(共42张PPT)
4.1 条件概率与事件的独立性
4.1.3 独立性与条件概率的关系
探究点一 相互独立事件的判断
探究点二 独立性与条件概率的关系
探究点三 相互独立事件概率的综合应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.了解独立性与条件概率的关系，会求相互独立事件同时发生的概率；
2.能利用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解
决实际问题.
知识点一 两个事件相互独立的充要条件
1.两个事件与独立的充要条件是 .
2.当时，与 独立的充要条件是_______________.
知识点二 独立性的性质
1.两个相互独立事件,同时发生,即事件 发生的概率为__________________.
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率等于__________________________.
2.如果事件与 相互独立,那么______,______,______也都相互独立.
3.一般地,如果事件,, ,相互独立,那么这 个事件同时发生的概率等于
__________________________.
每个事件发生的概率的乘积
A与
与
与
每个事件发生的概率的乘积
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于事件，，若，则事件与 相互独立.( )
×
（2）若事件，相互独立，则事件与 也相互独立.( )
√
（3）不可能事件与任何一个事件相互独立.( )
√
（4）必然事件与任何一个事件相互独立.( )
√
探究点一 相互独立事件的判断
例1 （多选题）[2023·广州越秀区高二期中]， 两个学习小组各有2名男生、
2名女生，从，两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．事件表示从 组
中选出的是男生小明，事件表示从组中选出的是1名男生，事件表示从 ，
两组中选出的是2名男生，事件表示从， 两组中选出的是1名男生和1名女
生，则( )
BCD
A.与独立 B.与独立 C.与独立 D.与 独立
[解析] 由已知得，， ，
.
，而，故与不独立.
，而，故与独立.
，而，故与独立.
，而，故与独立.故选 .
变式 [2023·兰州西北师大附中高二期中] 从1，2，3，4，5中任取2个数字，
组成没有重复数字的两位数.
（1）写出此试验的样本空间；
解:从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则此试验的
样本空间 .
（2）求组成的两位数是偶数的概率；
解:设事件表示组成的两位数是偶数，则 ，14，24，32，34，42，52，
，共包含8个样本点，又样本空间中共有20个样本点，所以 .
（3）判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独
立，并说明理由.
解:设事件表示组成的两位数是3的倍数，则 ，15，21，24，42，45，
51，，共包含8个样本点，又样本空间中共有20个样本点，所以 .
因为，24，42，，所以 .
由 ，可得事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的
两位数是3的倍数”不独立．
［素养小结］
判断两个事件是否相互独立的方法有:
（1）当时，利用（或当 时，利用
）判断事件与 是否相互独立;
（2）利用判断事件与 是否相互独立.
探究点二 独立性与条件概率的关系
例2（1） 已知事件与相互独立，，，则 ( )
B
A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16
[解析] 事件A与B相互独立， ．故选B.
（2）甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的
概率分别是和 ，在这个问题至少被一个人正确解答的条件下，甲、乙两位同
学都能正确解答该问题的概率为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 设事件A为“这个问题至少被一个人正确解答”，事件B为“甲、乙两位同
学都能正确解答该问题”.因为甲、乙两位同学能够正确解答该问题的概率分别是
和，所以， ，易知
，所以 .故选B.
变式 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 “一
个家庭中既有男孩又有女孩”， “一个家庭中最多有一个女孩”.对下述两种情
形，讨论与 的独立性：
（1）家庭中有两个小孩；
解：方法一（利用定义）：
有两个小孩的家庭，样本空间为 （男，男），（男，女），（女，男），
（女，女），共有4个样本点，由题得（男，女），（女，男），
（男，男），（男，女），（女，男），（男，女），（女，男） ，
故，， .
因为，所以事件， 不相互独立.
方法二（利用条件概率与独立性的关系）：
由题意可知， ，故，所以与 不相互独立.
（2）家庭中有三个小孩.
解： 方法一（利用定义）：
有三个小孩的家庭，样本空间为 （男，男，男），（男，男，女），
（男，女，男），（男，女，女），（女，男，男），（女，男，女），
（女，女，男），（女，女，女） ，共有8个样本点.
由题得 （男，男，女），（男，女，男），（男，女，女），（女，男，
男），（女，男，女），（女，女，男），
（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，男，男），
（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），
故，， ，显然 成立，
所以事件与 是相互独立的.
方法二（利用条件概率与独立性的关系）：
由题意可知， ，
故，所以与 相互独立.
［素养小结］
若事件与 均是非不可能事件，则其相互独立的充要条件是
或 ，具体问题中可应用该
关系求解条件概率、某事件的概率问题或判断事件的独立性.
拓展 已知,, ,
证明:若,则与 相互独立.
证明:因为,,且,所以 ,
所以,
则
，所以
，所以
,故与 相互独立.
探究点三 相互独立事件概率的综合应用
例3 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动.在每一
轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，
若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小
组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是 ，
丙猜对歌名的概率是 ，甲、乙、丙猜对与否互不影响.求：
（1）该小组未能进入第二轮的概率；
解:设事件 表示该小组未能进入第二轮，则 ，
故该小组未能进入第二轮的概率为 ．
（2）该小组能进入第三轮的概率；
解:设事件 表示该小组能进入第三轮，
则 ，
故该小组能进入第三轮的概率为 ．
（3）乙猜歌曲的次数不小于2的概率.
解:设事件 表示乙猜歌曲的次数不小于2，
则 ，
故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为 ．
变式 在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，甲、乙2名同学独立竞猜，甲同
学猜对了12个，乙同学猜对了16个.假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选1道灯谜，恰有1人猜对的概率；
解:记事件表示任选1道灯谜，甲猜对，事件 表示任选1道灯谜，乙猜对，则
， ，
故任选1道灯谜，恰有1人猜对的概率为
.
（2）任选1道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率.
解:由（1）得，任选1道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为
.
［素养小结］
（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
①确定各事件之间是相互独立的；
②确定这些事件可以同时发生；
③求出每个事件的概率，再求积.
（2）使用相互独立事件同时发生的概率公式时，要掌握公式的适用条件，即各
个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.
1.某医院对一种疾病的治愈率为 ，在前2个病人都未治愈的情况下，第3个病人
的治愈率为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为每个病人治愈与否是相互独立的，所以每个病人的治愈率相同，都
为，所以在前2个病人都未治愈的情况下，第3个病人的治愈率为 ，故选D.
2.[2023·山东济宁高二期末]假设,,且与 独立，则
( )
B
A.0.12 B.0.58 C.0.7 D.0.88
[解析] 因为A与B独立，所以
.故选B.
3.甲、乙两人罚球的命中率分别为， ，两人分别罚球2次，则他们共命中3次
的概率为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 甲命中2次乙命中1次的概率为 ，甲命中1次乙命中2
次的概率为，则他们共命中3次的概率为 .故选A.
4.袋中有3个黑球和2个白球，这5个球除颜色外完全相同，每次从中取出1个球，
取后放回.设事件为“第一次取出白球”，事件 为“第二次取出白球”，则
__， ___.
[解析] 由题可知,，所以 ，
.
5.加工某零件需经过三道工序，每道工序均合格时该零件才合格．设第一、二、
三道工序的不合格率分别为，， ，且各道工序互不影响，则加工出来的
零件的合格率为___.
[解析] 加工出来的零件的合格率为 .
如何区别“相互独立事件”与“互斥事件”？
解：
相互独立事件 互斥事件
定义 一个事件的发生与否对另一个事 件发生的概率没有影响
概率公式
1.独立性的判定必须严格按定义和充要条件来进行,而不能凭主观想象和猜测,也
不能与互斥的概念混淆.需注意下面两式的正确使用：
（1）定义法： ;
（2）充要条件：或 .
例1 口袋中有个黑球和 个白球，连摸两次，
每次摸一球.记事件表示第一次摸得黑球，事件表示第二次摸得黑球.与 是
否独立？就两种情况进行讨论：①有放回；②无放回.
解：因为，所以我们可以用判断是否等于 来检验独立性.
由题知， .
对于情况①，利用古典概型的概率公式，有 ，再利用全
概率公式，得 ，
故，即与 相互独立.
对于情况②，此时， ，再利用全概率公式，得
，故与 不独立.
例2 （多选题）[2024·山东东营利津县高级中学高二月考] 一工厂将两盒产品
送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个
二等品和3个三等品.先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别用， ，
表示从甲盒取出的产品是一等品，二等品，三等品，再从乙盒中随机取出一
个产品，用 表示从乙盒取出的产品是一等品.则下列结论中正确的是 ( )
ABD
A. B.
C.事件与事件相互独立 D.，， 是两两互斥的事件
[解析] 由题得,,, ,
,则 ，故A，B正确；
因为,又， ，
，所以事件B与事件 不相互独立，故C错误；
根据互斥事件的定义可知，，，是两两互斥的事件，故D正确.故选 .
2.相互独立事件概率的求法
（1）应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤:
①确定诸事件是相互独立的;
②确定诸事件会同时发生;
③先求每个事件发生的概率,再求其积.
（2）由于当事件与相互独立时,,因此式子
表示相互独立事件, 中至少有一个不发生的概率,这在概率计算中经常用到.
（3）计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题时可以考
虑间接法．
例3 [2023·云南名校联盟高二期末] 某地为宣传消防知识,组织相关人士建设题
库供各单位学习,半个月后,当地电视台举办中小学学生消防知识竞答闯关比赛,
规则如下:每队三人,需要从题库中选三道题依次回答,每人答一道题．第一道题
回答正确得10分,回答错误得0分;第二道题回答正确得20分,回答错误扣10分;第三
道题回答正确得30分,回答错误扣20分．每组选手回答这三道题的总得分不低于
30分就算闯关成功．某校为了参加该闯关比赛,选拔了甲、乙、丙三位选手,这三
位选手在进行题库训练时的正确率如下表:
选手 甲 乙 丙
正确率
假设各选手答题结果互不影响,用频率代替概率．
（1）若学校安排甲、乙、丙选手依次出场答题,则闯关成功的概率是多少？
解:根据题意,闯关成功则必须三道题全对，或者第一道题答错、其余都答对，或
者第二道题答错、其余都答对.
若三道题都答对,则得60分,此时概率 ．
若第一道题答错、其余都答对,则得50分,此时概率 ．
若第二道题答错、其余都答对,则得30分,此时概率 ．
故闯关成功的概率 .
（2）如何安排出场顺序使闯关成功的概率最大？
解:由于选手甲与选手乙的答题正确率相同,所以只需考虑以下三种出场顺序:
①选手丙排第一;②选手丙排第二;③选手丙排第三．
若选手丙排第一,则闯关成功的概率
;
若选手丙排第二,则闯关成功的概率
；
若选手丙排第三,由（1）知闯关成功的概率 .
综上可知,出场顺序为甲、乙、丙或乙、甲、丙时,闯关成功的概率最大．
例4 2021年某饮料公司计划从, 两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，
现对这两款饮料进行市场调查，让受访者同时饮用这两款饮料，并分别对, 两
款饮料进行评分.现对100万名受访者的评分进行整理，得到如图所示的统计图.
分析以往调查数据可以得出如下结论：对某款饮料评分在 内的受访者中有
的人会购买，评分在内的受访者中有 的人会购买，评分在
内的受访者中有 的人会购买.
（1）在受访的100万人中，对 款饮料评分在60分以下的有多少万人？
解：由题图得，对款饮料评分在60分以下的频率为 ，
所以对款饮料评分在60分以下的有 （万人）.
（2）现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买 款饮料的可能
性高于购买 款饮料的可能性的概率.
解：设“该受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性”为事件 .
记“该受访者购买款饮料的可能性为”为事件，“该受访者购买 款饮料的
可能性为”为事件，“该受访者购买款饮料的可能性为”为事件 ，
“该受访者购买款饮料的可能性为”为事件，“该受访者购买 款饮料的
可能性为”为事件，“该受访者购买款饮料的可能性为”为事件 ，
则， ，
， ，
， .
因为事件与相互独立，其中, ,2,3，所以
，
故该受访者购买款饮料的可能性高于购买 款饮料的可能性的概率为0.255.4.1.3 独立性与条件概率的关系
【课前预习】
知识点一
2.P(A|B)=P(A)
知识点二
1.P(AB)=P(A)P(B) 每个事件发生的概率的乘积
2.A与 与B 与
3.每个事件发生的概率的乘积
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 BCD [解析] 由已知得P(M)=,P(N)==,P(S)=×=,P(T)=×+×=.P(MS)=×=,而P(M|S)==≠P(M),故M与S不独立.P(MT)=×=,而P(M|T)===P(M),故M与T独立.P(MN)=×=,而P(M|N)===P(M),故M与N独立.P(NT)=×=,而P(N|T)===P(N),故N与T独立.故选BCD.
变式 解:(1)从1,2,3,4,5中任取2个数字,组成没有重复数字的两位数,则此试验的样本空间Ω={12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54}.
(2)设事件A表示组成的两位数是偶数,则A={12,14,24,32,34,42,52,54},共包含8个样本点,又样本空间中共有20个样本点,所以P(A)==.
(3)设事件B表示组成的两位数是3的倍数,则B={12,15,21,24,42,45,51,54},共包含8个样本点,又样本空间中共有20个样本点,所以P(B)==.
因为AB={12,24,42,54},所以P(AB)==.
由P(A|B)==≠P(A),可得事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不独立.
探究点二
例2 (1)B (2)B [解析] (1)∵事件A与B相互独立,∴P(A|B)=P(A)=0.8.故选B.
(2)设事件A为“这个问题至少被一个人正确解答”,事件B为“甲、乙两位同学都能正确解答该问题”.因为甲、乙两位同学能够正确解答该问题的概率分别是和,所以P(A)=1-×=,P(B)=×=,易知P(AB)=P(B)=,所以P(B|A)===.故选B.
变式 解:方法一(利用定义):
(1)有两个小孩的家庭,样本空间为{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},共有4个样本点,由题得A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},故P(A)=,P(B)=,P(AB)=.
因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭,样本空间为{(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},共有8个样本点.
由题得A={(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男)},B={(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,男,男)},AB={(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男)},故P(A)==,P(B)==,P(AB)=,显然P(AB)==P(A)P(B)成立,
所以事件A与B是相互独立的.
方法二(利用条件概率与独立性的关系):
(1)由题意可知P(B|A)=1,P(B)=,
故P(B|A)≠P(B),所以A与B不相互独立.
(2)由题意可知P(B|A)==,P(B)==,
故P(B|A)=P(B),所以A与B相互独立.
拓展 证明:因为P(A|B)=,P(A|)=,且P(A|B)=P(A|),所以=,所以==,则P(A)P(B)P(A)=
P(AB)P(A)P()=P(AB)P(A)[1-P(B)]=
P(AB)P(A)-P(AB)P(A)P(B),所以P(AB)P(A)=P(A)P(B)[P(AB)+P(A)]=P(A)P(B)P(A),所以P(AB)=P(A)P(B),故A与B相互独立.
探究点三
例3 解:(1)设事件A表示该小组未能进入第二轮,
则P(A)=1-××=,
故该小组未能进入第二轮的概率为.
(2)设事件B表示该小组能进入第三轮,
则P(B)=×××××=,
故该小组能进入第三轮的概率为.
(3)设事件C表示乙猜歌曲的次数不小于2,
则P(C)=×××=,
故乙猜歌曲的次数不小于2的概率为.
变式 解:(1)记事件A表示任选1道灯谜,甲猜对,事件B表示任选1道灯谜,乙猜对,则P(A)==,P(B)==,
故任选1道灯谜,恰有1人猜对的概率为P(A)+P(B)=×+×=.
(2)由(1)得,任选1道灯谜,甲、乙都没有猜对的概率为P( )=×=.
【课堂评价】
1.D [解析] 因为每个病人治愈与否是相互独立的,所以每个病人的治愈率相同,都为,所以在前2个病人都未治愈的情况下,第3个病人的治愈率为,故选D.
2.B [解析] 因为A与B独立,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.3+0.4-0.3×0.4=0.58.故选B.
3.A [解析] 甲命中2次乙命中1次的概率为××2××=,甲命中1次乙命中2次的概率为2××××=,则他们共命中3次的概率为+=.故选A.
4. [解析] 由题可知P(A)=,P(B)=,所以P(B|A)=P(B)=,P(AB)=P(A)P(B)=×=.
5. [解析] 加工出来的零件的合格率为××=.4.1.3 独立性与条件概率的关系
【学习目标】
1.了解独立性与条件概率的关系,会求相互独立事件同时发生的概率;
2.能利用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解决实际问题.
◆ 知识点一 两个事件相互独立的充要条件
1.两个事件A与B独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).
2.当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是 .
◆ 知识点二 独立性的性质
1.两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概率为 .这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率等于 .
2.如果事件A与B相互独立,那么 , , 也都相互独立.
3.一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于事件A,B,若P(B|A)=P(A),则事件A与B相互独立. ( )
(2)若事件A,B相互独立,则事件A与也相互独立. ( )
(3)不可能事件与任何一个事件相互独立. ( )
(4)必然事件与任何一个事件相互独立. ( )
◆ 探究点一 相互独立事件的判断
例1 (多选题)[2023·广州越秀区高二期中] A,B两个学习小组各有2名男生、2名女生,从A,B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛.事件M表示从A组中选出的是男生小明,事件N表示从B组中选出的是1名男生,事件S表示从A,B两组中选出的是2名男生,事件T表示从A,B两组中选出的是1名男生和1名女生,则 ( )
A.M与S独立
B.M与T独立
C.M与N独立
D.N与T独立
变式 [2023·兰州西北师大附中高二期中] 从1,2,3,4,5中任取2个数字,组成没有重复数字的两位数.
(1)写出此试验的样本空间;
(2)求组成的两位数是偶数的概率;
(3)判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立,并说明理由.
[素养小结]
判断两个事件是否相互独立的方法有:
(1)当P(A)>0时,利用P(B|A)=P(B)(或当P(B)>0时,利用P(A|B)=P(A))判断事件A与B是否相互独立;
(2)利用P(AB)=P(A)P(B)判断事件A与B是否相互独立.
◆ 探究点二 独立性与条件概率的关系
例2 (1)已知事件A与B相互独立,P(A)=0.8,P(B)=0.3,则P(A|B)= ( )
A.0.24 B.0.8
C.0.3 D.0.16
(2)甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题,他们能够正确解答该问题的概率分别是和,在这个问题至少被一个人正确解答的条件下,甲、乙两位同学都能正确解答该问题的概率为 ( )
A. B. C. D.
变式 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A=“一个家庭中既有男孩又有女孩”,B=“一个家庭中最多有一个女孩”.对下述两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
[素养小结]
若事件A与B均是非不可能事件,则其相互独立的充要条件是P(B|A)=P(B)(P(A)>0)或P(A|B)=P(A)(P(B)>0),具体问题中可应用该关系求解条件概率、某事件的概率问题或判断事件的独立性.
拓展 已知P(A)>0,P(B)>0,P()>0,证明:若P(A|B)=P(A|),则A与B相互独立.
◆ 探究点三 相互独立事件概率的综合应用
例3 甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动.在每一轮活动中,依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首,若有一人猜错,则活动立即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮,该小组最多参加三轮活动.已知每一轮甲猜对歌名的概率是,乙猜对歌名的概率是,丙猜对歌名的概率是,甲、乙、丙猜对与否互不影响.求:
(1)该小组未能进入第二轮的概率;
(2)该小组能进入第三轮的概率;
(3)乙猜歌曲的次数不小于2的概率.
变式 在一次猜灯谜活动中,共有20道灯谜,甲、乙2名同学独立竞猜,甲同学猜对了12个,乙同学猜对了16个.假设猜对每道灯谜都是等可能的,试求:
(1)任选1道灯谜,恰有1人猜对的概率;
(2)任选1道灯谜,甲、乙都没有猜对的概率.
[素养小结]
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤:
①确定各事件之间是相互独立的;
②确定这些事件可以同时发生;
③求出每个事件的概率,再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
1.某医院对一种疾病的治愈率为,在前2个病人都未治愈的情况下,第3个病人的治愈率为 ( )
A. B. C. D.
2.[2023·山东济宁高二期末] 假设P(A)=0.3,P(B)=0.4,且A与B独立,则P(A∪B)= ( )
A.0.12 B.0.58
C.0.7 D.0.88
3.甲、乙两人罚球的命中率分别为,,两人分别罚球2次,则他们共命中3次的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.袋中有3个黑球和2个白球,这5个球除颜色外完全相同,每次从中取出1个球,取后放回.设事件A为“第一次取出白球”,事件B为“第二次取出白球”,则P(B|A)= ,P(AB)= .
5.加工某零件需经过三道工序,每道工序均合格时该零件才合格.设第一、二、三道工序的不合格率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的合格率为 . 4.1.3 独立性与条件概率的关系
1.C [解析] 因为P(B|A)+P()=P(B|A)+1-P(B)=1,所以P(B|A)=P(B),即=P(B),则P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与事件B相互独立.故选C.
2.A [解析] 因为事件A与事件B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),又P()=,所以P(B|A)==P(B)=1-P()=.故选A.
3.D [解析] 甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为0.7×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.7)×0.6×(1-0.5)+(1-0.7)×(1-0.6)×0.5+(1-0.7)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.35.故选D.
4.C [解析] 若甲只投中1次,则他获胜的概率为2×××=;若甲投中2次,则他获胜的概率为×=.故甲最后获胜的概率为+=.故选C.
5.D [解析] 因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是,,,且三人的录取结果相互之间没有影响,所以他们三人都没有被录取的概率为××=,故他们三人中至少有一人被录取的概率为1-=.故选D.
6.A [解析] 由已知可得青蛙按逆时针方向跳一次的概率为,按顺时针方向跳一次的概率为,则青蛙按逆时针方向跳三次落在A荷叶上的概率P1=××=,青蛙按顺时针方向跳三次落在A荷叶上的概率P2=××=.故青蛙跳三次之后落在A荷叶上的概率P=P1+P2=+=.故选A.
7.A [解析] 记事件A为在某次通电后M,N有且只有一个需要更换,事件B为M需要更换,则P(A)=0.3×(1-0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38,P(AB)=0.3×(1-0.2)=0.24,则P(B|A)===.故选A.
8.BD [解析] 由已知得,试验的样本空间有=36(个)样本点,事件A含有的样本点个数为+=12,则P(A)==,同理P(B)=P(C)=,事件AB含有的样本点个数为=2,则P(AB)==,事件AC含有的样本点个数为+=5,则P(AC)=.对于A,P(A|B)==≠P(A),即事件A与B不独立,故A不正确;对于B,P(A|C)==≠P(A),即事件A与C不独立,故B正确;对于C,P(B|A)==,故C不正确;对于D,P(C|A)==,故D正确.故选BD.
[点睛] 判断两个事件是否独立不能仅凭直观想象,一定要进行概率计算,通过定义进行判断.
9.ABD [解析] 对于A,由P(B)=P(B|A),得P(B)=,即P(AB)=P(A)P(B),所以A,B相互独立,故A正确;对于B,由P(|A)=,P(|)=,得=,又P(A)+P( )=P(),所以=,所以P(A)-P(A)P(A)=P(A)P()-P(A)P(A),即P(A)=P(A)P(),所以,A相互独立,所以A,B相互独立,故B正确;对于C,由P(A)+P(B)=P(A∪B),P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),得P(AB)=0,又0
10. [解析] 由P(A)=P(B),得P(A)P()=P()P(B).设P(A)=x(0可得∵A与B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A),∴P(A|B)=P(A)=.
11.③④ [解析] 由题意可得P(A)==,P(B)==,P(AB)==,故①错误;P(B|A)===,故②错误;P(A|B)===,故③正确;因为P(A)=P(A|B)=,所以事件A与事件B相互独立,故④正确.故填③④.
12. [解析] 最后乙队获胜,则在剩下的三局比赛中乙队赢一局即可.若第三局乙队获胜,则其概率P1=1-=;若第三局乙队负,第四局乙队胜,则其概率P2=×=;若第三、四局乙队负,第五局乙队胜,则其概率P3=××=.故最后乙队获胜的概率P=P1+P2+P3=++==.
13.解:(1)设事件A为“甲晋级”,事件B为“乙晋级”,事件C为“甲、乙两人同时晋级”,
则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=×=.
(2)设事件D为“甲、乙两人中至少有一人晋级”.
由题知事件A,B独立,则, 也独立,
所以P( )=P()P()=×=,
则P(D)=1-P()=1-P( )=1-=.
14.解:选择①,由P(|B)=,得P(A|B)=1-P(|B)=.
因为A与B相互独立,所以P(A)=P(A|B)=.
选择②,因为P(|B)=,所以P(A|B)=1-P(|B)=,则=,又P(B)=,所以P(AB)=.
因为P(|A)=,所以P(B|A)=,
则=,所以P(A)=.
选择③,因为P(|B)==,P(B|)==,所以P()=P(B),
又P(A)=2P(B),P(A)+P()=1,所以P(A)=.
15.D [解析] 由题意可得P(M1)=P(M2)=.有放回地抽取卡片两次包含的样本点个数为5×5=25,两次抽取卡片的字母相邻包含的样本点有(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(B,A),(C,B),(D,C),(E,D),共8个,两次抽取卡片的字母不相邻包含的样本点有25-8=17(个),则P(M3)=,P(M4)=.显然M3与M4为对立事件,C错误;对于A,M2与M4同时发生包含的样本点有(A,E),(B,E),(C,E),共3个,则P(M2M4)=≠×=P(M2)P(M4),所以M2与M4不相互独立,A错误;对于B,M1与M3同时发生包含的样本点有(B,C),(B,A),共2个,则P(M1M3)=≠×=P(M1)P(M3),所以M1与M3不相互独立,B错误;对于D,M1与M2同时发生包含的样本点有(B,E),共1个,则P(M1M2)==×=P(M1)P(M2),所以M1与M2相互独立,D正确.故选D.
16. [解析] 若重复操作两次后,B盒中恰有7个球,则两次取球均为乙胜.若第一次取球甲取到黑球,乙取到白球,其概率为×=,第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球,B盒中有4个黑球和2个白球,第二次取到异色球的概率为×+×=,此时B盒中恰有7个球的概率为×=;若第一次取球甲取到白球,乙取到黑球,其概率为×=,第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球,B盒中有3个黑球和3个白球,第二次取到异色球的概率为×+×=,此时B盒中恰有7个球的概率为×=.所以B盒中恰有7个球的概率为+=.4.1.3 独立性与条件概率的关系
一、选择题
1.已知P(A)>0,P(B|A)+P()=1,则事件A与事件B ( )
A.互斥 B.对立
C.独立 D.以上均不正确
2.[2024·江西安义中学高二期末] 已知事件A与事件B相互独立,P()=,则P(B|A)=( )
A. B. C. D.
3.若甲、乙、丙三人在10分钟之内独立复原魔方的概率分别为0.7,0.6,0.5,则甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为 ( )
A.0.26 B.0.29
C.0.32 D.0.35
4.投壸是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏,在春秋战国时期较为盛行.现有甲、乙两人进行投壶游戏,且甲、乙每次投壶投中的概率分别为,,每人每次投壸相互独立.若约定甲投壶2次,乙投壶3次,投中次数多者胜,则甲最后获胜的概率为 ( )
A. B. C. D.
5.已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试,他们被该公司录取的概率分别是,,,且三人的录取结果相互之间没有影响,则他们三人中至少有一人被录取的概率为 ( )
A. B. C. D.
6.如图所示,荷花池中有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且按逆时针方向跳的概率是按顺时针方向跳的概率的两倍.假设现在青蛙在A荷叶上,则跳三次之后青蛙落在A荷叶上的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.在某电路上有M,N两个独立工作的元件,每次通电后,需要更换M元件的概率为0.3,需要更换N元件的概率为0.2,则在某次通电后M,N有且只有一个需要更换的条件下,M需要更换的概率是 ( )
A. B.
C. D.
★8.(多选题)将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动,每个村庄至少派1名医生,记事件A为“医生甲派往①村庄”,事件B为“医生乙派往①村庄”,事件C为“医生乙派往②村庄”,则 ( )
A.事件A与B独立
B.事件A与C不独立
C.P(B|A)=
D.P(C|A)=
9.(多选题)[2024·重庆八中高二期末] 已知,分别为随机事件A,B的对立事件,满足0A.P(B)=P(B|A)
B.P(|A)=P(|)
C.P(A)+P(B)=P(A∪B)
D.P(AB)+P(B)=P(B|A)
二、填空题
10.设事件A和B相互独立,且A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)= ,在事件B发生的条件下,事件A发生的概率P(A|B)= .
11.口袋中有9个白球,其中6个正品和3个次品,6个黑球,其中4个正品和2个次品.现从口袋中随机取出1个球,记事件A为“取出的球为白球”,事件B为“取出的球为正品”,则下列说法正确的有 (填序号).
①P(AB)=;②P(B|A)=;
③P(A|B)=;④事件A与事件B相互独立.
12.[2023·湖北孝感高二期中] 排球比赛的规则是5局3胜制,在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率均为,若前2局结束后乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是 .
三、解答题
13.[2023·湖北咸宁高二期末] 某校举行消防知识竞赛.在初赛中,已知甲同学晋级的概率为,乙同学晋级的概率为,甲、乙两人是否晋级互不影响.
(1)求甲、乙两人同时晋级的概率;
(2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的概率.
14.在①A与B相互独立;②P(B)=,P(|A)=;③P(B|)=,P(A)=2P(B)这三个条件中任选一个,补充在下列问题中,并求解问题:已知P(|B)=, ,求P(A).
注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分.
15.有5张完全相同的卡片,分别写有字母A,B,C,D,E,从中任取一张,看后再放回,再任取一张.设M1为“第一次抽取的卡片的字母为B”,M2为“第二次抽取的卡片的字母为E”,M3为“两次抽取卡片的字母相邻”,M4为“两次抽取卡片的字母不相邻”,则 ( )
A.M2与M4相互独立
B.M1与M3相互独立
C.M3与M4相互独立
D.M1与M2相互独立
16.有A,B两个盒子,其中A盒装有3个黑球和3个白球,B盒装有3个黑球和2个白球,这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出1个球,若2个球同色,则甲胜,并将取出的2个球全部放入A盒中,若2个球异色,则乙胜,并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后,B盒中恰有7个球的概率是 .