(共41张PPT)
4.2 随机变量
4.2.2 离散型随机变量的分布列
探究点一 分布列及其性质的应用
探究点二 求离散型随机变量的分布列
探究点三 两点分布
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质；
2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列；
3.理解两点分布，并能简单的运用.
知识点一 离散型随机变量的分布列及其性质
1.定义：一般地,当离散型随机变量的取值范围是,, , 时，如果对任
意,2, ,，概率_______________都是已知的，则称 的__________是已
知的.离散型随机变量的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为
的__________或________.
… …
… …
概率分布
概率分布
分布列
2.离散型随机变量 的概率分布可以用图①或图②来直观表示，其中，图①中，
上的矩形宽为1、高为，因此每个矩形的面积也恰为；图②中， 上的线
段长为 .
①
②
3.离散型随机变量的分布列的性质:
（1）_____，，2, , ；
（2） ___.
1
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在离散型随机变量的分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意实数.
( )
×
（2）离散型随机变量的分布列中每个随机变量取值对应的概率都相等.( )
×
（3）在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.( )
√
知识点二 两点分布
一般地，如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式，
1 0
其中，则称这个随机变量服从参数为___的两点分布（或 分布），
两点分布也常称为伯努利分布.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两点分布就是变量只取两个值的分布.( )
×
（2）在两点分布中，事件与事件 是相互独立的.( )
×
探究点一 分布列及其性质的应用
例1（1） 设，随机变量 的分布列如下表所示，则 ( )
5 8 9
D
A. B. C. D.
[解析] 由，解得 .故选D.
（2）随机变量的分布列如下表，其中，且,则 ( )
2 4 6
C
A. B. C. D.
[解析] 由分布列可得,又,所以,.由 ,
得,即,所以,所以 ,所以
.故选C.
变式（1） 设随机变量 的分布列如下表所示，则 ( )
1
D
A. B. C. D.
[解析] 由题可知，解得 ，则
.故选D.
（2）（多选题）[2023·山西英才学校高二月考] 已知随机变量 的分布列如下
表，若，则实数 的值可能是( )
0 1 2 3
BCD
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由随机变量 的分布列可知，随机变量的取值范围为，1，4， ，
则， ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 4 9
对于A，当时， ，故选项A错误；
对于B，当时， ，故选项
B正确；
对于C，当时， ，故选项
C正确；
对于D，当时， ，故选
项D正确.故选 .
［素养小结］
分布列的性质及其应用：
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每
个概率值均为非负数.
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变
量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
探究点二 求离散型随机变量的分布列
例2 [2023·山东安丘一中高二月考] ， 两个乒乓球队进行对抗赛，每队出
三名队员，队队员为，，，队队员为，， .按照以往比赛
统计，对阵队员之间胜负的概率如下表：
对阵球员 队队员获胜的概率 队队员获胜的概率
对
对
对
现按表中对阵方式出场，每场获胜的队伍得1分，输的队伍得0分，设队， 队
最后所得总分分别为与 ，求与 的分布列.
解:由题意可知的取值范围为，2，1，， ，
，
，
.
由题意可知，所以 的取值范围为，1，2， ，
， ，
， .
故与 的分布列分别为
3 2 1 0
0 1 2 3
变式 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机
会，每次抽中可依次获得10元、30元、50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖.顾
客每次抽中后，可以选择带走所有奖金结束抽奖，也可选择继续抽奖，若没有
抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖.小李购买了500元商品并参与
了抽奖活动，已知他每次抽中的概率依次为,, ，且其第一次抽中选择继续抽
奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为 ，且每次是否抽中互不影响.
（1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
解：记表示小李第次抽中，,2,3，则,, ，且
,, 两两互相独立.
记事件 表示小李第一次抽中且所得奖金归零，
则 .
（2）设小李所得奖金总数为随机变量，求 的分布列.
解：由题意可知的取值范围为 ，所以
， ，
， ，所以
的分布列为
0 10 40 90
［素养小结］
求离散型随机变量的分布列的关键有三点:
（1）“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义;
（2）“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型概率
公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式
等）求出随机变量取每个值时的概率;
（3）“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的
分布列或事件的概率是否正确.
探究点三 两点分布
例3（1） 某运动员射击命中10环的概率为 ,求该运动员在一次射击中命中10
环的次数的分布列.
解:设该运动员在一次射击中命中10环的次数为 ,
则,，故 的分布列为
0 1
0.1 0.9
（2）若离散型随机变量 的分布列如下表所示.
0 1
求出,并说明是否服从参数为 的两点分布,若是,则成功概率是多少
解:由,解得或 ,
又,,所以，则.因为的取值范围为 ,所
以服从参数为的两点分布,成功概率是 .
变式（1） [2024·辽宁辽阳高二期末] 已知随机变量 服从参数为0.6的两点
分布，设，则 ____.
0.4
[解析] 由题意得，当，即时， ，所以
.
（2）袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记
0，摸出的两球全是白球，
1，摸出的两球不全是白球，
求 的分布列.
解：由题知,,，所以 的分布
列为
0 1
［素养小结］
两步法判断一个分布是否为两点分布：
（1）看取值，随机变量只取两个值0和1.
（2）验概率，检验 是否成立.
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.
1.已知随机变量的分布列如下表，则 ( )
1 2 3
0.25
A
A.0.75 B.1.5 C.1 D.0.25
[解析] 因为，所以 ,所以
.故选A.
2.设随机变量服从参数为的两点分布，若，则
( )
C
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
[解析] 由题意得解得 则
.故选C.
3.若离散型随机变量的分布列为 ，
则 的值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
，即，解得 ，所以
.故选B.
4.一批产品的次品率为，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量 来描述
次品出现的情况，其中表示抽取的一个产品为合格品， 表示抽取的
一个产品为次品， 的分布列如下表所示.
0 1
则___， ___.
[解析] 表示抽取的一个产品为合格品，其发生的概率为，即 ；
表示抽取的一个产品为次品，其发生的概率为，即 .
1.写出一个离散型随机变量 的分布列，有以下几个步骤：
（1）写出 的取值范围；
（2）求 取每一个值的概率；
（3）列出表格.
2.离散型随机变量分布列的其他几种表示方法：
（1）表格法.习惯上按 的取值由小到大来列表，以便于和分布列的图像表示相
对应，这种表示方法的优点是能直观得到 取各个不同值的概率，缺点是不易看
出取各个不同值的概率与 的取值之间的关系.
（2）解析法.用解析法可以把分布列表示为,,2,3, , ,这种
表示方法的优点是直接给出了取各个不同值的概率与 的取值之间的函数关系，
缺点是不够直观.
（3）图像法.优点是能直观反映 取不同值时对应概率的大小关系及变化趋势，
缺点是不够精确.
1.根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:
（1）,,2, ,;（2） .
说明:由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥,因此随机变量在某一范围内取
值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
2.离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且
能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中
取值的分布情况.
分布列的性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误,也可以用来求分布
列中的某些参数.
例1 消费扶贫是指社会各界通过消费来自贫困地区与贫困人口的产品与服务，
帮助贫困群众增收的一种扶贫方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径.大力
实施消费扶贫，有利于动员社会各界扩大贫困地区产品和服务消费，调动贫困
人口依靠自身努力实现脱贫致富的积极性，促进贫困人口稳定脱贫和贫困地区
产业持续发展.某地为了解消费扶贫对贫困户帮扶情况，随机抽取80户贫困户进
行调查，并用打分的方式来进行评估，满分为10分.下表为80户贫困户所打分数
的频数统计.
分数 5 6 7 8 9 10
频数 4 8 20 24 16 8
（1）求贫困户所打分数的平均值 .
解：由表易得 .
（2）从打分不低于8分的贫困户中，用分层抽样的方法随机抽取12户.
①分别求抽到打分为8，9，10的贫困户的户数；
解： 抽到打分为8的户数为 ,
抽到打分为9的户数为 ,
抽到打分为10的户数为 .
②从以上12户中任意抽取2户，记他们所打分数之和为，求 的分布列.
解： 的取值范围为,17,18,19， ,
则， ，
，
， ,
所以 的分布列为
16 17 18 19 20
例2 设的分布列如下表，则 等于__.
0 1
[解析] 由离散型随机变量的分布列知，解得 .4.2.2 离散型随机变量的分布列
【课前预习】
知识点一
1.P(X=xk)=pk 概率分布 概率分布 分布列
3.(1)≥0 (2)1
诊断分析
(1)× (2)× (3)√
知识点二
p
诊断分析
(1)× (2)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)C [解析] (1)由++=1,解得p=.故选D.
(2)由分布列可得a+b+c=1,又2b=a+c,所以b=,a+c=.由ab=2c,得a=2c,即c=a,所以a+c=a+a=a=,所以a=,所以P(X=2)=a=.故选C.
变式 (1)D (2)BCD [解析] (1)由题可知a+2a+3a+4a=1,解得a=,则P=P+P=2×+3×=.故选D.
(2)由随机变量ξ的分布列可知,随机变量ξ2的取值范围为{0,1,4,9},则P(ξ2=0)=P(ξ=0)=,P(ξ2=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=+=,P(ξ2=4)=P(ξ=-2)+P(ξ=2)=+=,P(ξ2=9)=P(ξ=3)=,所以ξ2的分布列为
ξ2 0 1 4 9
P
对于A,当x=1时,P(ξ2<1)=P(ξ2=0)=≠,故选项A错误;对于B,当x=2时,P(ξ2<2)=P(ξ2=0)+P(ξ2=1)=+=,故选项B正确;对于C,当x=3时,P(ξ2<3)=P(ξ2=0)+P(ξ2=1)=+=,故选项C正确;对于D,当x=4时,P(ξ2<4)=P(ξ2=0)+P(ξ2=1)=+=,故选项D正确.故选BCD.
探究点二
例2 解:由题意可知ε的取值范围为{3,2,1,0},P(ε=3)=××=,P(ε=2)=××+××+××=,P(ε=1)=××+××+××==,P(ε=0)=××==.
由题意可知ε+η=3,所以η的取值范围为{0,1,2,3},
P(η=0)=P(ε=3)=,P(η=1)=P(ε=2)=,
P(η=2)=P(ε=1)=,P(η=3)=P(ε=0)=.
故ε与η的分布列分别为
ε 3 2 1 0
P
η 0 1 2 3
P
变式 解:(1)记Ai表示小李第i次抽中,i=1,2,3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,且A1,A2,A3两两互相独立.
记事件A表示小李第一次抽中且所得奖金归零,
则P(A)=P(A1)+P(A1A2)=××+××××=.
(2)由题意可知X的取值范围为{0,10,40,90},所以P(X=0)=+=,P(X=10)=×=,P(X=40)=×××=,P(X=90)=××××=,所以X的分布列为
X 0 10 40 90
P
探究点三
例3 解:(1)设该运动员在一次射击中命中10环的次数为Y,
则P(Y=1)=0.9,P(Y=0)=1-0.9=0.1,故Y的分布列为
Y 0 1
P 0.1 0.9
(2)由(9c2-c)+(3-8c)=1,解得c=或c=,
又9c2-c>0,3-8c>0,所以c=,则3-8c=.因为X的取值范围为{0,1},所以X服从参数为的两点分布,成功概率是.
变式 (1)0.4 [解析] (1)由题意得,当ξ=-2,即3X-2=-2时,X=0,所以P(ξ=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.
(2)解:由题知,P(X=0)==,P(X=1)=1-P(X=0)=,所以X的分布列为
X 0 1
P
【课堂评价】
1.A [解析] 因为P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1,所以0.25+a+b=1,所以a+b=0.75.故选A.
2.C [解析] 由题意得解得则p=P(X=1)=0.6.故选C.
3.B [解析] 因为P(X=k)==m,所以P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=5)=m=1,即m=1,解得m=,所以P=P(X=2)=×=.故选B.
4. [解析] X=0表示抽取的一个产品为合格品,其发生的概率为95%,即a=;X=1表示抽取的一个产品为次品,其发生的概率为5%,即b=.4.2.2 离散型随机变量的分布列
【学习目标】
1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质;
2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列;
3.理解两点分布,并能简单的运用.
◆ 知识点一 离散型随机变量的分布列及其性质
1.定义:一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},概率 都是已知的,则称X的 是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为X的 或 .
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
2.离散型随机变量X的概率分布可以用图①或图②来直观表示,其中,图①中,xk上的矩形宽为1、高为pk,因此每个矩形的面积也恰为pk;图②中,xk上的线段长为pk.
①
②
3.离散型随机变量的分布列的性质:
(1)pk ,k=1,2,…,n;
(2)pk=p1+p2+…+pn= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中,每一个可能值对应的概率可以为任意实数. ( )
(2)离散型随机变量的分布列中每个随机变量取值对应的概率都相等. ( )
(3)在离散型随机变量的分布列中,所有概率之和为1. ( )
◆ 知识点二 两点分布
一般地,如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式,
W 1 0
P p 1-p
其中0
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布就是变量只取两个值的分布. ( )
(2)在两点分布中,事件X=0与事件X=1是相互独立的. ( )
◆ 探究点一 分布列及其性质的应用
例1 (1)设0ξ 5 8 9
P
A. B.
C. D.
(2)随机变量X的分布列如下表,其中2b=a+c,且ab=2c,则P(X=2)= ( )
X 2 4 6
P a b c
A. B.
C. D.
变式 (1)设随机变量ξ的分布列如下表所示,则P= ( )
ξ 1
P a 2a 3a 4a
A. B. C. D.
(2)(多选题)[2023·山西英才学校高二月考] 已知随机变量ξ的分布列如下表,若P(ξ2ξ -2 -1 0 1 2 3
P
A.1 B.2 C.3 D.4
[素养小结]
分布列的性质及其应用:
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.
(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.
◆ 探究点二 求离散型随机变量的分布列
例2 [2023·山东安丘一中高二月考] A,B两个乒乓球队进行对抗赛,每队出三名队员,A队队员为A1,A2,A3,B队队员为B1,B2,B3.按照以往比赛统计,对阵队员之间胜负的概率如下表:
对阵球员 A队队员获胜的概率 B队队员获胜的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场,每场获胜的队伍得1分,输的队伍得0分,设A队,B队最后所得总分分别为ε与η,求ε与η的分布列.
变式 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖,最多有3次抽奖机会,每次抽中可依次获得10元、30元、50元奖金,若没有抽中,则停止抽奖.顾客每次抽中后,可以选择带走所有奖金结束抽奖,也可选择继续抽奖,若没有抽中,则连同前面所得奖金全部归零,结束抽奖.小李购买了500元商品并参与了抽奖活动,已知他每次抽中的概率依次为,,,且其第一次抽中选择继续抽奖的概率为,第二次抽中选择继续抽奖的概率为,且每次是否抽中互不影响.
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率;
(2)设小李所得奖金总数为随机变量X,求X的分布列.
[素养小结]
求离散型随机变量的分布列的关键有三点:
(1)“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义;
(2)“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等)求出随机变量取每个值时的概率;
(3)“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确.
◆ 探究点三 两点分布
例3 (1)某运动员射击命中10环的概率为0.9,求该运动员在一次射击中命中10环的次数的分布列.
(2)若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X 0 1
P 9c2-c 3-8c
求出c,并说明X是否服从参数为3-8c的两点分布,若是,则成功概率是多少
变式 (1)[2024·辽宁辽阳高二期末] 已知随机变量X服从参数为0.6的两点分布,设ξ=3X-2,则P(ξ=-2)= .
(2)袋内有10个红球,5个白球,从中摸出2个球,记X=求X的分布列.
[素养小结]
两步法判断一个分布是否为两点分布:
(1)看取值,随机变量只取两个值0和1.
(2)验概率,检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立.
如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布.
1.已知随机变量X的分布列如下表,则a+b= ( )
X 1 2 3
P 0.25 a b
A.0.75 B.1.5
C.1 D.0.25
2.设随机变量X服从参数为p的两点分布,若P(X=1)-P(X=0)=0.2,则p= ( )
A.0.2 B.0.4
C.0.6 D.0.8
3.若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=(1≤k≤5,k∈Z),则P的值为 ( )
A. B. C. D.
4.一批产品的次品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量X来描述次品出现的情况,其中X=0表示抽取的一个产品为合格品,X=1表示抽取的一个产品为次品,X的分布列如下表所示.
X 0 1
P a b
则a= ,b= . 4.2.2 离散型随机变量的分布列
1.C [解析] 依题意得+1-2q+2q2=2q2-2q+=1,即4q2-4q+1=(2q-1)2=0,解得q=.故选C.
2.A [解析] P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=++==0.6,解得n=5.故选A.
3.C [解析] 由题知0.1+m+0.3+2m=1,解得m=0.2,所以P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2=0.3.故选C.
4.B [解析] 由题意得0.21+0.20+0.05++0.10+0.10++0.10=1,化简得10x+y=24,又x,y∈N且x,y∈[0,9],所以x=2,y=4,所以P=P(X=2)+P(X=3)=0.20+0.25=0.45.故选B.
5.A [解析] 由题意得,P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=m+2m+3m=1,解得m=,所以P=P(ξ=1)+P(ξ=2)=+×2=.故选A.
6.D [解析] 由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=+++=1,解得a=,故P=P(X=1)+P(X=2)=+=.故选D.
7.D [解析] “X=3”表示前2次未抽到中奖彩票,第3次抽到中奖彩票,故P(X=3)===.故选D.
8.ABD [解析] 对于A,由分布列的性质,可得0.2+m+n+0.1=1,则m+n=0.7,故A正确;对于B,若m=0.3,则n=0.4,所以P(X>3)=P(X=4)+P(X=6)=0.4+0.1=0.5,故B正确;对于C,由概率的定义及分布列的相关性质可知0.7≥m≥0,0.7≥n≥0,故C不正确;对于D,由已知得P(X=1)=0.2,P(X=6)=0.1,所以P(X=1)=2P(X=6),故D正确.故选ABD.
9.ABC [解析] ∵随机变量ξ的概率分布为P=ak(k=1,2,3,4,5),∴P+P+P+P+P(ξ=1)=a+2a+3a+4a+5a=15a=1,解得a=,故A正确;P=P=3×=,故B正确;P=P+P=+2×=,故C正确;P(ξ=1)=5×=≠,故D错误.故选ABC.
10. [解析] 由题意得随机变量X的分布列为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=,∴P=P+P=+=.
11. [解析] 根据题意得++m+=1,解得m=.由|X-2|=1得X=3或X=1,故P(|X-2|=1)=+=.
12.(1,2] [解析] 由离散型随机变量η的分布列知,P(η<-1)=0.1,P(η<0)=0.3,
P(η<1)=0.5,P(η<2)=0.8,则当P(η13.解:(1)记事件M为“在三类中各选1个项目”,则P(M)==,所以小张在三类中各选1个项目的概率为.
(2)由题知X的取值范围为{4,5,6,7,8,9},
则P(X=4)==,P(X=5)==,
P(X=6)==,P(X=7)==,P(X=8)==,P(X=9)==,所以X的分布列为
X 4 5 6 7 8 9
P
14.解:(1)在某道题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的情况有两种:
①只选一个正确选项,即得2分的概率为P1==;
②选两个正确选项,即得5分的概率为P2==.
所以在某道题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的概率P=P1+P2=+=.
(2)设学生甲的得分为X,则X的取值范围为{0,2},
P(X=0)=×+×=,P(X=2)=×+×=,
故学生甲的得分的分布列为
X 0 2
P
设学生乙的得分为Y,则Y的取值范围为{0,2,5},
P(Y=2)=×=,P(Y=5)=×=,P(Y=0)=1--=,故学生乙的得分的分布列为
Y 0 2 5
P
15. [解析] 根据题意得,ξ的取值范围为{0,1,2,3,4,5,6},只考虑飞出的2只苍蝇,记“笼内还剩下k只果蝇”为事件Ak(k=0,1,2,3,4,5,6),当事件Ak发生时,共飞走(8-k)只蝇子,第(8-k)只飞出的是苍蝇,且在前(7-k)只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以P(Ak)==(k=0,1,2,3,4,5,6),所以P(ξ≥2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)=1-P(A0)-P(A1)=1--= .
16.解:(1)比赛结束时,乙获胜有三种情况:
①第一局甲胜,第二局乙胜,第三局乙胜;②第一局乙胜,第二局甲胜,第三局乙胜;③第一局乙胜,第二局乙胜.
故比赛结束时乙获胜的概率P=××+××+×=.
(2)由题意可得,X的取值范围为{0,1,2},
P(X=0)==,
P(X=1)=××+××=,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=,
故X的分布列为
X 0 1 2
P4.2.2 离散型随机变量的分布列
一、选择题
1.[2023·云南保山高二期中] 已知X是一个离散型随机变量,其分布列
X 2 3 4
P 1-2q 2q2
则q等于 ( )
A.1 B.1-
C. D.1+
2.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.6,那么 ( )
A.n=5 B.n=4
C.n=10 D.n=9
3.随机变量X的分布列如下表所示,
X 1 2 3 4
P 0.1 m 0.3 2m
则P(X≤2)= ( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
4.[2024·山东德州高二期末] 离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据用x,y(x,y∈N)代替,X的分布列如下表所示,
X 1 2 3 4 5 6
P 0.21 0.20 0.x5 0.10 0.1y 0.10
则P= ( )
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
5.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2,3),则P= ( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量X的概率分布为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P= ( )
A. B. C. D.
7.从只有3张中奖彩票的10张彩票中不放回地随机逐张抽取,设X表示直至抽到中奖彩票时抽奖的次数,则P(X=3)= ( )
A. B. C. D.
8.(多选题)[2023·河南周口高二期中] 已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 4 6
P 0.2 m n 0.1
则下列说法正确的是 ( )
A.m+n=0.7
B.若m=0.3,则P(X>3)=0.5
C.若m=0.9,则n=-0.2
D.P(X=1)=2P(X=6)
9.(多选题)设随机变量ξ的概率分布为P=ak(k=1,2,3,4,5),则 ( )
A.15a=1
B.P=
C.P=
D.P(ξ=1)=
二、填空题
10.已知离散型随机变量X的分布列为P=ak(k=1,2,3,4,5),则P= .
11.已知随机变量X的分布列如下表所示,则P(|X-2|=1)= .
X 1 2 3 4
P m
12.若随机变量η的分布列如下:
η -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(η三、解答题
13.某单位为丰富员工的业余生活,利用周末开展趣味野外拉练,此次拉练共分A,B,C三大类,其中A类有3个项目,每项需花费2小时,B类有3个项目,每项需花费3小时,C类有2个项目,每项需花费1小时.要求每位员工从中随机选择3个项目,每个项目的选择机会均等.
(1)求小张在三类中各选1个项目的概率;
(2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时,求X的分布列.
14.某环保知识竞赛共4道多选题,评分标准是每道题满分5分,全部选对得5分,部分选对得2分,有错选或不选的得0分.每道多选题共有4个选项,正确答案为2项或3项.已知正确答案是“选两项”和“选三项”的概率均为.现有学生甲、乙两人对这4道多选题完全没有思路,只能靠猜.
(1)已知某道题的正确答案是“选两项”,求学生甲不得0分的概率;
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”,学生乙的答题策略是“猜两个选项”,试分别写出甲、乙两名学生的得分的分布列.
15.在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子1只1只地往外飞,直到2只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数,则P(ξ≥2)= .
16.甲、乙两人同时竞聘某公司的岗位,采取三局两胜制进行比赛,已知甲每局比赛获胜的概率均为,且每局比赛都分出了胜负.
(1)求比赛结束时乙获胜的概率;
(2)比赛结束时,记甲获胜的局数为随机变量X,求随机变量X的分布列.