(共31张PPT)
4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
探究点一 随机变量的判断
探究点二 随机变量的取值范围及其应用
探究点三 随机事件的关系及其应用
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义；
2.会用离散型随机变量描述随机现象；
3.会借助随机变量间的关系解题.
知识点一 随机变量
1.随机变量的相关概念
（1）定义：一般地,如果随机试验的样本空间为___,而且对于 中的每一个
________,变量都对应有______确定的实数值,就称 为一个随机变量.
（2）表示：一般用大写英文字母,,, 或小写希腊字母 , ,, 表示.
（3）取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取
值范围，其中，随机变量的取值由随机试验的______决定.
样本点
唯一
结果
2.随机变量与事件的联系
一般地,如果是一个随机变量,,都是任意实数,那么,, 等都表
示事件,而且:
（1）当时,事件与 互斥;
（2）事件与相互对立,因此 .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）随机变量的取值只能是有限个.( )
×
（2）随机变量是用来表示不同试验结果的量.( )
√
（3）在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6
个取值.( )
√
知识点二 随机变量的分类
1.离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以__________出来的，
那么其是离散型随机变量.
2.连续型随机变量：与________随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，
连续型随机变量的取值范围包含一个______.
一一列举
离散型
区间
知识点三 随机变量之间的关系
一般地,如果是一个随机变量,,都是实数且,则 也是一个
___________.由于的充要条件是___________,因此 _____________.
随机变量
探究点一 随机变量的判断
例1 指出下列变量中哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
（1）任意掷一枚质地均匀的硬币5次,出现正面向上的次数;
解：任意掷一枚硬币1次,可能出现正面向上也可能出现反面向上,因此投掷5次硬
币,出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5,而且出现哪种结果是随机的,因此是随
机变量.
（2）掷一颗质地均匀的骰子出现的点数（向上一面的数字）;
解：掷一颗骰子出现的点数是1,2,3,4,5,6中的一个且出现哪个结果是随机的,因此
是随机变量.
（3）某个人的属相随年龄的变化;
解：属相是出生时便确定的,不随年龄的变化而变化,不是随机变量.
（4）一箱果汁中每瓶的容量为 ，随机抽取一瓶果汁的容量.
解：由于果汁的容量在 之间波动，因此是随机变量.
变式 判断下列各个量哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.
（1）标准大气压下，水沸腾时的温度；
解：标准大气压下，水沸腾时的温度为 ，是定值，故不是随机变量.
（2）王老师在某天内接电话的次数；
解：王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量.
（3）在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，一件确定获奖的作品获得的
奖次；
解：一件确定获奖的作品可能获一、二、三等奖，出现哪一个结果是随机的，
因此是随机变量.
（4）体积为 的正方体的棱长.
解：体积为的正方体的棱长是 ，为定值，因此不是随机变量.
［素养小结］
（1）随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同.
（2）随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，
但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
探究点二 随机变量的取值范围及其应用
例2 写出下列随机变量的取值范围.
（1）张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗，设成活的树苗的棵数为 ；
解： 的取值范围为 .
（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数 ；
解： 的取值范围为 .
（3）一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3只
球，被取出的球的最大号码数 ；
解： 的取值范围为 .
（4）电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机
对时间，设他所等待的时间为 分钟.
解： 的取值范围为 .
变式 写出下列随机变量的取值范围.
（1）某足球队在5次点球中射进的球数 ；
解：的取值范围为 ．
（2）从10张标号分别为1，2， ，10的卡片中随机抽取1张，所抽得的卡片标
号 ；
解：的取值范围为 .
（3）同时抛掷5枚硬币，正面朝上的硬币数 .
解：的取值范围为 ．
［素养小结］
随机变量的取值范围类同于函数的定义域，因此只要明确随机变量的取值同试
验结果的对应关系，即可求出随机变量的取值范围.
拓展 抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数
之差为 ,则“ ”表示的试验结果为( )
C
A.第一枚为5点,第二枚为1点 B.第一枚大于4点,第二枚也大于4点
C.第一枚为6点,第二枚为1点 D.第一枚为4点,第二枚为1点
[解析] 由于 表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，差的
最大值为，而只有一种情况，即 ，此时第一枚为6点,第二枚
为1点.故选C.
探究点三 随机事件的关系及其应用
例3 投掷两枚骰子，所得点数之和为，所得点数的最大值为 ．写出随机变
量， 的取值范围，并且说明随机变量所表示的意义.
解：的取值范围为，3，4，5，6，7，8，9，10，11，，
的取值范围为，2，3，4，5， .
若以表示投掷的两枚骰子出现的点数，
则“”表示；“ ”表示，；
“”表示，，；“”表示， ，，；
“”表示，，，，；
“ ”表示，，，，，；
“”表示，， ，，；
“”表示，，，；
“”表示 ，，；“”表示，；
“”表示.
“”表示 ； “”表示，，；
“”表示，，， ，；
“”表示，，，，，，；
“ ” 表示，，，，，，，，；
“ ”表示，，，，，，，，， ，
．
变式 已知质量均匀的正面体，个面分别标有数字1到 ．
（1）抛掷一个这样的正面体，随机变量 表示它与地面接触的面上的数字，
若，求 的值；
解：因为，所以 .
（2）在（1）的情况下，抛掷这样的正面体，随机变量表示这个正 面体与
地面接触的面上的数字的情况，当，，时， 分别取值0，
1，2，写出与 之间的关系式；
解：由题意可得
（3）在（2）的情况下，连续多次抛掷此多面体，将频率视作概率，用样本估
计总体，若，求 的值.
解：若，则 ,故
.
［素养小结］
（1）求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义.对于变量间的
关系问题，可类比函数关系求解.
（2）对立事件的概率和为1，常借助此关系求对立事件的概率.
1.下列 是离散型随机变量的是( )
B
①某座大桥一天经过的车辆数 ；
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的 粒子数 ；
③一天之内的温度 ；
④某射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用 表示该射手在一
次射击中的得分.
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.②③④
[解析] ①②④中的所有可能取值均可一一列举出来，而③中的 是一个范围，
不能一一列举出来，故选B.
2.某人练习射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次
数为 ，则“ ”表示的试验结果是( )
C
A.第10次击中目标 B.第10次未击中目标
C.前9次未击中目标 D.第9次击中目标
[解析] 由题知“ ”表示前9次未击中目标，第10次击中目标与否不确定.故选C.
3.袋中有大小相同的五个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,某人有放回地依次取出
两个球,设两个球的号码之和为随机变量,则 的所有可能取值的个数是( )
B
A.5 B.9 C.10 D.25
[解析] 的取值范围为 ,共9个可能取值.
4.[2023·河南驻马店高二期末]抛掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为 ，
则“ ”表示的试验结果是( )
D
A.两枚都是4点
B.一枚是1点，另一枚是3点
C.两枚都是2点
D.一枚是1点，另一枚是3点或者两枚都是2点
[解析] 由题知“ ”表示一枚是1点，另一枚是3点或者两枚都是2点.故选D.
5.已知随机变量 ， 之间满足，若，则
____.
0.5
[解析] .
随机变量与函数之间的联系与区别
联系：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把样本点映射为实数，函数把
实数映射为实数.样本空间相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函
数的值域.
区别：随机变量的自变量是样本点，而函数的自变量是实数 .
1.随机变量的取值是由随机试验的结果决定的，可类比函数的知识学习.
2.随机变量，之间若存在线性关系，即，则， 的类型相同，即
要么同为离散型随机变量，要么同为连续型随机变量.
例 某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次
罚球中命中的次数 是一个随机变量.
（1）写出 的取值范围及每一个取值所表示的结果；
解： 的取值范围为 ,1,2,3,4,5分别表示5次罚球中命中0次、1
次、2次、3次、4次、5次.
（2）若记该运动员在5次罚球后的得分为 ，写出 与 的关系式，并求 的
取值范围.
解：由题意可知 .
因为 ，所以 .4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
【课前预习】
知识点一
1.(1)Ω 样本点 唯一 (3)结果
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
知识点二
1.一一列举 2.离散型 区间
知识点三
随机变量 Y=at+b P(Y=at+b)
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)任意掷一枚硬币1次,可能出现正面向上也可能出现反面向上,因此投掷5次硬币,出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5,而且出现哪种结果是随机的,因此是随机变量.
(2)掷一颗骰子出现的点数是1,2,3,4,5,6中的一个且出现哪个结果是随机的,因此是随机变量.
(3)属相是出生时便确定的,不随年龄的变化而变化,不是随机变量.
(4)由于果汁的容量在498 mL~502 mL之间波动,因此是随机变量.
变式 解:(1)标准大气压下,水沸腾时的温度为100 ℃,是定值,故不是随机变量.
(2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的,因此是随机变量.
(3)一件确定获奖的作品可能获一、二、三等奖,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长是4 cm,为定值,因此不是随机变量.
探究点二
例2 解:(1)ξ的取值范围为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
(2)ξ的取值范围为{1,2,3,4,5,6}.
(3)ξ的取值范围为{3,4,5}.
(4)ξ的取值范围为[0,59.5].
变式 解:(1)X的取值范围为{0,1,2,3,4,5}.
(2)Y的取值范围为{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
(3)Z的取值范围为{0,1,2,3,4,5}.
拓展 C [解析] 由于ξ表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,差的最大值为6-1=5,而ξ>4只有一种情况,即ξ=5,此时第一枚为6点,第二枚为1点.故选C.
探究点三
例3 解:X的取值范围为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},Y的取值范围为{1,2,3,4,5,6}.
若以(i,j)表示投掷的两枚骰子出现的点数,则“X=2”表示(1,1);“X=3”表示(1,2),(2,1);“X=4”表示(1,3),(2,2),(3,1);“X=5”表示(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);“X=6”表示(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1);“X=7”表示(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1);“X=8”表示(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2);“X=9”表示(3,6),(4,5),(5,4),(6,3);“X=10”表示(4,6),(5,5),(6,4);“X=11”表示(5,6),(6,5);“X=12”表示(6,6).“Y=1”表示(1,1);“Y=2”表示(1,2),(2,1),(2,2);“Y=3”表示(1,3),(2,3),(3,3),(3,1),(3,2);“Y=4”表示(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(4,1),(4,2),(4,3);“Y=5”表示(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4);“Y=6”表示(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5).
变式 解:(1)因为P(X<5)==,所以n=20.
(2)由题意可得Y=
(3)若P(Y<2)=0.75,则P(X≤15)=0.75,故P(X>15)=1-P(X≤15)=1-0.75=0.25.
【课堂评价】
1.B [解析] ①②④中X的所有可能取值均可一一列举出来,而③中的X是一个范围,不能一一列举出来,故选B.
2.C [解析] 由题知“ξ=10”表示前9次未击中目标,第10次击中目标与否不确定.故选C.
3.B [解析] X的取值范围为{2,3,4,5,6,7,8,9,10},共9个可能取值.
4.D [解析] 由题知“ξ=4”表示一枚是1点,另一枚是3点或者两枚都是2点.故选D.
5.0.5 [解析] P(η=7)=P(ξ=2)=0.5.4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
【学习目标】
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义;
2.会用离散型随机变量描述随机现象;
3.会借助随机变量间的关系解题.
◆ 知识点一 随机变量
1.随机变量的相关概念
(1)定义:一般地,如果随机试验的样本空间为 ,而且对于Ω中的每一个 ,变量X都对应有 确定的实数值,就称X为一个随机变量.
(2)表示:一般用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ,…表示.
(3)取值范围:随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围,其中,随机变量的取值由随机试验的 决定.
2.随机变量与事件的联系
一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件,而且:
(1)当a≠b时,事件X=a与X=b互斥;
(2)事件X≤a与X>a相互对立,因此P(X≤a)+P(X>a)=1.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)随机变量的取值只能是有限个. ( )
(2)随机变量是用来表示不同试验结果的量.( )
(3)在掷一枚质地均匀的骰子试验中,“出现的点数”是一个随机变量,它有6个取值.( )
◆ 知识点二 随机变量的分类
1.离散型随机变量:若随机变量的所有可能取值都是可以 出来的,那么其是离散型随机变量.
2.连续型随机变量:与 随机变量对应的是连续型随机变量,一般来说,连续型随机变量的取值范围包含一个 .
◆ 知识点三 随机变量之间的关系
一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个 .由于X=t的充要条件是 ,因此P(X=t)= .
◆ 探究点一 随机变量的判断
例1 指出下列变量中哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
(1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次,出现正面向上的次数;
(2)掷一颗质地均匀的骰子出现的点数(向上一面的数字);
(3)某个人的属相随年龄的变化;
(4)一箱果汁中每瓶的容量为(500±2)mL,随机抽取一瓶果汁的容量.
变式 判断下列各个量哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.
(1)标准大气压下,水沸腾时的温度;
(2)王老师在某天内接电话的次数;
(3)在一次绘画作品评比中,设一、二、三等奖,一件确定获奖的作品获得的奖次;
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长.
[素养小结]
(1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结果不尽相同.
(2)随机试验的结果具有确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
◆ 探究点二 随机变量的取值范围及其应用
例2 写出下列随机变量的取值范围.
(1)张大爷在环湖线路旁种了10棵树苗,设成活的树苗的棵数为ξ;
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子,出现向上的点数ξ;
(3)一袋中装有5只同样大小的球,编号为1,2,3,4,5,现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数ξ;
(4)电台在每个整点都报时,报时所需时间为0.5分钟,某人随机打开收音机对时间,设他所等待的时间为ξ分钟.
变式 写出下列随机变量的取值范围.
(1)某足球队在5次点球中射进的球数X;
(2)从10张标号分别为1,2,…,10的卡片中随机抽取1张,所抽得的卡片标号Y;
(3)同时抛掷5枚硬币,正面朝上的硬币数Z.
[素养小结]
随机变量的取值范围类同于函数的定义域,因此只要明确随机变量的取值同试验结果的对应关系,即可求出随机变量的取值范围.
拓展 抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ,则“ξ>4”表示的试验结果为 ( )
A.第一枚为5点,第二枚为1点
B.第一枚大于4点,第二枚也大于4点
C.第一枚为6点,第二枚为1点
D.第一枚为4点,第二枚为1点
◆ 探究点三 随机事件的关系及其应用
例3 投掷两枚骰子,所得点数之和为X,所得点数的最大值为Y.写出随机变量X,Y的取值范围,并且说明随机变量所表示的意义.
变式 已知质量均匀的正n面体,n个面分别标有数字1到n.
(1)抛掷一个这样的正n面体,随机变量X表示它与地面接触的面上的数字,若P(X<5)=,求n的值;
(2)在(1)的情况下,抛掷这样的正n面体,随机变量Y表示这个正n面体与地面接触的面上的数字的情况,当X<7,7≤X≤15,X>15时,Y分别取值0,1,2,写出X与Y之间的关系式;
(3)在(2)的情况下,连续多次抛掷此多面体,将频率视作概率,用样本估计总体,若P(Y<2)=0.75,求P(X>15)的值.
[素养小结]
(1)求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义.对于变量间的关系问题,可类比函数关系求解.
(2)对立事件的概率和为1,常借助此关系求对立事件的概率.
1.下列X是离散型随机变量的是 ( )
①某座大桥一天经过的车辆数X;
②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数X;
③一天之内的温度X;
④某射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中得0分,用X表示该射手在一次射击中的得分.
A.①②③④ B.①②④
C.①③④ D.②③④
2.某人练习射击,共有10发子弹,若击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=10”表示的试验结果是 ( )
A.第10次击中目标
B.第10次未击中目标
C.前9次未击中目标
D.第9次击中目标
3.袋中有大小相同的五个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,某人有放回地依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X的所有可能取值的个数是 ( )
A.5 B.9
C.10 D.25
4.[2023·河南驻马店高二期末] 抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和为ξ,则“ξ=4”表示的试验结果是 ( )
A.两枚都是4点
B.一枚是1点,另一枚是3点
C.两枚都是2点
D.一枚是1点,另一枚是3点或者两枚都是2点
5.已知随机变量ξ,η之间满足η=2ξ+3,若P(ξ=2)=0.5,则P(η=7)= . 4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
1.B [解析] 根据随机变量的定义知,选项B是随机变量,其可能取值为0,1,2,其他三个选项均不能作为随机变量.故选B.
2.D [解析] 因为随机变量ξ表示两次掷出的点数之和,所以ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,故ξ的取值范围是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},故选D.
3.B [解析] 从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白色为止,则“第5次取到白球”表示前面4次均取到红球,故可表示为X=4.
4.A [解析] 由题知“X=8”表示3个篮球中有1个篮球的编号是8,另外2个从剩余7个篮球中任选,有=21(种)选法,即“X=8”表示的试验结果有21种.故选A.
5.C [解析] 若甲抢到一道题但答错,乙抢到两道题都答错,则X=-1;若甲没抢到题,乙抢到三道题但答错两道题或全答错,或甲抢到两道题,答题结果为一对一错,乙抢到一道题但答错,则X=0;若甲抢到一道题并答对,乙抢到两道题,答题结果为一对一错或全错,或甲抢到三道题,答题结果为两对一错,则X=1;若甲抢到两道题且全答对,则X=2;若甲抢到三道题且全答对,则X=3.故X的所有可能取值之和为-1+0+1+2+3=5.故选C.
6.C [解析] 对于A,抛掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果,则抛掷五次出现正面和反面向上的次数之和为5,是常量,A错误;对于B,等出租车的时间是随机变量,但无法一一列出,不是离散型随机变量,B错误;对于C,连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个,是离散型随机变量,C正确;对于D,事件发生的可能性不是随机变量,D错误.故选C.
7.B [解析] P(m≤ξ≤n)=1-P(ξ>n)-P(ξ8.ABC [解析] 对于A选项,X取每一个可能值的概率是非负数,故A选项正确;对于B选项,X取所有可能值的概率之和为1,故B选项正确;对于C选项,X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和,故C选项正确;对于D选项,X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和,故D选项错误.故选ABC.
9.AC [解析] 由题可知,++a=1,解得a=,故A正确;P(X>1)=P(X=2)=,故B错误;P(Y=2)=P(X=1)=,故C正确;P(Y<2)=P(X<1)=P(X=0)=,故D错误.故选AC.
10.{0,1,2} [解析] 因为X=2Y,所以Y=X,又X的取值范围为{0,2,4},所以Y的取值范围为{0,1,2}.
11.所选3人中至多有1名女生 [解析] “X≤1”包含“X=1”和“X=0”两种情况,故“X≤1”表示所选3人中至多有1名女生.
12.3 [解析] 由于是依次试验,因此可能前3次都打不开锁,则剩下的最后一把钥匙一定能打开锁,所以试验次数X的最大可能取值为3.
13.解:(1)
ξ 0 1 2 3
结果 取得3个黑球 取得1个白球,2个黑球 取得2个白球,1个黑球 取得3个白球
(2)由题意可得η=5ξ+6,因为ξ的取值范围为{0,1,2,3},所以η的取值范围为{6,11,16,21},显然η为离散型随机变量.
14.解:(1)ξ的取值范围为{1,2,3},ξ=k(k=1,2,3)表示取到k件正品.
(2)ξ的取值范围为{2,3,4,…,10},ξ=k(k=2,3,…,10)表示取了k次,第k次取得次品,前(k-1)次只取得1件次品.
(3)ξ的取值范围为{2,3,4,…},ξ=k(k=2,3,4,…)表示取了k次,前(k-1)次取得1件次品,第k次取得次品.
(4)ξ的取值范围为{0,1,2,3,4,5},ξ=k(k=0,1,2,3,4,5)表示抽取5次共取得k件正品.
15.{3,2,1,0} {300,100,-100,-300} [解析] 易知X的取值范围是{3,2,1,0},相应得分为300分,100分,-100分,-300分,因此甲回答这三个问题的总得分Y的取值范围为{300,100,-100,-300}.
16.解:(1)由题设知,在其余4道题中,有1道题答对的概率为,有2道题答对的概率为,还有1道题答对的概率为,所以该考生单项选择题得40分的概率为×××=.
(2)设该考生单项选择题的得分为X,则X的取值范围为{20,25,30,35,40}.依题意得,P(X=20)=×××=,P(X=25)=×××+2××××+×××=,同理可得P(X=30)=,P(X=35)=,P(X=40)=,
因为P(X=25)>P(X=30)>P(X=20)>P(X=35)>P(X=40),所以该考生单项选择题得25分的概率最大4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
一、选择题
1.袋中有3个白球和5个黑球,从中任取2个,则可以作为随机变量的是 ( )
A.至少取到1个白球
B.取到白球的个数
C.至多取到1个白球
D.取到的球的个数
2.先后抛掷一个骰子两次,记随机变量ξ为两次掷出的点数之和,则ξ的取值范围是 ( )
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4,5,6,7}
C.{2,4,6,8,10,12}
D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
3.袋中有除颜色外完全相同的红球6个,白球5个,从袋中每次任意取出1个球(不放回),直到取出的球是白色为止,记取球停止时取到的红球个数为随机变量X,则表示“第5次取到白球”的事件为 ( )
A.X=3 B.X=4
C.X=5 D.X=4或5
4.一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,用X表示取出的篮球的最大号码,则“X=8”表示的试验结果的种数为 ( )
A.21 B.7
C.24 D.56
5.[2023·陕西榆林神木中学高二月考] 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有三道抢答题,规定:对于每一道题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值之和是 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
6.下列叙述中是离散型随机变量的为 ( )
A.将一枚质地均匀的硬币抛掷五次,出现正面和反面向上的次数之和
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数
D.袋中有2个黑球和6个红球,任取2个,取得1个红球的可能性
7.若P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中mA.a+b B.1-(a+b)
C.1-(a-b) D.a-b
8.(多选题)已知X是一个离散型随机变量,则下列说法中正确的是 ( )
A.X取每一个可能值的概率都是非负数
B.X取所有可能值的概率之和为1
C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和
D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
9.(多选题)已知随机变量X的取值范围为{0,1,2},且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=a.若随机变量Y满足Y=3X-1,则下列说法正确的是 ( )
A.a= B.P(X>1)=
C.P(Y=2)= D.P(Y<2)=0
二、填空题
10.已知X,Y均为离散型随机变量,且X=2Y,若X的取值范围为{0,2,4},则Y的取值范围为 .
11.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,用随机变量X表示所选3人中女生的人数,则“X≤1”表示 .
12.[2023·福建长乐二中高二月考] 将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁,其中只有1把钥匙能打开锁,依次试验,打不开锁的钥匙扔掉,直到找到能打开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为 .
三、解答题
13.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;
(2)若规定每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分η的取值范围,并判定η的随机变量类型.
14.写出下列随机变量的取值范围,并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果.
(1)在10件产品中有2件是次品,8件是正品,任取3件,取到正品的件数ξ;
(2)在10件产品中有2件次品,8件正品,每次取1件,取后不放回,直到取出2件次品为止,抽取的次数ξ;
(3)在10件产品中有8件正品,2件次品,每次取1件,取后放回,直到取到两件次品为止,抽取的次数ξ;
(4)在10件产品中有8件正品,2件次品,每次取1件,取后放回,共取5次,取到正品的件数ξ.
15.在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲正确回答这三个问题的题数X的取值范围是 ,选手甲回答这三个问题的总得分Y的取值范围是 .
16.某校数学期末考试中有8道单项选择题,满分40分,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,评分标准规定:答对得5分,不答或者答错得0分.某考生每道选择题都选出了一个答案,能确定其中有4道题的答案是正确的,而其余4道题中,有1道题可以排除2个错误选项,有2道题都能排除1个错误选项,还有1道题因题意理解不清,只能随机猜测.
(1)求该考生单项选择题得40分的概率;
(2)该考生单项选择题得多少分的概率最大
