(共40张PPT)
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.2 乘法公式与全概率公式
探究点一 乘法公式的应用
探究点二 全概率公式的应用
探究点三 贝叶斯公式的应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.理解并掌握乘法公式与全概率公式；
2.了解贝叶斯公式；
3.能应用乘法公式与全概率公式解决具体情境下的概率.
知识点一 乘法公式
根据事件发生的概率,以及已知事件发生的条件下事件 发生的概率,可以求出
与同时发生的概率,即 ____________.一般地,这个结论称为乘法公式.
知识点二 乘法公式的推广
假设表示事件,,2,3,且,,表示已知 与
都发生时发生的概率,表示,, 同时发生的概率,则
_____________________________________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
×
（2） ，其中
，， .( )
√
（3） .( )
√
知识点三 全概率公式
1.全概率公式：一般地,如果样本空间为 ,而,为事件,则与 是______的,
且_________,从而 _______________.
当且时,有 _________________________.
互斥
2.定理1 若样本空间 中的事件,, , 满足:
（1）任意两个事件均互斥，即 ，,，2， ,， ；
（2） ；
（3），，2， ， .
则对 中的任意事件，都有 ，且
_ _______________，上述公式也称为全概率公式．
当 时的情形可借助下图来理解.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）全概率公式 ,本质上是将样本空间分成
互斥的两部分后得到的.( )
√
（2） .( )
×
（3）全概率公式体现了转化与化归数学思想，即采用化整为零的方式，把各块
的概率分别求出，再相加即可.( )
√
*知识点四 贝叶斯公式
1.贝叶斯公式的定义
一般地，当且 时，有
.
这称为贝叶斯公式.
2.贝叶斯公式的推广
定理2 若样本空间 中的事件,, , 满足：
（1）任意两个事件均互斥，即 ，,,2, ,, ;
（2） ；
（3），,2, , .
则对 中的任意概率非零的事件，有 .
上述公式也称为贝叶斯公式.
探究点一 乘法公式的应用
例1（1） [2023·辽宁抚顺高二期中]已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱
中有5个白球和3个红球，小球除颜色外完全相同.现随机从1号箱中取出一球放
入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 设A表示从1号箱中取到红球放入2号箱，设B表示从2号箱中取到红球.由
题意知， ，所以
，所以两次都取到红球的概率是 .故选C.
（2）已知事件发生的概率为，事件发生的概率为，若在事件 发生
的条件下，事件发生的概率为，则在事件发生的条件下，事件 发生的概
率为_____.
0.75
[解析] 由已知可得，， ，则
，故 .
变式（1） 某食物的致敏率为 ，在对该食物过敏的条件下，嘴周产生皮疹
的概率为 ，则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 记事件A为“食用该食物过敏”，事件B为“嘴周产生皮疹”，则
，，所以 .
故选A.
（2）某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下打破的概率为 ，若第一次落下未
打破，则第二次落下打破的概率为 ，若前两次落下未打破，则第三次落下打
破的概率为 ，则透镜落下三次而未打破的概率为_____.
[解析] 设表示透镜第次落下打破，，2，3，设 表示透镜落下三次而未
打破，则 ，故
.
［素养小结］
乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法，即当直接计算 不容易时，
可先求出及或先求出及 ，再利用乘法公式
求解即可.
探究点二 全概率公式的应用
例2（1） 某人出差，委托邻居给家里植物浇一次水.若不浇水，则植物枯萎的
概率为0.8；若浇水，则植物枯萎的概率为0.15.已知邻居记得浇水的概率为 ，
则此人回来后植物没有枯萎的概率为( )
A
A.0.785 B.0.845 C.0.765 D.0.215
[解析] 记事件A为“植物没有枯萎”，事件 为“邻居记得浇水”，则
，， ，
，因此
．故选A.
（2）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校大约有 的学生近视，而该
校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些学生的近视率约为 .现从
每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 用表示学生每天玩手机超过1小时， 表示学生每天玩手机不超过1小
时，B表示学生近视，由题得，， ,
，则
，解得 ,所以从每天玩手机不超过1小时的学生
中任意调查一名学生，他近视的概率为 .故选C.
变式（1） [2023·上海光明中学高二期中] 某学校在甲、乙、丙三个地区进
行新生录取，已知三个地区的新生数量是相等的，三个地区的录取率分别为
，， ．现从这三个地区等可能的抽取1名学生，则该学生被录取的概率是___．
[解析] 记事件，， 分别表示该学生是从甲、乙、丙三个地区抽取的，事
件表示该学生被录取，则， ，
，，故 ．
（2）[2023·新疆喀什高二期末] 甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱
中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中，再从
乙箱中随机取出1个球，则从乙箱中取出的是红球的概率为____.
[解析] 设表示从甲箱中取出的球是红球，表示从甲箱中取出的球是白球，
表示从甲箱中取出的球是黑球， 表示从乙箱中取出的球是红球，由题得
，，，， ,
，所以 .
［素养小结］
全概率问题求解策略:
（1）拆分：将样本空间拆分成互斥的几部分 .
（2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率.
（3）求和：所求事件的概率 .
探究点三 贝叶斯公式的应用
例3 三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占 ，机器乙生产的占
，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有，
和 不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，发现是不合格品，求：
解：用，，分别表示任取的零件为机器甲、机器乙、机器丙生产， 表
示抽取的零件是不合格品.
由条件知，，， ，
， .
（1）它是由机器甲生产出来的概率；
根据贝叶斯公式，它是由机器甲生产出来的概率
.
（2）它是由哪一部机器生产出来的可能性最大．
解： ，
.
因为 ,所以是由机器甲生产出来的可能性最大．
变式 [2023·福州十一中高二期中] 一道单项选择题有4个答案，要求学生将
正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为 ，若他知道正确答案，则一定
能答对.在乱猜时，4个答案都有相同机会被他选择.若他答对了，则他知道正确
答案的概率是__.
[解析] 设事件表示考生答对，事件表示考生知道正确答案，则 ，
，，，所以 ，
,故
.
［素养小结］
如果随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体怎样未
知，那么：（1）若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；
（2）若第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个
结果所引起的概率，则一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率.熟记这个特征，
在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
1.[2023·黑龙江齐齐哈尔高二期中]已知，，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] .故选C.
2.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队，
选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为 ，选“使命”队获胜的概率
为 ，在该单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 记选“初心”队为事件A，选“使命”队为事件B，该单位获胜为事件 ，则
,, ,因此
，所以在该
单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为
.故选D.
3.甲袋中有5个白球,7个红球;乙袋中有4个白球,2个红球（甲、乙两袋中的球除
颜色外完全相同）.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取1球,则
取到的是白球的概率是___.
[解析] 设事件表示“取到的是甲袋”,事件表示“取到的是白球”，则 表示“取到
的是乙袋”.根据题意知,， ，所以
.
4.李明早上上学的时候可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知李明乘坐公
共汽车的概率为，乘坐地铁的概率为 ，且乘坐公共汽车和地铁时李明迟到
的概率分别为0.2和 ，则李明上学迟到的概率为______；如果某天早上李明
上学迟到了，那么他乘坐公共汽车的概率为___.
0.095
[解析] 记“乘坐公共汽车”为事件，“乘坐地铁”为事件，“迟到”为事件 ，则
，，， ，所以
，
．
1. .
2.若，，是互斥事件，且 ，则 的对立事件
与 相同.
3.定理1的证明过程如下：
证明：因为,且 ,
, ,两两互斥，所以,, ,两两互斥，故 ,由乘
法公式可得,,2, , ,因此
.
4.全概率公式的意义在于，当直接计算较为困难，而 ，
的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算 .其本质
思想就是，将事件 分解成若干个小事件，先求每个小事件的概率，然后相加求
得事件 的概率.
1.将条件概率的计算公式进行变形,可得乘法公式 .
2.从另一个角度去理解全概率公式.事件的发生有各种可能的原因，若 的发生
是由原因所引起的，则发生的概率是 .每一个原
因都可能导致的发生，故发生的概率是各原因引起 发生的概率的和，即全
概率公式.
例1 三个罐子的编号分别为1，2，3，其中1号罐子中装有2个红球和1个黑球，
2号罐子中装有3个红球和1个黑球，3号罐子中装有2个红球和2个黑球.若某人从
中随机取1个罐子，再从中任意取出1个球，求取得红球的概率.
解：记表示球取自号罐子，表示取得红球，显然 的发生总是伴
随着,,之一同时发生，即 ，
且,, 两两互斥.
由题知, , ，
所以
.
例2 （多选题）1990年9月，给《 》杂志“
”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙
提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者
在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一
扇门后面是豪车，其余两扇门后面是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢
得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定游戏参与者初次选择的是1号门，
接着主持人会从2,3号门中打开一道后面是山羊的门，则以下说法正确的是
( )
A.游戏参与者获得豪车的概率为
B.主持人打开3号门的概率为
C.在主持人打开3号门的条件下，2号门后面有豪车的概率为
D.在主持人打开3号门的条件下，2号门后面有豪车比1号门后面有豪车的概率更大
√
√
√
[解析] 设,,分别表示1,2,3号门里有豪车，用,, 分别表示主持人打开
1,2,3号门.对于A，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪
车在哪个门后面，所以不影响豪车在三个门后面的概率分配，所以事件, ,
发生的概率均为 ，故A正确；
对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况：豪车在1号门后面，主持人打开2，3号门，故 ，豪车在2号门后面，主持人只能打开3号门，故 ，豪车在3号门后面，主持人只能打开2号门，故，则 ，故B正确；
对于C，在主持人打开3号门的条件下，1号门后面有豪车的概率为
,在主持人打开3号门的条件下，2号门后面有豪车的
概率为 ，故选2号门后面有豪车的概率更大，故C错
误，D正确.故选 .4.1.2 乘法公式与全概率公式
【课前预习】
知识点一
P(A)P(B|A)
知识点二
P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
知识点三
1.互斥 BA+B P(BA)+P(B)
P(A)P(B|A)+P()P(B|)
2.P(Ai)P(B|Ai)
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)0.75 [解析] (1)设A表示从1号箱中取到红球放入2号箱,设B表示从2号箱中取到红球.由题意知P(A)==,P(B|A)==,所以P(BA)=P(B|A)P(A)=×=,所以两次都取到红球的概率是.故选C.
(2)由已知可得P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A|B)=0.6,则P(AB)=P(B)P(A|B)=0.5×0.6=0.3,故P(B|A)===0.75.
变式 (1)A (2) [解析] (1)记事件A为“食用该食物过敏”,事件B为“嘴周产生皮疹”,则P(A)=2%,P(B|A)=99%,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=2%×99%=1.98%.故选A.
(2)设Ai表示透镜第i次落下打破,i=1,2,3,设B表示透镜落下三次而未打破,则B=,故P(B)=P()=P()P(|)P(|)=××=.
探究点二
例2 (1)A (2)C [解析] (1)记事件A为“植物没有枯萎”,事件W为“邻居记得浇水”,则P(W)=0.9,P()=0.1,P(A|)=1-0.8=0.2,P(A|W)=1-0.15=0.85,因此P(A)=P(A|W)P(W)+P(A|)P()=0.85×0.9+0.2×0.1=0.785.故选A.
(2)用A1表示学生每天玩手机超过1小时,A2表示学生每天玩手机不超过1小时,B表示学生近视,由题得P(A1)=0.1,P(A2)=0.9,P(B|A1)=0.6,P(B)=0.2,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.1×0.6+0.9×P(B|A2)=0.2,解得P(B|A2)==,所以从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生,他近视的概率为.故选C.
变式 (1) (2) [解析] (1)记事件A1,A2,A3分别表示该学生是从甲、乙、丙三个地区抽取的,事件B表示该学生被录取,则P(A1)=P(A2)=P(A3)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.
(2)设A表示从甲箱中取出的球是红球,B表示从甲箱中取出的球是白球,C表示从甲箱中取出的球是黑球,D表示从乙箱中取出的球是红球,由题得P(A)==,P(B)=,P(C)=,P(D|A)=,P(D|B)=,P(D|C)=,所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=×+×+×=.
探究点三
例3 解:用B1,B2,B3分别表示任取的零件为机器甲、机器乙、机器丙生产,A表示抽取的零件是不合格品.
由条件知P(B1)=0.4,P(B2)=0.25,P(B3)=0.35,P(A|B1)=0.1,P(A|B2)=0.05,P(A|B3)=0.01.
(1)根据贝叶斯公式,它是由机器甲生产出来的概率
P(B1|A)==.
(2)P(B2|A)==,
P(B3|A)==.
因为>>,所以是由机器甲生产出来的可能性最大.
变式 [解析] 设事件A表示考生答对,事件B表示考生知道正确答案,则P(B)=,P()=,P(A|B)=1,P(A|)=,所以P(AB)=P(B)P(A|B)=×1=,P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×1+×=,故P(B|A)===.
【课堂评价】
1.C [解析] P(AB)=P(B|A)P(A)=×=.故选C.
2.D [解析] 记选“初心”队为事件A,选“使命”队为事件B,该单位获胜为事件M,则P(A)=P(B)=0.5,P(M|A)=0.8,P(M|B)=0.7,因此P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B)=0.5×0.8+0.5×0.7=0.75,所以在该单位在比赛中获胜的条件下,选“使命”队参加比赛的概率为P(B|M)====.故选D.
3. [解析] 设事件A表示“取到的是甲袋”,事件B表示“取到的是白球”,则表示“取到的是乙袋”.根据题意知P(B|A)=,P(B|)=,P(A)=P()=,所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=.
4.0.095 [解析] 记“乘坐公共汽车”为事件A,“乘坐地铁”为事件B,“迟到”为事件C,则P(A)=0.3,P(B)=0.7,P(C|A)=0.2,P(C|B)=0.05,所以P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=0.2×0.3+0.05×0.7=0.095,P(A|C)====.4.1.2 乘法公式与全概率公式
【学习目标】
1.理解并掌握乘法公式与全概率公式;
2.了解贝叶斯公式;
3.能应用乘法公式与全概率公式解决具体情境下的概率.
◆ 知识点一 乘法公式
根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率,即P(BA)= .一般地,这个结论称为乘法公式.
◆ 知识点二 乘法公式的推广
假设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0,P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率,P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率,则 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)P(AB)=P(A)P(B). ( )
(2)P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3),其中P(A1)>0,P(A1A2)>0,P(A1A2A3)>0. ( )
(3)P(AB)=P(BA). ( )
◆ 知识点三 全概率公式
1.全概率公式:一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则BA与B是 的,且B=BΩ=B(A+)= ,从而P(B)=P(BA+B)= .
当P(A)>0且P()>0时,有P(B)= .
2.定理1 若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
(1)任意两个事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
(2)A1+A2+…+An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且P(B)=P(BAi)= ,上述公式也称为全概率公式.
当n=3时的情形可借助下图来理解.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),本质上是将样本空间分成互斥的两部分后得到的. ( )
(2)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(|A).( )
(3)全概率公式体现了转化与化归数学思想,即采用化整为零的方式,把各块的概率分别求出,再相加即可. ( )
◆ *知识点四 贝叶斯公式
1.贝叶斯公式的定义
一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有P(A|B)==.
这称为贝叶斯公式.
2.贝叶斯公式的推广
定理2 若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
(1)任意两个事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
(2)A1+A2+…+An=Ω;
(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B,有P(Aj|B)==.
上述公式也称为贝叶斯公式.
◆ 探究点一 乘法公式的应用
例1 (1)[2023·辽宁抚顺高二期中] 已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,小球除颜色外完全相同.现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,再从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是 ( )
A. B. C. D.
(2)已知事件A发生的概率为0.4,事件B发生的概率为0.5,若在事件B发生的条件下,事件A发生的概率为0.6,则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为 .
变式 (1)某食物的致敏率为2%,在对该食物过敏的条件下,嘴周产生皮疹的概率为99%,则某人食用该食物过敏且嘴周产生皮疹的概率为 ( )
A.1.98% B.0.98%
C.97.02% D.99%
(2)某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下打破的概率为,若第一次落下未打破,则第二次落下打破的概率为,若前两次落下未打破,则第三次落下打破的概率为,则透镜落下三次而未打破的概率为 .
[素养小结]
乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法,即当直接计算P(AB)不容易时,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解即可.
◆ 探究点二 全概率公式的应用
例2 (1)某人出差,委托邻居给家里植物浇一次水.若不浇水,则植物枯萎的概率为0.8;若浇水,则植物枯萎的概率为0.15.已知邻居记得浇水的概率为0.9,则此人回来后植物没有枯萎的概率为 ( )
A.0.785 B.0.845
C.0.765 D.0.215
(2)长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校大约有20%的学生近视,而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时,这些学生的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为 ( )
A. B.
C. D.
变式 (1)[2023·上海光明中学高二期中] 某学校在甲、乙、丙三个地区进行新生录取,已知三个地区的新生数量是相等的,三个地区的录取率分别为,,.现从这三个地区等可能的抽取1名学生,则该学生被录取的概率是 .
(2)[2023·新疆喀什高二期末] 甲箱中有4个红球,3个白球和3个黑球,乙箱中有5个红球,3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出1个球,则从乙箱中取出的是红球的概率为 .
[素养小结]
全概率问题求解策略:
(1)拆分:将样本空间拆分成互斥的几部分Ai(i=1,2,…,n).
(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).
◆ 探究点三 贝叶斯公式的应用
例3 三部机器生产同样的零件,其中机器甲生产的占40%,机器乙生产的占25%,机器丙生产的占35%.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%,5%和1%不合格,现从总产品中随机地抽取一个零件,发现是不合格品,求:
(1)它是由机器甲生产出来的概率;
(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性最大.
变式 [2023·福州十一中高二期中] 一道单项选择题有4个答案,要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为,若他知道正确答案,则一定能答对.在乱猜时,4个答案都有相同机会被他选择.若他答对了,则他知道正确答案的概率是 .
[素养小结]
如果随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体怎样未知,那么:(1)若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;(2)若第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,则一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率.熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证解题的正确高效.
1.[2023·黑龙江齐齐哈尔高二期中] 已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)= ( )
A. B. C. D.
2.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛,现有“初心”“使命”两支预备队,选哪支队是随机的,其中选“初心”队获胜的概率为0.8,选“使命”队获胜的概率为0.7,在该单位在比赛中获胜的条件下,选“使命”队参加比赛的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.甲袋中有5个白球,7个红球;乙袋中有4个白球,2个红球(甲、乙两袋中的球除颜色外完全相同).从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取1球,则取到的是白球的概率是 .
4.李明早上上学的时候可以乘坐公共汽车,也可以乘坐地铁.已知李明乘坐公共汽车的概率为0.3,乘坐地铁的概率为0.7,且乘坐公共汽车和地铁时李明迟到的概率分别为0.2和0.05,则李明上学迟到的概率为 ;如果某天早上李明上学迟到了,那么他乘坐公共汽车的概率为 . 4.1.2 乘法公式与全概率公式
1.B [解析] 设事件A为“抽取的芯片为优质品”,则P(A)=×0.8+×0.8+×0.7=0.2×0.8+0.4×0.8+0.4×0.7=0.76,所以该芯片为优质品的概率为0.76.故选B.
2.C [解析] 设事件A为“血检呈阳性”,事件B为“患该种疾病”,依题意知P(B)=0.03,P(A|B)=0.87,所以P(AB)=P(B)P(A|B)=0.03×0.87=0.026 1.故选C.
3.C [解析] 设“选到第一个袋子”为事件A1,“选到第二个袋子”为事件A2,“随机摸出2个球,恰好摸出1个红球和1个黑球”为事件B,则P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)==,P(B|A2)==,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=.故选C.
4.A [解析] 千位有1,5两种选择,百位、十位、个位有0,1,5三种选择,要使表示的四位数为偶数,则个位应该是0,可得P(A)=,要使表示的四位数为偶数且大于5050,则千位是5,百位应该是1或5,个位是0,可得P(AB)=××=,故P(B|A)===.故选A.
5.A [解析] 设事件A1为“王同学早餐在A餐厅用餐”,事件B1为“王同学早餐在B餐厅用餐”,事件A2为“王同学午餐在A餐厅用餐”,事件B2为“王同学午餐在B餐厅用餐”.易知P(A1)+P(B1)=1,根据题意得P(A1)=,P(B1)=,P(A2|A1)=,P(A2|B1)=,由全概率公式可得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=×+×=,则P(B2)=1-=.故选A.
6.D [解析] 设事件A为“小孩诚实”,事件B为“小孩说谎”,则P(B|A)=0.1,P(B|)=0.5,P(A)=0.9,P()=0.1,则P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.1=0.09,P(B)=P()P(B|)=0.1×0.5=0.05,故P(B)=P(AB)+P(B)=0.14,故P(A|B)===.故选D.
7.C [解析] 设事件B为“该车中途停车修理”,事件A1为“该车是货车”,事件A2为“该车是客车”,则P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,由贝叶斯公式得P(A1|B)===0.8.故选C.
8.ACD [解析] 若P(B|A)==P(B),则=P(A)=P(A|B),故A正确;P(A|B)+P(|B)===1,故B错误;若B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),故C正确;因为P(AB)>0,所以P(A)≥P(AB)>0,P(A)P(B|A)P(C|AB)=P(A)××=P(ABC),故D正确.故选ACD.
9.ABC [解析] 设事件D1,D2,D3分别表示一个人患有疾病D1,D2,D3,事件S表示病人出现症状S,则P(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(S|D1)=0.4,P(S|D2)=0.18,P(S|D3)=0.6.由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02,故A正确;由贝叶斯公式得P(D1|S)===0.4,故B正确;由贝叶斯公式得P(D2|S)===0.45,故C正确;由贝叶斯公式得P(D3|S)===0.15,故D错误.故选ABC.
10.0.675 [解析] 记“利率下调”为事件A,“该支股票价格上涨”为事件C,则“利率不变”为事件,由题意知,P(A)=0.75,P()=0.25,P(C|A)=0.8,P(C|)=0.3,所以P(C)=P(A)P(C|A)+P()P(C|)=0.675.
11. [解析] 记事件A为“第1球投进”,事件B为“第2球投进”,则P(A)=,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
12.0.106 0.189 [解析] 设事件A为“患高血压”,事件B1为“肥胖者”,事件B2为“中等体型者”,事件B3为“消瘦者”,根据题意得P(B1)=10%,P(B2)=82%,P(B3)=8%,且P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.1,P(A|B3)=0.05.由全概率公式有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.1×0.2+0.82×0.1+0.08×0.05=0.106,所以该城市居民患高血压的概率为0.106.由贝叶斯公式得P(B1|A)==≈0.189,所以该居民是肥胖者的概率是0.189.
13.解:(1)设事件A1为“第一台车床加工的零件”,事件A2为“第二台车床加工的零件”,事件B为“这个零件是次品”,
由题意可得P(A1)==0.4,P(A2)==0.6,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=0.05,
由全概率公式可得P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=0.4×0.06+0.6×0.05=0.054.
(2)已知这个零件是次品,它是第一台车床加工的概率为P(A1|B)====.
14.解:设事件A表示取到的产品为正品,事件B1,B2,B3分别表示取到的产品由甲厂、乙厂、丙厂生产.
由已知得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.
(1)由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.
(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)==≈0.221,
P(B2|A)==≈0.314,
P(B3|A)==≈0.465,
则P(B3|A)>P(B2|A)>P(B1|A),故这件产品由丙厂生产的可能性最大.
15. [解析] 若奖品在3号箱里,则主持人只能打开2,4号箱,故P(B2|A3)=.由题得P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=.若奖品在1号箱里,则主持人可打开2,3,4号箱,故P(B2|A1)=;若奖品在2号箱里,则主持人打开2号箱的概率为0,故P(B2|A2)=0;若奖品在3号箱里,则主持人只能打开2,4号箱,故P(B2|A3)=;若奖品在4号箱里,则主持人只能打开2,3号箱,故P(B2|A4)=.由全概率公式可得P(B2)=P(Ai)·P(B2|Ai)=×=.
[易错] 利用全概率公式可将一个复杂事件的概率转化为在不同情况下发生简单事件的概率的求和问题,需要注意的是这些简单事件是互斥的.
16.(1) (2) [解析] 设事件A为“第一次未摸到白球”,事件B为“第二次未摸到白球”,事件C为“第三次摸到白球”,则事件“第三次才摸到白球”为ABC.
(1)由题知P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=,
则P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=××=.
(2)由题知P(A)=,P(B|A)=,P(C|AB)=,
则P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)=××=.4.1.2 乘法公式与全概率公式
一、选择题
1.某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产8 nm规格的芯片.现有25块该规格的芯片,其中由甲、乙、丙生产的芯片数量分别为5块、10块、10块.若甲、乙、丙生产的芯片的优质品率分别为0.8,0.8,0.7,则从这25块芯片中随机抽取一块,该芯片为优质品的概率是 ( )
A.0.78 B.0.76
C.0.64 D.0.58
2.某种病毒使人患病的概率为0.03,已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为0.87,则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 ( )
A. B.0.9
C.0.026 1 D.0.251
3.[2023·江苏常州高二期中] 现有两个袋子,第一个袋子中有2个红球和3个黑球,第二个袋子中有1个红球和3个黑球.随机选择一个袋子,然后从中随机摸出2个球,则恰好摸出1个红球和1个黑球的概率为 ( )
A. B.
C. D.
4.[2023·福建龙岩高二期末] 算盘是我国一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态,自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位,上面一粒珠子(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表1,即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值,例如,个位拨动一粒上珠至梁上,十位未拨动,百位拨动一粒下珠至梁上,表示数字105.现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上,个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上,其他位置珠子不拨动.设事件A=“表示的四位数为偶数”,事件B=“表示的四位数大于5050”,则P(B|A)= ( )
A. B.
C. D.
5.学校有A,B两个餐厅,如果王同学早餐在A餐厅用餐,那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是,如果他早餐在B餐厅用餐,那么他午餐在A餐厅用餐的概率是,若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是,那么他午餐在B餐厅用餐的概率是 ( )
A. B.
C. D.
6.[2023·云南大理高二期中] “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过:小孩第一次喊“狼来了”,大家信了,但去了之后发现没有狼;第二次喊“狼来了”,大家又信了,但去了之后又发现没有狼;第三次狼真的来了,但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化,若小孩是诚实的,则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1;若小孩是不诚实的,则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否,所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了,那么他是诚实的小孩的概率是 ( )
A. B.
C. D.
7.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01,现有一辆车中途停车修理,则该车是货车的概率是 ( )
A.0.6 B.0.7
C.0.8 D.0.9
8.(多选题)[2023·辽宁抚顺高二期中] 已知A,B为两个随机事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是 ( )
A.若P(B|A)=P(B),则P(A|B)=P(A)
B.P(A|B)+P(|B)=0
C.若B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
D.当P(AB)>0时,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
9.(多选题)在某一季节,疾病D1的发病率为2%,病人中有40%表现出症状S,疾病D2的发病率为5%,病人中有18%表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,病人中有60%表现出症状S,假设只有患疾病D1,D2,D3的病人才会表现出症状S,则 ( )
A.任意一个人有症状S的概率为0.02
B.病人有症状S时患疾病D1的概率为0.4
C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45
D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25
二、填空题
10.[2024·云南昆明一中高二月考] 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化,现假设人们经分析估计利率下调的概率为0.75,利率不变的概率为0.25.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该支股票价格上涨的概率为0.8,而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为0.3,则该支股票价格将上涨的概率为 .
11.小王同学进行投篮练习,若他第1球投进,则第2球投进的概率为;若他第1球投不进,则第2球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为 .
12.经统计,某城市肥胖者占10%,中等体型者占82%,消瘦者占8%.已知肥胖者患高血压的概率为0.2,中等体型者患高血压的概率为0.1,消瘦者患高血压的概率为0.05,则该城市居民患高血压的概率为 ;若该城市有一居民患有高血压,那么该居民是肥胖者的概率是 (保留三位有效数字).
三、解答题
13.[2024·山东潍坊高二期末] 现有两台车床加工同一型号的零件,第一台车床加工的零件次品率为6%,第二台车床加工的零件次品率为5%,加工出来的零件混放在一起,已知第一台车床加工的零件数与第二台车床加工的零件数之比为2∶3,从这些零件中任取一个.
(1)求这个零件是次品的概率;
(2)已知这个零件是次品,求它是第一台车床加工的概率.
14.同一种产品由甲、乙、丙三个工厂供应,已知甲厂、乙厂、丙厂产品的正品率分别为0.95,0.9,0.8,甲厂、乙厂、丙厂的产品数量之比为2∶3∶5,将三个工厂的产品混合在一起.
(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;
(2)现取到一件产品为正品,则它由甲、乙、丙三个工厂中哪个工厂生产的可能性最大
★15.[2024·山东德州高二期末] 在一个抽奖游戏中,主持人从编号为1,2,3,4外观相同的空箱子中随机选择一个,放入一件奖品,再将箱子关闭,即只有主持人知道奖品在哪个箱子里,当抽奖人选择了某个箱子后,在箱子打开之前,主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子,并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱,若用Ai表示i号箱有奖品(i=1,2,3,4),用Bi表示主持人打开i号箱子(i=2,3,4),则P(B2|A3)= ,P(B2)= .
16.设袋中有5个红球,3个黑球,2个白球(除颜色外完全相同).
(1)有放回地摸球三次,每次摸1个球,则第三次才摸到白球的概率为 ;
(2)不放回地摸球三次,每次摸1个球,则第三次才摸到白球的概率为 .
