(共29张PPT)
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率
探究点一 条件概率公式的直接应用
探究点二 利用样本点个数求条件概率
探究点三 条件概率的性质的应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算方法；
2.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
知识点一 条件概率
一般地,当事件发生的概率大于0时（即），已知事件 发生的条件下
事件发生的概率，称为__________，记作________，而且 _ ______.
条件概率
知识点二 条件概率的性质
假设，，都是事件，且 ，则有：
（1） ______；
（2） ；
（3）如果与互斥,则 ________________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若事件，互斥，则 .( )
×
[解析] 因为事件,互斥，所以,所以 .
（2）事件发生的条件下，事件发生，相当于， 同时发生.( )
×
（3）事件发生且事件发生，相当于， 同时发生.( )
√
（4） .( )
×
[解析] 若事件为必然事件，则 .
（5）条件概率中，两个事件的发生存在先后顺序.( )
√
（6）表示事件 所含的样本点个数）.( )
√
探究点一 条件概率公式的直接应用
［探索］ 与 相同吗？
解：不同.前者是事件发生的条件下事件发生的概率，而后者是事件 发生的
条件下事件 发生的概率.
例1 五一假期来临，某商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客．规定：每位购物
金额超过1千元的顾客从一个装有5个标有面值的球（大小、质地均相同）的袋
中随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物减免额．若袋中
所装的5个球中有1个标的面值为50元，2个标的面值为10元，其余2个标的面值
均为5元．
（1）求顾客获得的购物减免额为60元的概率；
解：设 “顾客获得的购物减免额为60元”，
依题意得 ，
即顾客获得的购物减免额为60元的概率为 .
（2）若已知顾客摸到的1个球所标的面值为10元，求顾客获得的购物减免额为
15元的概率．
解：设 “顾客摸到的1个球所标的面值为10元”，
“顾客获得的购物减免额为15元”，
则， ，
所以所求概率为 .
变式 袋子中有6个大小相同的小球，其中有2个是白球，其余的为红球，现从
中抽取两次，每次抽取1个球.
（1）若有放回地连续抽取两次，求两次都抽到白球的概率；
解:有放回地连续抽取两次，包含的样本点有 （个），两次都抽到白
球包含的样本点个数为，所以所求概率为 .
（2）若不放回地连续抽取两次，求在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红
球的概率.
解:记事件第一次抽到红球，事件 第二次抽到红球，
则， ，
所以 ．
［素养小结］
用定义法求条件概率 的步骤:
（1）分析题意,弄清概率类型；
（2）计算, ；
（3）代入公式,即 .
注意:与 是不同的.
探究点二 利用样本点个数求条件概率
例2 一袋中有大小相同的5个黑球和5个白球.
（1）若从袋中任意取出2个球，求至少有1个白球的概率；
解：记“从袋中任意取出2个球，至少有1个白球”为事件，则 .
（2）现从中不放回地取球，每次取1个球，取2次，已知第1次取得白球，求第2
次取得黑球的概率.
解：记“第1次取得白球”为事件,“第2次取得黑球”为事件，则事件 包含
（个）样本点，事件包含 （个）样本点，故
.
变式 中国古典乐器一般按“八音”分类，八音分为“金、石、土、革、丝、木、
匏、竹”，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于
《周礼·春官·大师》．为了培养学生音乐素养，发展学生特长，某校开设了“金、
石、革、土、匏、竹”六种乐器的选修课，其中“金、石、革”为三种打击乐器，
“土、匏、竹”为三种吹奏乐器．若该校某学生从这六种乐器中随机选出两种进
行学习，事件表示选出的两种乐器中有打击乐器，事件 表示选出的两种乐器
中有吹奏乐器，则 __．
[解析] 由题得， （金，土），（金，匏） ，（金，竹）， （石，土），
（石，匏），（石，竹），（革，土），（革，匏），（革，竹），
（金，石），（金，革），（石，革），共包含12个样本点，
（金，土），（金，匏），（金，竹），（石，土），（石，匏） ，
（石，竹），（革，土），（革，匏），（革，竹） ，共包含9个样本点，故
.
［素养小结］
求条件概率的两种常用方法：
（1）定义法：若题中条件给出事件发生的概率，则可以应用公式
进行求解；
（2）古典概型法：利用样本点个数求条件概率,即 ，其中
，分别表示事件，事件 包含的样本点个数.
探究点三 条件概率的性质的应用
例3 在一个袋子中装有10个球,其中有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中
不放回地取球，每次取1个球，取两次,求在第一次取出的球是红球的条件下,第
二次取出的球是黄球或黑球的概率.
解：设“第一次取出的球是红球”为事件，“第二次取出的球是黄球”为事件 ，
“第二次取出的球是黑球”为事件，则， ，
，所以 ，
,所以 .故
所求概率为 .
变式 在某次考试中,从20道题中随机抽取6道题,若考生至少能答对其中的4道
题，则通过，若考生至少能答对其中的5道题,则其成绩为优秀.已知某考生能答
对其中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他的成绩为优秀的概率.
解：设事件为“该考生6道题全答对”,事件 为“该考生答对了其中的5道题,另1道
题答错”,事件为“该考生答对了其中的4道题,另2道题答错”,事件 为“该考生在
这次考试中通过”,事件为“该考生在这次考试中的成绩为优秀”，则,, 两两
互斥,且 ,
,
, ,
.故所求概率为 .
［素养小结］
当所求概率对应的事件相对复杂时,往往把该事件分成两个（或多个）互斥的简
单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用
,便可求得复杂事件的概率.
1.下列概率是条件概率的是( )
B
A.甲、乙两人投篮的命中率分别为， ，甲、乙各投篮一次都投中的概率
B.某地区猪的体重超过的概率为，超过的概率为 ，在该地区
内一只体重超过的猪体重能超过 的概率
C.有10件产品，其中有3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到1件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ，小明在一次上
学途中遇到红灯的概率
[解析] 由条件概率的定义知B是条件概率，其他选项均不是条件概率，故选B.
2.若事件与互斥，且，，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为事件B与C互斥，所以 .
故选D.
3.根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为 ，刮四级以上大
风的概率为，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为 ，则在刮四级以
上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为( )
A
A.0.5 B.0.625 C.0.8 D.0.9
[解析] 设发生中度雾霾为事件A，刮四级以上大风为事件B.由题意可知
，， ，则在刮四级以上大风的情况下，发
生中度雾霾的概率为 .故选A.
4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件 为“两次朝上的点数均为偶数”，事件
为“两次朝上的点数之和为8”，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意，事件A包含的样本点有，，，， ，
，，，，共9个，事件包含的样本点有， ，
，共3个，故 .故选C.
5.春季是鼻炎和感冒的高发期,某人在春季里鼻炎发作的概率是 ，患感冒的概率
是，鼻炎发作且患感冒的概率是 ，则此人在鼻炎发作的条件下患感冒的概率
是__.
[解析] 记事件表示此人在春季里鼻炎发作，事件 表示此人在春季里患感冒.
由题意可知,, ,故此人在鼻炎发作的条件下患感冒
的概率为 .
条件概率的特点：
1.当 时， .
2.事件在事件 已发生的条件下发生的概率与没有这个条件的概率是不同的.
3.应该说每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里的条件概率是当试验结
果的一部分已知，另一事件在此条件下发生的概率.
4.与 的意义不同，一般情况下也不相等.
1.条件概率的理解
（1）所谓的条件概率是试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上
再加上一定的条件）,求另一事件在此条件下发生的概率.
（2）在条件概率的概念中,要强调,当时, .
（3）由条件概率的概念可知,与是不同的.另外,在事件 发生的条
件下,事件发生的概率不一定是,即与 不一定相等.
2.条件概率的求法
（1）利用公式 .
（2）借助古典概型概率公式,先求事件包含的样本点个数,再求事件与事件
的交事件包含的样本点个数,得 .
例1 用1，2，3，4排成无重复数字的四位数，在数字1排在个位的条件下，该
四位数大于3000的概率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 方法一：设事件A为“构成个位数是1的四位数”，事件B为“构成大于3000
的四位数”，则，，则 .
方法二：个位是1的四位数有2341，2431，3241，3421，4231，4321，共6个，
其中大于3000的有3241，3421，4231，4321，共4个，所以所求概率 .
故选D.
例2 [2023·辽宁沈阳高二期中]甲、乙、丙、丁四名学生报名参加假期社区服务
活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，
每人限报其中一项，记事件为“四名学生所报项目各不相同”，事件 为“只有甲
一人报关怀老人项目”，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意得， ，故
.故选D.4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率
【课前预习】
知识点一
条件概率 P(A|B)
知识点二
(1)[0,1] (3)P(B|A)+P(C|A)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√
[解析] (1)因为事件A,B互斥,所以P(AB)=0,所以P(B|A)=0.
(4)若事件A为必然事件,则P(B|A)=P(A∩B).
【课中探究】
探究点一
探索 解:不同.前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率,而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率.
例1 解:(1)设E=“顾客获得的购物减免额为60元”,
依题意得P(E)==,
即顾客获得的购物减免额为60元的概率为.
(2)设A=“顾客摸到的1个球所标的面值为10元”,
B=“顾客获得的购物减免额为15元”,
则P(A)==,P(AB)==,
所以所求概率为P(B|A)==.
变式 解:(1)有放回地连续抽取两次,包含的样本点有6×6=36(个),两次都抽到白球包含的样本点个数为2×2=4,所以所求概率为=.
(2)记事件A:第一次抽到红球,事件B:第二次抽到红球,
则P(A)==,P(A∩B)==,
所以P(B|A)===.
探究点二
例2 解:(1)记“从袋中任意取出2个球,至少有1个白球”为事件A,则P(A)=1-=.
(2)记“第1次取得白球”为事件B,“第2次取得黑球”为事件C,则事件B∩C包含=25(个)样本点,事件B包含+=45(个)样本点,故P(C|B)==.
变式 [解析] 由题得,A={(金,土),(金,匏) ,(金,竹), (石,土),(石,匏),(石,竹),(革,土),(革,匏),(革,竹),(金,石),(金,革),(石,革)},共包含12个样本点,A∩B={(金,土),(金,匏),(金,竹),(石,土),(石,匏) ,(石,竹),(革,土),(革,匏),(革,竹)},共包含9个样本点,故P(B|A)==.
探究点三
例3 解:设“第一次取出的球是红球”为事件A,“第二次取出的球是黄球”为事件B,“第二次取出的球是黑球”为事件C,则P(A)=,P(A∩B)==,P(A∩C)==,所以P(B|A)===,P(C|A)===,所以P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.故所求概率为.
变式 解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中的5道题,另1道题答错”,事件C为“该考生答对了其中的4道题,另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中的成绩为优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B.∵P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=,
P(A∩D)=P(A),P(B∩D)=P(B),
∴P(E|D)=P((A∪B)|D)=P(A|D)+P(B|D)=+=+=.故所求概率为.
【课堂评价】
1.B [解析] 由条件概率的定义知B是条件概率,其他选项均不是条件概率,故选B.
2.D [解析] 因为事件B与C互斥,所以P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.故选D.
3.A [解析] 设发生中度雾霾为事件A,刮四级以上大风为事件B.由题意可知P(A)=0.25,P(B)=0.4,P(A∩B)=0.2,则在刮四级以上大风的情况下,发生中度雾霾的概率为P(A|B)===0.5.故选A.
4.C [解析] 由题意,事件A包含的样本点有(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6),共9个,事件A∩B包含的样本点有(2,6),(4,4),(6,2),共3个,故P(B|A)==.故选C.
5. [解析] 记事件A表示此人在春季里鼻炎发作,事件B表示此人在春季里患感冒.由题意可知P(A)=,P(B)=,P(A∩B)=,故此人在鼻炎发作的条件下患感冒的概率为P(B|A)===.4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率
【学习目标】
1.了解条件概率的概念,掌握条件概率的计算方法;
2.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
◆ 知识点一 条件概率
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为 ,记作 ,而且P(A|B)= .
◆ 知识点二 条件概率的性质
假设A,B,C都是事件,且P(A)>0,则有:
(1)P(B|A)∈ ;
(2)P(A|A)=1;
(3)如果B与C互斥,则P((B∪C)|A)= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1. ( )
(2)事件A发生的条件下,事件B发生,相当于A,B同时发生. ( )
(3)事件A发生且事件B发生,相当于A,B同时发生. ( )
(4)P(B|A)≠P(A∩B). ( )
(5)条件概率中,两个事件的发生存在先后顺序.( )
(6)P(B|A)=(n(A)表示事件A所含的样本点个数). ( )
◆ 探究点一 条件概率公式的直接应用
[探索] P(A|B)与P(B|A)相同吗
例1 五一假期来临,某商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客.规定:每位购物金额超过1千元的顾客从一个装有5个标有面值的球(大小、质地均相同)的袋中随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物减免额.若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元,2个标的面值为10元,其余2个标的面值均为5元.
(1)求顾客获得的购物减免额为60元的概率;
(2)若已知顾客摸到的1个球所标的面值为10元,求顾客获得的购物减免额为15元的概率.
变式 袋子中有6个大小相同的小球,其中有2个是白球,其余的为红球,现从中抽取两次,每次抽取1个球.
(1)若有放回地连续抽取两次,求两次都抽到白球的概率;
(2)若不放回地连续抽取两次,求在第一次抽到红球的条件下,第二次抽到红球的概率.
[素养小结]
用定义法求条件概率P(B|A)的步骤:
(1)分析题意,弄清概率类型;
(2)计算P(A),P(A∩B);
(3)代入公式,即P(B|A)=.
注意:P(B|A)与P(A|B)是不同的.
◆ 探究点二 利用样本点个数求条件概率
例2 一袋中有大小相同的5个黑球和5个白球.
(1)若从袋中任意取出2个球,求至少有1个白球的概率;
(2)现从中不放回地取球,每次取1个球,取2次,已知第1次取得白球,求第2次取得黑球的概率.
变式 中国古典乐器一般按“八音”分类,八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼·春官·大师》.为了培养学生音乐素养,发展学生特长,某校开设了“金、石、革、土、匏、竹”六种乐器的选修课,其中“金、石、革”为三种打击乐器,“土、匏、竹”为三种吹奏乐器.若该校某学生从这六种乐器中随机选出两种进行学习,事件A表示选出的两种乐器中有打击乐器,事件B表示选出的两种乐器中有吹奏乐器,则P(B|A)= .
[素养小结]
求条件概率的两种常用方法:
(1)定义法:若题中条件给出事件发生的概率,则可以应用公式P(B|A)=进行求解;
(2)古典概型法:利用样本点个数求条件概率,即P(B|A)=,其中n(A∩B),n(A)分别表示事件A∩B,事件A包含的样本点个数.
◆ 探究点三 条件概率的性质的应用
例3 在一个袋子中装有10个球,其中有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中不放回地取球,每次取1个球,取两次,求在第一次取出的球是红球的条件下,第二次取出的球是黄球或黑球的概率.
变式 在某次考试中,从20道题中随机抽取6道题,若考生至少能答对其中的4道题,则通过,若考生至少能答对其中的5道题,则其成绩为优秀.已知某考生能答对其中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他的成绩为优秀的概率.
[素养小结]
当所求概率对应的事件相对复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互斥的简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A),便可求得复杂事件的概率.
1.下列概率是条件概率的是 ( )
A.甲、乙两人投篮的命中率分别为0.6,0.7,甲、乙各投篮一次都投中的概率
B.某地区猪的体重超过200 kg的概率为0.8,超过300 kg的概率为0.3,在该地区内一只体重超过200 kg的猪体重能超过300 kg的概率
C.有10件产品,其中有3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到1件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,小明在一次上学途中遇到红灯的概率
2.若事件B与C互斥,且P(B|A)=,P(C|A)=,则P((B∪C)|A)= ( )
A. B. C. D.
3.根据历年的气象数据,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2,则在刮四级以上大风的情况下,发生中度雾霾的概率为 ( )
A.0.5 B.0.625
C.0.8 D.0.9
4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,记事件A为“两次朝上的点数均为偶数”,事件B为“两次朝上的点数之和为8”,则P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
5.春季是鼻炎和感冒的高发期,某人在春季里鼻炎发作的概率是,患感冒的概率是,鼻炎发作且患感冒的概率是,则此人在鼻炎发作的条件下患感冒的概率是 . 4.1.1 条件概率
1.C [解析] 一个家庭中有两个小孩包含的样本点有(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).记事件A为“其中一个是男孩”,事件B为“其中一个是女孩”,则事件A包含(男,女),(女,男),(男,男),共3个样本点,事件B包含(男,女),(女,男),(女,女),共3个样本点,事件A∩B包含(男,女),(女,男),共2个样本点,则P(A)=,P(A∩B)==,则P(B|A)===.故选C.
2.A [解析] 记“数学不及格”为事件A,“语文不及格”为事件B,则P(B|A)===0.2,所以该学生数学不及格时,语文也不及格的概率为0.2.故选A.
3.B [解析] 设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A,“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件B,则由题意可得P(A)=,P(A∩B)=,则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下,第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为P(B|A)==.故选B.
4.A [解析] 记事件A为“三条线段可以构成三角形”,事件B为“三条线段构成钝角三角形”,则A={(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(2,6,7),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(4,5,6),(4,5,7),
(4,6,7),(5,6,7)},共13个样本点,A∩B={(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(2,6,7),(3,4,6),(3,5,6),
(3,5,7),(3,6,7),(4,5,7)},共9个样本点,故P(B|A)=.故选A.
5.D [解析] 两位游客从四个著名旅游景点中随机选择一个游玩,共包含4×4=16(个)样本点,其中事件A包含的样本点有4×4-3×3=7(个),事件A∩B包含的样本点有2×3=6(个),所以P(A)=,P(A∩B)==,所以P(B|A)===.故选D.
6.B [解析] 冬奥会设有七个大项,有甲、乙、丙三名志愿者,则每人可有7种选法,共有73种选法,又事件B包含的样本点个数为,所以P(B)==.因为A∩B包含的样本点有6×6×5-5×5=155(个),所以P(A∩B)=,故P(A|B)==.
7.A [解析] 记事件A为“此人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病”,事件B为“此人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病”,显然B A,A∩B=B,P(A)=1-0.04=0.96,P(B)=1-0.16=0.84,所以P(B|A)====.故选A.
[点拨] 当条件概率的问题不能使用古典概型解决时,理清事件间的逻辑关系,准确设出事件是非常关键的一步,还要注意事件A,B之间的关系,这将会影响P(A∩B)的计算.
8.AB [解析] 由条件概率公式P(B|A)=及0
9.ACD [解析] 因为甲罐中有3个红球、2个黑球,所以P(A)=,故A正确;P(B)=×+×=,故C正确;因为P(A∩B)=×=,所以P(A|B)===,故D正确;因为P(B|A)===,故B不正确.故选ACD.
10. [解析] 因为P(B∩A)==,P(A)=1-=,所以P(B|A)==.
11. [解析] 用4种颜色对3个格子涂色,相邻的2个格子颜色不同包含4×3×3=36(个)样本点,3个格子的颜色均不相同包含4×3×2=24(个)样本点,则P(B|A)==.
12. [解析] 方法一:抛掷红、蓝两颗质地均匀的骰子共包含6×6=36(个)样本点,事件A包含的样本点个数为6×2=12,所以P(A)==,事件B包含的样本点有(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共10个,所以P(B)==,事件A∩B包含的样本点个数为6,所以P(A∩B)==.由条件概率公式得P(B|A)===,P(A|B)===.
方法二:由题得n(A)=6×2=12,n(B)=10,n(A∩B)=6,所以P(B|A)===,P(A|B)===.
13.解:(1)记4名男生为A(甲),B,C,D,2名女生为a,b(乙),
从6名成员中挑选2人包含的样本点有AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,共有15个,
记“男生甲被选中”为事件M,则M包含的样本点有AB,AC,AD,Aa,Ab,共有5个,故P(M)==.
(2)记“女生乙被选中”为事件N,则M∩N表示男生甲和女生乙被选中,M∩N包含的样本点共有1个,故P(M∩N)=,
由(1)知P(M)=,故P(N|M)==.
(3)记“选中的2人中有1男1女”为事件S,则事件S包含的样本点有8个,所以P(S)=,S∩N包含的样本点有4个,所以P(S∩N)=,
故P(N|S)==.
14.解:设事件C为“取出的数不大于50”,事件A为“取出的数是2的倍数”,事件B为“取出的数是3的倍数”.
则所求概率为P((A∪B)|C)=P(A|C)+P(B|C)-P((A∩B)|C)=+-=2×=.
15.A [解析] 设黑球有x(016.解:设事件A为“其中一瓶是蓝色墨水”,事件B为“其中一瓶是红色墨水”,事件C为“其中一瓶是黑色墨水”,事件D为“其中一瓶不是蓝色墨水”,
则P(A)==,P(A∩B)==,P(A∩C)==,故P(D|A)=P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.1 条件概率
一、选择题
1.[2023·上海二中高二月考] 已知一个有两个孩子的家庭中有一个男孩,则这个家庭中有女孩的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知某学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是 ( )
A.0.2 B.0.33
C.0.5 D.0.6
3.[2023·江西余干中学高二月考] 小明每天上学途中必须经过2个红绿灯,经过一段时间观察发现如下规律:在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是,连续两次遇到红灯的概率是.则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下,第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为( )
A. B. C. D.
4.[2023·浙江杭州十四中高二月考] 有六条线段,其长度分别为2,3,4,5,6,7.现任取三条,则这三条线段在可以构成三角形的前提下,能构成钝角三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
5.[2023·石家庄高二期末] 太行山脉有很多优美的旅游景点,甲、乙两位游客慕名来到太行山脉,都准备从C,D,E,F四个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择景点C”,事件B为“甲和乙选择的景点不同”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
6.冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、雪橇、滑冰、滑雪、冰球七个大项.现有甲、乙、丙三名志愿者,设事件A为“甲不是雪车项目的志愿者,乙不是雪橇项目的志愿者”,事件B为“甲、乙、丙分别是三个不同项目的志愿者”,则P(A|B)= ( )
A. B.
C. D.
★7.[2023·辽宁沈阳高二期中] 饮酒过度会影响健康,某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计,一次性饮酒4.8两,诱发某种疾病的频率为0.04,一次性饮酒7.2两,诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率,已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病,则他继续饮酒2.4两,不诱发这种疾病的概率为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.P(B|A)≥P(A∩B)
B.若事件A包含事件B,则P(B|A)=
C.0D.P(A|A)=0
9.(多选题)甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,再从乙罐中随机取出1个球,记事件A为“从甲罐取出的球是红球”,事件B为“从乙罐取出的球是红球”,则 ( )
A.P(A)= B.P(B|A)=
C.P(B)= D.P(A|B)=
二、填空题
10.将一枚质地均匀且各面分别有狗、猪、羊、马图案的正四面体玩具抛掷两次,设事件A为“两次掷出的玩具底面图案不相同”,事件B为“两次掷出的玩具底面图案至少出现一次狗图案”,则P(B|A)= .
11.从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色,每个格子涂1种颜色,记事件A为“相邻的2个格子颜色不同”,事件B为“3个格子的颜色均不相同”,则P(B|A)= .
12.[2024·辽宁大连高二期中] 抛掷红、蓝两颗质地均匀的骰子,记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”,则P(B|A)= ,P(A|B)= .
三、解答题
13.[2023·新疆阿克苏高二期末] 某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,求女生乙被选中的概率;
(3)在被选中的2人中有1男1女的条件下,求女生乙被选中的概率.
14.从1~100共100个正整数中任取1个数,已知取出的数不大于50,求此数是2或3的倍数的概率.
15.一个袋中共有10个大小相同的黑球和白球,若从袋中任意摸出2个球,则至少有1个白球的概率为.现从中不放回地取球,每次取1个球,取2次,则在第2次取得白球的条件下,第1次取得黑球的概率为 ( )
A. B. C. D.
16.有五瓶墨水,其中红色墨水一瓶,蓝色、黑色墨水各两瓶,某同学从中任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色墨水,求另一瓶不是蓝色墨水的概率.