(共38张PPT)
4.2 随机变量
4.2.3 二项分布与超几何分布
第1课时 次独立重复试验与二项分布
探究点一 独立重复试验的判断
探究点二 次独立重复试验概率的求解
探究点三 二项分布及其分布列
◆课前预习
◆课中探究
◆课堂评价
◆备课素材
【学习目标】
1.理解 次独立重复试验模型；
2.理解二项分布；
3.能利用 次独立重复试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
知识点 次独立重复试验与二项分布
1.在相同条件下重复次伯努利试验时，约定这 次试验是相互独立的，此时这
次伯努利试验也常称为_________________.
次独立重复试验
2.一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记，且
次独立重复试验中出现“成功”的次数为,则的取值范围是,1, ,, , ，
而且,,1, ,,因此 的分布列如下表所示.
0 1 … …
… …
上述 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式
中对应项的值,因
此称服从参数为, 的二项分布,记作___________.
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）有放回抽样试验是独立重复试验.( )
√
[解析] 有放回抽样试验是在相同条件下重复做的试验,是独立重复试验.
（2）在 次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间没有影响.( )
√
[解析] 在 次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间没有影响.
（3）进行 次独立重复试验,各次试验中事件发生的概率可以不同.( )
×
[解析] 进行 次独立重复试验,各次试验中事件发生的概率相同.
（4）如果在1次试验中事件发生的概率是,那么在次独立重复试验中事件 恰
好发生次的概率,,1,2, , .( )
√
[解析] 从次独立重复试验中取次,有种取法,这次事件发生,其概率为 ,
其余次事件不发生,其概率为,因此事件恰好发生 次的概率
,,1,2, , .
2.二项分布与两点分布的关系是什么
解:二项分布是指 次独立重复试验中某事件发生次数的概率分布,需要在相同条
件下做 次试验,两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布.两者的含义不
同,将两点分布的试验进行 次,某事件发生次数的概率分布就成了二项分布.
探究点一 独立重复试验的判断
例1 判断下列试验是否为独立重复试验.
（1）依次投掷四枚质地不同的骰子;
解：由于试验的条件不同（骰子的质地不同）,因此不是独立重复试验.
（2）某人射击每次击中目标的概率是相同的,他连续射击了10次;
解：某人连续射击10次且每次击中目标的概率是相同的,因此是独立重复试验.
（3）口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球,依次从中不放回地抽取5个球;
解：从中不放回地取球时，前一次取球的结果会对这次取球的结果造成影响，
不能满足每次试验条件相同，因此不是独立重复试验.
（4）甲、乙两运动员各射击一次,两人射中目标与否互不影响.
解：甲、乙两运动员各射击一次,两人射中目标与否互不影响,但他们射中目标的
概率不一定相同,因此不是独立重复试验.
［素养小结］
次独立重复试验必须同时满足以下条件：
（1）每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变；
（2）各次试验结果互不影响；
（3）每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的.
探究点二 次独立重复试验概率的求解
例2 一个口袋内有个大小相同的球，其中3个红球和 个白球，
已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为.若 ，有放回地从口袋中连
续4次取球（每次只取1个球），在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于 ，
求与 的值.
解：由题知，在4次取球中恰好2次取到红球的概率为 ，化简
得，解得 ，则，
又因为 ，所以，即 ，
则，得 .
变式 甲、乙两队进行篮球比赛，已知甲队每局赢的概率为 ，乙
队每局赢的概率为 ．每局比赛结果相互独立．有以下两种方案供甲队选择：
方案一：共比赛三局，甲队至少赢两局算甲队最终获胜；
方案二：共比赛两局，甲队至少赢一局算甲队最终获胜．
（1）当 时，若甲队选择方案一，求甲队最终获胜的概率；
解:设“甲队选择方案一最终获胜”为事件 ，
则 .
（2）设方案一、方案二甲队最终获胜的概率分别为,，讨论, 的大小关系；
解:若甲队选择方案一，则甲队最终获胜的概率
.
若甲队选择方案二，则甲队最终获胜的概率
，因为
，所以 .
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
解:甲队选择方案二最终获胜的概率比选择方案一最终获胜的概率大．
［素养小结］
求 次独立重复试验中的概率的三个步骤:
（1）判断,依据 次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验.
（2）分拆,判断所求事件是否需要分拆.
（3）计算,每个事件依据 次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概
率加法公式计算所求事件的概率.
拓展 [2024·陕西西安高二期末] 某种植户对一块地的 个坑进
行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为 ，且每粒种子是否发芽
相互独立，对每一个坑而言，如果至少有2粒种子发芽，则不需要进行补播种，
否则要补播种.
（1）从 个坑中选2个坑进行观察，这2个坑不能相邻，有多少种方案？
解：先把个坑排好，则有 个空隙，再把剩下的2个坑随机放入
个空隙中，则有 种方案.
（2）对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？
解：由已知得2粒种子发芽的概率为 ，
3粒种子发芽的概率为 ，
所以一个坑需要补播种的概率 .
（3）当 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
解：由已知得3个坑要补播种的概率为 ，因为有3个
坑要补播种的概率最大，所以解得 ，又
，所以 或6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为
.
探究点三 二项分布及其分布列
例3 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与
，且乙投球2次均命中的概率为 ．
（1）求甲投球2次，命中1次的概率；
解：设“甲投球一次命中”为事件 ，
则， ，
故甲投球2次,命中1次的概率 .
（2）若乙投球3次，设命中的次数为，求 的分布列．
解：设“乙投球一次命中”为事件，由题意得，可得 ，
所以， .
由题意得，则 ，
， ，
.
故 的分布列为
0 1 2 3
变式 某校为了缓解高三学生复习压力，举行“趣味数学”闯关活动，规定每人
从10道题中随机抽3道题回答，至少答对2道题即可闯过第一关.某班有包括甲在
内的5位同学参加闯关活动，假设每位同学都能答对10道题中的6道题，且每位
同学能否闯过第一关相互独立.
（1）求甲同学闯过第一关的概率;
解:甲同学闯过第一关的情况有答对2道题或答对3道题，故甲同学闯过第一关的
概率 .
（2）求这5位同学闯过第一关的人数 的分布列.
解:由题意知.因此 ,
， ,
， ,
，
故 的分布列为
0 1 2 3 4 5
［素养小结］
（1）当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 .
（2）解决二项分布问题的两个关键点:
①对于公式 ,必须在满足“独立重复
试验”时才能使用,否则不能使用该公式.
②判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,
事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了 次.
拓展 [2023·四川南充高二期末] 2022年卡塔尔世界杯
正赛在北京时间11月21日至12月18日进行，共有32支球
队获得比赛资格．赛场内外，丰富的中国元素成为世界
杯重要的组成部分，“中国制造”的卢赛尔体育场见证了
新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助
商，世界杯周边商品七成“义乌造”．某企业开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努
力让大家更多地了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷．该企业为了解广
大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，
现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分：100分）数据的频率
分布直方图如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求的值，并计算这200人得分的平均数
（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）；
解: ，解得
.
.
（2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动，每人可获得3次抽奖机会，
且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为，未抽中的概率为 ，现有幸运球迷
张先生参与了抽奖活动，记为他获得纪念品的总价值，求 的分布列．
解:由题知的取值范围为 ，
则， ，
，，故 的分布列为
0 100 200 300
1.已知随机变量,则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] ，
.故选D.
2.[2024·江西九江高二期末]一个袋中有5个白球，3个红球，现从袋中取球，每
次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了 次球，
则 ( )
D
A. B.
C. D.
[解析] “ ”表示第12次取到红球，且前11次有9次取到红球，2次取到白球，
因此 .故选D.
3.某人种植了100粒花生种子，每粒种子发芽的可能性均为 ，则恰好有50粒种
子发芽的概率(参考数据： )( )
A
A.小于 B.等于 C.大于 D.无法计算
[解析] 设种子发芽的数量为，由题得 ，则
，即恰好有50粒种子
发芽的概率小于 .故选A.
4.[2023·天津河北区高二期末]若随机变量，则 的值为 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .故选C.
1. 次独立重复试验中的“重复”不能简单理解为将一个试验重复做多次，其本质
是每次试验成功的概率相同. 次独立重复试验必须同时满足以下条件：
（1）每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；
（2）每次试验“成功”的概率均为，“失败”的概率为 ;
（3）各次试验结果是相互独立的.
2.服从参数,的二项分布记作，随机变量是指在 次独立重复试
验中出现“成功”（即事件发生）的次数，是二项分布英文首字母的大写，
是指进行的独立重复试验的次数，是指在每次试验中出现“成功”（即事件 发
生）的概率.
3.二项分布的特点
（1）二项分布实际上是对 次独立重复试验从概率分布的角度做了进一步的阐
述，与次独立重复试验恰有 次发生的概率对应，是概率论中最重要的几种分
布之一；
（2）由二项分布的定义知，若 ，则
；
（3）二项分布的性质：
①对立性，即一次试验中只有两种结果——成功和不成功，而且有且仅有一种
结果发生；
②重复性，每次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变.
1.服从二项分布的随机变量取何值概率最大问题:一般地,若随机变量 服从二项
分布,即,其中 ,则有
,所以当且仅当 时，
有 .故有:
①如果,则取时 最大;
②如果是不超过的正整数,则当取和时
最大;
③如果是不超过的非整数,则当且 时
最大.
例1 设随机变量，记,,1,2, ,.在研究
的最大值时，某数学兴趣小组的同学发现：若 为正整数，则当
时，，此时这两项均为最大值；若 不为整数，
则当取的整数部分时， 是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学
重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第30次时，
记录到此时点数1出现7次，若继续再进行70次投掷试验，则当投掷到第100次时，
点数1总共出现次的概率最大,则 ( )
C
A.16 B.17 C.18 D.19
[解析] 由题意出现1点次数，由已知结论得
时 ，概率最大，又前30次中出现了
7次，所以 ．故选C.
例2 某校高二年级数学组长为了了解学生的数学学习情况，
对其在第一次月考中的数学成绩（满分150分）进行分析，从
全年级数学成绩中随机抽取了15人的成绩作为样本，得到如图
所示的茎叶图.若成绩不低于120分，则称为数学成绩优良.
以这15人的成绩中数学成绩优良的频率作为概率，从该校高二
年级中随机抽取3人，记随机变量 为这3人中数学成绩优良的
学生人数，求 的分布列.
解：以这15人的成绩中数学成绩优良的频率作为概率，易得数学成绩优良的概
率为 ， 的取值范围为，1，2， .由题意得 ,
则 ， ，
， ，
故随机变量 的分布列为
0 1 2 34.2.3 二项分布与超几何分布
第1课时 n次独立重复试验与二项分布
【课前预习】
知识点
1.n次独立重复试验 2.X~B(n,p)
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)有放回抽样试验是在相同条件下重复做的试验,是独立重复试验.
(2)在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间没有影响.
(3)进行n次独立重复试验,各次试验中事件发生的概率相同.
(4)从n次独立重复试验中取k次,有种取法,这k次事件A发生,其概率为pk,其余(n-k)次事件A不发生,其概率为(1-p)n-k,因此事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
2.解:二项分布是指n次独立重复试验中某事件发生次数的概率分布,需要在相同条件下做n次试验,两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布.两者的含义不同,将两点分布的试验进行n次,某事件发生次数的概率分布就成了二项分布.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由于试验的条件不同(骰子的质地不同),因此不是独立重复试验.
(2)某人连续射击10次且每次击中目标的概率是相同的,因此是独立重复试验.
(3)从中不放回地取球时,前一次取球的结果会对这次取球的结果造成影响,不能满足每次试验条件相同,因此不是独立重复试验.
(4)甲、乙两运动员各射击一次,两人射中目标与否互不影响,但他们射中目标的概率不一定相同,因此不是独立重复试验.
探究点二
例2 解:由题知,在4次取球中恰好2次取到红球的概率为p2(1-p)2>,化简得p(1-p)>,解得
变式 解:(1)设“甲队选择方案一最终获胜”为事件A,
则P(A)=××+=.
(2)若甲队选择方案一,则甲队最终获胜的概率P1=p2(1-p)+p3=3p2-2p3.
若甲队选择方案二,则甲队最终获胜的概率P2=p(1-p)+p2=2p-p2.P2-P1=2p3-4p2+2p=2p(p-1)2,因为0P1.
(3)甲队选择方案二最终获胜的概率比选择方案一最终获胜的概率大.
拓展 解:(1)先把(n-2)个坑排好,则有(n-1)个空隙,再把剩下的2个坑随机放入(n-1)个空隙中,则有=种方案.
(2)由已知得2粒种子发芽的概率为×=,
3粒种子发芽的概率为=,
所以一个坑需要补播种的概率P=1-=.
(3)由已知得3个坑要补播种的概率为××=,因为有3个坑要补播种的概率最大,所以解得5≤n≤6,又n∈N*,所以n=5或6时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为=.
探究点三
例3 解:(1)设“甲投球一次命中”为事件M,
则P(M)=,P()=,
故甲投球2次,命中1次的概率P=×+×=.
(2)设“乙投球一次命中”为事件N,由题意得p·p=,可得p=,
所以P(N)=,P()=.
由题意得X~B,则P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
变式 解:(1)甲同学闯过第一关的情况有答对2道题或答对3道题,故甲同学闯过第一关的概率 P==.
(2)由题意知X~B.因此P(X=0)==,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,P(X=4)=××=,P(X=5)==,故X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
拓展 解:(1)(0.002 5+0.015+0.02+0.025+m+0.01+0.005)×10=1,解得m=0.022 5.
=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.
(2)由题知Y的取值范围为{0,100,200,300},
则P(Y=0)==,P(Y=100)=××=,P(Y=200)=××=,P(Y=300)==,故Y的分布列为
Y 0 100 200 300
P
【课堂评价】
1.D [解析] ∵X~B,∴P(X=2)=××=××=.故选D.
2.D [解析] “X=12”表示第12次取到红球,且前11次有9次取到红球,2次取到白球,因此P(X=12)==.故选D.
3.A [解析] 设种子发芽的数量为X,由题得X~B,则P(X=50)=××=×≈0.08,即恰好有50粒种子发芽的概率小于50%.故选A.
4.C [解析] 因为X~B,所以P(X=3)=××=.故选C.4.2.3 二项分布与超几何分布
第1课时 n次独立重复试验与二项分布
【学习目标】
1.理解n次独立重复试验模型;
2.理解二项分布;
3.能利用n次独立重复试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
◆ 知识点 n次独立重复试验与二项分布
1.在相同条件下重复n次伯努利试验时,约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为 .
2.一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,…,n,因此X的分布列如下表所示.
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn-1 … pkqn-k … pnq0
上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q+p)n=p0qn+p1qn-1+…+pkqn-k+…+pnq0中对应项的值,因此称X服从参数为n,p的二项分布,记作 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有放回抽样试验是独立重复试验. ( )
(2)在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间没有影响. ( )
(3)进行n次独立重复试验,各次试验中事件发生的概率可以不同. ( )
(4)如果在1次试验中事件A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.( )
2.二项分布与两点分布的关系是什么
◆ 探究点一 独立重复试验的判断
例1 判断下列试验是否为独立重复试验.
(1)依次投掷四枚质地不同的骰子;
(2)某人射击每次击中目标的概率是相同的,他连续射击了10次;
(3)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球,依次从中不放回地抽取5个球;
(4)甲、乙两运动员各射击一次,两人射中目标与否互不影响.
[素养小结]
n次独立重复试验必须同时满足以下条件:
(1)每次试验的条件完全相同,相同事件的概率不变;
(2)各次试验结果互不影响;
(3)每次试验结果只有两种,这两种结果是对立的.
◆ 探究点二 n次独立重复试验概率的求解
例2 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球,其中3个红球和(n-3)个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N,有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球),在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于,求p与n的值.
变式 甲、乙两队进行篮球比赛,已知甲队每局赢的概率为p(0方案一:共比赛三局,甲队至少赢两局算甲队最终获胜;
方案二:共比赛两局,甲队至少赢一局算甲队最终获胜.
(1)当p=时,若甲队选择方案一,求甲队最终获胜的概率;
(2)设方案一、方案二甲队最终获胜的概率分别为P1,P2,讨论P1,P2的大小关系;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
[素养小结]
求n次独立重复试验中的概率的三个步骤:
(1)判断,依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验.
(2)分拆,判断所求事件是否需要分拆.
(3)计算,每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算所求事件的概率.
拓展 [2024·陕西西安高二期末] 某种植户对一块地的n(n∈N*,n>2)个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有2粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.
(1)从 n个坑中选2个坑进行观察,这2个坑不能相邻,有多少种方案
(2)对于单独一个坑,需要补播种的概率是多少
(3)当 n取何值时,有3个坑要补播种的概率最大 最大概率为多少
◆ 探究点三 二项分布及其分布列
例3 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p(0(1)求甲投球2次,命中1次的概率;
(2)若乙投球3次,设命中的次数为X,求X的分布列.
变式 某校为了缓解高三学生复习压力,举行“趣味数学”闯关活动,规定每人从10道题中随机抽3道题回答,至少答对2道题即可闯过第一关.某班有包括甲在内的5位同学参加闯关活动,假设每位同学都能答对10道题中的6道题,且每位同学能否闯过第一关相互独立.
(1)求甲同学闯过第一关的概率;
(2)求这5位同学闯过第一关的人数X的分布列.
[素养小结]
(1)当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.
(2)解决二项分布问题的两个关键点:
①对于公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),必须在满足“独立重复试验”时才能使用,否则不能使用该公式.
②判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.
拓展 [2023·四川南充高二期末] 2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日至12月18日进行,共有32支球队获得比赛资格.赛场内外,丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分,“中国制造”的卢赛尔体育场见证了新的世界冠军产生,中国企业成为本届世界杯最大赞助商,世界杯周边商品七成“义乌造”.某企业开展了丰富多彩的宣传和教育活动,努力让大家更多地了解世界杯的相关知识,并倡议大家做文明球迷.该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况,在球迷中开展了网上问卷调查,球迷参与度极高,现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷,他们得分(满分:100分)数据的频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求m的值,并计算这200人得分的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作为代表);
(2)该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动,每人可获得3次抽奖机会,且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为,未抽中的概率为,现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动,记Y为他获得纪念品的总价值,求Y的分布列.
1.已知随机变量X~B,则P(X=2)= ( )
A. B. C. D.
2.[2024·江西九江高二期末] 一个袋中有5个白球,3个红球,现从袋中取球,每次任取1个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)= ( )
A. B.
C. D.
3.某人种植了100粒花生种子,每粒种子发芽的可能性均为,则恰好有50粒种子发芽的概率 ( )
A.小于50% B.等于50%
C.大于50% D.无法计算
4.[2023·天津河北区高二期末] 若随机变量X~B,则P(X=3)的值为 ( )
A. B.
C. D.4.2.3 二项分布与超几何分布
第1课时 n次独立重复试验与二项分布
1.C [解析] 因为X~B,所以P=P(X=2)+P(X=3)=××+××=.故选C.
2.D [解析] 在n次独立重复试验中,事件发生的次数服从参数为n,1-p的二项分布,故所求概率为(1-p)kpn-k.故选D.
3.B [解析] 在一次试验中,两枚硬币都正面向上的概率为×=,设X为3次试验中成功的次数,则X~B,故所求概率P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=××+×=.故选B.
4.C [解析] 设向左移动的次数为X,则X~B.从0移动到2且移动6次,则需向右移动4次,向左移动2次,故质点位于2的位置的概率为P(X=2)=×.故选C.
5.A [解析] 设事件A在1次试验中发生的概率为p(06.C [解析] 若乙3∶2赢得比赛,则乙前四场赢两场,第五场赢,其概率为P1=×0.62×0.43=0.138 24;同理若甲3∶2赢得比赛,其概率为P2=×0.42×0.63=0.207 36;若甲3∶0赢得比赛,则甲前三场都赢,其概率为P3=0.63=0.216;若甲3∶1赢得比赛,则甲前三场赢两场,第四场赢,其概率为P4=×0.4×0.63=0.259 2.综上可得,概率最大的比赛结果是甲3∶1赢得比赛.故选C.
7.D [解析] 一次掷两枚骰子,两枚骰子点数之和为4的情况有3种,两枚骰子点数之和为5的情况有4种,两枚骰子点数之和为6的情况有5种,则在一次试验中,出现成功试验的概率为P==.进行四次试验,设出现成功试验的次数为X,则X~B,所以进行四次试验,恰出现一次成功试验的概率为P(X=1)=××=.
8.AC [解析] 对于A,设事件A为“抛掷一枚骰子,出现的点数是3的倍数”,则P(A)=,而在n次独立重复试验中,事件A恰好发生了k次(k=0,1,2,…,n)的概率P(ξ=k)=××,符合二项分布的定义,即有ξ~B.对于B,ξ的取值范围是{1,2,3,…},P(ξ=k)=0.9×0.1k-1(k=1,2,3,…),显然不符合二项分布的定义,因此ξ不服从二项分布.C中是有放回地抽取,而D中是无放回地抽取,显然D中n次试验是不独立的,因此D中ξ不服从二项分布,对于C,有ξ~B.故选AC.
9.AC [解析] 对于A,从中任取3个球,恰有1个红球的概率P==,故A正确;对于B,从袋中任取1个球,取到白球的概率为,则取到白球的个数X~B,故恰好取到2个白球的概率P=××=,故B错误;对于C,第1次取到红球,则袋中还剩4个红球、2个白球,故第2次取到红球的概率为=,故C正确;对于D,由B知,P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)
+P(X=3)=××+××+×=,故D错误.故选AC.
10. [解析] 若小球落入4号容器,则在通过的四层中有三层向右,一层向左,因此小球落入4号容器的概率P=××=.
11.①③ [解析] 在n次独立重复试验中,每次试验事件发生的概率都相等,故①正确;恰好击中3次需要看是哪3次击中,所以正确的概率应为×0.93×0.1,故②错误;利用对立事件求解,易知③正确.故正确说法的序号为①③.
12. [解析] ∵每次质量把关中一件石雕被1位行家认为质量不过关的概率均为,∴每次质量把关中一件石雕被1位行家认为质量过关的概率为.记事件A为“一件石雕质量为优秀级”,则P(A)==.记事件B为“一件石雕质量为良好级”,则P(B)=×××=.
13.解:(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为××=.
(2)每人可被录用的概率均为××+=,X的取值范围为{0,1,2,3},则P(X=0)=××=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,
P(X=3)=××=.
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
14.解:(1)这三位同学恰好有两位同学选择A组合的概率P1=××=,这三位同学恰好有两位同学选择B组合的概率P2=××=,这三位同学恰好有两位同学选择C组合的概率P3=××=,
所以这三位同学恰好有两位同学选择相同组合的概率P=P1+P2+P3=+×2=.
(2)选择含地理的组合的概率为+=.
由题意知X~B,
所以P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,
P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
15.A [解析] 因为随机变量X~B,所以P(X=k)=,由==>1,解得k<6,当k=6时,可得
==1,所以P(X=7)=P(X=6),当k>6时,可得P(X=k+1)16.解:(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,“正确应答”为事件B,由题意可知P()=0.1,P(B|A)=0.8,P(B|)=0.3,则P(A)=1-P()=0.9,
所以P(B)=P(B|)P()+P(B|A)P(A)=0.75.
(2)由(1)可知P(B)=0.75=,
则X~B,所以P(X=6)=×=×.设an=,则==.令>1,解得n<7,可知当n≤6时,有an+1>an;
令<1,解得n>7,可知当n≥8时,有an+1令=1,解得n=7,则a8=a7.故当n=7或n=8时,an最大,即n为7或8时,P(X=6)的值最大.4.2.3 二项分布与超几何分布
第1课时 n次独立重复试验与二项分布
一、选择题
1.已知X~B,则P= ( )
A. B.
C. D.
2.某一次试验中事件A发生的概率为p(0A.1-pk B.(1-p)kpn-k
C.(1-p)k D.(1-p)kpn-k
3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,若两枚硬币都正面向上,就说这次试验成功,则3次试验中至少有2次成功的概率是 ( )
A. B.
C. D.
4.数轴上一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1秒向左或向右移动一个单位,已知向右移动的概率为,向左移动的概率为,共移动6次,则质点位于2的位置的概率是 ( )
A.× B.×
C.× D.×
5.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为 ( )
A. B.
C. D.
6.甲、乙两人进行比赛,每局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,且各局比赛互不影响.若采取“5局3胜制”,则下列比赛结果概率最大的是 ( )
A.乙3∶2赢得比赛
B.甲3∶0赢得比赛
C.甲3∶1赢得比赛
D.甲3∶2赢得比赛
7.一次掷两枚骰子,若两枚骰子点数之和为4或5或6,则称这是一次成功试验.现进行四次试验,则恰出现一次成功试验的概率为 ( )
A. B.
C. D.
8.(多选题)下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有 ( )
A.随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次,其中出现点数是3的倍数的次数
B.某射手射击一次击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ
C.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取的方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(MD.有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取的方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M9.(多选题)袋中有大小和质地相同的5个红球和2个白球,则下列结论正确的是 ( )
A.从中任取3个球,恰有1个红球的概率是
B.从中有放回地取球3次,每次任取1球,恰好取到2个白球的概率为
C.从中不放回地取球2次,每次任取1球,若第1次已取到了红球,则第2次取到红球的概率为
D.从中有放回地取球3次,每次任取1球,则至少有1次取到白球的概率为
二、填空题
10.如图,高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型,从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球,当小球从两钉之间的间隙下落碰到下一排钉子时,它将以相等的可能性向左或向右落下,接着小球再通过两钉之间的间隙,又碰到下一排钉子,如此继续下去,在第四层下面的5个出口处各放置一个容器接住小球,那么小球落入4号容器的概率是 .
11.某射手射击1次,击中目标的概率为0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,给出下列说法:
①他第三次击中目标的概率为0.9;
②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1;
③他至少击中目标1次的概率为1-0.14.
其中正确说法的序号为 .
12.某石雕厂为严把质量关,对制作的每件石雕都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:(i)若一件石雕3位行家都认为质量过关,则该石雕质量为优秀级;(ii)若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关时这2位行家都认为质量过关,则该石雕质量为良好级,若第二次质量把关时这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该石雕需返工重做;(iii)若有2位或3位行家认为质量不过关,则该石雕需返工重做.已知每次质量把关中一件石雕被1位行家认为质量不过关的概率均为,且每位行家认为石雕质量是否过关相互独立.则一件石雕质量为优秀级的概率为 ;一件石雕质量为良好级的概率为 .
三、解答题
13.某公司的一次招聘中,应聘者都要经过三个独立项目A,B,C的测试,如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是.
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率;
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.
14.[2023·云南昆明一中期末] 2022年,某省启动高考综合改革,改革后,不再分文理科,改为采用“3+1+2”模式,“3”是语文、数学、英语三科必考,“1”是在物理与历史两科中选择一科,“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学,给出三种可供选择的组合进行模拟选课,其中A组合:物理、化学、生物,B组合:历史、政治、地理,C组合:物理、化学、地理.根据选课数据得到,选择A组合的概率为,选择B组合的概率为,选择C组合的概率为,甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.
(1)求这三位同学恰好有两位同学选择相同组合的概率.
(2)用X表示这三人中选择含地理的组合的人数,求X的分布列.
15.已知随机变量X~B,若P(X=k)的值最大,则k= ( )
A.6或7 B.7或8
C.5或6 D.7
16.随着科技的不断发展,人工智能技术的应用领域也更加广泛,它将会成为改变人类社会发展的重要力量.某科技公司发明了一套人机交互软件,它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对该交互软件进行测试时,若输入的问题没有语法错误,则软件正确应答的概率为80%;若出现语法错误,则软件正确应答的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率;
(2)在某次测试中,输入了n(n≥6)个问题,每个问题能否被软件正确应答相互独立,记软件正确应答的个数为X,记X=k(k=0,1,…,n)的概率为P(X=k),则n为何值时P(X=6)的值最大