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3.3 二项式定理与杨辉三角
第2课时 二项式系数的性质与
杨辉三角
探究点一 二项展开式项的系数和
探究点二 二项式系数的性质的应用
探究点三 与“杨辉三角”有关的问题
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.能解决与二项式定理及二项展开式有关的问题；
2.掌握二项式系数的性质及应用；
3.了解杨辉三角.
知识点一 二项式系数的性质
对称性 与首末两端“________”的两个二项式系数相等 ______)
最大值 当是偶数时,中间一项的二项式系数_ ___最大,当 是奇数时,中间
两项的二项式系数_ ____,_____相等且最大
各二项式 系数的和 ____；
______
等距离
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( )
×
[解析] 二项式系数不同于某一项的系数.
（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )
×
[解析] 二项式系数最大的项为中间一项或中间两项.
（3）二项展开式的系数的和等于 .( )
×
[解析] 二项展开式的二项式系数的和等于 .
（4）当是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当 是奇数时，中间两项的二
项式系数， 相等且最大.( )
√
知识点二 杨辉三角及其性质
1.如图所示的数表是从我国南宋数学家杨辉著的
《详解九章算术》中摘录的,是我国古代数学的一
个重要成果,这一数表在我国称为“贾宪三角”或
“杨辉三角”.
2.杨辉三角至少具有以下性质：
（1）每一行都是________，且两端的数都是___；
（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的
__________.
对称的
1
两数之和
探究点一 二项展开式项的系数和
例1 设 ,求下列各式的值.
（1） ;
解:令,可得 .
（2） ;
解:令,可得 ,
所以 .
（3） ;
解:令,可得 ,
令,可得 ,
所以 .
（4） ;
解:
.
（5） .
解:令 ,可得
.
变式 已知 .
解: ,令
,则 .
（1）求 的值;
.
（2）求 的值;
解:令,得,令 ,得
,所以 .
（3）求 的值.
解:由（2）得 .
［素养小结］
“赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活
赋给字母不同值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令 可得
常数项，令可得所有项的系数之和，令 可得偶次项系数之和与奇次
项系数之和的差.
探究点二 二项式系数的性质的应用
例2（1） 已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则该展开
式中各项系数的最小值为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 展开式中只有第5项的二项式系数最大，，则 的展开
式的通项为，,1， ，8，则该展
开式中各项的系数，,1， ，8.
若求各项系数的最小值，则 为奇数且
即得 ，故系数的最小值为
.故选C.
（2）若 的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项系
数最大，则 的取值范围为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为二项式 的展开式中各项的二项式系数之和为512，
所以,解得，则 的展开式的通项为
，依题意可知
解得 .故选C.
变式 已知 的展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和
大992.
解：令，得展开式中各项的系数之和为 ，因为展开式中各项
的二项式系数之和为，所以，所以 ，即
，
解得（舍去）或，所以 .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
因为 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们
分别是 ， .
（2）求展开式中系数最大的项.
解： 展开式的通项为 .
假设第项的系数最大，则有
所以即
解得,因为，所以 ，
所以展开式中系数最大的项为 .
［素养小结］
（1）求展开式中二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质知，当 为奇数
时，中间两项的二项式系数最大；当 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
（2）求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，系数最大的
项与各项系数的正、负变化情况有关，一般采用列不等式组，解不等式的方法
求得.即设展开式中系数最大的项为，则有 解出 即得展开式中系
数最大的项.
探究点三 与“杨辉三角”有关的问题
例3 杨辉三角如图所示，在我国南宋数学家杨辉1261年
所著的《详解九章算术》一书中，就已经出现了这个表，
它揭示了 的展开式的项数及各项系数的
有关规律.图中第7行从左到右第4个数是____；第 行的
所有数的和为____.
35
[解析] 根据题意，在图中，第0行有1个数，为1，第1行有2个数，依次为 ，
，第2行有3个数，依次为，，, ,第7行有8个数，依次为， ，
，，故第7行从左到右第4个数是.
第行有个数，依次为 ，，， ，，其和为
.
变式 （多选题）如图，我国南宋数学家杨辉1261年所著
的《详解九章算术》中给出了著名的杨辉三角,由此可见我
国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,以下关于杨
辉三角的结论正确的是( )
ABD
A.第9行中从左到右第6个数是126 B.
C. D.
[解析] 对于A,第9行中从左到右第6个数是 ,故A正确;
对于B, ,故B正确;
对于C,易知,所以 ,故C
错误;
对于D, ,故D正确.故选 .
［素养小结］
解决“杨辉三角”问题的一般方法
1.在 的展开式中，所有项的二项式系数之和是( )
D
A.0 B. C. D.32
[解析] 在的展开式中，所有项的二项式系数之和为 .故选D.
2.在 的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是
( )
A
A.第6项 B.第5项 C.第5,6项 D.第6,7项
[解析] 由第4项与第8项的系数相等,得其二项式系数也相等,所以 ,由组合
数的性质得 ,所以展开式中二项式系数最大的项为第6项,它也是系数最大
的项.故选A.
3.已知，若，则 ___，
___.
5
2
[解析] 由题意得 的展开式的通项为
.令 ,得
,可得 ,则
，当 时，
，当时， ，所以
，所以 .
4.如图，在杨辉三角中，若第 行中从左至右第1
4个数与第15个数的比为，则 的值为____.
34
[解析] 由题意可知，第 行中从左至右第14个数
与第15个数分别是和，则 ，即
，解得 .
求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选
择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0,1或 ，
但在解决具体问题时要灵活掌握.
二项式定理是一个恒等式,即对, 的一切值都成立.故对二项展开式中的系数和
的问题可根据具体问题的需要灵活选取,的值,一般取 ,1,0.
一般地,若,则 展开式中的各项系数和为
;
奇数项系数之和为 ;
偶数项系数之和为 .
例 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的
方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系.”这就是算两次原理，又
称为富比尼原理.由 利用算两次原理可得
______.
[解析] 因为
，
所以是展开式中 项的系数，而
的展开式中项的系数为 ，所以
.第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角
【课前预习】
知识点一
等距离 2n 2n-1
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√ [解析] (1)二项式系数不同于某一项的系数.
(2)二项式系数最大的项为中间一项或中间两项.
(3)二项展开式的二项式系数的和等于2n.
知识点二
2.(1)对称的 1 (2)两数之和
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)令x=0,可得a0=2100.
(2)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a100=(2+)100,
所以a1+a2+a3+…+a100=(2+)100-2100.
(3)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a100=(2+)100,
令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2-)100,
所以a1+a3+a5+…+a99=.
(4)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+a5+…+a99)2=(a0+a1+a2+a3+…+a99+a100)(a0-a1+a2-a3+…-a99+a100)=(2+)100×(2-)100=1.
(5)令x=1,可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a100|=a0+a1+a2+a3+…+a100=(2+)100.
变式 解:(x2-2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a20(x-1)20,令x-1=t,则(t2-4)10=a0+a1t+a2t2+…+a20t20.
(1)a2=×(-4)9=-49×10.
(2)令t=1,得a0+a1+a2+…+a20=310,令t=-1,得a0-a1+a2-…+a20=310,所以a1+a3+a5+…+a19=0.
(3)由(2)得a0+a2+a4+…+a20=310.
探究点二
例2 (1)C (2)C [解析] (1)∵展开式中只有第5项的二项式系数最大,∴n=8,则的展开式的通项为Tr+1=()8-r=(-2)r,r=0,1,…,8,则该展开式中各项的系数ar=(-2)r,r=0,1,…,8.若求各项系数的最小值,则r为奇数且即得r=5,故系数的最小值为a5=(-2)5×=-1792.故选C.
(2)因为二项式(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512,所以2n=512,解得n=9,则(2+ax)9(a≠0)的展开式的通项为Tk+1=·29-k·(ax)k=ak·29-k··xk,依题意可知解得2≤a≤3.故选C.
变式 解:令x=1,得展开式中各项的系数之和为(1+3)n=4n,因为展开式中各项的二项式系数之和为2n,所以4n-2n=992,所以(2n)2-2n-992=0,即(2n+31)(2n-32)=0,
解得2n=-31(舍去)或2n=32,所以n=5.
(1)因为n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T3=()3(3x2)2=90x6,
T4=()2(3x2)3=270.
(2)展开式的通项为Tk+1=3k·.
假设第k+1项的系数最大,则有
所以即
解得≤k≤,因为k∈N*,所以k=4,
所以展开式中系数最大的项为T5=(3x2)4=405.
探究点三
例3 35 2n [解析] 根据题意,在图中,第0行有1个数,为1,第1行有2个数,依次为,,第2行有3个数,依次为,,,…,第7行有8个数,依次为,,…,,故第7行从左到右第4个数是=35.第n行有n+1个数,依次为,,,…,,其和为+++…+=2n.
变式 ABD [解析] 对于A,第9行中从左到右第6个数是=126,故A正确;对于B,+=+===,故B正确;对于C,易知+++…+=2n,所以++…+=2n-1,故C错误;对于D,+++…+=+++…+=++…+=…==330,故D正确.故选ABD.
【课堂评价】
1.D [解析] 在(1-x)5的展开式中,所有项的二项式系数之和为25=32.故选D.
2.A [解析] 由第4项与第8项的系数相等,得其二项式系数也相等,所以=,由组合数的性质得n=10,所以展开式中二项式系数最大的项为第6项,它也是系数最大的项.故选A.
3.5 2 [解析] 由题意得(2x-1)n的展开式的通项为Tk+1=(2x)n-k(-1)k=(-1)k2n-kxn-k.令n-k=2,得a2=(-1)k22=-40,可得k=3,则n=5.(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,当x=1时,(2-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,当x=0时,(0-1)5=a0,所以a0=-1,所以a1+a2+a3+a4+a5=1-(-1)=2.
4.34 [解析] 由题意可知,第n行中从左至右第14个数与第15个数分别是和,则=,即==,解得n=34.第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角
【学习目标】
1.能解决与二项式定理及二项展开式有关的问题;
2.掌握二项式系数的性质及应用;
3.了解杨辉三角.
◆ 知识点一 二项式系数的性质
对称性 与首末两端“ ”的两个二项式系数相等(= )
最大值 当n是偶数时,中间一项的二项式系数 最大,当n是奇数时,中间两项的二项式系数 , 相等且最大
各二项式 系数的和 (1)+++…+= ; (2)+++…=+++…=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同. ( )
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项. ( )
(3)二项展开式的系数的和等于2n. ( )
(4)当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数,相等且最大. ( )
◆ 知识点二 杨辉三角及其性质
1.如图所示的数表是从我国南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中摘录的,是我国古代数学的一个重要成果,这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.
2.杨辉三角至少具有以下性质:
(1)每一行都是 ,且两端的数都是 ;
(2)从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的 .
◆ 探究点一 二项展开式项的系数和
例1 设(2+x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值.
(1)a0;
(2)a1+a2+a3+…+a100;
(3)a1+a3+a5+…+a99;
(4)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+a5+…+a99)2;
(5)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|.
变式 已知(x2-2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a20(x-1)20.
(1)求a2的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a19的值;
(3)求a0+a2+a4+…+a20的值.
[素养小结]
“赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项的系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
◆ 探究点二 二项式系数的性质的应用
例2 (1)已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则该展开式中各项系数的最小值为 ( )
A.-488 B.-1024
C.-1792 D.-5376
(2)若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6项系数最大,则a的取值范围为 ( )
A.(2,3) B.
C.[2,3] D.
变式 已知(+3x2)n的展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
[素养小结]
(1)求展开式中二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质知,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,系数最大的项与各项系数的正、负变化情况有关,一般采用列不等式组,解不等式的方法求得.即设展开式中系数最大的项为Tk,则有 解出k即得展开式中系数最大的项.
◆ 探究点三 与“杨辉三角”有关的问题
例3 杨辉三角如图所示,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书中,就已经出现了这个表,它揭示了(a+b)n(n∈N)的展开式的项数及各项系数的有关规律.图中第7行从左到右第4个数是 ;第n行的所有数的和为 .
变式 (多选题)如图,我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》中给出了著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,以下关于杨辉三角的结论正确的是 ( )
A.第9行中从左到右第6个数是126
B.+=
C.++…+=2n
D.+++…+=330
[素养小结]
解决“杨辉三角”问题的一般方法
1.在(1-x)5的展开式中,所有项的二项式系数之和是 ( )
A.0 B.-1
C.-32 D.32
2.在(x+y)n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是 ( )
A.第6项 B.第5项
C.第5,6项 D.第6,7项
3.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a2=-40,则n= ,
a1+a2+…+an= .
4.如图,在杨辉三角中,若第n行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3,则n的值为 . 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角
1.D [解析] 因为n=6,所以其展开式中有7项,所以展开式中二项式系数最大的项为第4项.故选D.
2.C [解析] 在(2-x)6=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a6(1+x)6中,令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=26=64.故选C.
3.A [解析] 因为(a为常数)的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等,所以(a-1)5=25,解得a=3,所以=,则其展开式的通项为Tr+1=(3)5-r=·35-r·(-1)r,令=0,得r=3,所以该展开式中的常数项为×35-3×(-1)3=-90,故选A.
4.D [解析] ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大,∴n=10,又奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,∴展开式中的奇数项的二项式系数之和为=29.
5.C [解析] 令x=1,得(1+2-1)n=64,解得n=6,则原式=(1+2x-x2)6=(1+2x)6+(1+2x)5(-x2)+…+(-x2)6,显然只有前两项的展开式中包含x3项.(2x+1)6=(2x)6+(2x)5+…+(2x)0,其中含x3的项的系数为×23=160;(2x+1)5=(2x)5+(2x)4+…+(2x)0,其中含x的项的系数为×21=10.故(1+2x-x2)n的展开式中含x3的项的系数为×160+×10×(-1)=100.故选C.
6.A [解析] 的展开式的通项为Tr+1=·=·ar·x18-4r,由题可知解得
7.A [解析] ∵(1+x)n+1的展开式的通项为Tk+1=xk,∴An==.∵Bn为(1+x)n-1的展开式中各项二项式系数的和,∴Bn=2n-1.∵An≥Bn,∴≥2n-1,即n(n+1)≥2n.当n=1时,1×2≥2,满足题意;当n=2时,2×3≥22,满足题意;当n=3时,3×4≥23,满足题意;当n=4时,4×5≥24,满足题意;当n=5时,5×6<25,不满足题意.根据指数函数y=2x和二次函数y=x2+x的图象可知,当n≥5时,n(n+1)<2n,故正整数n的最大值为4.
8.ACD [解析] 对于A,由题知++…+=(1+1)2023=22023,故A正确;对于B,当x=1时,有a0+a1+a2+…+a2023=-1,当x=-1时,有a0-a1+a2-a3+…+a2022-a2023=32023,则a1+a3+a5+…+a2023=-,故B错误;对于C,a0+a2+a4+…+a2022=,故C正确;对于D,(1-2x)2023的展开式的通项为Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr,则a1=(-2)·,a2=(-2)2·,…,a2023=(-2)2023·,所以+++…+=-+-+…+-=(1-1)2023-=-1,故D正确.故选ACD.
9.ACD [解析] 左边=1+++=1+6++=84,右边===84,故A正确.由图可知,第n行有n+1个数字,若n是奇数,则第个和第+1个数字最大;若n是偶数,则第+1个数字最大.故第2022行最大的数是第1012个数,故B错误.第6行、第7行、第8行的第7个数分别为1,7,28,其和为36,第9行第8个数就是36,故C正确.第34行第14个数是=,第34行第15个数是=,所以==,故D正确.故选ACD.
10.-280 [解析] 由题得2n=128,解得n=7,则的展开式的通项为Tr+1=x7-r·=(-2)rx7-3r,令7-3r=-2,解得r=3,故的系数为(-2)3=-8×35=-280.
11.a1011 [解析] 由题知n=2023为奇数,且展开式中的各项的系数的绝对值与各项的二项式系数相等,所以展开式中二项式系数最大的项为第+1项与第+1项,所以|a1011|=|a1012|,又a1012>0,a1011<0,所以系数a0,a1,…,a2023中最小的是a1011.
12. [解析] 第11行中从左至右第5个数与第6个数分别为,,而==,所以第11行中从左至右第5个数与第6个数的比值为.
13.解:(1)选条件①.令x=1,得展开式中的所有项的系数之和为3n,又展开式中的二项式系数之和为2n,所以3n∶2n=243∶32,解得n=5.
选条件②.由题得++=16,化简得n2+n-30=0,所以n=5.
所以展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项,的展开式的通项为Tr+1=(2x2)5-r=25-rx10-3r,
则T3=25-2x10-6=80x4,T4=25-3x10-9=40x.
(2)由得1≤r≤2,又r∈N,
所以r=1或2,所以展开式中系数最大的项为T2=24x10-3=80x7,T3=25-2x10-6=80x4.
14.解:(1)令 x=0, 可得a0=(-1)10=1.
(2)令 x=1, 可得a0+a1+a2+…+a10=1,
因为a0=1,所以 a1+a2+…+a10=0.
(3)令 x=-1,可得a0-a1+a2-…+a10=(-3)10=310,
又 a0+a1+a2+…+a10=1,所以 2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=310+1,2(a1+a3+a5+a7+a9)=1-310,
又(2x-1)10 的展开式的通项为Tr+1 =·(2x)10-r·(-1)r,所以当 r 为奇数时,项的系数为负数,
所以 |a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=+=310.
15.62 [解析] 根据题意,设所求的行数为n∈N*,则存在正整数k,使得∶∶=3∶4∶5,即=,=,解得k=27,n=62.故第62行会出现满足条件的三个相邻的数.
16.解:(1)选条件①.因为第3项与第7项的二项式系数相等,所以=,所以n=2+6=8.
令x=1,则=18=1,所以展开式中各项系数的和为1.
选条件②.因为只有第5项的二项式系数最大,所以=4,解得n=8.
令x=1,则=18=1,所以展开式中各项系数的和为1.
选条件③.因为所有项的二项式系数的和为256,所以2n=256,解得n=8.
令x=1,则=18=1,所以展开式中各项系数的和为1.
(2)二项式的展开式的通项为Tr+1=(2x2)8-r=(-1)r28-r.
依题意可知,当r=0,3,6时,二项展开式的项都是有理项.
当r=0时,T1=256x16;当r=3时,T4=-1792x9;
当r=6时,T7=112x2.
所以展开式中的有理项分别为T1=256x16,T4=-1792x9,T7=112x2.第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角
一、选择题
1.在(2+x)6的展开式中二项式系数最大的项是 ( )
A.第3项和第4项
B.第4项和第5项
C.第3项
D.第4项
2.设(2-x)6=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a6(1+x)6,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6= ( )
A.4 B.-71
C.64 D.199
3.已知(a为常数)的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等,则该展开式中的常数项为 ( )
A.-90 B.-10
C.10 D.90
4.已知(1+x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中的奇数项的二项式系数之和为 ( )
A.212 B.211 C.210 D.29
5.[2023·广州荔湾区高二期中] (1+2x-x2)n的展开式中各项系数的和为64,则该展开式中含x3的项的系数为 ( )
A.-60 B.-30 C.100 D.160
6.[2023·江苏连云港高二期中] 已知(a>0)的展开式中第5项的系数最大,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7.设An为(1+x)n+1的展开式中含xn-1项的系数,Bn为(1+x)n-1的展开式中各项二项式系数的和,则能使An≥Bn成立的正整数n的最大值是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
8. (多选题)已知(1-2x)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023,则下列说法中正确的是 ( )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22023
B.展开式中所有奇次项系数的和为
C.展开式中所有偶次项系数的和为
D.+++…+=-1
9.(多选题)[2023·河北邢台一中高二月考] 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书中展示了二项式系数表,数字爱好者对杨辉三角做了广泛的研究,如图,则下列结论正确的是 ( )
A.1+++=
B.第2022行中从左向右数第1011个数最大
C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3
二、填空题
10.[2024·甘肃白银高二期末] 在的展开式中,所有项的二项式系数之和为128,则的系数为 .
11.已知(1-x)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023,则系数a0,a1,…,a2023中最小的是 .
12.如图所示,在“杨辉三角”中,第11行中从左至右第5个数与第6个数的比值为 .
三、解答题
13.[2023·江苏宿迁高二期中] 在下列两个条件中任选一个条件,补充在下面问题中的横线上,并完成解答.
①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为243∶32;②展开式中的前三项的二项式系数之和为16.
问题:已知二项式, .
(1)求展开式中的二项式系数最大的项;
(2)求展开式中的系数最大的项.
注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.
14.若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R.
(1)求a0的值;
(2)求a1+a2+…+a10的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|的值.
15.[2024·辽宁本溪高二期末] 在“杨辉三角”中,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行如图所示.那么,在“杨辉三角”中,第 行会出现三个相邻的数,其比为3∶4∶5.
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
16.在下面三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并对其求解.
条件①:第3项与第7项的二项式系数相等;
条件②:只有第5项的二项式系数最大;
条件③:所有项的二项式系数的和为256.
问题:在(n∈N*)的展开式中, .
(1)求n的值与展开式中各项系数的和.
(2)这个展开式中是否存在有理项 若存在,将其一一列出;若不存在,请说明理由.