(x-3)4的展开式中含x3y的项的系数为-12.
变式 (1)B (2)±2 [解析] (1)(1-x)10的展开式的通项为Tk+1=(-x)k=(-1)kxk,其中T3=x2=45x2,T4=-x3=-120x3,T5=x4=210x4,所以(1+x+x2)(1-x)10的展开式中含x4的项的系数为45-120+210=135.故选B.
(2)的展开式的通项为Tk+1=·,令k=0,得T1==1;令k=2,得T3=·=a2x-2,所以(1+2x2)的展开式中的常数项为1×1+2×a2=121,解得a=±2.
探究点四
例4 (1) B (2)-495 [解析] (1)的展开式中含x3的项为·x3·(-1)2+·x4·=15x3,所以展开式中含x3的项的系数为15.故选B.
(2)由题意得=,其展开式中含y8的项为y8,再将展开可得含x的项为x2=-x,所以展开式中含xy8的项的系数为(-)=-495.
变式 (1)A (2)B [解析] (1)当(x+2y+3z)8的展开式中的项只含有1个字母时,有3项;当(x+2y+3z)8的展开式中的项只含有2个字母时,有=21(项);当(x+2y+3z)8的展开式中的项含有3个字母时,有=21(项).所以(x+2y+3z)8的展开式共有3+21+21=45(项).故选A.
(2)=[(x+m)+x2]4=·(x+m)4+·(x+m)3·x2+·(x+m)2·x4+·(x+m)·x6+·x8,故(x2+x+m)4的展开式中含x3的项的系数为·m+·m2=4m+12m2,则4m+12m2=56,由m>0,可得m=2.故选B.
【课堂评价】
1.C [解析] 逆用二项式定理,将1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=(1-2)n=(-1)n.故选C.
2.C [解析] 的展开式的通项为Tk+1==(-1)kx5-k,令5-k=2,得k=3,故展开式中含x2的项的系数是(-1)3=-120.故选C.
3.B [解析] 将(x-2)n的展开式按x的降幂排列,第三项的系数为·(-2)2=4=40,即=10,整理得n2-n-20=0,由n∈N*,可得n=5.故选B.
4.D [解析] 的展开式的通项为Tk+1=·(-1)k26-kx6-3k,令6-3k=-3,可得k=3,令6-3k=0,可得k=2,所以(x3+2)的展开式中的常数项为×(-1)3×23+2××(-1)2×24=320.故选D.3.3 二项式定理与杨辉三角
第1课时 二项式定理
【学习目标】
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理;
2.能解决与二项式定理及二项展开式的通项公式有关的问题.
◆ 知识点一 二项式定理
二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*).
(1)项数:n次二项展开式共有 项.
(2)次数:字母a的次数从n逐项递减到0,是 ;字母b的次数从0逐项递增到n,是 ;各项次数的和均为二项式的次数n.
(3)二项式系数:(k∈{0,1,2,…,n})称为第k+1项的二项式系数.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(a+b)n的展开式中有n项. ( )
(2)(a-b)n与(a+b)n的展开式的二项式系数相同. ( )
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关. ( )
(4)(a+b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同. ( )
◆ 知识点二 二项展开式的通项公式
(a+b)n展开式的第 项称为二项展开式的通项公式,记作Tk+1= .
在二项式定理中,令a=1,b=x,则有(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项. ( )
(2)在(3-x)7的展开式中,含x3的项为-2835x3. ( )
(3)在(3-x)7的展开式中各项系数的和为27. ( )
◆ 探究点一 二项式定理的正用、逆用
例1 (1)的展开式为 .
(2)已知(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1-2a2+3a3-4a4= .
(3)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)= .
变式 (1)求的展开式.
(2)化简:(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.
[素养小结]
二项式定理应用策略:
(1)正用:二项展开式的特点是第一项的指数从n次降到0次,第二项从0次升到n次,过程中两项的次数和为n,因此应用正向展开式一定要分清第一项和第二项,而且要注意两项的次数间的关系.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便.
(2)逆用:逆向应用的条件首先要观察是否满足两项的幂指数和是否为n,然后确定第一项、第二项,一些问题中涉及全部展开式问题,要注意是否缺项.
◆ 探究点二 二项展开式的通项公式的应用
例2 (1)[2023·江苏盐城高二期末] 在的展开式中,含x3的项的系数为 .
(2)[2024·辽宁盘锦辽东湾高中高二月考] 已知的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6,则展开式中的第7项为 .
变式 (1)[2024·辽宁锦州高二期末] 已知(2x-1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,则a2= ( )
A.-60 B.-30
C.30 D.60
(2)[2023·甘肃白银靖远一中高二期末] (2x-)6的展开式中,有理项的个数为 .
[素养小结]
求二项展开式的待定项的常用方法:
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项,一般是先写出通项公式,求其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数集,再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.
◆ 探究点三 求两个多项式积的特定项
例3 (1) [2023·西宁湟川中学高二期末] (1+x)的展开式中的常数项是 ( )
A.-160 B.-100
C.-20 D.20
(2)(y-2)(x-3)4的展开式中含x3y的项的系数为 .
变式 (1)[2023·成都金牛中学高二月考] (1+x+x2)(1-x)10的展开式中含x4的项的系数为 ( )
A.120 B.135 C.140 D.100
(2)已知(1+2x2)的展开式中的常数项为121,则a= .
[素养小结]
求解两个多项式积的特定项的策略:
(1)先化简.若其中一项可以展开为几个简单项的和与差的形式,则先展开再根据多项式乘法进行求解;
(2)合理凑项.根据所求指数要求,结合多项乘法法则和二项式定理进行相关计算.
◆ 探究点四 求三项展开式的问题
例4 (1)的展开式中含x3的项的系数为 ( )
A.10 B.15 C.20 D.30
(2)在的展开式中含xy8的项的系数为 .
变式 (1)[2023·沈阳二中高二月考] (x+2y+3z)8的展开式的项数为 ( )
A.45 B.36 C.28 D.21
(2)已知m>0,若的展开式中含x3的项的系数为56,则m= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[素养小结]
求解三项展开式中的特定项问题的策略为:
(1)将三项式转化为两个二项式,进而应用两个通项公式进行求解,注意参数的范围;
(2)应用组合的知识和多项式的乘法法则,进行合理组项求解.
1.1-2+4-8+…+(-2)n= ( )
A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n
2.[2023·兰州西北中学高二期末] 的展开式中含x2的项的系数是 ( )
A.-45 B.45 C.-120 D.120
3.将(x-2)n的展开式按x的降幂排列,若第三项的系数是40,则n= ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.(x3+2)的展开式中的常数项为 ( )
A.80 B.160 C.240 D.3203.3 二项式定理与杨辉三角
第1课时 二项式定理
1.B [解析] (x-2y)10的展开式共有11项.
2.D [解析] 的展开式的通项为Tk+1=(-)k=(-1)k,令k-10=2,解得k=8,所以展开式中含x2的项的系数为(-1)8=45.故选D.
3.A [解析] (1-2x)n的展开式的通项为Tk+1=(-2x)k,展开式中含x2的项的系数为(-2)2=2n(n-1),所以2n(n-1)=40,可得n=5.故选A.
4.B [解析] (a-2b-3c)4的展开式中,含abc2的项为·a1··(-2b)··(-3c)2=-216abc2.故选B.
5.B [解析] ∵的展开式中的第4项和第5项的二项式系数相等,∴=,可得n=7,∴的展开式的通项为Tk+1=x7-k=(-2)kx7-2k,令7-2k=1,得k=3,∴展开式中含x的项的系数为(-2)3=-280.故选B.
6.A [解析] (1+ax)(1+x)5的展开式中含x2的项为1×x2+ax×x=(10+5a)x2,展开式中含x3的项为1×x3+ax×x2=(10+10a)x3,所以10+5a+10+10a=-10,解得a=-2.故选A.
7.D [解析] 令t=x+1,得x=t-1,则原式可化为(t-2)4+2(t-1)5=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5.(t-2)4的展开式的通项为Tk+1=t4-k(-2)k=(-2)kt4-k,令4-k=3,得k=1,则T2=(-2)1t3=-8t3.(t-1)5的展开式的通项为T'r+1=t5-r(-1)r=(-1)rt5-r,令5-r=3,得r=2,则T'3=(-1)2t3=10t3.综上,a3=-8+2×10=12.故选D.
8.ABC [解析] 当n=6时,的展开式中第3项的系数b3=×24=240,故A正确;的展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k=·26-kx6-2k,令6-2k=0,得k=3,故其展开式中的常数项为×23=160,故B正确;若b3=2b4,则·2n-2=2·2n-3,所以=,可得n=5,故C正确;若展开式中含常数项,则n的最小值是2,故D错误.故选ABC.
9.AC [解析] (n∈N*)的展开式的通项为Tk+1=()n-k=·(0≤k≤n).对于A,展开式的通项为Tk+1=·,由∈Z,可得k=2或k=8,此时展开式中有两个有理项,故A正确;对于B,展开式的通项为Tk+1=·,由∈Z,可得k=0或k=6或k=12,此时展开式中有三个有理项,故B错误;对于C,展开式的通项为Tk+1=·,由∈Z,可得k=4或k=10,此时展开式中有两个有理项,故C正确;对于D,展开式的通项为Tk+1=·,由∈Z,可得k=0或k=6或k=12,此时展开式中有三个有理项,故D错误.故选AC.
10.60 [解析] ∵的展开式的通项为Tk+1=x6-k=2k,∴当k=2时,T3=22x3=60x3,故展开式中常数项为·60x3=60.
11.-6 [解析] 由题意得(x2-x+m)6的展开式中的常数项与含x的项的系数相等,则m6=(-1)m5,解得m=-6或m=0(舍去).
12.9 [解析] 在中,令x=1,得(1+1+a)(1+2)5=243,解得a=-1.的展开式的通项为Tk+1=x5-k(2x-1)k=2kx5-2k.当5-2k=3时,k=1,则T2=×2x3=10x3;当5-2k=5时,k=0,则T1=x5=x5;当5-2k=4时,k=,不合要求,舍去.故的展开式中含x4的项的系数是10×1+1×(-1)=9.
13.解:(1)的展开式的通项为Tk+1=(x2)6-k=x12-3k,令12-3k=3,得k=3,
所以展开式中含x3的项的系数为=20.
(2)令12-3r=0,得r=4,
所以展开式中的常数项为=15.
14.解:(1)的展开式的通项为Tk+1=(2x)n-k=2n-k.所以其展开式中第3项的系数为2n-2,第4项的系数为2n-3.由2n-2=2n-3,可得n=8.
(2)由题意得所以k可取0,3,6,所以第1项,第4项与第7项为有理项,它们分别为×28x8=256x8,×25x4=1792x4,×22=112.故展开式中有理项的系数之和为256+1792+112=2160.3.3 二项式定理与杨辉三角
第1课时 二项式定理
一、选择题
1.(x-2y)10的展开式共有 ( )
A.10项 B.11项
C.12项 D.9项
2.[2023·福建泉州高二期末] 的展开式中含x2的项的系数为 ( )
A.-45 B.-10
C.10 D.45
3.已知(1-2x)n的展开式中含x2的项的系数为40,则n为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
4.[2023·河北唐山开滦一中高二月考] (a-2b-3c)4的展开式中含abc2的项的系数为 ( )
A.208 B.-216
C.217 D.-218
5.[2023·北京广渠门中学高二月考] 若的展开式中的第4项和第5项的二项式系数相等,则展开式中含x的项的系数为 ( )
A.280 B.-280
C.560 D.-560
6.若(1+ax)(1+x)5的展开式中,含x2的项与含x3的项的系数之和为-10,则a= ( )
A.-2 B.-1 C.10 D.1
7.[2023·江西九江高二期末] 已知(x-1)4+2x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5,则a3= ( )
A.-2 B.2 C.4 D.12
8.(多选题)记的展开式中第m项的系数为bm(m,n∈N*),则下列结论中正确的是( )
A.当n=6时,b3=240
B.当n=6时,展开式中的常数项是160
C.若b3=2b4,则n=5
D.若展开式中含常数项,则n的最小值是4
9.(多选题)在(n∈N*)的展开式中,有理项恰有两项,则n的可能取值为 ( )
A.8 B.12 C.13 D.15
二、填空题
10.[2023·江苏南通高二期末] ·的展开式中的常数项为 .
11.若m≠0,且(x2-x+m)6=a1+a1x+a2x2+a3x3+…+a12x12,则m的值为 .
12.[2023·江苏徐州高二期末] 若的展开式中所有项的系数和为243,则展开式中含x4的项的系数是 .
三、解答题
13.在的展开式中,求:
(1)含x3的项的系数;
(2)常数项.
14.在的展开式中,第3项的系数与第4项的系数相等.
(1)求n的值;
(2)求展开式中有理项的系数之和(用数字作答).
