单元素养测评卷(一)
1.C [解析] 由题意得-=-=6×7-=21.故选C.
2.B [解析] 在这2700名观众中,男观众的人数为2700×=1500,女观众的人数为2700-1500=1200.在被抽取的135名观众中,男观众的人数为135×=75,女观众的人数为135-75=60.故不同的抽样结果共有·种.故选B.
3.B [解析] 因为2024=506×4,所以2024能被4整除,20232024=(2024-1)2024=×20242024×(-1)0+×20242023×(-1)1+…+×2024×(-1)2023+×20240(-1)2024=20242024+…+1,所以20232024被4除的余数为1. 故选B.
4.A [解析] (x+y)8的展开式的通项为x8-ryr,则(x+y)8的展开式中含x2y6的项为x2y6-x3y5=-28x2y6.故选A.
5.C [解析] 第一步:涂三棱锥P-ABC的三个侧面,因为要求有公共棱的面均不同色,所以共有3×2×1=6(种)不同的涂色方法.第二步:涂三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面,先涂侧面AA1B1B,有=2(种)涂色方法,再涂侧面BB1C1C和CC1A1A,只有1种涂色方法,所以涂三棱柱的三个侧面共有2×1=2(种)涂色方法.故对该几何体的表面涂色,不同的涂色方法共有6×2=12(种).故选C.
6.C [解析] 若三个景点安排的人数分别为1,2,3,则有=360(种)安排方法;若三个景点安排的人数分别为1,1,4,则有·=90(种)安排方法;若三个景点安排的人数分别为2,2,2,则有·=90(种)安排方法.故不同的安排方法的种数为360+90+90=540.故选C.
7.B [解析] (1-3x)5的展开式的通项为Tr+1=(-3x)r=(-3)r·xr,可得a0,a2,a4为正数,a1,a3,a5为负数.令x=0,得a0=1,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=(1+3)5=1024,所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=-a1+a2-a3+a4-a5=(a0-a1+a2-a3+a4-a5)-a0=1024-1=1023.故选B.
8.D [解析] 在二项式(b+ax)8的展开式中,所有项的系数之和S=(a+b)8,第r项的系数Pr=ar-1b9-r,则P9=a8.由S=38P9,得==38,即1+=±3,解得=2或=-4,所以=或=-.故选D.
9.AB [解析] ==(ax)6+(ax)5+(ax)4+(ax)3+
(ax)2+(ax)+ =a6x6-a5+a4x3-a3+a2-a+x-3.对于A,若a=1,则展开式中的常数项为a2=15×1=15,故A正确;对于B,展开式中有理项的个数为4,故B正确;对于C,若展开式中各项系数之和为64,则(a-1)6=64,解得a=3或a=-1,故C错误;对于D,展开式中的二项式系数最大的为,对应第4项,故D错误.故选AB.
10.ABD [解析] 对于A,先在后三天中选择两天介绍A,B,有=6(种)方法,再将C,D,E进行全排列,有=6(种)方法,故共有6×6=36(种)介绍方法,故A正确;对于B,先把A,B进行全排列,再从C,D,E中选择1个放在A,B之间,有=6(种)方法,再将这3个元素捆绑,和剩余的2个元素进行全排列,有=6(种)方法,故共有6×6=36(种)介绍方法,故B正确;对于C,若A在最后一天进行介绍,则将B,C,D,E进行全排列,有=24(种)方法,若A不在最后一天进行介绍,从三天中选择一天介绍A,再从除了最后一天的剩余三天中选择一天介绍B,有=9(种)方法,最后将剩余的3个元素全排列,有=6(种)方法,故有9×6=54(种)方法,综上,A不在第一天,B不在最后一天介绍的方法种数为24+54=78,故C错误;对于D,A,B,C,D,E进行全排列,有=120(种)方法,将A,B,C进行全排列,有=6(种)方法,其中A在B,C之前的有2种,故A在B,C之前介绍有×2=40(种)方法,故D正确.故选ABD.
11.AB [解析] 对于A,++…+=+++…+-=++…+-=…=+-=-=209,故A中说法错误;对于B,第2023行中的数为(x+1)2023的展开式的二项式系数,则从左往右第1011个数为,第1012个数为,≠,故B中说法错误;对于C,第n行的第i个数ai=,则3i-1ai=3i-1=30+31+32+…+3n=(1+3)n=4n,故C中说法正确;对于D,第20行中的数为(x+1)20的展开式的二项式系数,则第12个数为,第13个数为,则===×==,故D中说法正确.故选AB.
12.256 [解析] 由二项式系数性质知++++=++++,所以2-+2-+2-+2-+2-=+++++[++++-(++++)]=++++=×(++…+)=×29=28=256.
13.72 [解析] 先给区域E涂色,有4种涂法;再给区域A涂色,有3种涂法;再给区域B涂色,有2种涂法;若区域C与区域A颜色相同,则区域D有2种涂法,若区域C与区域A颜色不相同,则区域D有1种涂法.所以不同的涂色方法共有4×3×2×(2+1)=72 (种).
14.84 [解析] 只有A参加生物创新实验模块有+·=14(种)分配方式;A和另一名学生参加生物创新实验模块有=24(种)分配方式;A参加影视艺术创作模块且生物创新实验模块只有一人参加有(+)=28(种)分配方式,A参加影视艺术创作模块且生物创新实验模块有两人参加有(+)=18(种)分配方式.综上,共有14+24+28+18=84(种)分配方式.
15.解:(1)从6男4女共10名志愿者中,选出3人参加社会实践活动,选择方法有=120(种).
(2)从6男4女共10名志愿者中,选2男1女,选择方法有=60(种),
故从10名志愿者中,选2男1女,且分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法有60×=360(种).
16.解:(1)当n=5时,令x=1,得二项式的展开式中各项系数的和为.
(2)若n=14,则ar=,所以rar=r.因为r=r×=14×=14,
所以rar=14=-7,所以rar=-7=-7×=-=-.
17.解:(1)由全排列可得,共有=120(种)不同的种植方案.
(2)先从5个区域选出2个区域种植相同颜色的花,共有=40(种)方案,再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域,共有=6(种)方案.综上,共有40×6=240(种)不同的种植方案.
(3)要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中,则必然有2个区域种植相同颜色的花.
第一类,E区域种植红色的花,则相同颜色的花必然种植在A,D或B,C区域,共有1×=12(种)方案;
第二类,E区域种植黄色的花,同理可得,共有1×=12(种)方案,
第三类,E区域种植蓝色的花,若有2个区域种植白色的花,则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,所以不可能有2个区域种植白色的花,故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花,共有1×=8(种)方案;
第四类,E区域种植白色的花,同理可得,共有1×=8(种)方案.
综上,共有12+12+8+8=40(种)不同的种植方案.
18.解:(1)若x=1,n=2024,则(x+3x2)n=42024=81012=(1+7)1012=+×7+…+×71011+×71012,
显然×7+…+×71011+×71012能被7整除,=1,
所以二项式的值被7除的余数为1.
(2)因为(x+3x2)n的二项式系数之和为128,所以2n=128,所以n=7,
则(x+3x2)7的展开式的通项为Tr+1=x7-r(3x2)r=3rx7+r(0≤r≤7,r∈N).假设展开式中系数最大的项为第r+1项,
则即
即解得5≤r≤6,所以展开式中系数最大的项为第6项和第7项,T6=35x12=5103x12,T7=36x13=5103x13.
19.解:(1)由题意,将D,E两个球看作一个整体,和其他小球全排列,有=48(种)不同的排法.
(2)先把A放在中间位置,再从A的两侧各选一个位置放D,E,其余小球全排列,有=16(种)不同的排法.
(3)摸出的3个球中至少有1个白球的不同摸球方法有-=9(种).
(4)由题意,先把5个小球分成3组,再放入三个盒子中.
若按3,1,1分配,则有×=60(种)不同的放法;若按2,2,1分配,则有×=90(种)不同的放法.
故共有60+90=150(种)不同的放法.单元素养测评卷(一)
第三章
时间:120分钟 分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·江苏常州高二期末] -= ( )
A.63 B.10
C.21 D.0
2.为了了解全国观众对2024年春晚语言类节目的满意度,某网站对2024年春晚的2700名观众,按性别采用分层抽样的方法进行抽样调查,已知这2700名观众中男、女人数之比为5∶4,若样本容量为135,则不同的抽样结果共有 ( )
A.·种 B.·种
C.·种 D.·种
3.20232024被4除的余数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.[2024·长沙雅礼中学高二月考] (x+y)8的展开式中含x2y6的项的系数为 ( )
A.-28 B.28
C.-84 D.84
5.如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求有公共棱的面均不同色,则不同的涂色方法共有( )
A.36种 B.24种
C.12种 D.9种
6.[2024·安徽池州一中高二月考] 2024年元旦假期,哈尔滨这座“冰城”火了,三天接待游客300多万人次,神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘,这些英雄的后代讲述着英雄的故事,让哈尔滨大放异彩.现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化,每个景点至少安排1人,则不同的安排方法的种数为 ( )
A.240 B.420
C.540 D.900
7.已知(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|= ( )
A.31 B.1023
C.1024 D.32
8.在二项式(b+ax)8的展开式中,所有项的系数之和记为S,第r项的系数记为Pr,若S=38P9,则的值为 ( )
A.- B.2或-4
C.2 D.或-
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·江西九江同文中学高二期末] 已知二项式,则下列说法正确的是 ( )
A.若a=1,则展开式中的常数项为15
B.展开式中有理项的个数为4
C.若展开式中各项系数之和为64,则a=3
D.展开式中二项式系数最大的项为第3项
10.[2024·江苏常州高二期末] 某学生是科技爱好者,打算从19个科技领域中选取A,B,C,D,E这5个领域给班级同学进行介绍,每天随机介绍其中1个领域,且每个领域只在其中一天介绍,则下列结论中正确的是 ( )
A.A,B都在后三天介绍的方法种数为36
B.A,B相隔一天介绍的方法种数为36
C.A不在第一天,B不在最后一天介绍的方法种数为72
D.A在B,C之前介绍的方法种数为40
11.[2024·河南南阳高二期末] “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算术》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法中错误的是 ( )
A.++…+=210
B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C.记第n行的第i个数为ai,则3i-1ai=4n
D.第20行中第12个数与第13个数的比值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.2-+2-+2-+2-+2-= .
13.[2023·沈阳二中高二期末] 如图所示,现要在五个区域中涂色,有四种颜色可供选择,要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法的种数为 .(用数字作答)
14.[2024·辽宁大连高二期末] 现有A,B,C,D,E五名学生参加现代农业技术模块、影视艺术创作模块和生物创新实验模块这三个模块的实践活动,每个人只能参加一个模块,每个模块至少有一个人参加,其中A不参加现代农业技术模块,生物创新实验模块只能有最多两个人参加,则不同的分配方式共有 种.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)[2024·北京西城区高二期末] 从6男4女共10名志愿者中,选出3人参加社会实践活动.
(1)共有多少种不同的选择方法
(2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女,且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作,求共有多少种不同的选派方法
16.(15分)已知二项式(n∈N*).
(1)当n=5时,求二项式的展开式中各项系数的和;
(2)若n=14,记二项式的展开式中第r+1项的系数为ar,求rar.
17.(15分)[ 2024·河北邢台高二期末] 如图,某心形花坛中有A,B,C,D,E共5个区域,每个区域只种植一种颜色的花.
(1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案
(2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案
(3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,要求相同颜色的花不能相邻种植,且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,共有多少种不同的种植方案
18.(17分)[2024·江西新余高二期末] 已知二项式(x+3x2)n.
(1)若x=1,n=2024,求二项式的值被7除的余数;
(2)若二项式系数之和为128,求展开式中系数最大的项.
19.(17分)现有编号为A,B,C的3个不同的红球和编号为D,E的2个不同的白球.
(1)若将这些小球排成一排,且要求D,E两个球相邻,则有多少种不同的排法
(2)若将这些小球排成一排,要求A球排在中间,且D,E不相邻,则有多少种不同的排法
(3)现将这些小球放入袋中,从中随机一次性摸出3个球,求摸出的3个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数.
(4)若将这些小球放入甲、乙、丙三个不同的盒子中,每个盒子至少放1个球,则有多少种不同的放法
(注:请列出解题过程,结果保留数字)
